Khóa luận tốt nghiệp giới thiệu sơ lược về phương trình laplace và phương trình poisson

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC
VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ PHƯƠNG TRÌNH POISSON

Giảng viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN THÀNH CHUNG
Sinh viên thực hiện đề tài: THÁI QUANG LỢI
Lớp ĐHSP Toán K55

Quảng Bình, năm 2017


Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết định tính của phương
trình Laplace và phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Hàm điều hòa. Biểu diễn Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Các bài toán biên cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm . . . . . . . . 14
1.5. Bài toán Dirichlet trong hình cầu. Công thức Poisson . . . . . . 16
1.6. Các định lý về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. Phương pháp tách biến đối với phương trình Laplace
phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Giải bài toán biên trong hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Giải bài toán biên trong hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Một số bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

và
21
21
27
31

Lời kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1


Lời mở đầu
Phương trình đạo hàm riêng là lĩnh vực mặc dù chưa được học trong
chương trình học nhưng đây là học phần rất quan trọng. Giúp sinh viên làm
quen dần với phương pháp toán học hiện đại. Lĩnh vực này có liên quan đến
nhiều bộ môn khác như: Phương pháp toán lý, điện động học, nhiệt động
học,... Việc nghiên cứu lĩnh vực nay là cơ sở để nghiên cứu các lĩnh vực
khác.
Đề tài "Giới thiệu sơ lược về phương trình laplace và phương trình poisson" vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi, thực sự có
ý nghĩa khoa học mà các nhà toán học cũng như vật lý học thường xuyên
nghiên cứu. Đây là bước đầu để ta tìm hiểu về phương trình đạo hàm riêng
cũng như ứng dụng để giải một số bài toán phương trình đạo hàm riêng.

Chính vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài "Giới thiệu sơ lược về phương trình
laplace và phương trình poisson".
Luận văn trình bày những kiến thức cô động nhất của phương trình
Laplace và phương trình Poisson. Luận văn tập trung làm rõ một số vấn
đề sau: Định nghĩa, định lý, tính chất của hàm điều hòa, các bài toán biên
cơ bản, các định lý về sự hội tụ, bài toán Dirichlet trong hình cầu, công thức
Poisson, phương pháp tách biến để giải bài toán biên trong miền hình chữ
nhật và trong miền tròn.
Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương :
• Chương 1. Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết định tính của phương
2


trình Laplace và phương trình Poisson.
• Chương 2. Phương pháp tách biến đối với phương trình Laplace và
phương trình Poisson.
Do thời gian thực hiện không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm
bài luận văn không tránh khỏi những hạn chế. Chúng tôi mong nhận được
sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.

3


Các ký hiệu
- C p (Ω): là tập hợp các hàm liên tục và khả vi đến cấp p.
- ν = (ν1 , ν2 , .....): là vecto pháp tuyến tại các điểm.
-infΩ u: là cận dưới đúng của hàm u trên tập Ω.
-supΩ u: là cận trên đúng của hàm u trên tập Ω.
-∂ Ω: là biên của tập Ω.
-∆u = u”xx + u”yy .

-maxΩ u: là giá trị lớn nhất của hàm u trên tập Ω.
-minΩ u: là giá trị nhỏ nhất của hàm u trên tập Ω.
ex + e−x
-sinh x =
.
2

4


Chương 1

Một số vấn đề cơ bản về lý
thuyết định tính của phương
trình Laplace và phương
trình Poisson
1.1. Hàm điều hòa. Biểu diễn Green
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Ω là một miền trong Rn , còn u là hàm thuộc lớp
C2 (Ω). Hàm u(x) thỏa mãn phương trình Laplace
∆u = 0

(1.1.1)

với mọi x ∈ Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω.
Dạng không thuần nhất của phương trình Laplace được gọi là phương
trình Poison. Nghiệm của phương trình Poison trong miền Ω là hàm u(x) ∈
C2 (Ω) sao cho: ∆u = f (x) với bất kì x ∈ Ω.
5

Giả sử Ω ⊆ Rn với biên ∂ Ω ∈ B1 và u(x), v(x) ∈ C2 (Ω) ∩C1 (Ω) ta có

Ω

∂ 2u
v 2 dx = −
∂xj

∂v ∂u
dx +
∂xj ∂xj

Ω

v

∂Ω

∂u
ν j ds.
∂xj

(1.1.2)

Lấy tổng đẳng thức trên theo j từ 1 đến n ta nhận được công thức Green
thứ nhất như sau
n

v∆udx = −
Ω

Ω

∂v ∂u

∑ ∂ x j ∂ x j dx +

j =1

v

∂u
ds.
∂ν

(1.1.3)

u

∂v
ds.
∂ν

(1.1.4)

∂Ω

Tương tự ta cũng có:
n

u∆vdx = −
Ω

Ω

∂u ∂v

∑ ∂ x j ∂ x j dx +

j =1

∂Ω

Trừ vế theo vế ta được công thức Green thứ hai:

