Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN QUỐC VIỆT

PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN
LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 5/2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN QUỐC VIỆT

PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN
LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, 5/2017


iii

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu

5

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1
1.1.2

1.2

Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn . . . . . . 5
Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1
1.2.2

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . 16
Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . 18

Chương 2. Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất
giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu
21
2.1

2.2

Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất . . . . . . 25
2.2.1
2.2.2

2.3

Phương pháp lai ghép đường dốc nhất của Yamada 25
Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất . . 27

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


1

Bảng ký hiệu
H

không gian Hilbert thực

E
E∗

không gian Banach
không gian đối ngẫu của E

SE
R

mặt cầu đơn vị của E
tập các số thực

∀x
D(A)

với mọi x
miền xác định của ánh xạ A

R(A)

miền ảnh của ánh xạ A

I
lp , 1 < p < ∞

ánh xạ đồng nhất
không gian các dãy số khả tổng bậc p

Lp [a, b], 1 < p < ∞

không gian các hàm khả tích
bậc p trên đoạn [a, b]

d(x, C)
lim supn→∞ xn

khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C
giới hạn trên của dãy số {xn }

lim inf n→∞ xn
xn → x0

giới hạn dưới của dãy số {xn }
dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn
J

dãy {xn } hội tụ yếu về x0
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

x0

j
Fix(T )

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f


2

Mở đầu
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng
của H và F : H → H là một ánh xạ. Bài toán bất đẳng thức biến phân
cổ điển (classical variational inequality) được phát biểu như sau:
Tìm điểm p∗ ∈ C thỏa mãn:

F p∗ , p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C.

(1)

Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhà toán học người Italia, Stampacchia (xem [10] và [15]), nghiên cứu và đưa ra đầu tiên vào cuối những
năm 60 và đầu những năm 70 của thế kỷ trước. Từ đó đến nay, bất đẳng
thức biến phân luôn là một đề tài thời sự, thu hút được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu do vai trò quan trọng của bài toán trong lý
thuyết toán học cũng như trong nhiều ứng dụng thực tế.
Khi tập ràng buộc C của bài toán (1) được cho dưới dạng ẩn là tập
điểm bất động chung của một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các ánh xạ
không giãn thì bài toán (1) còn có nhiều ứng dụng trong các bài toán
thực tế như xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, phân phối băng thông và bài
toán điều khiển tối ưu. . . . Đối với lớp bài toán này, phương pháp lai
ghép đường dốc nhất của Yamada đề xuất năm 2001 (xem [17]) tỏ ra là
phương pháp khá hiệu quả khi ánh xạ F : H → H là ánh xạ đơn điệu
mạnh và liên tục Lipschitz trên không gian Hilbert H. Phương pháp này
đã khắc phục được khó khăn của việc thực hiện phép chiếu mêtric PC
chiếu H lên tập con lồi đóng bất kỳ C của H khi dùng dãy lặp Picard
dạng xn+1 = PC (xn − λn F xn ) để giải, ở đây {λn } là dãy tham số thỏa
mãn một số điều kiện nhất định.
Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằm
mở rộng và cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc nhất cho bất


3

đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung
của một họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được hay nửa nhóm các ánh xạ
không giãn. Các phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân
được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Luận văn trình bày phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất

giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa
nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach trên cơ sở 2 bài báo
[6] và [8] của Nguyễn Thị Thu Thủy và các đồng tác giả công bố năm
2015 và 2017. Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong hai
chương:
Chương 1 "Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu về bất đẳng
thức biến phân đơn điệu và j-đơn điệu trong không gian Banach.
Chương 2 "Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng
thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu về nửa nhóm ánh xạ không giãn,
trình bày sự hội tụ của phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất
giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa
nhóm ánh xạ không giãn và trình bày ví dụ minh họa.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu
Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–
Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và
động viên của các thầy cô của khoa Toán–Tin và các thầy cô trong
trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Trung học phổ
thông Đông Triều - Quảng Ninh và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo
điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.
Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C và bạn bè
đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình
học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái
Nguyên.


