Đáp án tích phân hạn chế casio

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1.
2

2
 1  cos 2 x  1  2cos 2 x  cos 2 x



2
4


2

1 1
1  1  cos 4 x  3 1
1
 cos 2 x  
   cos 2 x  cos 4 x
4 2
4
2
8
 8 2



H
oc



2

01

sin x   sin x 
4



1
1
1
3 1

3
4 1
I     cos 2 x  cos 4 x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x    3  8 
8 2
8
4
32

8
 0 32
0

3

1
5
;b    A  
32
4
32

2.








3
cos 2 x
cos x  sin x
1
1
dx

dx

dx

dx
2
2

2
2
2
2



cos x sin x
 sin x cos x
 sin x
 cos x
2

3

4

2

3

4

4



4





1
4
2
6  4 3  a  2;b    A 
3
3
3

Ta

   cot x  tan x 3 
3.


4

ie

I 



iL

3

uO

nT
hi
D

a 

ai

4



s/


2
d  sin x  cos x 
sin x  cos x
2


ln
sin
x

cos
x
I 
dx  
   ln1  ln 2  ln 2

sin x  cos x
 sin x  cos x

4
4

ro

4

up

2

/g

1
1
1
ln 2  ln 2  c  ;a  b  0  A 
2
2
2






3

cos x
1  sin x
 1

dx

cos
xdx

 sin 2 x
 sin 2 x
  sin 2 x  1 cos xdx
3

3

2

.c

3

Ta có:

om

4.

6

6

ok

6

bo

Đặt u  sin x  du  cos xdx

x

u

w

w

w

.fa

ce

Đổi cận

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3

Suy ra:

3

cos x
dx 
2
x


 sin
6

3
2

 1

  u

2

1
2

3
2

5
7
4
5 7 3

 1

 a  ;b    A 
 1 du     u   
2
6
3
2
6

 u
1
2

01





4

 tan



2

0





dx
 1

xdx    tan 2 x  1  1 dx   
 1 dx  
  dx
2
2
cos
x
cos
x


0
0
0
0
4

4

4

4

6.




2

2





0

0

4

ie

Ta có: I1  cos5 xdx  cos 2 xdx  A  B


iL





uO
nT
hi
D

1
3
 a;  1;b    A 
4
4



  tan x  x  04  1 

ai





12
1
1

2 
+) Tính B   cos 2 xdx   1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x  
20
2
2
0 4
0

Ta

2

s/


2

up

+) Tính A   cos5 xdx

ro

0

/g

Đặt t  sin x  dt  cos xdx và x : 0 




2

thì t : 0  1



1

1

2

0

2

2

0

0

.c

0

om

Khi đó: A   cos 4 x cos xdx   1  sin 2 x  cos xdx   1  t 2  dt    t 4  2t 2  1 dt
2

1

ce

bo

ok

 t5 2

8
8 
8
1
8 1 17
   t 3  t    I1    a  ; b    A   
15 4
15
4
15 4 60
5 3
 0 15
7.



t

0


d  sin x 
cos x

6
dx

. Đặt t  sin x , với x = 0 thì t = 0, với x  thì
2
4

0
cos x
6
1  sin 2 x 

1
2

w

w

w

.fa

Ta có I   6

H
oc

5.

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Khi đó I  

dt

1  t 

2 2

1
2
0



dt

 t  1  t  1
2

2

1 12  t  1   t  1
 
dt
2 0  t  12  t  12

ai

1 12 dt
1 12
dt
1 12 dt
1 12 d  t  1 1 12  1
1 
1 12 d  t  1





dt



4 0  t  12 2 0  t  1 t  1 4 0  t  12 4 0  t  12 4 0  t  1 t  1 
4 0  t  12

uO

nT
hi
D



H
oc

1
 1  1  t  1   t  1  dt 1  t  1   t  1  dt 
1 1
dt
dt
2
I  2

 2
  2

2
2
0
2  0  t  1 t  12 0  t  1 t  12  4  0
 t  1 t  1
 t  1 t  1 

1
1
1

1
7
Đáp số: I  ln 3   a  ; b   A 
4
3
4
3
12

1
1
2  3tan x
14
2 d (2  3tan x)
dx

2

3tan
x


2 0 cos 2 x
6 0

Ta





5
1
1 2 32 5 1
5
2
1
tdt

. t
 5 5  2 2  a  ;b    A 

62
6 3 2 9
9
9
3

up

Đặt 2  3tan x  t  I 

s/

I



4

iL



ie

8.