(v∆u − u∆v)dx =
Ω

(v
∂Ω

∂u
∂v
− u )ds.
∂ν
∂ν

(1.1.5)

Ví dụ 1.1.1

Gọi ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn . Với mỗi ξ ∈ Rn , hàm
Γ(x − ξ ) xác định bởi
1
|x − ξ |2−n ,
Γ(x − ξ ) = Γ(|x − ξ |) := n(2 − n)ωn

 1 ln|x − ξ |,
2π




n>2
n = 2.
(1.1.6)

là hàm điều hòa tai ∀x ∈ Rn \{ξ } và là nghiệm cơ bản của phương trình
Laplace.
Với mỗi ξ ∈ Ω cố định. Ta muốn áp dụng công thức Green thứ hai với
hàm v(x) = Γ(x − ξ ) và hàm u(x). Nhưng do v(x) không xác định tại x = ξ

6


nên chúng ta khắc phục bằng cách áp dụng công thức đó trên Ω1 = Ω\Bρ
với Bρ = Bρ (ξ ) và ρ đủ nhỏ, rồi cho qua giới hạn khi ρ → 0. Khi đó:

[Γ∆u − u∆Γ] dx =
Ω1

Γ
∂ Ω1

∂Γ
∂u
−u
ds.
∂ν
∂ν

(1.1.7)

Vì Γ là hàm điều hòa trong Ω1 nên ∆Γ = 0 từ đó ta có:
Γ∆udx =
Ω1

Γ
∂Ω

∂u
∂Γ
−u
ds +
∂ν
∂ν

Γ

∂u
∂Γ

−u
ds.
∂ν
∂ν

(1.1.8)

∂ Bρ

Áp dụng tích phân từng phần (vì u và Γ là hai hàm điều hòa trên Ω1 nên
∆u = 0 và ∆Γ = 0)
Γ

∂u
ds = Γ(ρ )
∂ν

∂ Bρ

∂u
∂u
→ 0,
ds ≤ |Γ(ρ )| nωn ρ n−1 max
∂ν
∂ν

∂ Bρ

(1.1.9)
và

u

∂Γ
ds = −Γ (ρ )
∂ν

∂ Bρ

uds = −u(xρ ) → −u(ξ )

(1.1.10)

∂ Bρ

khi ρ → 0, xρ ∂ Bρ . Từ đó ta nhận được biểu diễn tích phân của u tại ξ ∈ Ω:
u(ξ ) =

u
∂Ω

∂Γ
∂u
(x − ξ ) − Γ (x − ξ )
∂ν
∂ν

Γ∆udx

ds +

(1.1.11)

Ω

Nếu u là hàm điều hòa trong Ω thì ∆u = 0 trong Ω nên
u(ξ ) =

u
∂Ω

∂Γ
∂u
(x − ξ ) − Γ (x − ξ )
∂ν
∂ν

ds.

(1.1.12)

Công thức này là công thức Green biểu diễn hàm điều hòa thuộc lớp
C2 (Ω). Công thức này cho phép ta tính được giá trị của hàm u điều hòa
trong Ω tại điểm ξ ∈ Ω theo các giá trị của đạo hàm vecto pháp tuyến ngoài
∂u
trên biên ∂ Ω.
∂ν
7


Bởi vì trong công thức trên các hàm dưới dấu tích phân là khả vi vô hạn,

hơn nữa giải tích theo ξ nên hàm u(ξ ) cũng khả vi vô hạn và giải tích trong
Ω.
Định nghĩa 1.1.2. Tích phân dạng
a0 (x) |x − ξ |2−n dx,

u0 ( ξ ) =

n > 2,

Ω

được gọi là thế vị khối hay thế vị Newton với mật độ a0 (x) trong Ω.
Tích phân dạng
a1 (x) |x − ξ |2−n ds,

u1 (ξ ) =

n > 2,

∂Ω

được gọi là thế vị lớp đơn với mật độ a1 (x) trên ∂ Ω.
Còn tích phân dạng
u2 (ξ ) =
∂Ω

∂ |x − ξ |2−n
ds,
a2 (x)
∂ν

n > 2,

được gọi là thế vị lớp kép với mật độ a2 (x) trên ∂ Ω. Trong trường hợp n = 2
ta cũng có các định nghĩa thế vị Newton hay logarit và các thế vị lớp đơn,
thế vị lớp kép. Khi đó trong các công thức chỉ cần thay |x − ξ |2−n bằng
−ln |x − ξ |.
Về ý nghĩa vật lý, gradien của thế vị Newton xác định cường độ của
trường tĩnh điện trong R3 \∂ Ω được tạo thành bởi điện tích phân bố trong
Ω với mật độ a0 (x). Thế vị lớp đơn là thế vị trường tĩnh điện trong R3 \∂ Ω
được sinh ra bởi điện tích phân bố trên ∂ Ω với mật độ a1 (x). Gradient của
thế vị lớp kép xác định cường độ của trường tĩnh điện được gây ra bởi ngẫu
cực phân bố trên ∂ Ω với mật độ mặt a2 (x).
Bởi vì |x − ξ |2−n là hàm khả vi vô hạn theo x và ξ khi x = ξ nên
a1 ∆ |x − ξ |2−n ds = 0,

