Tổng hợp kiến thức về số phức và các ví dụ ôn thi THPT quốc gia môn toán

SỐ PHỨC
BÀI 1: SỐ PHỨC
I.

Khái niệm số phức

1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = -1. Kí hiệu số
phức đó là z và viết z = a + bi.
•
i: đơn vị ảo.
•
a: phần thực.
•
b: phần ảo.

Chú ý:
•
z = a + 0i (b = 0) = a được gọi là số thực (a ∈ ¡ ⊂ £ ) .
•
z = 0 + bi = bi (a = 0) được gọi là số ảo(số thuần ảo) và i = 0 + 1i được gọi là đơn vị ảo.
•
0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau
1) z = 2 + 3i , z = -i
2)
z = -3 + 2i 2 , z = -i3.
a = a '
2. Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z’ = a’ + b’i ( ( a ', b ' ∈ ¡ ) ) gọi là bằng nhau nếu 
. Khi đó ta viết z
b = b '
= z’.

Ví dụ: Tìm các số thực x và y, biết: (2x +1) + (3y - 2)i = (x + 2) + (y + 4)i

II. Biểu diễn hình học số phức

Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) trong mặt phẳng
tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) (hình vẽ)
y
•
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0
•
Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn các số thực
•
Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn các số ảo
b
M
Ví dụ: Biểu diễn hình học các số phức
r
z
A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(-3 – 3i), D(3i)
u (a; b)
E(-2i), F(4).
0
a
x

III. Phép cộng và phép trừ số phức

Cho hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z’ = a’ + b’i ( ( a ', b ' ∈ ¡ ) ). Ta có:
1) Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i
2) Trừ hai số phức: z – z’ = z + (-z’) = (a – a’) + (b – b’)i


Chú ý:
•
Phép cộng, trừ số phức có các tính chất tương tự như phép cộng, trừ số thực (kết hợp,
giao hoán).
•
Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi
3)
hình học của phép cộng và phép
uuuu
rÝ nghĩa
r
uuutrừ
uu
r sốr phức:
OM = u (a; b) biểu diễn số phức z = a + bi, OM ' = u '(a; b) biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i thì
r ur
•
u + u ' biểu diễn số phức z + z’.
r ur
•
u − u ' biểu diễn số phức z - z’.
Ví dụ: Tính tổng và hiệu hai số phức: (3 + i) và (2 – 3i), (1 – 2i) và (2 + 2i), (2 – 2i) và (-2 + 3i).


IV. Phép nhân số phức

Tích của hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z’ = a’ + b’i ( ( a ', b ' ∈ ¡ ) ) là số phức
zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i


Chú ý: Phép nhân số phức có các tính chất tương tự như phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán
và phân phối).
Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i),

V. Số phức liên hợp và môđun của số phức:

1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) là z = a − bi . Như vậy:

z = a + bi = a − bi
Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau 2 + 3i, - 4 Chú ý:


•

2i , i, -i

Hai số phức liên hợp ⇔ các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục thực

Ox.
•
•
•

z = z.
z + z ' = z + z '.
z.z ' = z.z ' .
2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) là số thực không âm
hiệu là |z| (không phải trị tuyệt đối). Như vậy:

a 2 + b 2 và được kí

z = a 2 + b2
Chú ý:


•

uuuu
r
z = z.z = a 2 + b 2 = OM

•

z ≥ 0∀z ∈ £ và |z| = 0 ⇔ z = 0 .

•

z.z ' = z z ' , z + z ' ≤ z + z ' ∀z , z ' ∈ £ .

Ví dụ: Tính môđun của các số phức sau 2 + 3i, -4 -

2i , i, -i

VI. Phép chia cho số phức khác 0.
−1
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z =




1
z

2

.z .

z'
của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’
z
z ' z '.z
z'
= 2 .
= z '.z −1 . Như vậy: Nếu z ≠ 0 thì
với số nghịch đảo của z là
z
z
z
Thương

Chú ý:


•

Với z ≠ 0 , ta có

•

Để tính

•

1
= 1.z −1 = z −1 .
z

z'
ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với z (nhân lượng liên hợp).
z
z'
z'
 z' z' z'
=
Với z ≠ 0 ,
= ω ⇔ z ' = ω.z và  ÷ = ,
.
z
z
z z z


3 − i 2 + 2i 1
1
;
;
;
Ví dụ: Tính 1 + i 2 − 2i 2 − 3i 1
3
−

i
2 2

Bài tập:
1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

h)

Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau:
(4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i).
(1 + i)2 – (1 - i)2.
(2 + i)3 – (3 - i)3.
(i + 1)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. (CĐ – 2009 )
3 −i
2 +i
.
−
1+ i
i
1 7 1
 i − 7 ÷.
2i 
i 

3 − i 2 + 2i 1
1
;
;
;
1 + i 2 − 2i 2 − 3i 1
3
−
i
2 2
33
1
1+ i 
10

÷ + (1 − i ) + (2 + 3i )(2 − 3i) + .
i
 1− i 

i) 1 + ( 1 + i ) + (1 + i ) 2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i ) 2010 .
2

j)
2)
a)
b)
3)
a)
b)
c)

d)
e)
f)
4)
a)
b)
c)
d)
e)

1 + i + i 2 + ... + i 2010
i + 2i + 3i + ... + 2010i
Cho số phức z = x + iy ( x, y ∈ ¡ ) . Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau:
z2 – 2z + 4i.
z+i
.
iz − 1
Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun,
số phức đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
z1 + z2 + z3 .
z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .
z1 z2 z3 .
z12 + z22 + z32
z1 z2 z3
+ + .
z2 z3 z1
z12 + z2 2
z2 2 + z32
Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
2+i

−1 + 3i
z=
.
1− i
2+i
1
( 2 + i ) z + 3 + i   iz + ÷ = 0 .