Suy ra: I   2

 3 
sin 3 
t

cos3 t
 2

dt    
dt

 3 
 3 
2 sin t  cos t
sin 
 t   cos 
t
 2


 2


bo

ok



om

/g

3

3
 t  dx  dt . Đổi cận: x   t   ; x    t 
2
2
2

.c

Đặt: x 

ro

9.



sin 3 x  cos3 x
1

dx   1  sin 2 x  dx
2

2 sin x  cos x
2


ce

Vậy: 2 I  



1


2 I   x  cos 2 x 
4



.fa
w
w
w

01

1
2
0

2

2I 


2



1
 1
1
1
 I    a  ;b    A  0
2
4 4
4
4

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



2
(4cos  1) cos x
3  4sin 2 x
dx

0 2  3sin x  (1  2sin 2 x) 0 2sin 2 x  3sin x  1 d (sin x)



3  4t 2
Đặt t = sinx. Khi x = 0 thì t = 0, khi x 
thì t = 1. Suy ra I   2
dt
2
2t  3t  1
0
1

1
1



6t  5
(4t  4)  (2t  1) 
4
1 


   2 

 dt    2 
 dt    2 
 dt
(2t  1)(t  1) 
(2t  1)(t  1) 
2t  1 t  1 
0
0
0

uO
nT
hi
D

1

  2t  2ln(2t  1)  ln(t  1)  0  2  2ln 3  ln 2  a  1; b  2; c  2  A  1
1

0

sin x 



2

3 cos dx   sin x  3 cos x dx

Ta

0

I   1  3 sin 2 x  2cos 2 xdx  


2

0


3

 k

up

sin x  3 cos x  0  tan x  3  x 

s/

2

iL



2

ie

11.


 
 nênx 
3
 2


3

2

0



/g

ro

do x   0;


om

I   sin x  3 cos dx   sin x  3 cos x dx
3





.c





sin x  3 cos x dx 

ok



3

bo

0





3

0

  sin x 
2



3 cos x dx



3



  cos x  3 sin x




2


3

1 3
1 3
    1   3    3  3  a  1; b  3  A  2
2 2
2 2

12.

w

w

w

.fa

ce

  cos x  3 sin x



H
oc

2

2

ai

Ta có: I 

01

10.

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



2

2

0

sin x cos 2 x
dx  I1  I 2
1  3cosx
0



01



* I  sin 2 xdx 





H
oc

2

1  cos 2 x
1

1

* I1  
dx   x  sin 2 x  
2
4
2
0 4
0

ai

2


2


0

sin x cos 2 x
dx
1  3cos x

uO
nT
hi
D

* I2 

1  3cos x  u  u 2  1  3cos x  2udu  3sin xdx



x  0  u  2; x 

2

 u 1
2

4



118
1
 a  ; b  118; c  405  A  523, 25

405
4

s/



up

* Vậy I 

Ta

2



2

2

om
0

2

2

0



bo

0



2 2





4

ce

C   sin xdx  cosx

.fa

0

w

2

ok

A   2x .dx  x



2

0

0



.c



w



2

 2x  1  sin x  dx   2x .dx   dx   sin xdx  A  B  C
0

w



/g



ro

13.

I 

iL

2
2 2
4
118

I2 
2u 4  4u 2  7  du   u 5  u 3  7u   


27 1
27  5
3
405
1

ie

Đặt

Vậy I  A  B  C 

2



; B  dx  x
0




2
0




2


2
0

2
4

1




2

1 a 

1
1
;b   ;c  1  A  1,25
4
2

14.