4

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Quốc Việt


5

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân j-đơn
điệu
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian
Banach phản xạ, lồi đều, trơn đều, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ j-đơn điệu,
đồng thời giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, j-đơn
điệu trong không gian Banach. Các kiến thức của chương này được tổng
hợp từ các tài liệu [1]-[5], [9]-[14] và [18].

1.1

Không gian Banach

Cho E là không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu là E ∗ .
Ta dùng ký hiệu . cho chuẩn trong E và E ∗ và viết tích đối ngẫu
x∗ , x thay cho giá trị của phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ tại điểm
x ∈ E, tức là x∗ , x = x∗ (x).
1.1.1

Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E được gọi là phản xạ, nếu với
mọi phần tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai của E, đều tồn tại
phần tử x ∈ E sao cho
x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với mọi x∗ ∈ E ∗ .
Định lý 1.1.2 Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng
định sau là tương đương:


6

(i) E là không gian phản xạ;
(ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có một dãy con hội tụ yếu.
Ví dụ 1.1.3 Các không gian véc tơ định chuẩn hữu hạn chiều, không
gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b], 1 < p < ∞ là các
không gian Banach phản xạ.
Ký hiệu SE := {x ∈ E : x = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian
Banach E.
Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với
mọi điểm x, y ∈ SE , x = y, ta có
(1 − λ)x + λy < 1 với mọi λ ∈ (0, 1).
Chú ý 1.1.5 Định nghĩa 1.1.4 còn có thể phát biểu dưới dạng tương
đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm
x, y ∈ E, x = y, mà x = 1, y = 1 ta có
x+y
< 1.
2
Ví dụ 1.1.6 Không gian E = Rn với chuẩn x
n

x

được xác định bởi

1/2

x2i

=

2

2

,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

i=1

là không gian lồi chặt.
Không gian E = Rn , n ≥ 2 với chuẩn x

1

xác định bởi

n

x

1

|xi |,

=

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

i=1

không phải là không gian lồi chặt. Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, . . . , 0),
y = (0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn . Ta thấy x = y, x
x + y 1 = 2.

1

=

y

1

Tương tự không gian E = Rn với
x
không lồi chặt.

∞

= max |xi |,
1≤i≤n

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

= 1 nhưng


7

Định nghĩa 1.1.7 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với
mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà x = 1,
y = 1, x − y ≥ ε ta luôn có
x+y
≤ 1 − δ.
2
Ví dụ 1.1.8 Không gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b]
với 1 < p < ∞ là các không gian lồi đều.
Ta sẽ chỉ ra không gian Hilbert H là không gian lồi đều. Thật vậy, từ
đẳng thức hình bình hành
x+y

2

+ x−y

x+y

2

= 2( x

2

= 2( x

2

+ y 2 ) ∀x, y ∈ H

suy ra
2

+ y 2) − x − y

2

∀x, y ∈ H.

Lấy x, y ∈ SH , hình cầu đóng đơn vị trong H, với x = y và x − y ≥ ε,
ε > 0. Khi đó x + y

2

≤ 4 − ε2 . Suy ra
x+y
2

2

ε2
≤1− .

4

Do đó
x+y
≤
2

1−

ε2
=1− 1−
4

1−

ε2
,
4

δ(ε) = 1 −

1−

ε2
.
4

Định lý 1.1.9 Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian lồi
chặt và phản xạ.
Để đo tính lồi của không gian Banach E người ta sử dụng khái niệm

mô đun lồi của E.
Định nghĩa 1.1.10 Cho E là một không gian Banach. Hàm δE (ε) :
[0, 2] → [0, 1] được gọi là mô đun lồi của E nếu
x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
δE (ε) = inf 1 −
2
Ví dụ 1.1.11 Mô đun lồi của không gian Hilbert H là
δH (ε) = 1 −

1−

ε2
,
4

ε ∈ (0, 2].