∆u1 =
∂Ω

8


∆u2 =

a2
∂Ω

∂
∆ |x − ξ |2−n ds = 0.
∂ν

Do đó các hàm u1 (ξ ) và u2 (ξ ) là các hàm điều hòa trong Rn \∂ Ω
nếu a1 , a2 ∈ C0 (∂ Ω). Như vậy các tích phân u1 (ξ ), u2 (ξ ) xác định hai họ
nghiệm của phương trinh Laplace trong miền Ω. Và ta cũng nhận được thế
vị Newton là hàm điều hòa trong Rn \(Ω) nếu a0 (x) ∈ C0 (Ω).
Tiếp theo ta điều chỉnh công thức để được công thức tổng quát hơn. Giả
thiết h ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω)và thỏa mãn ∆h = 0 trong Ω. Khi đó nhờ công
thức Green thứ hai ta nhận được:
−

u

∂Ω

∂u
∂h
−h
∂ν
∂ν

ds =

h∆udx.
Ω

Cộng đẳng thức này với (1.1.11) và đặt G = Γ + h, ta nhận được:
u(ξ ) =

u
∂Ω

∂G
∂u
−G
∂ν
∂ν

ds +

G∆udx.
Ω

Nếu bổ sung G = 0 trên ∂ Ω thì
u(ξ ) =

u
∂Ω

∂G
ds +
∂ν

G∆udx.

(1.1.13)

Ω

Nếu giả thiết u là hàm điều hòa trong Ω thì
u(ξ ) =

u
∂Ω

∂G
ds.
∂ν

(1.1.14)

Hàm G = G(x, ξ ) như thế được gọi là hàm Green (của bài toán Dirichlet)
đối với miền Ω. Như vậy tồn tại được một hàm Green kéo theo khả năng
biểu diễn được một hàm điều hòa bất kỳ thuộc h ∈ C2 (Ω) ∩C1 (Ω) qua các
giá trị biên.

9


1.2. Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa
Định lý 1.2.1. (Định lý giá trị trung bình)
Giả sử hàm u ∈ C2 (Ω) thỏa mãn hệ thức ∆u = 0(∆u ≥ 0, ∆u ≤ 0) trong
Ω. Khi đó đối với hình cầu bất kỳ B = BR (ξ ) ⊂⊂ Ω ta có các đẳng thức
(bất đẳng thức)
u(ξ ) = (≤, ≥)

1
nωn Rn−1

u(ξ ) = (≤, ≥)

1
ωn Rn

(1.2.15)

uds,
∂B

(1.2.16)

uds,
B

trong đó ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn .
Chứng minh. Giả sử ρ ∈ (0, R). Áp dụng công thức Green thứ nhất với
Ω = Bρ = Bρ (ξ ) và v ≡ 1 ta có
∂u
ds =
∂ν
∂ Bρ

∆udx = (≥, ≤)0.
Bρ

Mặt khác, ký hiệu ρ = |x − ξ | , ω =

x−ξ
và biểu diễn u(x) = u(ξ +
ρ

ρω ) ta có:
∂u
ds =
∂ν
∂ Bρ

∂u
(ξ + ρω )ds = ρ n−1
∂ν

∂u
(ξ + ρω )dω
∂ρ

|ω|=1

∂ Bρ



= ρ n−1

∂
∂ρ

u(ξ + ρω )dω = ρ n−1
|ω|=1



∂  1−n
ρ
∂ρ
∂ Bρ

Do đó với bất kì ρ ∈ (0, R) ta có
ρ 1−n

uds = (≥, ≤)R1−n

∂ Bρ

∂ BR

10

uds.


uds = (≥, ≤)0.


Mặt khác
lim ρ 1−n

uds = nωn u(ξ ).

ρ→0
∂ Bρ

Từ đó ta có được hệ thức (1.2.15). Từ hệ thức (1.2.15) ta có
nωn ρ n−1 = (≤, ≥)

ρ ≤ R.

uds,

∂ Bρ

Lấy tích phân hai vế hệ thức này theo ρ từ 0 đến R ta được hệ thức
(1.2.16).
Định lý 1.2.2. (Nguyên lý cực trị mạnh)
Giả sử u ∈ C2 (Ω), ∆u = 0(≤ 0) trong Ω và tồn tại điểm ξ ∈ ∂ Ω sao
cho u(ξ ) = supΩ u(infΩ u). Khi đó hàm u là hằng số. Đặc biệt một hàm
điều hòa khác hằng số không thể đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại các
điểm trong của miền Ω.
Chứng minh. Giả sử ∆u ≥ 0 trong Ω, M = sup u.
Ω

