7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
7E. KHOẢNG CÁCH – GÓC – HÌNH CHIẾU
Dạng 113. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M1 2; 3; 1 và đường thẳng
x 2 y 1 z 1
. Tính khoảng cách d từ điểm M1 đến đường thẳng .
1
2
2
10 2
10 3
10 5
10
A. d
.
B. d
.
C. d
.
D. d
.
3
3
3
3
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án A.
Đường thẳng qua M0 2; 1; 2 và có VTCP a 1; 2; 2 M0 M1 4; 2; 2
Ta có: M0 M1 ; a 8; 10; 6
a; M M
0
1
( 8)2 102 6 2 10 2
d M1 ;
.
3
a
12 2 2 ( 2)2
:
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
x y 1 z 1
.
2
2
1
Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O 0; 0; 0 đến đường thẳng d .
A. d 3 .
B. d 2 .
C. d 0 .
Lời giải tham khảo
D. d 1 .
Chọn đáp án A.
Lập PT mp đi qua O 0; 0; 0 vuông góc d và cắt d tại H .
Khoảng cách từ O đến đường thẳng là độ dài đoạn OH .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 0; 0 , B 0; 0; 8 và điểm
C sao cho AC 0; 6; 0 . Tính khoảng cách d từ trung điểm I của BC đến đường thẳng
OA .
A. d 4 .
B. d 5 .
C. d 6 .
Lời giải tham khảo
D. d 7 .
Chọn đáp án B.
Từ AB 0; 0; 6 và A 2; 0; 0 suy ra C 2; 6; 0 , do đó I 3; 1; 4 .
Phương trình mặt phẳng P đi qua I và vuông góc với OA là: x 1 0 .
Tọa độ giao điểm của P với OA là K 1; 0; 0 .
Khoảng cách từ I đến OA là IK 5.
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 55
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 0; 5 và hai mặt phẳng
P : 2 x – y 3z 1 0, (Q) : x y – z 5 0 . Tính khoảng cách d
hai mặt phẳng P và Q .
A. d
9 14
.
7
B. d
529
.
19
C. d
529
.
19
từ M đến giao tuyến của
D. d
529
19
.
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án B.
Gọi giao tuyến là đường thẳng t . VTCP của t là tích có hướng của hai vectơ pháp
tuyến của P và Q . Giao tuyến t qua A 2; 3; 0 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng t
Tính d MH
529
.
19
Dạng 114. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2; 3 và mặt phẳng
P : x 2 y 2z 3 0 . Tính khoảng cách d
A. d 1 .
từ M đến P .
B. d 2 .
C. d 3 .
Lời giải tham khảo
D. d 4 .
Chọn đáp án B.
d d M ,( P)
1.1 2.2 2.( 3) 3
12 ( 2)2 22
2.
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 3 0 và
điểm A 1; 2; 13 . Tính khoảng cách d từ A đến P .
A. d
1
.
2
B. d
4
.
C. d 4 .
3
Lời giải tham khảo
D. d
2
.
3
Chọn đáp án B.
d d A; ( P )
2.1 2( 2) 13 +3
22 ( 2)2 ( 1)2
4
.
3
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 3 x 4 y 5 0 . Tính
khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng P .
A. d 5.
B. d 1.
C. d 5.
Lời giải tham khảo
D. d 1.
Chọn đáp án B.
5
1 .
d(O ,( P ))
9 16
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 56
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 4; 3 và mặt phẳng P
có phương trình 2 x – y 2 z 3 0. Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng P .
A. d 3 .
B. d 2 .
C. d 1 .
Lời giải tham khảo
D. d 11 .
Chọn đáp án C.
d M ,( P)
2( 2) – –4 2.3 3
4 1 4
3
1 .
3
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , d1 :
x1 y z1
,
2
3
3
y
d : x2 1 1 z 1 1 , P : 2x 4 y 4z 3 0 . Gọi A là giao điểm của d và d .
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng P .
2
1
A. d
4
.
3
B. d
7
13
.
C. d
.
6
6
Lời giải tham khảo
D. d
2
5
.
3
Chọn đáp án A.
x 1 y z 1
1 3 7
4
3
3
Giao điểm A của d1 và d2 thỏa: 2
A ; ; d A , P .
3
2 4 4
x 1 y z 1
2
1
1
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm E 2; 4; 5 , mặt phẳng
y3 z2
. Tìm tọa độ điểm M có
1
1
hành độ nhỏ hơn 2 , nằm trên đường thẳng d có khoảng cách từ M tới mặt phẳng P
P : x 2 y 2z 6 0 và đường thẳng d : x 2 1
bằng EM .
A. M 1; 2; 3 .
B. M 1; 2; 3 .
C. M 17; 6; 11 .
D. M 17; 6; 11 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án B.
Đặt điểm M 1 2t ; 3 t ; 2 t . Tìm t từ phương trình d M ,(P) EM .
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 3 z 1 0
và điểm A 1; 2; 3 . Tính khoảng cách d từ A đến P .