8

Định nghĩa 1.1.12 Không gian Banach E được gọi là không gian trơn
nếu với mỗi điểm x nằm trên mặt cầu đơn vị SE của E tồn tại duy nhất
một phiếm hàm gx ∈ E ∗ sao cho gx , x = x và gx = 1.
Ví dụ 1.1.13 Các không gian lp , Lp [a, b], 1 < p < ∞ là không gian
Banach trơn.
Tính trơn của không gian Banach có mối liên hệ chặt chẽ với tính khả
vi của chuẩn.
Định nghĩa 1.1.14
(i) Chuẩn của không gian Banach E được gọi là khả vi Gâteaux nếu với

mỗi y ∈ SE giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

tồn tại với x ∈ SE , ký hiệu là y,

(1.1)

x . Khi đó

x được gọi là đạo

hàm Gâteaux của chuẩn.
(ii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SE ,
giới hạn (1.1) đạt được đều với mọi x ∈ SE .
(iii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SE , giới
hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SE .
(iv) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn
tại đều với mọi x, y ∈ SE .
Định lý 1.1.15 Không gian Banach E là trơn khi và chỉ khi chuẩn của
E khả vi Gâteaux trên E \ {0}.
Ví dụ 1.1.16 Không gian Hilbert H là không gian có chuẩn khả vi
Gâteaux với
x = x/ x , x = 0. Thật vậy,
ta có
x + ty − x
x + ty 2 −

= lim
lim
t→0
t→0 t( x + ty +
t
2t y, x + t2
= lim
t→0 t( x + ty +
Vậy chuẩn của H là khả vi Gâteaux với

với mỗi x ∈ H với x = 0,
x 2
x )
y 2
=
x )

y,

x
x

x = x/ x , x = 0.

.


9

Độ trơn của không gian Banach E còn được biểu diễn qua mô đun

trơn.
Định nghĩa 1.1.17 Cho E là không gian Banach. Hàm ρE : R+ → R+
được gọi là mô đun trơn của E nếu
x+y + x−y
− 1 : x = 1, y = t
2
x + ty + x − ty
−1: x = y =1 ,
2

ρE (t) = sup
= sup

t ≥ 0.

Ta nhận thấy ρE (0) = 0 và ρE (t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0, đồng thời ρE là
hàm lồi, tăng và liên tục trên khoảng [0, +∞).
Định lý 1.1.18 Cho E là một không gian Banach. Với t > 0 ta có:
(i) ρE ∗ (t) = sup
(ii) ρE (t) = sup

tε
2
tε
2

− δE (ε) : ε ∈ [0, 2] ;

− δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2] .

Ví dụ 1.1.19 Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó,
ρH (t) = sup

tε
−1+
2

1 − ε2 /4 : 0 < ε ≤ 2 =

1 + t2 − 1, t > 0.

Tính trơn đều và q-trơn đều (q > 1) của không gian Banach được
định nghĩa thông qua mô đun trơn như sau.
Định nghĩa 1.1.20 Không gian Banach E được gọi là
(i) trơn đều nếu
ρE (t)
= 0.
t→0
t
(ii) q-trơn đều (q > 1) nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho ρE (τ ) ≤ cτ q ,
τ ∈ [0, ∞).
ρE (0) = lim

Ví dụ 1.1.21 Không gian Lp [a, b] và lp có tính trơn như sau:

p-trơn đều, nếu 1 < p ≤ 2,
p
p
L [a, b] (hoặc l ) là
2-trơn đều, nếu p > 2.

10

Mệnh đề 1.1.22 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không
gian Banach phản xạ và lồi chặt E. Khi đó, với mỗi x ∈ E tồn tại duy
nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn
x − y = d(x, C),
với d(x, C) = inf z∈C x − z .
Chú ý 1.1.23 Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.1.22 được gọi là xấp xỉ tốt
nhất của x ∈ E trong C.
Ký hiệu 2C là tập các tập con của tập hợp C. Ta định nghĩa phép
chiếu mêtric như sau.
Định nghĩa 1.1.24 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian
Banach E. Ánh xạ PC : E → 2C xác định bởi
PC (x) =