Ký hiêu ΩM = {x ∈ Ω : u(x) = M}. Từ giả thiết của Định lý 1.2.2 rút ra
ΩM = ∅. Mặt khác u là hàm liên tục trong Ω, nên ΩM là tập đóng trong Ω.
Giả sử z là một điểm tùy ý trong ΩM . Áp dụng bất đẳng thức (1.2.16) cho
hàm điều hòa u − M trong hình cầu B = BR (z) ⊂⊂ Ω, ta có kết quả:
0 = u(z) − M ≤

1
ωn Rn

(u − M )ds ≤ 0.
B

Tức là u = M trong BR (z). Do đó ΩM cũng là tập mở trong Ω. Như vậy
ΩM = Ω. Điều nầy khẳng định của định lý đối với trường hợp ∆u ≤ 0 nhận
được từ điều khẳng định đã được chứng minh khi thay u bằng −u.
Định lý 1.2.3. (Nguyên lý cực trị trên miền bị chặn)
Giả sử Ω là một miền bị chặn và ∆u = 0 trên Ω, u ∈ C2 (Ω) ∩ C0 (Ω).
Khi đó
inf u ≤ u(x) ≤ sup u,
∀x ∈ Ω.
∂Ω

∂Ω

11


Hệ quả 1.2.1. Giả sử các hàm u, v ∈ C2 (Ω) ∩C0 (Ω) và thỏa mãn các đẳng
thức ∆u = ∆v trong Ω, u = v trên ∂ Ω. Khi đó u = v trong Ω.
Chứng minh. Đặt ω = u − v. Khi đó ∆ω = 0 trong Ω và ω = 0 trên ∂ Ω.
Do định lý 1.2.3 ta nhận được ω = 0 trong Ω tức là u = v trong Ω.
Hệ quả 1.2.2. Giả sử các hàm u ∈ C2 (Ω) ∩ C0 (Ω) và ∆u ≥ 0(∆u ≤ 0)
trong Ω. Khi đó
sup u = sup u
Ω

(inf u = inf u).
Ω

∂Ω

∂Ω

Định lý 1.2.4. (Bất đẳng thức Harnack)
Giả sử u là môt hàm điều hòa không âm trong miền Ω. Khi đó đối với
một miền con bị chặn bất kì Ω là tập con compact trong Ω tồn tại một hằng
số C chỉ phụ thuộc vào n, Ω và Ω sao cho
sup u ≤ C inf u.
Ω

Ω

Chứng minh. Giả sử y ∈ Ω, B4R (y) ⊂ Ω. Từ hệ thức (1.2.16) đối với hai
điểm bất kì x1 , x2 ∈ BR (y) ta nhận được
u(x1 ) =

u ( x1 ) =

1
ωn Rn

1
ωn (3R)n

uds ≤
BR (x1 )

uds ≥
B3R (x1 )

1

ωn Rn

uds,
B2R (y)

1
ωn (3R)n

uds.
B2R (y)

Từ đó ta có
BR (y)u ≤ 3n inf u.
BR ( y )

(1.2.17)

Giả sử Ω là tập con compact trong Ω. Ta chọn điểm x1 , x2 ∈ Ω sao cho
u(x1 ) = sup u, u(x2 ) = inf u. Giả sử l ⊂ Ω là cung đóng nối x1 và x2 . Lấy
Ω

Ω

số dương R sao cho 4R < dist (l, ∂ Ω). Do định lý Heine-Borel cung l có thể
phủ bởi một số N hữu hạn các hình cầu bán kính R.

12


Áp dụng bất đẳng thức (1.2.17) vào mỗi hình cầu và kết hợp chúng lại,

ta nhận được u(x1 ) ≤ 3nN u(x2 ). Như vậy bất đẳng thức nhận được
sup u ≤ 3nN inf u.
Ω

Ω

Định lý 1.2.5. Giả sử B = BR (y) là hình cầu tâm y bán kính R. Giả sử
u ∈ C0 (R) là hàm điều hòa khác hằng số trong B và nhận gía trị nhỏ nhất
∂u
tại một điểm x0 ∈ ∂ B. Nếu tại điểm x0 tồn tại dạo hàm
, ở đây µ là hướng
∂µ
tạo với pháp vectơ ngoài tới ∂ B một góc nhọn, thì
∂u
(x0 ) < 0.
∂µ

(1.2.18)

Định lý 1.2.6. Giả sử Ω là miền bị chăn và u ∈ C1 (R) là hàm điều hòa
trong Ω, ∂ Ω ∈ B1 . Khi đó

∂Ω

∂u
ds = 0.
∂ν

(1.2.19)

1.3. Các bài toán biên cơ bản
Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn . Ta xét các bài toán biên cơ bản đối
với phương trình Laplace và phương trình Poison sau:
1/ Bài toán biên thứ nhất (Bài toán Dirichlet): là bài toán tìm hàm điều
hòa u trong Ω thuộc lớp C2 (Ω) ∩C1 (Ω) và thỏa mãn điều kiện biên
u|∂ Ω = ψ,