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



d  4  3t 2 
4  3t 2

0

0,5
2

2  13
2

  ln 4  3t 2
   ln  ln 4     ln13  2 ln 4 
0
3
3 4
3

2
4
2
 a   ;b   A 
3
3
3
15.



ie



6
tan x
tan 4 x
dx


0 cos2 x. 1  tan 2 x  dx
cos 2 x  sin 2 x
0

3
3

t

Ta
s/

3
3

1 

dt     t 2  1  2  dt 
t 1 
0 

4

 1 t

 I1 

dx
và
cos 2 x

up

Đặt t  tan x  dt 

2

0

3
3

/g

3
3



 t

ro

I1  

iL

4

6

H
oc

0,5

ai

tdt
2

Đặt t  sin 2 x  B  4 
2
4  3t
3
0

0

sin 2 x cos 2 x
dx
3 2
1  sin 2 x
4

uO
nT
hi
D

0,5



0

2

1 1
1 
1 

 dt
2  t  1 t  1  

om

 t3
1 t 1 
10 3 1
    t  ln
 ln 2  3  a  2; b  10; c  27  A  39
 
3
2
t

1
27
2


0







bo



ok

.c

16.









+ I  ( x sin x  x)dx  x sin xdx  xdx

ce

0



 xdx 

.fa

+




0



2
2

  x sin xdx  x( cos x)
0

0


0



  cos xdx  
0

w

w

w

0

1 2
x
2

0

01

3
sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x, do đó : B 
4

12

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1
I     2 .  a  0,5, b  1; c  0  A  1,5
2

2

01

17.

H
oc



I 1   2sin2xdx   cos2x 02  2

2


2


2

0

0

uO
nT
hi
D

I 2   cosx ln 1  sinx dx  1  sinx  ln 1  sinx    cosxdx  ..  2ln2  1
0

Vậy I  2ln2  1  a  2;b  1  A  3
18.








2

0

0

3

   s inx

s/



up

3

Ta

 
x3 
  x cos x    cos xdx
0 0
3 0

0

ro



0

iL

0



ie

I   x dx   x sinxdx   x dx   xd (cos x)
2

om

/g

1
1
4
I   3    a  ; b  1; c  0  A 
3
3
3

.c

19.

ok


2


2


2

ce

bo

I   (x  sin 2 x) cos xdx   x cos xdx   sin 2 x cos xdx.
0

0

0
M

N

u  x
du  dx

dv  cos xdx v  sin x

w

w

w

.fa

Tính M: Đặt 




2





ai

0



M  x sin x 2   sin xdx   cos x 2   1.
2
2
0 0
0

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Tính N: Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận: x 


2

 t  1; x  0  t  0

1

01

t3 1 1
N   t dt 
 . Vậy
3 0 3
0



2
1
2
1
 .  a  ;b    A  
2 3
2
3
6

ai

I M N 

H
oc

2

1

uO
nT
hi
D

20.

1





Ta có: I  8 x3  2 x  .e x dx   4 x 2  1 .e x .2 xdx
2

0

2

0

iL

1

  4t  1 .e dt
t

Ta

Ta được I 

s/

0

du  4dt

t
dv  e dt v  e

 4  et dt

0

0

om

1
 5  e  a  1; b  5  A  4
0

bo

ok

21.

.fa

ce

u  1  x
Đặt 
2x
dv  (2  e )dx

w

/g

1

1

.c

 3e  1  4et

t

ro

t

 I   4t  1 .e

du  dx

=> 
1 2x
v  2 x  2 e

1
1 2x  1 
1 

I  1  x   2 x  e     2 x  e2 x  dx
2  0 0
2 


w

w

up

u  4t  1

Đặt 

ie

Đặt t  x2  dt  2 xdx và x  0  t  0 ; x  1  t  1

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H
oc

01

1

a
2

1
1
 2x 1 2x 
1 
1 1


4  A  0,5
 1  x   2 x  e2 x   
 e    e2  
2 0  2
4 0 4 4


b  1

4

ai

22.

ln x 
xdx
ln xdx
 1
I   x 2
 3  dx   2
 2
x 1 x 
x 1 1 x
1 
1
e

e

uO
nT
hi
D

e

2
e
e
xdx
1 d  x  1 1
I1   2
 
 ln  x 2  1
2
1
x 1 2 1 x 1
2
1
e

iL

e

e

  2  1  a  2; b  2; c  1  A  1
e

x 1

0

om

2

ln  x  1 dx
0
x 1

ln  x  1 dx   4 x ln  x  1 dx  

.c



 2 x  1

ok

* I=

/g

23.