2i 
z + 2 z = 2 − 4i .
z2 + z = 0 .
z2 + z = 0 .


f)

2

z2 + z = 0

5) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:

z −1
z − 3i
= 1 và
= 1.
z −i
z +i

4

 z+i 
6) Tìm số phức z thỏa mãn: 
÷ = 1.
 z −i 
7) Tìm số phức z thỏa mãn: z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25 (ĐHKB – 2009)
8) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z + z + 3 = 4 .
b) z − z + 1 − i = 2 .
c)

z − (3 − 4i ) = 2 . (ĐHKD – 2009)

d)

( 2 − z ) (i + z ) là số thực tùy ý, ( 2 − z ) (i + z ) là số ảo tùy ý.

e) 2 z − i = z − z + 2i .
f)

z 2 − ( z )2 = 4 .

BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
I. Căn bậc hai của số phức.

Định nghĩa: Cho số phức ω . Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = ω được gọi là một căn bậc hai của ω .
Trường hợp ω là số thực:
ω = a = 0. Có đúng một căn bậc hai là 0.
ω = a khác 0.

• a > 0: ω có hai căn bậc hai là ± a .
• a < 0: ω có hai căn bậc hai là ± −a .i
2) Trường hợp ω = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , b khác 0. z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) là căn bậc hai của ω khi và chỉ khi

1)
a)
b)

 x2 − y2 = a
. Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z của số

 2 xy = b
phức ω .
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1) -1, -i2, - 5 + 12i, i.
2) −1 + 4 3i , 4 + 6 5i , −1 − 2 6i

II. Phương trình bậc hai.
Mọi phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (1) (A, B, C là số phức cho trước, A khác 0) đều có hai nghiệm
phức ( có thể trùng nhau). Việc giải phương trình được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là
những số thực. cụ thể:
Xét biệt thức ∆ = B 2 − 4 AC .
•

Nếu ∆ ≠ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 =

δ là một căn bậc hai của ∆ .
•

Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép z1 = z2 = −

−B + δ
−B − δ
, z2 =
, trong đó
2A
2A

B
.
2A


Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1) z2 – z + 1 = 0.
2) z2 + (-2 + i)z – 2i = 0.
3) z2 = z + 1.
4) z2 + 2z + 5 = 0.
5) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
6) (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0.
7) 8z2 – 4z + 1 = 0, 2z2 – iz + 1 = 0. ( TNPT – 2009 )
4 z − 3 − 7i
= z − 2i . (CĐ – 2009)
8)
z −i
2
2
9) z2 + 2z + 10 = 0 (z1 và z2 là nghiệm). Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 (ĐHKA – 2009)
10) z 2 − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = 0 .

Bài tập:
1.
1)
2)
3)
4)

Giải các phương trình sau:
z2 + z +1 = 0
( z − i )( z 2 + 1)( z 3 + i ) = 0 .
(2 + 3i)z = z – 1.
(1 + i ) z 2 = −1 + 7i .

5)

(z

6)

( z + 3 − i)

2

+ z ) + 4 ( z 2 + z ) − 12 = 0 .
2

2

− 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0 .

2

iz + 3
 iz + 3 
7) 
−4 = 0.
÷ − 3.
z − 2i
 z − 2i 
8)

(z

9)

z − 2 z = 3 − 4i .

2

+ 1) + ( z + 3) = 0 .
2

2

10) z + z = 3 + 4i .
11) z 3 = 2 + 11i, z = x + yi ( x, y ∈ ¢ )
12) iz 2 + (1 + 2i ) z + 1 = 0 .
13) z 4 + 6(1 + i ) z 2 + 5 + 6i = 0 .
14) (1 + i ) z 2 + 2 + 11i = 0 .
2. Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

3. Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm.
4. Tìm các số thực a, b, c để phương trình z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm.
5. Giải phương trình z 3 − 2(i + 1) z 2 + 3iz + 1 − i = 0 .
6. Giải phương trình 2 z 3 − 9 z 2 + 14 z − 5 = 0 .
7. z 4 − 4 z 2 − 16 z − 16 = 0 (có nghiệm z2 – 2z – 4 = 0).
8. z 4 + 2 z 3 − z 2 + 2 z + 1 = 0 .
z2
4
3
9. z − z + + z + 1 = 0 .
2
10. ( z 2 + 3 z + 6 ) + 2 z ( z 2 + 3 z + 6 ) − 3z 2 = 0 .
2

 z1 + z2 = 4 + i
 z1 z2 = −5 − 5i
11. Giải hệ  2
, 2
.
2
2
 z1 + z2 = 5 − 2i  z1 + z2 = −5 + 2i