(1.3.20)

ở đây ψ là hàm liên tục đã cho trên ∂ Ω.
2/ Bài toán biên thứ hai (Bài toán Newmann): là bài toán tìm hàm điều
hòa u trong Ω sao cho C2 (Ω) ∩C1 (Ω)và thỏa mãn điều kiện biên
∂u
| = ψ,
∂ν ∂Ω
13

(1.3.21)


ở đây ψ là hàm liên tục đã cho trên ∂ Ω và

∂u
là đạo hàm theo hướng pháp
∂ν

vecto ngoài tới ∂ Ω.
3/ Bài toán biên thứ ba (Bài toán biên hỗn hợp): là bài toán tìm hàm điều
hòa u trong Ω thuộc lớp C2 (Ω) ∩C1 (Ω) và thỏa mãn điều kiện biên
∂u

+ au |∂ Ω = ψ,
∂ν

(1.3.22)

ở đây a và ψ là hàm đã cho trên ∂ Ω.

1.4. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của
nghiệm
Định lý 1.4.1. Giả sử u là hàm điều hòa trong Ω thuộc lớp C0 (Ω) và
u|∂ Ω = ψ. Khi đó đối với bất kì điểm x ∈ Ω,
|u(x)| ≤ max |ψ|.
∂Ω

(1.4.23)

Do đó, bài toán biên thứ nhất (1.3.20) có không quá một nghiệm trong
C (Ω) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu biên ψ.
Chứng minh. Từ nguyên lý cực trị của hàm điều hòa ta nhận được
min u ≤ u(x) ≤ max u, x ∈ Ω.
∂Ω

∂Ω

Từ đó có ước lượng (1.4.23).
Nếu u1 và u2 là các hàm điều hòa trong Ω thuộc lớp C0 (Ω), u1 |∂ Ω = ψ1 ,
u2 |∂ Ω = ψ2 . thì từ Định lý 1.4.1 ta có
|u1 (x) − u2 (x)| ≤ max |ψ1 − ψ2 |, x ∈ Ω.
∂Ω

Từ bất đẳng thức này suy ra u1 ≡ u2 nếu ψ1 = ψ2 trên ∂ Ω hoặc
|u1 (x) − u2 (x)| < ε, x ∈ Ω,
14


nếu |ψ1 − ψ2 | < ε trên ∂ Ω.
Điều đó có nghĩa là bài toán biên thứ nhất (1.3.20) có không quá một
nghiệm trong C (Ω) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu biên ψ.
Định lý 1.4.2. Giả sử u là nghiệm của phương trình ∆u = f trong Ω, u ∈
C2 (Ω) ∩C0 (Ω). Khi đó đối với bất kỳ điểm x ∈ Ω
min u − M1 sup | f | ≤ u(x) ≤ max u − M1 sup | f |.
∂Ω

∂Ω

Ω

Ω

(1.4.24)

trong đó M1 là hằng số chỉ phụ thuộc vào miền Ω.
Chứng minh. Ký hiệu l = sup |x|, M = sup | f |. Đặt v(x) = (l 2 − |x|2 )/2n.
Ω

Ω

Khi đó ∆v = −1 và v ≥ 0 trong Ω. Xét hàm v1 (x) = u(x) − Mv(x) và hàm
v2 (x) = u(x) + Mv(x). Bởi vì ∆v1 = ∆u − M∆v = f + M ≥ 0 trong Ω, nên
theo hệ thức Hệ quả 1.2.2 với một điểm bất kỳ x ∈ Ω

v1 (x) ≤ max v1 (x)
∂Ω

hay
u(x) − Mv(x) ≤ max(u − Mv).
∂Ω

Do Mv ≥ 0 trong Ω ta nhận được
l2
u(x) ≤ max u + Mv(x) ≤ max u +
sup | f |.
2n Ω
∂Ω
∂Ω
Tương tự đối với ∆v2 ≤ 0 trong Ω ta có
u(x) ≥ min u − Mv(x) ≥ min u −
∂Ω

∂Ω

l2
sup | f |.
2n Ω

Như vậy hằng số M1 có thể lấy là l 2 /2n.
Từ đó nếu hàm u thỏa mãn định lý thì
l2
|u(x)| ≤ max u + Mv(x) ≤ max u +
sup | f |.
2n Ω

∂Ω
∂Ω
Từ đây rút ra tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương
trình Poisson và sự phụ thuộc liên tục của nó vào f và hàm biên.
15


