File b 7e KHOẢNG CÁCH góc HÌNH CHIẾU

7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu

 
 
 
 
 

7E. KHOẢNG CÁCH – GÓC – HÌNH CHIẾU

 Dạng 113. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Câu 1. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  M1  2; 3; 1   và  đường  thẳng 
x  2 y 1 z 1


. Tính khoảng cách  d từ điểm  M1  đến đường thẳng   . 
1
2
2
10 2
10 3
10 5
10
A. d 
. 
B.  d 
. 
C.  d 
. 
D.  d 
. 

3
3
3
3
Lời giải tham khảo 


Đường thẳng  qua  M0  2; 1; 2   và có VTCP  a   1; 2; 2   M0 M1   4; 2; 2     
 
Ta có:   M0 M1 ; a    8; 10; 6   


 
 a; M M 
0
1
( 8)2  102  6 2 10 2



           d  M1 ;   
. 

3
a
12  2 2  ( 2)2
:

Câu 2. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  đường  thẳng   d  :

x y 1 z 1


. 
2
2
1

Tính khoảng cách  d từ gốc tọa độ  O  0; 0; 0   đến đường thẳng   d  . 
A.  d  3 . 

B.  d  2 . 
C.  d  0 . 
Lời giải tham khảo 
Lập PT mp đi qua  O  0; 0; 0   vuông góc   d   và cắt   d   tại  H . 

D.  d  1 . 

Khoảng cách từ  O  đến đường thẳng là độ dài đoạn  OH .   
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho hai điểm  A  2; 0; 0  ,  B  0; 0; 8   và điểm 

C  sao cho  AC   0; 6; 0  . Tính khoảng cách  d từ trung điểm  I  của  BC  đến đường thẳng 
OA . 

A.  d  4 . 

B.  d  5 . 
C.  d  6 . 
Lời giải tham khảo 

D.  d  7 . 


Từ  AB   0; 0; 6   và  A  2; 0; 0   suy ra  C  2; 6; 0   , do đó  I  3; 1; 4  . 
Phương trình mặt phẳng   P   đi qua  I  và vuông góc với  OA  là:  x  1  0 . 

 Tọa độ giao điểm của   P   với  OA  là  K   1; 0; 0  . 
 Khoảng cách từ I đến  OA  là  IK  5.  
 
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 69


7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu

Câu 4. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  M  1; 0; 5    và  hai  mặt  phẳng 

 P  : 2 x – y  3z  1  0, (Q) : x  y – z  5  0 . Tính khoảng cách  d
hai mặt phẳng   P   và   Q  . 
A. d 

9 14
. 
7

529
. 
19

B.  d 

C.  d 

529
. 
19

từ M đến giao tuyến của 

D.  d 

529
19

. 

Lời giải tham khảo 
Gọi Giao tuyến là đường thẳng   t  .  VTCP của   t   là tích có hướng của hai vectơ pháp 
tuyến của   P   và   Q  .  
Giao tuyến   t   qua  A  2; 3; 0  . 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng   t   
Tính   d  MH 

529
. 

19

 Dạng 114. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
 
Câu 5. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,    cho  điểm  M  1; 2; 3    và  mặt  phẳng 

 P  : x  2 y  2z  3  0 . Tính khoảng cách  d

từ  M  đến   P  . 

A.  d  1 . 

B.  d  2 . 
C.  d  3 . 
Lời giải tham khảo 
1.1  2.2  2.( 3)  3
 2.  
 d  d  M ,( P)  
12  ( 2)2  22

D.  d  4 . 

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho mặt phẳng   P  : 2 x  2 y  z  3  0  và 
điểm  A  1; 2; 13  .  Tính khoảng cách  d  từ  A  đến   P  . 
A.  d 

1
. 
2

 d  d  A; ( P )  

B.  d 

4
. 
C.  d  4 . 
3
Lời giải tham khảo 

2.1  2(  2)  13 +3
2

2

2  ( 2)  ( 1)

2



D.  d 

2
. 
3

4
. 
3

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho mặt phẳng   P  : 3 x  4 y  5  0 . Tính 
khoảng cách  d từ gốc tọa độ  O  đến mặt phẳng   P  . 
A. d  5.  

 d(O ,( P )) 

5
9  16

File word liên hệ qua

B.  d  1.  
C.  d  5.  
Lời giải tham khảo 

D.  d  1.  

 1 .  