1

up

2

ro

1 1  e
 I  I1  I 2  ln
2
2

s/

ln x
1
1
1 1
2
e
I 2   2 dx  ln x 1   2 dx  
  1
x
x
x
e x1
e
1
1

Ta

e

ie

2
1
1 1  e 
2
 ln 1  e   ln 2  ln
2
2
2

1

0

1

A   4 x ln  x  1 dx

ce

0

bo

1

.fa

Đặt

1

dx
x

1
x2 1
dv  xdx  v 
2

w

w

w

u  ln  x  1  du 

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01

1
 x2 1

1 1
A  4
ln  x  1 0    x  1 dx 
2 0

 2


1

1
ln  x  1 dx
ln 2  x  1
1
B
  ln  x  1 d  ln  x  1 
 ln 2 2
0
0
x 1
2
2
0

H
oc

 1  x2

 4    x   1
 0
 2 2

ai

1

Vậy :

1
1
I  1  ln2 2  a  ;b  1  A  1,5
2
2





4
x sin x
sin x
dx

2
0 cos2 x
0 cos x dx



4

4
x sin x
sin x

dx
;
I

2
0 cos2 x 2 0 cos x dx

/g

Đặt I1 

up



s/

4

ro

Ta có: I 

Ta

iL

ie

24.

uO
nT
hi
D

1

om

+ Tính I1 : Đặt u  x  du  dx; v 

.c





sinx
1
dx   cos2 xd (cos x) 
2
x
cos x

 cos



bo

ok

x 4 4 dx
x 4 1 1  sin x
 I1 


 ln
cos x 0 0 cos x cos x 0 2 1  sin x


4



0

 2

1 2 2
 ln
4
2 2 2



.fa

ce

+ Tính I 2  2

4

d (cos x)
0 cos x  2ln cos x

w

w

w

Vậy I = I1 + I 2 =


4
0

 2ln

2
2

 2

1 2 2
2
 ln

2 ln
 a  4; b  2;c  2  A  4
4
2 2 2
2

25.

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

4

4

0

0

 xdx   x sin 2 xdx . (1)


01

Ta có I 





1 4 2
Tính I1   xdx  x 2 
. (2)
2 0 32
0

4

0

Theo công thức tích phân từng phần ta có




1

1  2 8

 a  8; b  32  A  40 .
4
32

iL

32



Ta

2

ie

cos 2 x 4 4 cos 2 x
sin 2 x
1
I2   x

dx 
 . (3)
2 0 0 2
4 0 4
Từ (1), (2) và (3) suy ra I 

cos 2 x
.
2

uO
nT
hi
D

Tính I 2   x sin 2 xdx . Đặt u = x; dv  sin 2xdx . Khi đó du = dx; v  





up

s/

26.





ro

x3
3
I    x  x sinx  dx 
  x sin xdx 
 x sin xdx.
3 0 0
3 0
0

/g

2



om

I  x sin xdx.
Tính 1 
0

ux

 du  dx
.

dv

sin
xdx
v


cos
x



ok

.c



Đặt 







bo

 I1   x cos x 0   cos xdx   sinx 0   .