Định lý 1.4.3. Giả sử ∂ Ω trơn và với mỗi điểm x0 ∈ ∂ Ω tồn tại một hình
cầu BR bán kính R sao cho x0 ∈ ∂ BR và BR ⊂ Ω. Khi đó hai nghiệm bất kì
của bài toán biên thứ hai đối với phương trình Laplace trong miền Ω chỉ có
thể sai khác một hằng số.
Chứng minh. Giả sử u1 và u2 là các hàm điều hòa trong Ω thuộc lớp C1 (Ω)
∂ u1
∂ u2
và thỏa mãn điều kiện biên
|∂ Ω = ψ,
| = ψ. Đặt u(x) = u1 (x) −
∂ν
∂ν ∂Ω
∂u
| = 0. Giả sử x0 ∂ Ω, u(x0 ) =
u2 (x), khi đó u ∈ C1 (Ω, ∆u = 0 và
∂ν ∂Ω
∂ u(x0 )
minΩ u. Nếu u = const thì từ định lý 1.2.5 ta nhận được
(x0 ) < 0.
∂µ
Điều này mâu thuẫn nên u = const.
Định lý 1.4.4. Giả sử Ω là miền thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1.4.3
∂u

và giả sử u là hàm điều hòa trong Ω thỏa mãn u ∈ C1 (Ω),
| = ψ. Khi
∂ν ∂Ω
đó tồn tại các hằng số C và M chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho đối với bất
kì điểm x ∈ Ω
|u(x) −C| ≤ M max |ψ|.
∂Ω

Định lý 1.4.5. Giả sử ∂ Ω trơn và u là hàm điều hòa trong miền Ω, u ∈
C2 (Ω) ∩C1 (Ω) và
∂u
+ au |∂ Ω = ψ, a ≥ a0 = const > 0.
∂ν
Khi đó trong Ω
|u(x)| ≤

1
max |ψ|,
a0 ∂ Ω

∀x ∈ Ω.

1.5. Bài toán Dirichlet trong hình cầu. Công thức
Poisson
Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình cầu.

16


Theo biểu diễn của hàm Green đối với hàm điều hòa, nếu ta tìm được

hàm Green của toán tử Laplace trong hình cầu thì ta sẽ có công thức biểu
diễn nghiệm của bài toán Dirichlet tương ứng. Giả sử Ω = BR = BR (0). Với
mỗi x ∈ BR , hàm Green G(x, ξ ) = Γ(λ |x − ξ |) + h(x) với h(x) là hàm điều
hòa trong BR và có giá trị trên biên ∂ BR bằng với −Γ(|x − ξ |).
Để ý rằng hàm h(x) = Γ(λ |x−η|), λ ∈ R là hàm điều hòa tại mọi x = η,
nên nếu ta chọn η ∈
/ BR thì hàm đó sẽ điều hòa trong BR , do vậy chúng ta
chỉ cần cọn hệ số λ thích hợp để h(x) = −Γ(|x − ξ |) hay |x − ξ | = λ |x − η|
khi x ∈ ∂ BR .
Việc chọn η và λ được thực hiện bằng phương pháp phản xạ (đối xứng)
qua mặt cầu ∂ BR . Cụ thể kí hiệu
 2

 R ξ,
ξ =0
(1.5.25)
ξ = |ξ |2

∞,
ξ = 0.
là điểm đối xứng với ξ qua mặt cầu ∂ BR .
Rõ ràng nếu ξ ∈ BR thì ξ ∈
/ BR nên ta có thể chon η = ξ khi đó nếu
x ∈ ∂ BR thì
|ξ |
|x − ξ |,
ξ = 0.
|x − ξ | =
R
|ξ |

Nên ta có thể chọn λ =
. Từ đây ta xác định được hàm Green như sau:
R

Γ(|x − ξ |) − Γ( |ξ | |x − ξ |),
ξ =0
R
G(x, ξ ) =
(1.5.26)

Γ(|x|) − Γ(R),
ξ = 0.
Từ đó ta có
∂G
R2 − |ξ |2
=
|x − ξ |−n ≥ 0,
∂ν
nωn R

∀x ∈ ∂ BR .

Do vậy từ biểu diễn Green, nếu u ∈ C (BR ) là hàm điều hòa trong BR thì
ta có công thức Poisson:
u(ξ ) =

R2 − |ξ |2
nωn R

uds

,
|x − ξ |n
∂ BR

17

ξ ∈ BR .

(1.5.27)


Vế phải của công thức (1.5.27) được gọi là tích phân Poisson của hàm u.
Định lý 1.5.1. Giả sử ψ là hàm liên tục trên ∂ BR khii đó hàm u xác định
bởi
 2
2
ψ (y)ds

 R − |x|
,
x ∈ BR
n
nω
R
|x
−
x|
n
u(x ) =
(1.5.28)

∂ BR


ψ (x ),
x ∈ ∂ BR .
thuộc C2 (B) ∩C (B) và thỏa mãn ∆u = 0 trong B.
Chứng minh. Dễ thấy hàm u(x) được xác định như trên là hàm điều hòa
trong B.
Áp dung công thức (1.5.27) cho hàm u = 1. Ta nhận được
K (x, y)ds = 1.
∂B

đối với x ∈ B, K là nhân Poisson
R2 − |x|2
K (x, ξ ) =
,
nωn R|x − y|n

x ∈ B, y ∈ ∂ B.