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 70


7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho  điểm  M  2; 4; 3   và mặt phẳng   P    
có phương trình  2 x – y  2 z  3  0.  Tính khoảng cách  d  từ điểm  M  đến mặt phẳng   P  . 
A. d  3 . 

d  M ,( P)  

B.  d  2 . 
C.  d  1 . 
Lời giải tham khảo 

2( 2) –  –4   2.3 3
4 1 4

D. d  11 . 

3
 1 . 
3



Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,   d1  :

x1 y z1
 
, 
2
3
3

y

 d  : x2 1  1  z 1 1 ,  P  : 2x  4 y  4z  3  0 . Gọi  A  là giao điểm của   d   và   d  . 

Tính khoảng cách  d từ   A  đến mặt phẳng   P  . 
2

1

7
13
5
. 
C.  d 
. 
D.  d  . 
6
6
3
Lời giải tham khảo 
x  1 y z  1
 

 1 3 7
4
3
3
Giao điểm  A  của   d1   và   d2   thỏa:   2
 A   ; ;   d A , P    .
3
 2 4 4
 x  1  y  z  1
 2
1

1
 

A. d 

4
. 
3

2

B.  d 

Câu 10. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  E  2; 4; 5  ,  mặt  phẳng 
y3 z2

.  Tìm  tọa  độ  điểm  M   có 
1
1
hành độ nhỏ hơn  2 , nằm trên đường thẳng  d  có khoảng cách từ  M  tới mặt phẳng   P   

 P  : x  2 y  2z  6  0   và  đường  thẳng  d : x 2 1 

bằng  EM .  
A.  M  1; 2; 3  . 

B.  M  1; 2; 3  . 

C.  M  17; 6; 11 . 

D.  M  17; 6; 11 . 

Lời giải tham khảo 
Đặt điểm  M  1  2t ; 3  t ; 2  t  . Tìm  t  từ phương trình  d  M ,(P)   EM . 
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho mặt phẳng   P  : 2 x  y  3 z  1  0  
và điểm  A  1; 2; 3  . Tính khoảng cách  d từ  A đến   P  . 
A.  d  14 . 

B.  d  2 7 . 
C.  d  14 . 
Lời giải tham khảo 

D.  d  7 . 

Mặt phẳng   P  : 2 x  y  3 z  1  0  và điểm  A  1; 2; 3  .  
Khoảng cách  d  từ  A  đến   P  :  d 

2 291
14

 14.  

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho mặt phẳng   P  : 2 x  y  5 z  4  0  và 
điểm  A  2; 1; 3  . Tính khoảng cách  d từ  A  đến   P  . 
A.  d 

24
13

. 

B.  d 

24
14

C.  d 

. 

23
14

. 

D.  d 

23
11

. 

 
File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 71

7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu

2 291

Khoảng cách  d  từ  A  đến   P  :  d 

14

 14.  

Câu 13. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  A  3 ; 1 ; 2    và  mặt  phẳng 

 P  : 4x  y  3z  2  0 . Tính khoảng cách  d
A.  d 





d A,  P  

26 21
. 
21

B.  d 

4.3   1  3.2  2



2

4 2    1  3 2

từ  A  đến   P  . 

21 26
. 
C.  d  26 . 
26
Lời giải tham khảo 
21
26



D.  d  21 .  

21 26
. 
26

 Dạng 115. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
 

Câu 14.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai  mặt  phẳng  song  song 

  :

x  y – z  5  0   và 

  :

2 x  2 y – 2 z  3  0 .  Tính  khoảng  cách  d giữa  hai  mặt 

phẳng     và     ? 