y ∈ C : x − y = d(x, C) ∀x ∈ E

được gọi là phép chiếu mêtric từ E lên C.
Định nghĩa 1.1.25 Tập con C của không gian Banach E được gọi là
tập Chebyshev trong E nếu mỗi điểm x ∈ E có duy nhất một điểm
y ∈ C là xấp xỉ tốt nhất của x.
Nhận xét 1.1.26
(i) Từ Mệnh đề 1.1.22 suy ra, mọi tập con khác rỗng, lồi, đóng của một
không gian Banach phản xạ và lồi chặt đều là tập Chebyshev.
(ii) Với mọi tập Chebyshev C ⊂ E, ta có
(a) PC (x) là tập chỉ gồm một phần tử;
(b) x − PC (x) = d(x, C) với mọi x ∈ E.
Mệnh đề 1.1.27 Cho {xn } là một dãy trong không gian Banach lồi đều

E. Nếu mọi dãy con {xni } của dãy {xn } hội tụ mạnh về một điểm duy
nhất p∗ ∈ E khi i → ∞ thì dãy {xn } hội tụ mạnh về điểm p∗ khi n → ∞.


11

1.1.2

Ánh xạ j-đơn điệu
∗

Định nghĩa 1.1.28 Ánh xạ J : E → 2E (nói chung là đa trị) xác định
bởi
Jx = {u ∈ E ∗ :

x, u = x u , u = x },

x∈E

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach E.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach E.
Ví dụ 1.1.29 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
là ánh xạ đơn vị I.
∗

Định nghĩa 1.1.30 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : E → 2E của không
gian Banach E được gọi là
(i) liên tục yếu theo dãy nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn } ⊂ E hội
tụ yếu đến x (xn
x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn

Jx) theo
tôpô yếu∗ trong E ∗ .
(ii) liên tục mạnh-yếu∗ nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn } hội tụ mạnh
đến x (xn → x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn
Jx) theo tôpô
yếu∗ trong E ∗ .
Nhận xét 1.1.31 Không gian lp , 1 < p < ∞, có ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc liên tục yếu theo dãy. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trong không gian
Lp [a, b], 1 < p < ∞, không thỏa mãn tính chất này.
Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có mối liên hệ với tính
khả vi của chuẩn của không gian Banach như khẳng định trong các định
lý sau đây.
Định lý 1.1.32 Cho E là không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu chuẩn
∗

tắc J : E → 2E . Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) E là không gian trơn;
(ii) J là đơn trị;
(iii) Chuẩn của E là khả vi Gâteaux với

x = x

−1

Jx.


12

Chú ý 1.1.33 Ta dùng ký hiệu j để chỉ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn

trị.
Định lý 1.1.34 Cho E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux
đều. Khi đó ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E ∗ là liên tục đều
mạnh-yếu∗ trên mọi tập con bị chặn trong E.
Định nghĩa 1.1.35 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian
Banach E.
(i) Ánh xạ T : C → E được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz nếu tồn
tại hằng số L ≥ 0 sao cho
Tx − Ty ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.

(1.2)

(ii) Trong (1.2), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co, nếu L = 1
thì T được gọi là ánh xạ không giãn.
Ký hiệu Fix(T ) := {x ∈ C : T x = x} là tập điểm bất động của ánh
xạ T . Ta có kết quả sau về tính chất của tập Fix(T ).
Định lý 1.1.36 Cho C là một tập con lồi trong không gian Banach lồi
chặt E và T : C → E là ánh xạ không giãn. Khi đó nếu tập điểm bất
động Fix(T ) của ánh xạ T là khác rỗng thì nó là tập lồi.
Chú ý 1.1.37 Do tính liên tục của ánh xạ T nên tập Fix(T ) luôn là
tập đóng.
Thật vậy, do T là ánh xạ không giãn nên T liên tục trên C. Giả sử
{xn } là một dãy bất kỳ trong Fix(T ) thỏa mãn xn → x khi n → ∞. Vì
{xn } ⊂ Fix(T ), nên T xn − xn = 0 với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của
chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được T x − x = 0, tức là x ∈ Fix(T ). Do
đó, Fix(T ) là tập đóng.
Hệ quả 1.1.38 Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng trong không gian
Banach lồi chặt E và T : C → E là ánh xạ không giãn. Khi đó tập

Fix(T ) là tập lồi đóng.