Giả sử |ψ| ≤ M trên ∂ Ω và x0 ∈ ∂ B, còn ∀ε > 0, δ > 0 sao cho |ψ (x) −
ψ (x0 )| < ε đối với |x − x0 | < δ /2. Khi đó ta có
|u(x) − u(x0 )| =

≤

∂Ω

K (x, y) [ψ (y) − ψ (x0 )] ds

K (x, y) [ψ (y) − ψ (x0 )] ds +
|y−x0 |≤δ

K (x, y) [ψ (y) − ψ (x0 )] ds

|y−x0 |>δ

δ
2M (R2 − |x|x )Rn−2
≤ε+
,
|x
−
x
|
<
.
0
(δ /2)n
2
Từ đó nếu lấy khoảng cách |x − x0 | đủ nhỏ thì |u(x) − u(x0 )| < 2ε. Do
đó u liên tục tai x0 . Vậy u ∈ C (B).

18


1.6. Các định lý về sự hội tụ
Định lý 1.6.1. Giả sử u ∈ C (Ω). Khi đó hàm u điều hòa trong Ω khi và chỉ
khi đối với hình cầu bất kỳ B = BR (y) là tập con compact Ω thực hiện được
tính chất trung bình:

u(y) =

1
nωn Rn−1

uds.

(1.6.29)

∂ BR

Chứng minh. Theo Định lý 1.5.1 đối với bất kì hình cầu B là tập con compact trong Ω, ∃h ∈ B, ∆h = 0 sao cho h = u trên ∂ B. Khi đó ω = u − h thỏa
mãn
1
ω (y) =
ωds.
nωn Rn−1
∂ BR

Từ đây ω = 0 trong B tức là u = h trong B. Do B là hình cầu bất kì thuộc
Ω nên u là hàm điều hòa trong Ω.
Giả sử u là hàm điều hòa trong Ω. Từ Định lý 1.2.1 ta có được công
thức.
Định lý 1.6.2. Giới hạn của một dãy các hàm điều hòa hội tụ là một hàm
điều hòa.
Chứng minh. Giả sử {uN } là dãy các hàm điều hòa trong miền Ω và uN →
u ∈ Ω. Ta có
1
uN ( y ) =
uN ds,

nωn Rn−1
∂ BR

đối với hình cầu bất kì B = BR (y) ⊂⊂ Ω.
Lấy giới hạn đẳng thức trên ta nhân được kết quả.
Ta có nhận xét sau: Nếu {uN } là một dãy các hàm điều hòa trong miền
bị chặn Ω với các giá trị biên {ψN } liên tục, ψN hội tụ đều trên ∂ Ω tới hàm
ψ, thì dãy {uN } hội tụ đều tới một hàm điều hòa u ∈ Ω và nhận giá trị biên
ψ (x) trên ∂ Ω.

19


Định lý 1.6.3. (Định lý Harnack về sự hội tụ) Giả sử {uN } là dãy đơn điệu
không giảm các hàm điều hòa trong Ω. Với y ∈ Ω dãy {uN (y)} vị chặn. Khi
đó dãy {uN } hội tụ đều trong miền con bị chặn bất kì Ω là tập con compact
trong Ω tới một hàm điều hòa.
Định lý 1.6.4. (ước lượng tiên nghiệm của các đạo hàm) Giả sử u là hàm
điều hòa trong Ω và u ∈ C (Ω). hơn nữa, giả sử rằng Ω1 là tập con compact
tùy ý trong Ω. Khi đó đối với α bất kì
α

sup |D u| ≤
Ω1

n|α|
d

|α|

sup u.
Ω

trong đó d = dist (Ω1 , ∂ Ω).
Định lý 1.6.5. Một dãy bị chặn bất kỳ các hàm điều hòa trong Ω chứa một
dãy con hội tụ đều trên các tập con compact của Ω tới một hàm điều hòa.

20


Chương 2

Phương pháp tách biến đối
với phương trình Laplace và
phương trình Poisson
2.1. Giải bài toán biên trong hình chữ nhật
Bài toán 1: Giải bài toán trên biên Dirichlet với phương trình Laplace
trong miền chữ nhật (0; L) × (0; M ).
uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ),

(2.1.1)

với điều kiện biên
u(x, 0) = f1 (x);

u(x, M ) = 0;

0 ≤ x ≤ L;

u(0, y) = 0;

u(L, y) = 0;

0 ≤ y ≤ M.

(2.1.2)

Ta tìm được dạng tách biến u(x, y) = X (x)Y (y) = 0. Thay vào (2.1.1) ta
nhận được:
X (x )
Y (y)
=−
.
X (x )
Y (y)
21


Do vế trái là một hàm của x vế phải là một hàm của y nên cả hai phải là
hàm hằng, đặt giá trị đó là λ ta nhận được:
X (x) − λ X (x) = 0,

(2.1.3)

Y (y) + λY (y) = 0.