17
7
. 
C.  d 
. 
6
6
Lời giải tham khảo 
Chọn  M  0; 0; 5   mp   . Tính được:  d  ( ); (  )   d  M ; (  )  .
A.  d 

Câu

15.

7 3
. 
6

B.  d 

D.  d  2 2 . 

Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai  mặt  phẳng 

 P  : 2x  3y  6 z  18  0, Q  : 2x  3 y  6 z  10  0 .  Tính  khoảng  cách 
phẳng   P   và   Q  . 
A. d  6 . 
 

B. d  5 . 
C.  d  3 . 
 
Lời giải tham khảo 

d giữa  hai  mặt 

D.  d  4 . 

Lấy  A  9; 0; 0    P   
d  ( P); (Q)   d  A; (Q)  

2.9  3.0  6.0  10
2

2

2 3 6

2

 4.  

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho hai mặt phẳng   P  : 2 x  2 y  z  11  0  
và   Q  : 2 x  2 y  z  4  0 . Tính khoảng cách  d giữa hai mặt phẳng   P   và   Q  . 
A.  d  3.  

B.  d  5.  

C.  d  7.  

D.  d  9.  

 
Lấy  A  2; 0; 0    Q   
d  ( P); (Q)   d  A; (P)  

2.( 2)  3.0  6.0  11
22  22  12

 5.  

 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 72


7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu

 

 Dạng 116. Bài toán về góc
 
Câu 17.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  ba  điểm  A  1; 0; 0  , B  0; 1; 0  ,  
C  0; 0; 1 , D  2; 1; 1 .  Tính góc giữa hai đường thẳng  AB  và  CD . 

A.  450 . 

B.  600 . 

C.  900 . 
D.  1350 . 
Lời giải tham khảo 
 
AB.CD
 
2
Vì   cos  AB, CD   cos AB, CD    
  AB, CD   450  
2
AB . CD





Câu 18. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  bốn  điểm  A  3; 2; 6  , B  3; 1, 0  ,  
C  0, 7, 0  , D  2,1; 1 .  Gọi   d   là đường thẳng đi qua hai điểm  A , D  và    là góc giữa 

 d   và   ABC  . Tính  sin . 
A.  sin 

5
. 
2

B.  sin 

10
10
. 
C.  sin 
. 
8
5
Lời giải tham khảo 

D.  sin 

10
. 
2



BA  (0; 3; 6); BC  ( 3; 6; 3)
 1  
 
Vtpt , mp( ABC ) : n   BA , BC   (5, 2,1)


9
 
Ta có  a  AD   5; 1; 7   là vtcp của đường thẳng  AD  

Gọi    là góc giữa đường thẳng  AD  và mp  ABC  ,   00    90 0  

a.n
25  2  7
10

Khi đó:  sin    
. 
5
75 30
a n
-

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho mặt phẳng   P  : x  2 y  z  5  0  và 
đường thẳng   d  :

x3 y1 z3


.  Tính góc    giữa đường thẳng   d   và mặt phẳng 
2
1
1

 P  . 

A.   45o.  

B.    30o.  
C.    60o.  
Lời giải tham khảo 

D.    120o.  

 
Gọi vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của   P   và   d   lần lượt là  n, u.  Góc giữa   d   

n.u
và   P   được tính theo công thức  cos     .  
n.u
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 73


7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu

 Dạng 117. Bài toán về hình chiếu
 
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho điểm  A  1; 1; 1  và đường thẳng  
 x  6  4t


           d :  y  2  t . Tìm tọa độ hình chiếu  H  của điểm  A  lên đường thẳng  d . 
 z  1  2t


A.  2; 3; 1 .  

B.   2;3;1 .  

C.   2; 3;1 .  

D.   2;3;1 .  

Lời giải tham khảo 
Gọi  H  là hình chiếu của  A  lên  d .  H  6  4t ; 2  t ; 1  2t   