13

Nếu bỏ tính lồi chặt của không gian Banach E thì Định lý 1.1.36
không còn đúng.
Ví dụ 1.1.39 Cho E = R2 với chuẩn được xác định bởi
x = max{|a|, |b|} với mọi x = (a, b) ∈ R2 .
Khi đó, R2 không phải là không gian lồi chặt. Xét ánh xạ T : R2 → R2
xác định bởi
T x = (|b|, b) với mọi x = (a, b) ∈ R2 .
Ta thấy T là ánh xạ không giãn, các điểm (1, 1) và (1, −1) thuộc Fix(T ).
Nhưng không có điểm bất động nào của T nằm trên đoạn thẳng nối hai
điểm bất động trên. Chứng tỏ Fix(T ) không phải là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.40 Ánh xạ T : C → E được gọi là ánh xạ γ-giả co
chặt nếu tồn tại hằng số γ ∈ (0, 1) và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y

2

− γ (I − T )x − (I − T )y

2

∀x, y ∈ C.
(1.3)

Trong (1.3), nếu γ = 0 thì T được gọi là ánh xạ giả co.
Nhận xét 1.1.41

(i) Nếu F : E → E là ánh xạ γ-giả co chặt thì F là ánh xạ L-liên tục
Lipschitz với L = 1 + 1/γ.
(ii) Mọi ánh xạ không giãn đều là ánh xạ giả co liên tục.
Định nghĩa 1.1.42 Ánh xạ A : E → E được gọi là
(i) η-j-đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ D(A)-miền xác định của ánh xạ A, ta có
Ax − Ay, j(x − y) ≥ η x − y 2 ,

j(x − y) ∈ J(x − y);

(ii) α-j-đơn điệu mạnh ngược (hay α-đồng bức j-đơn điệu) nếu tồn tại
hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(A), ta có
Ax − Ay, j(x − y) ≥ α Ax − Ay 2 ,

j(x − y) ∈ J(x − y);


14

(iii) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), ta có
Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0,

j(x − y) ∈ J(x − y);

(iv) j-đơn điệu cực đại nếu A là ánh xạ j-đơn điệu và đồ thị G(A) =
{(x, Ax) ∈ E × E : x ∈ E} của ánh xạ A không bị chứa thực sự
trong bất kì một đồ thị của một ánh xạ j-đơn điệu khác;
(v) m-j-đơn điệu nếu A là ánh xạ j-đơn điệu và R(A + I) = E, ở đây
R(A) là ký hiệu miền giá trị của ánh xạ A.
Chú ý 1.1.43

(i) Trong không gian Hilbert H, các khái niệm ánh xạ j-đơn điệu cực
đại, m-j-đơn điệu và đơn điệu cực đại là trùng nhau.
(ii) Cho A : E → E là ánh xạ tuyến tính. Khi đó A là j-đơn điệu nếu
và chỉ nếu với mọi x ∈ D(A),
Ax, j(x) ≥ 0,

j(x) ∈ J(x).

Bổ đề 1.1.44 Cho E là không gian Banach trơn và F : E → E là ánh
xạ η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Khi đó,
(i) Ánh xạ I − F là ánh xạ co với hệ số co

(1 − η)/γ.

(ii) Với mọi λ ∈ (0, 1), I − λF là ánh xạ co với hệ số co 1 − λτ , trong
đó τ = 1 − (1 − η)/γ ∈ (0, 1).
Mệnh đề 1.1.45 Cho A : E → E là ánh xạ m-j-đơn điệu, khi đó A là
j-đơn điệu cực đại và R(I + λA) = E với mọi λ > 0.
Định nghĩa 1.1.46 Ánh xạ A : E → E được gọi là liên tục theo tia tại
x ∈ D(A) nếu x+tn y ∈ D(A), với y ∈ E và tn → 0+ thì A(x+tn y)
khi n → ∞.

