File a 3d THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

3D. Thể tích khối tròn xoay

3D. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

(CĐ 17)

 Dạng 51. Tính thể tích khối tròn xoay
Câu 1. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo khi quay hình cong, giới hạn bởi đồ
thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  quay xung quanh
trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
b

b

A. V    f  x  dx .

B. V   f 2  x  dx .

a

a

b

b

C. V    f 2  x  dx .

D. V   f  x  dx .

a

a

Chọn đáp án C.
Câu 2. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  3x ; y  x ; x  0 ; x  1 . Tính thể
tích V của vật thể tròn xoay khi  H  quay quanh Ox .
8 2
B. V 
.
C. V  8 2 .
3
Lời giải tham khảo

8
A. V 
.
3

D. V  8 .

Chọn đáp án A.
Xét hình thang giới hạn bởi các đường: y  3x ; y  x ; x  0 ; x  1
1

Ta có: V  

2

1

2

  3x  dx    x  dx 
0

0

8
.
3

Câu 3. Cho tam giác giới hạn bởi ba đường y  x , x  1 , trục Ox . Tính thể tích V của khối
tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Oy của tam giác đó.
A. V 


3

.

B. V 

2
.
C. V   .
3
Lời giải tham khảo

D. V 

4
.
3

Chọn đáp án B.
Thể tích hình cần tính bằng thể tích khối trụ trừ đi thể tích khối nón.
Câu 4. Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
a
y  1  x 2 , y  0 quanh trục Ox có kết quả dạng
. Tính a  b .
b
A. a  b  11 .
B. a  b  17 .
C. a  b  31 .
D. a  b  25 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án C.
1
16
  (1  x2 )2 dx 
. Nên a  16, b  15, a  b  31.
15
1

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 39

3D. Thể tích khối tròn xoay

Câu 5. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x 2 , trục Ox và hai đường thẳng

x  1, x  0 xung quanh trục Ox .
0

0
2 2

B. V   (2  x 2 )2 dx .

A. V    (2  x ) dx .
1

1

0

0
2

C. V    (2  x )dx .

D. V 

1

 2x

2

dx .

1

Lời giải tham khảo
Chọn đáp án A.
0

V    (2  x 2 )2 dx
1

Câu 6. Tính thể tích V của hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  4  x 2 , y  x 2  2 quay quanh trục Ox .
A. V  14 .

B. V  15 .
C. V  16 .
Lời giải tham khảo

D. V  17 .

Chọn đáp án C.

 x  1
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số: 4  x 2  x 2  2  
x  1

1

Thể tích cần tìm: V     4  x 2




2

  x

1

2

1

2
 2  dx  12  1  x 2








2

dx  16

 đvtt  .

1

Câu 7. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các
đường y   x 2  3x; y   x khi quay quanh trục Ox .
A. V 

56
.
15

B. V 

6
56
.
C. V  
.
15
15
Lời giải tham khảo

D. V 

56
.
5

Chọn đáp án A.
Phương trình hoành độ giao điểm tìm được x  0; x  2
Gọi V1 ; V2 . Tính được thể tích 2 phần là

32 8
56
;
. V 
.
5
3
15

Câu 8. Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2 x  x 2 , trục hoành. Tính
thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox .
A. V 

16
.
15

B. V 

4
4
.
C. V  .
3
3
Lời giải tham khảo

D. V 

16
.
15

Chọn đáp án D.

x  0
Phương trình HĐGĐ ....  
x  2
2





2

2

 V    2 x  x 2 dx   
0

File word liên hệ qua

0

2



 4x3
x5 
16
4 x 2  4 x 3  x 4 dx   
 x4     .
5  0 15
 3



Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 40


3D. Thể tích khối tròn xoay

Câu 9. Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  x 2  4 x  4, y  0, x  0, x  3 quay quanh trục Ox .
A. V 

33
.
7

B. V 

33
33
.
.
C. V 
6
5
Lời giải tham khảo

D. V 

33
.
4

Chọn đáp án C.
3

4

V     x  2  dx 
0

33
.
5

Câu 10. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  1 và y  4 x  2 . Tính thể
tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng  H  quanh trục Ox .
A. V 

4
.
3

B. V 

248
224
.
C. V 
.
3
15
Lời giải tham khảo

D. V 

1016
.
15

Chọn đáp án C.

x  1
x2  1  4 x  2  x2  4 x  3  0  
x  3
3
2
2

224
V     4 x  2   x 2  1 dx 
.
15
1







Câu 11. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình
phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  1, x  0 và các tiếp tuyến với đồ thị hàm số

y  x 2  1 tại điểm  1; 2  .
A. V 

15
.
8

B. V 

8
8
.
C. V 
.
15

15
Lời giải tham khảo

D. V 

15
.
8

Chọn đáp án B.
Viết phương trình tiếp tuyến, vẽ hình và xác định miền cần tính diện tích, có thể sử dụng
máy tính cầm tay để tìm kết quả.
Câu 12. Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
1
y  , y  0, x  a ( a  1) quay quanh trục Ox .
2
1

1


1

1
A. V    1  .
B. V    1   .
C. V   1    . D. V   1   .
a
a
a


a



Lời giải tham khảo
Chọn đáp án C.
a
dx 
1
V    2  1   .
a

1 x

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 41


3D. Thể tích khối tròn xoay

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 13. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0; x   biết rằng thiết
diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(0  x   ) là một tam giác đều có cạnh là 2 s inx .