AH   5  4t ; 3  t ; 2  2t  ; ud   4; 1; 2   

 
AH  d  AH.ud  0  4(5  4t )  1( 3  t )  2( 2  2t )  0  t  1    H (2; 3; 1)  
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho điểm  A  3; 2; 5  và đường thẳng  
 x  8  4t

         d  :  y  5  2t . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc  H  của điểm  A  lên đường thẳng 
z  t


 d  . 
A.   4; 1; 3  . 

B.   4; 1; 3  . 

C.   4; 1; 3  . 

  D.   4; 1; 3  . 

Lời giải tham khảo 
Giải hệ gồm PT đường thẳng   d   và PT mp   P  . Ta được tọa độ hình chiếu. 
x  1  t

Câu 22. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  đường  thẳng   :  y  2   và  điểm 
z  3  t

A  1; 2; 1 .  Tìm tọa độ hình chiếu  I  của điểm  A  lên   . 

A.  I  3; 1; 2  .  

B.  I  2; 2; 2  .  

C.  I  1; 2; 1 .  

D.  I  4; 2; 1 .  

Lời giải tham khảo 
 

Gọi  I  1  t ; 2; 3  t  . Tìm  t  từ phương trình  AI .u  0 , với  u  là véc tơ chỉ phương của  .  
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho hai điểm  A  1; 2; 0  ; B  4; 1; 1 . Tính 
độ dài đường cao  OH  của tam giác  OAB . 
A. OH 

1
19

. 

B.  OH 

86
. 
19

C.  OH 

19
. 
86

D.  OH 

19
. 
2

Lời giải tham khảo 
 x  1  3t


Ta có:  AB  3; 3; 1 . PTĐT  AB  là :   y  2  3t  H 1  3t ; 2  3t ; t   OH 1  3t ; 2  3t ; t   
z  t






Vì  OH  AB  3. 1  3t   3  2  3t   t  0  t 

File word liên hệ qua

3  
19

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 74


7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu


2

2

2

 28 
 29 
 3 
86 . 

OH           
19
 19 
 19 
 19 

Câu 24.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  ba  điểm  A  1, 2, 1 , B  0, 3, 4  ,  
C  2,1, 1 .  Tính độ dài đường cao  h  từ  A  đến  BC . 

33
50
. 
C.  h  5 3 . 
D.  h 
. 
50
33
Lời giải tham khảo 
 x  2  2t

Phương trình tham số  BC :    y  1  t . Gọi  M  là hình chiếu vuông góc của  A  lên  BC . 
 z  1  5t

 
 
Nên  M  BC  và  d  A; BC   AM ; AM  BC  AM.BC  0 . 
A.  h  6 . 

B.  h 

Câu 25. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  M  2; 7; 9    và  mặt  phẳng 

 P  : x  2 y  3z  1  0 . Tìm tọa độ hình chiếu  H  của điểm  M  trên   P  . 
A.  H  2; 2; 1 .  
B.  H  1; 0; 0  .  
C.  H  1; 1; 0  .  
D.  H  4; 0; 1 .  
Lời giải tham khảo 
Phương trình đường thẳng  d  đi qua  M  và vuông góc với mặt phẳng   P   là 
x  2  t

d :  y  7  2t   
 z  9  3t


Toạ độ hình chiếu vuông góc của  M  trên mặt phẳng   P   là nghiệm hệ 

 x  2 y  3z  1  0
 x  1

x  2  t

  y  1  H  4; 0; 1 .   

 y  7  2t

z  0
 z  9  3t
Câu 26. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,    cho  điểm  A  1; 2; 3    và  mặt  phẳng 