0

3

1
2
   a  ; b  1  A   .
3
3
3

ce

I 

w

.fa

27.

dx

 ln x
e

Đặt u 

1
dx
 du 
;
ln x
x ln 2 x

dv  dx  v  x

w

w

Tính I 2 

e3

ai

H
oc

4

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e3

e3

e3

e3

e3

e3

01

dx
x
dx
 I2  


 2
ln x ln x e e ln x
e
e3

e3

ai

2
3

uO
nT
hi
D

1
3

Suy ra a   ;b  1  A 
28.

dx
;
1 x

dv  dx  v  x  1 (cộng 1 vế rút gọn bước sau)

2

Vậy I  ln 1  x  dx  1  x  ln 1  x  
1



2

1  x  dx

 1  x 

 1  x  ln 1  x   x  0  3ln 3  2ln 2  1
2

1

iL

1

2

ie

Đặt u  ln 1  x   du 

Ta

Suy ra a  3;b  2;c  1  A  0

4





0

0



up



4

s/

29.


 
4





4





0

0

om

/g

 
4

* Tính I1  x tan 2 x  1 dx

ro

Ta có: I  x tan 2 xdx  x  tan 2 x  1  1 dx  x tan 2 x  1 dx  xdx


0

.c


du  dx
u  x

2

dv   tan x  1 dx v  tan x

bo

ok

Đặt 



 
4







4



ce

Do đó: I1  x tan 2 x  1 dx  x tan x 04  tan xdx
0






4

4


0


d  cos x  

2
  ln  cos x  04   ln
cos x
4
4
2

w

w

w

.fa

0

H
oc

1 
dx
x
dx
e3
 1
 x 

Vậy I    2 
; I  
  e
 dx   2 
ln x ln x 
ln x ln x e e ln 2 x
3
 ln x  e
e 
e

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

x2
* Tính I 2   xdx 
2
0
4

4



0

2
32

01






0



 ln

4

2 2
suy ra a  4;b  32;c  1  A  27

2 32

2
Đặt u  ln x  du 

2ln x
dx ;
x
e

e

x4
4

dv  x3dx chọn v 
e

e

x4 2
1

e4 1
ln x   x3 ln xdx    x3 ln xdx
Vậy I   x ln xdx 
4
21
4 21
1
1
2

iL

ie

3

uO
nT
hi
D

ai

30.

e



Ta

* Tính I1  x3 ln xdx

dx
;
d

x4
4

up

dv  x3dx chọn v 

ro

Đặt u  ln x  du 

s/

1

e

e

om

/g

e
 e4 x 4 
x4
1 3
e4 e4 1 3e4  1
Vậy I1 
ln x   x dx        
4
41
16
 4 16  1 4 16 16
1
e



e4 3e4  1 5e4  1


4
32
32

.c

* Do đó: I  x3 ln xdx 
1

.fa

ce

bo

ok

Suy ra a  5;b  1;c  32  A  36
31.



x  t 2  x  2tdt  dx  I  2 t 2 sin tdt
0

w

w

w

* Đặt t 

H
oc

4

Vậy I  x tan 2 xdx 

* Dùng tích phân từng phần.

2
Đặt u  t  du  2tdt ;

dv  sin tdt chọn v   cos t

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









Vậy I  2  t 2 cost  2 t cos tdt 
0



0

dv  cost dt chọn v  sin t









H
oc

Đặt u  t  du  dt ;

01







Vậy I1  t sin tdt  t sin t 0  sin tdt  cost 0  2
0

ai

0





0

32.

x2  1
1
1 x ln xdx  1 x ln xdx  1 x ln xdx
e

Ta có: I 

e

e

e



ie

* I1  x ln xdx

uO
nT
hi
D



* Do đó: I  2  t 2 cos t  4  2 2  8  a  2;b  8  A  6

dx
;
x

dv  xdx chọn v 

x2
2

Ta

Đặt u  ln x  du 

iL

1

e

e

e 2
x2
x dx  x 2
x 2  e2 1
Vậy I1   x ln xdx 
ln x  

  ln x    
2
2 x 2
4 1 4 4
1
1
1

up

s/

e

* I2 

ln x
dx
x
1



dx
x
 x  e u  1
Đổi cận: 

 x  1 u  0

.c

om

/g

Đặt u  ln x  du 

ro

e

1

1

ok

u2
1

Vậy I 2   udu 
2 0 2
0

bo

x2  1
e2 1 1 e2  3
 a  3;b  4  A  7

ln
xdx

  
1 x
4 4 2
4
e

ce

Vậy I 

w

w

w

.fa

33.