Ax

Định lý 1.1.47 Cho E là không gian Banach lồi đều và ánh xạ A :
E → E là j-đơn điệu và liên tục theo tia với D(A) = E. Khi đó A là
ánh xạ j-đơn điệu cực đại.
Chú ý 1.1.48 Nếu T : C → E là một ánh xạ không giãn thì ánh xạ
I − T là j-đơn điệu. Nếu C ≡ E thì I − T là m-j-đơn điệu.

15

1.1.3

Giới hạn Banach

Xét không gian các dãy số bị chặn
∞

= {x = (x1 , x2 , . . .) : sup |xn | < ∞}.
n

Định nghĩa 1.1.49 Phiếm hàm µ :

∞

→ R được gọi là giới hạn Ba-

nach nếu
(i) µ là ánh xạ tuyến tính, tức là µ(x+y) = µ(x)+µ(y) và µ(cx) = cµ(x)
với mọi x, y ∈

∞

và c là hằng số.

(ii) µ là ánh xạ dương, tức là µ(x) ≥ 0 với mọi x ∈

∞

sao cho xn ≥ 0

với mọi n ∈ N.
(iii) µ = µ(1, 1, . . .) = 1.
(iv) µ(x1 , x2 , . . .) = µ(x2 , x3 , . . .) với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈

∞.

Ta viết µ(xn ) thay cho µ(x1 , x2 , . . .). Sự tồn tại của giới hạn Banach
được bảo đảm nhờ Định lý Hahn–Banach.
Định lý 1.1.50 Luôn tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục µ trên

∞

sao cho µ = µ(1) = 1 và µ(xn ) = µ(xn+1 ) với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈
∞.
Một số tính chất của giới hạn Banach µ được nêu trong các mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.1.51 Cho µ là giới hạn Banach. Khi đó
lim inf xn ≤ µ(xn ) ≤ lim sup xn
n→∞

với mỗi x = (x1 , x2 , . . .) ∈

n→∞
∞.

Hơn nữa, nếu xn → a, thì µ(xn ) = a.

Bổ đề 1.1.52 Cho C là tập con lồi trong không gian Banach E có chuẩn
khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn } là dãy bị chặn trong E, z là một điểm
trong C và µ là giới hạn Banach. Khi đó,
µ xn − z

2

= min µ xn − u

2

u∈C

khi và chỉ khi µ u − z, j(xn − z) ≤ 0 với mọi u ∈ C.


16

Giới hạn Banach là một mở rộng của khái niệm giới hạn thông thường.
Tức là, với mọi dãy số hội tụ x = {xn }, thì µ(x) = (x) = limn→∞ xn
với mọi giới hạn Banach µ. Tuy nhiên, tồn tại những dãy không hội tụ
nhưng lại có giới hạn Banach. Chẳng hạn xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.53 Lấy dãy x = (1, 0, 1, 0, . . .) ∈

∞.

Khi đó

(x1 , x2 , . . . , xn , . . .) + (x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . .) = (1, 1, 1, . . .),
suy ra

µ(xn ) + µ(xn+1 ) = µ(1) = 1 ∀µ.
Sử dụng điều kiện (iv) trong Định nghĩa 1.1.49, ta có µ(xn ) = 1/2.

1.2

Bất đẳng thức biến phân

1.2.1

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Định nghĩa 1.2.1 Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng của không
gian Banach E. Ánh xạ F : C → E ∗ được gọi là:
(i) đơn điệu trên C nếu
F x − F y, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;

(1.4)

(ii) đơn điệu chặt trên C nếu dấu "=" trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi
x = y;
(iii) đơn điệu đều trên C nếu tồn tại một hàm liên tục và tăng ngặt
α : [0, ∞) → [0, ∞) với α(0) = 0 và α(t) → ∞ khi t → ∞ sao cho
F x − F y, x − y ≥ α( x − y ) x − y

∀x, y ∈ C;

(iv) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho
F x − F y, x − y ≥ η x − y

2

∀x, y ∈ C;

(v) đơn điệu cực đại nếu F đơn điệu và đồ thị G(F ) = {(x, F x) ∈
C × E ∗ : x ∈ C} của F không thực sự bị chứa trong đồ thị của một
ánh xạ đơn điệu nào khác.