 P  : 2 x  2 y  z  9  0.  Tìm tọa độ điểm  A’  đối xứng với  A  qua mặt phẳng   P  . 
A. A  7; 6; 1 . 
B.  A  6; 7; 1 . 
C.  A  7; 6; 1 . 
D.  A  6; 7; 1 . 
Lời giải tham khảo 
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H  của  A  lên mặt phẳng   P  .  
Điểm  H  là trung điểm của  AA . 
Câu 27. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  A  2; 1; 1   và  mặt  phẳng 

 P  : 16 x  12 y  15z  4  0 .  Gọi  H   là  hình  chiếu  vuông  góc  của  A  2; 1; 1   lên  mặt 
phẳng   P  . Tính độ dài đoạn  AH . 
A.  AH 

11
. 
25

File word liên hệ qua

B.  AH 

11
22
. 
C.  AH 
. 
5
25
Lời giải tham khảo 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D.  AH 

22
. 
5

[ Nguyễn Văn Lực ] | 75


7E. Khoảng cách – Góc – Hình chiếu

AH  d  A ,( P)  

16.2  ( 12)( 1)  ( 15)( 1)  4
2

2

16  12  15

2



11
.
5

Câu 28. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  bốn  điểm  A  2; 3; 1 , B  1; 1; 1 ,
C  2; 1; 0   và  D  0; 1; 2  . Tìm tọa độ chân đường cao  H  của tứ diện  ABCD  xuất phát  từ 

đỉnh  A . 
A.  H  2; 1; 0  . 

B.  H  1; 2; 1 . 

C. H  1; 1; 2  . 

D.  H  2; 1; 1 . 

Lời giải tham khảo 
Viết phương trình mặt phẳng   BCD   và đường thẳng  AH  từ đó tìm được giao điểm  H . 
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz ,  cho mặt phẳng   P  : 2 x  y  z  1  0  và 
hai điểm  A  1; 3; 2  , B  9; 4; 9  .  Tìm tọa  độ  điểm  M  trên   P   sao  cho   MA  MB    đạt 
giá trị nhỏ nhất. 
A.  M  1; 2; 3  . 

B.  M  1; 2; 3  . 

C.  M  1; 2; 3  . 

D.  M  1; 2; 3  . 

Lời giải tham khảo 
Ta có  A , B  nằm cùng phía đối với mặt phẳng   P   
Gọi  A’  là điểm đối xứng của  A  qua   P  , ta có:  MA ’  MA  
Do  đó  MA  MB  MA ' MB  A ' B  min( MA  MB)  A ' B   khi  M   là  giao  điểm  của 

A ’B  và   P  . 

 x  3  12t

+ Tìm được  A’  3; 1; 0  .  Phương trình đường thẳng  AB :  y  1  3t  
 z  9t


+  M  1; 2; 3  . 
Câu 30. Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,    cho  hai  đường  thẳng  d1 :

x y z
    và 
1 1 2

x 1 y z 1
 
.  Tìm  tọa  độ  điểm  M  d1 và  N  d2   sao  cho  đoạn  thẳng  MN   ngắn 
2
1
1
nhất. 
 3 3 6 
 69 17 18 
 3 3 6 
 69 17 18 
A.  M  ; ;  , N  ;
;  . 
B. M  ; ;  , N 
;

;  . 
 35 35 35 
 35 35 35 
 35 35 35 
 35 35 35 
d2 :

 3 3 6 
 69 17 18 
3 3 6
 69 17 18 
C.  M  ; ;  , N  ; ;  . 
D.  M  ; ;  , N  ;
;  . 
 35 35 35 
 35 35 35 
5 5 5
 5 5 5 
Lời giải tham khảo 
M  d1  M  t ; t ; 2t   và  N  d2  N  1  2t '; t '; 1  t '   
MN  ngắn nhất   MN là đoạn vuông góc chung của  d1 và  d2  


3
t
t  6t '  3

35   M  3 ; 3 ; 6  , N  69 ; 17 ; 18  . 



 35 35 35 
 35 35 35 




6t  t '  1
t '  17

35
File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 76