A. d 14 .
B. d 2 7 .
C. d 14 .
Lời giải tham khảo
D. d 7 .
Chọn đáp án A.
Mặt phẳng P : 2 x y 3 z 1 0 và điểm A 1; 2; 3 .
Khoảng cách d từ A đến P : d
2 291
14
14.
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 57
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 5 z 4 0 và
điểm A 2; 1; 3 . Tính khoảng cách d từ A đến P .
A. d
24
13
B. d
.
24
14
C. d
.
23
14
.
D. d
23
11
.
Chọn đáp án B.
Khoảng cách d từ A đến P : d
2 291
14
14.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3 ; 1 ; 2 và mặt phẳng
P : 4x y 3z 2 0 . Tính khoảng cách d
A. d
26 21
.
21
B. d
từ A đến P .
21 26
.
C. d 26 .
26
Lời giải tham khảo
D. d 21 .
Chọn đáp án B.
d A, P
4.3 1 3.2 2
2
4 2 1 3 2
21
26
21 26
.
26
Dạng 115. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng song song
:
x y – z 5 0 và
:
2 x 2 y – 2 z 3 0 . Tính khoảng cách d giữa hai mặt
phẳng và ?
A. d
7 3
.
6
B. d
17
7
.
C. d
.
6
6
Lời giải tham khảo
D. d 2 2 .
Chọn đáp án A.
Chọn M 0; 0; 5 mp . Tính được: d ( ); ( ) d M ; ( ) .
Câu
15.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
P : 2x 3y 6 z 18 0, Q : 2x 3 y 6 z 10 0 . Tính khoảng cách
phẳng P và Q .
A. d 6 .
B. d 5 .
C. d 3 .
Lời giải tham khảo
d giữa hai mặt
D. d 4 .
Chọn đáp án D.
Lấy A 9; 0; 0 P
d ( P); (Q) d A; (Q)
File word liên hệ qua
2.9 3.0 6.0 10
2 2 32 6 2
4.
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 58
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 2 x 2 y z 11 0
và Q : 2 x 2 y z 4 0 . Tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng P và Q .
A. d 3.
B. d 5.
C. d 7.
D. d 9.
Chọn đáp án B.
Lấy A 2; 0; 0 Q
d ( P); (Q) d A; (P)
2.( 2) 3.0 6.0 11
22 22 12
5.
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 59
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
Dạng 116. Bài toán về góc
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 0; 0 , B 0; 1; 0 ,
C 0; 0; 1 , D 2; 1; 1 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
A. 450 .
B. 600 .
C. 900 .
Lời giải tham khảo
D. 1350 .
Chọn đáp án A.
AB.CD
2
Vì cos AB, CD cos AB, CD
AB, CD 450
2
AB . CD
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 3; 2; 6 , B 3; 1, 0 ,
C 0, 7, 0 , D 2,1; 1 . Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A , D và là góc giữa
d và ABC . Tính sin .
A. sin
5
.
2
B. sin
10
10
.
C. sin
.
8
5
Lời giải tham khảo
D. sin
10
.
2
Chọn đáp án C.
BA (0; 3; 6); BC ( 3; 6; 3)
1
Vtpt , mp( ABC ) : n BA , BC (5, 2,1)
9
Ta có a AD 5; 1; 7 là vtcp của đường thẳng AD
Gọi là góc giữa đường thẳng AD và mp ABC , 00 90 0
a.n
25 2 7
10
Khi đó: sin
.
5
75 30
a n
-
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y z 5 0 và
đường thẳng d :
x3 y1 z3
. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
2
1
1
P .
A. 45o.
B. 30o.
C. 60o.
Lời giải tham khảo
D. 120o.
Chọn đáp án B.
Gọi vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của P và d lần lượt là n, u. Góc giữa d
n.u
và P được tính theo công thức cos .
n.u
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 60
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
Dạng 117. Bài toán về hình chiếu
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1; 1 và đường thẳng
x 6 4t
d : y 2 t . Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A lên đường thẳng d .
z 1 2t
A. 2; 3; 1 .
B. 2;3;1 .
C. 2; 3;1 .
D. 2;3;1 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án C.
Gọi H là hình chiếu của A lên d . H 6 4t ; 2 t ; 1 2t
AH 5 4t ; 3 t ; 2 2t ; ud 4; 1; 2
AH d AH.ud 0 4(5 4t ) 1( 3 t ) 2( 2 2t ) 0 t 1 H (2; 3; 1)
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 2; 5 và đường thẳng
x 8 4t
d : y 5 2t . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng
z t
d .
A. 4; 1; 3 .
B. 4; 1; 3 .
C. 4; 1; 3 .
D. 4; 1; 3 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án A.
Giải hệ gồm PT đường thẳng d và PT mp P . Ta được tọa độ hình chiếu.
x 1 t
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : y 2 và điểm
z 3 t
A 1; 2; 1 . Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm A lên .