B. V 

A. V  3 .


3

.

C. V  2 3 .

D. V  2 .

Câu 14. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0, x  2 , biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

0  x  2

là một nửa hình tròn đường kính

A. V  4 .

B. V   .

5x 2 .

C. V  3 .

D. V  2 .

Câu 15. Tính thể tích V của một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 , biết

rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành
độ x  0  x  3  là một hình chử nhật có kích thước là x và 2 9  x2 .
A. V  16 .

B. V  17 .

C. V  19 .

D. V  18 .

Câu 16. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x  1 , trục hoành và x  4 .
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục Ox .
7
7
5
7 2
A. V 
.
B. V 
.
C. V  .
D. V 
.
6
6
3
6
Câu 17. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục hoành y  1  x 2 , y  0 .
A. V 

31416
.
20001

B. V 

4
.
3

C. V 


2

.

D. V 

3
.
2

Câu 18. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng
giới hạn bởi các đường y  x ln(1  x 2 ) , trục Ox và đường thẳng x  1.
1
4 
A. V    ln 2    .
9 6

3
 1
4 
C. V     ln 2    .
9 6
 3

1
4 
B. V    ln 2    .
9 6
3
1
4 
D. V    ln 2    .
9 6
3

Câu 19. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Oy hình
phẳng giới hạn bởi các đường x 
A. V 


3

.

B. V 

2y

2

y 1


2

, y  0, y  1.

.

C. V 


4

.

D. V 

3
.
2

Câu 20. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các
đường y  sin x  cos x , y  0, x  0, x 
 3
A. V      .
 2 2
File word liên hệ qua


2

khi quay quanh trục Ox .

 3
B. V      .
 2 2

 1
C. V      .
 2 2

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

  3
D. V       .
 2 2
[ Nguyễn Văn Lực ] | 42


3D. Thể tích khối tròn xoay

Câu 21. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  sin x , x  0, y  0, x   . Tính thể
tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi hình  H  quay quanh Ox .
A. V  2 .

B. V 

2
2

.

C. V 

2
4

.

D. V 


2

.

Câu 22. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  ln x , x  1, x  2, y  0 khi nó quay xung quanh trục Ox .







A. V  2 ln 2 2  2 ln 2  1 .





B. V   ln 2 2  2 ln 2  1 .



D. V  ln 2 2  2 ln 2  1 .

C. V  2 ln 2 2  2 ln 2  1 .

Câu 23. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường: y  x ln x , y  0, x  e. Tính thể tích
V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục Ox .

A. V=

 (5e 3 -2)
28

.

B. V=

 (5e 3 -2)
25

.

C. V=

 (5e 3 +2)
27

.

D. V=

 (5e 3 -2)
27

.

Câu 24. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  e x , trục tung và y  e quay quanh trục Ox .
A. V   ( e 2  1) .

B. V 

 ( e 2  1)
2

.

C. V   ( e 2  2) .

D. V 

 ( e 2  1)
2

.

Câu 25. Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  e x , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  3 quay quanh trục Ox .

e
A. V 

6



1 
2

.

e
B. V 

6

1
2

.

e
C. V 

6



1 
2

.

e
D. V 

6

1
2

.

Câu 26. Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y  e x , y  e  x và x  1. Tính thể tích
V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
 e 2 e 2

 e 2 e 2

 1 .
 1 .
A. V    
B. V    

2
2
2

2


 e 2 e 2

 1 .
C. V    
2
2


 e 2 e 2

 1 .
D. V    
2
2

1

Câu 27. Cho hình phẳng A giới hạn bởi đường cong có phương trình y  x 2 .e x và các
đường thẳng x  1, x  2 và trục hoành . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi
quay A quanh trục hoành.
3
1
3

1 
A. V  e 4  e 2 .
B. V    e 4  e 2  .
4
2
2 
4
 3
1 
D. V     e 4  e 2  .
2 
 4

3
1
C. V   e 4  e 2 .
4
2

Câu 28. Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x .e x , trục hoành và
đường thẳng x  1 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung
quanh trục Ox .
A. V 



e
4

2



1 .

File word liên hệ qua

B. V 



e
4

2



1 .

C. V 



e
2

2



1 .

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D. V 



e
2

2



1 .

[ Nguyễn Văn Lực ] | 43


3D. Thể tích khối tròn xoay

Câu 29. Tính thể tích V của hình khối do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  xe x ,
trục tung, trục hoành, x  2 khi quay quanh trục Ox .
1

5e 4  1 . D. V  5e 4  1 .
A. V  5e 4  1 .
B. V   5e 4  1 . C. V 

4
4













x
2

Câu 30. Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi y  xe , x  0 và x  1 . Tính thể tích V
của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình  H  quanh trục Ox .
A. V    e  2  .

File word liên hệ qua

B. V    e  1 .

C. V    e  2  .

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D. V    e  1 .

[ Nguyễn Văn Lực ] | 44