4

4
x
xdx
1 4 xdx
Ta có: I  
dx  

1  cos 2 x
2cos 2 x 2 0 cos 2 x
0
0

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dv 

Đặt u  x  du  dx ;

dx
chọn v  tan x
cos 2 x




4



 1
1 xdx
1
 1
4 
4  tan xdx 
Vậy I  
 ln 2

x
tan
x

x
tan
x

ln
cos
x

2



0



0
8 4
2 0 cos x 2
2
0



01



uO
nT
hi
D

ai

1
1
1
 a  ;b    A  
8
4
8
34.

iL

chọn v  tan x





 3
3

3 ln 

ln 2 

 2  3
6



3
ln  sin x 
3
dx

tan
x
.ln
sin
x







   dx = 
 2
 cos x

6



6

s/

3

up

Vậy I 

Ta

dx
cos 2 x

dv 

cos x

dx
sin x

ie

Đặt u  ln  sin x   du 

H
oc

4

6

/g

ro

 a  1;b  3;c  6  A  2

om

35.





.c





1
12
 1  cos 2 x 
I    2 x  1 cos 2 xdx    2 x  1 
dx

2
x

1
dx



 2 x  1 cos 2 xdx

2
2 0
2 0


0
0
2

2




12
1 2
2 
2 


2
x

1
dx

x

x



0
2 0
2
8 4

w

w

w

.fa

ce

I1 

bo

ok

2

I2 



12
 2 x  1 cos 2 xdx
2 0

Đặt u 

1
 2 x  1  du  dx ;
2

1

dv  cos 2 xdx chọn v  sin 2 x
2

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





01

2
2
1
12
1
1
I 2   2 x  1 sin 2 x   sin 2 xdx  cos 2 x  
4
20
4
2
0
0


2

2
  2 x  1 cos xdx 

2

0



8


4



1
 a  8; b  4;c  2  A  2
2





4

 x tan





xdx   x  tan x  1  1 dx   x  tan x  1 dx   xdx
4

2

uO
nT
hi
D

ai

36.

4

4

2

0

2

0

0

0



x  1 dx

ie

2

iL

 x  tan
4

* Tính

H
oc

Do đó: I 

0



Ta














sin x
dx  x tan x 04  ln  cos  04
cos x
0

2
 x  tan x  1 dx  x tan x 04   tan xdx  x tan x 04  
4

0

ro

0

up

4

Vậy

s/

Đặt u  x  du  dx ; dv  tan 2 x  1 dx chọn v  tan x



4



/g


2  1
x2  4 
2 2
Do đó: I   x tan 2 xdx   x tan x  ln  cos x      ln
=
  ln 2

32 4 2
2 0 4
2 32

0

.c

1
1
1
9
;b  ;c    A  
32
4
2
32

.fa

ce

37.

bo

ok

a 

om

4

dv 

w

w

w

Đặt u  x  du  dx ;


Vậy I 

3

dx
sin 2 x

chọn v   cot x







3
x
cos x
3
3

 sin 2 x dx   x cot x 4   cotxdx   x cot x 4   sin x dx
4

3

4

4

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

   x cotx  ln  sin x   3 



 94 3
36

2

2

01

4

  1 ln 3  a  9;b  4;c  36  A  41

H
oc

38.

1 x x
ex
ex
e
dx


1 x2 1 x dx
x2
1
2

ai

2

uO
nT
hi
D

2

I 

2

ex
1 x2 dx

x
x
Đặt u  e  du  e dx ;

dv 

2

2

dx
chọn
x2

ie

* Tính I1 

2

Ta

iL

ex
1 x
ex
 I1   2 dx   e   dx
x
x 1 1 x
1

1 x
1
ex
ex
1
e
Vậy I   2 dx   e x   dx   dx   e x   2  e 
x
x 1 1 x
x
x 1 2
1
1
2

2

2

2

up

s/

2

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

1

1
 a   ;b  1  A 
2
2

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