A. I 3; 1; 2 .
B. I 2; 2; 2 .
C. I 1; 2; 1 .
D. I 4; 2; 1 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án B.
Gọi I 1 t ; 2; 3 t . Tìm t từ phương trình AI .u 0 , với u là véc tơ chỉ phương của .
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 0 ; B 4; 1; 1 . Tính
độ dài đường cao OH của tam giác OAB .
A. OH
1
19
.
B. OH
86
.
19
C. OH
19
.
86
D. OH
19
.
2
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án B.
Ta có: AB 3; 3; 1 . PTĐT AB là :
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 61
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
x 1 3t
y
2
3
t
H
1
3
t
;
2
3
t
;
t
OH
1 3t; 2 3t; t
z t
Vì OH AB 3. 1 3t 3 2 3t t 0 t
3
19
86 .
28
29
3
OH
19
19
19
19
2
2
2
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1, 2, 1 , B 0, 3, 4 ,
C 2,1, 1 . Tính độ dài đường cao h từ A đến BC .
A. h 6 .
B. h
33
.
C. h 5 3 .
50
Lời giải tham khảo
D. h
50
.
33
Chọn đáp án D.
x 2 2t
Phương trình tham số BC : y 1 t . Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên BC .
z 1 5t
Nên M BC và d A; BC AM ; AM BC AM.BC 0 .
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 7; 9 và mặt phẳng
P : x 2 y 3z 1 0 . Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên P .
A. H 2; 2; 1 .
B. H 1; 0; 0 .
C. H 1; 1; 0 .
D. H 4; 0; 1 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án C.
Phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng P là
x 2 t
d : y 7 2t
z 9 3t
Toạ độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng P là nghiệm hệ
x 2 y 3z 1 0
x 1
x 2 t
y 1 H 4; 0; 1 .
z 0
y 7 2t
z 9 3t
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2; 3 và mặt phẳng
P : 2 x 2 y z 9 0. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng P .
A. A 7; 6; 1 .
B. A 6; 7; 1 .
C. A 7; 6; 1 .
D. A 6; 7; 1 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án A.
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng P .
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 62
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
Điểm H là trung điểm của AA .
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 2; 1; 1 và mặt phẳng
P : 16 x 12 y 15z 4 0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A 2; 1; 1 lên mặt
phẳng P . Tính độ dài đoạn AH .
A. AH
11
.
25
B. AH
11
22
.
C. AH
.
5
25
Lời giải tham khảo
D. AH
22
.
5
Chọn đáp án B.
AH d A ,( P)
16.2 ( 12)( 1) ( 15)( 1) 4
162 12 2 152
11
.
5
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 2; 3; 1 , B 1; 1; 1 ,
C 2; 1; 0 và D 0; 1; 2 . Tìm tọa độ chân đường cao H của tứ diện ABCD xuất phát từ
đỉnh A .
A. H 2; 1; 0 .
B. H 1; 2; 1 .
C. H 1; 1; 2 .
D. H 2; 1; 1 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án D.
Viết phương trình mặt phẳng BCD và đường thẳng AH từ đó tìm được giao điểm H .
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y z 1 0 và
hai điểm A 1; 3; 2 , B 9; 4; 9 . Tìm tọa độ điểm M trên P sao cho MA MB đạt
giá trị nhỏ nhất.
A. M 1; 2; 3 .
B. M 1; 2; 3 .
C. M 1; 2; 3 .
D. M 1; 2; 3 .
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án D.
Ta có A , B nằm cùng phía đối với mặt phẳng P
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua P , ta có: MA ’ MA
Do đó MA MB MA ' MB A ' B min( MA MB) A ' B khi M là giao điểm của
A ’B và P .
+ Tìm được A’ 3; 1; 0 .
x 3 12t
Phương trình đường thẳng AB : y 1 3t
z 9t
+ M 1; 2; 3 .
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 63
7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :
x y z
và
1 1 2
x 1 y z 1
. Tìm tọa độ điểm M d1 và N d2 sao cho đoạn thẳng MN ngắn
2
1
1
nhất.
3 3 6
69 17 18
3 3 6
69 17 18
A. M ; ; , N ;
; .
B. M ; ; , N
;
; .
35 35 35
35 35 35
35 35 35
35 35 35
d2 :
3 3 6
69 17 18
3 3 6
69 17 18
C. M ; ; , N ; ; .
D. M ; ; , N ;
; .
35 35 35
35 35 35
5 5 5
5 5 5
Lời giải tham khảo
Chọn đáp án B.
M d1 M t ; t ; 2t và N d2 N 1 2t '; t '; 1 t '
MN ngắn nhất MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
3
t 35
t 6t ' 3
3 3 6
69 17 18
M ; ; , N
;
; .
6
t
t
'
1
17
35
35
35
35
35
35
t '
35
File word liên hệ qua
Facebook: www.facebook.com/VanLuc168
[ Nguyễn Văn Lực ] | 64