(2.1.4)

Từ các điều kiện thuần nhất trong (2.1.2) ta có
X (0) = 0;

X (L) = 0;

(2.1.5)

Y (M ) = 0.

(2.1.6)


X (x) − λ X (x) = 0,
Giải bài toán:
X (0) = 0;
X (L) = 0.

√

√

Với λ > 0 thì ta có nghiệm X = C1 (e− λ x + C2 (e λ x . Vì X (0) = 0 và
X (L) = 0 nên ta có X ≡ 0. Điều này không thể xảy ra.
Với λ = 0 thì ta được nghiệm X = C1 + C2 x. Và ta cũng có X ≡ 0. Điều
này không thể xảy ra.
√
√
Với λ < 0 thì ta nhận được X = C1 cos( −λ x) + C2 sin( −λ x). Vì
X (0) = 0 và X (L) = 0 nên ta được nghiệm khác 0 ứng với các giá trị
kπ
λ = λk = −
L

là

kπx
,
L

X (x) = Xk (x) = Ak sin

2

.

k = 1, 2, 3, ...

trong đó Ak là hằng số bất kỳ.
Y (y) + λY (y) = 0,
Với λ = λk , giải bài toán
Y (M ) = 0.
kπ
Với λ = λk = −
L

2

ta được

Y (y) = Yk (y) = Bk sinh

kπ (M − y)
,

L
22

k = 1, 2, 3, ...


trong đó Bk là hằng số bất kỳ.
Như vậy ta nhận được các nghiệm:
uk (x, y) = Xk (x)Yk (y) = Ck sinh

kπx
kπ (M − y)
sin
.
L
L

với Ck là hằng số bất kỳ.
Đặt
n

∞

u(x, y) =

∑ uk (x, y) = ∑ Ck sinh

k =1

k =1

kπ (M − y)
kπx
sin
.
L
L

Ta có u cũng là nghiệm của bài toán thỏa mãn điều kiện biên.
Bây giờ ta tìm Ck để u thỏa mãn điều kiện không thuần nhất
u(x, 0) = f1 (x), 0 ≤ x ≤ L,
∞

có nghĩa là ∑ Ck sinh
k =1

Ta có Ck sinh

kπx
kπM
sin
= f 1 (x ).
L
L

kπM
là hệ số Fourier của hàm f1 (x) trên đoạn [0, L] và
L
L

kπM
2
Ck sinh
=
L
L

f1 (x) sin

kπx
dx.
L

0

Vậy nghiệm tách biến của phương trình là
∞

u(x, y) =

∞

∑ uk (x, y) = ∑ Ck sinh

k =1

k =1

kπ (M − y)
kπx

sin
.
L
L

1
2 L
kπx
trong đó Ck =
f1 (x) sin
dx.
kπM L 0
L
sinh
L
Bài toán 2: Giải bài toán trên biên Dirichlet với phương trình Laplace
trong miền chữ nhật (0; L) × (0; M ).
uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ),

23

(2.1.7)


với điều kiện biên
u(x, 0) = 0;

u(x, M ) = f2 (x);

0 ≤ x ≤ L;

u(L, y) = 0;

0 ≤ y ≤ M.

u(0, y) = 0;

(2.1.8)

Tương tự như Bài toán 1 ta tìm được nghiệm tách biến có dạng
∞

u(x, y) =

∞

∑ uk (x, y) = ∑ Ck sinh

k =1

k =1

kπy
kπx
sin
.
L
L

1

kπx
2 L
trong đó hệ số Ck =
f2 (x) sin
dx.
kπM L 0
L
sinh
L
Bài toán 3: Giải bài toán trên biên Dirichlet với phương trình Laplace
trong miền chữ nhật (0; L) × (0; M ).
uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ),

(2.1.9)

với điều kiện biên
u(x, 0) = 0;

u(x, M ) = 0;

0 ≤ x ≤ L;

u(0, y) = f3 (x);

u(L, y) = 0;

0 ≤ y ≤ M.

(2.1.10)

Ta tìm được nghiệm tách biến có dạng
∞

u(x, y) =

∞

∑ uk (x, y) = ∑ Ck sinh

k =1

k =1

kπ (L − x)
kπy
sin
.
M
M

1
2 M
kπy
trong đó hệ số Ck =
f3 (x) sin
dy.
kπL M 0
M
sinh
M

Bài toán 4: Giải bài toán trên biên Dirichlet với phương trình Laplace
trong miền chữ nhật (0; L) × (0; M ).
uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ),

(2.1.11)

với điều kiện biên
u(x, 0) = 0;
u(0, y) = 0;

u(x, M ) = 0;

0 ≤ x ≤ L;

u(L, y) = f4 (x);

0 ≤ y ≤ M.

24

(2.1.12)