17

Định nghĩa 1.2.2 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian
Banach E. Ánh xạ F : C → E ∗ được gọi là liên tục trên không gian
con hữu hạn chiều của E nếu với mọi không gian con hữu hạn chiều của
M ⊂ E, thu hẹp của ánh xạ F trên C ∩ M là liên tục yếu, tức là ánh
xạ F : C ∩ M → E ∗ là liên tục yếu.
Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạ F : C → E ∗ được gọi là bức trên C nếu tồn
tại v ∈ C sao cho
F u − F v, u − v
→ +∞ khi
u−v

u → +∞.

Định nghĩa 1.2.4 Ánh xạ F : E → E ∗ được gọi là liên tục theo tia
tại điểm x ∈ E nếu F (x + th)
F x, khi t → 0 và F được gọi là liên
tục theo tia trên E nếu nó liên tục theo tia tại mọi x ∈ E.
Nhận xét 1.2.5 Dễ thấy rằng nếu F là một ánh xạ liên tục, thì F là
một ánh xạ liên tục theo tia, tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Nếu
ánh xạ F : E → E ∗ đơn điệu và liên tục theo tia với D(F ) = E thì F là

đơn điệu cực đại.
Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach E, ánh
xạ F : E → E ∗ từ không gian E vào không gian đối ngẫu E ∗ của E là
ánh xạ đơn điệu. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, ký hiệu
là VI(F, C), được phát biểu như sau:
Tìm phần tử p∗ ∈ C thỏa mãn:

F p∗ , p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C.

(1.5)

Bổ đề 1.2.6 (Bổ đề Minty) Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng
của E và F : C → E ∗ là một ánh xạ đơn điệu và liên tục trên không
gian con hữu hạn chiều của E. Khi đó, p∗ ∈ C là nghiệm của (1.5) khi
và chỉ khi p∗ thỏa mãn
F p, p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C.

(1.6)

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh rằng nếu p∗ thỏa mãn (1.5)
thì cũng thỏa mãn (1.6). Thật vậy, do tính đơn điệu của F ta có
0 ≤ F p − F p∗ , p − p∗ = F p, p − p∗ − F p∗ , p − p∗

∀p ∈ C.


18

Do đó,
0 ≤ F p∗ , p − p∗ ≤ F p, p − p∗

∀p ∈ C.

Ngược lại, ta giả sử p∗ ∈ C thỏa mãn (1.6). Lấy w ∈ C và 0 ≤ t ≤ 1,
xác định p = p∗ + t(w − p∗ ) ∈ C do C là tập lồi. Khi đó, theo (1.6) với
t > 0, ta có
F (p∗ + t(w − p∗ )), t(w − p∗ ) ≥ 0,
hay
F (p∗ + t(w − p∗ )), w − p∗ ≥ 0 ∀w ∈ C.
Do F là liên tục yếu trên giao của tập C với không gian con hữu hạn
chiều của E sinh bởi w và p∗ nên cho t → 0, ta thu được
F p∗ , w − p∗ ≥ 0 với bất kì w ∈ C,
hay p∗ thỏa mãn (1.5). Điều phải chứng minh.
Định lý 1.2.7 Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian
Banach E và F là ánh xạ đơn điệu và liên tục theo tia từ C vào E ∗ với
C = D(F ). Khi đó tập nghiệm của bài toán (1.5) là khác rỗng.
Chú ý 1.2.8 Nếu F là ánh xạ đơn điệu chặt thì nghiệm x0 của (1.5) là
duy nhất.
Định lý 1.2.9 Cho F : E → E ∗ là một ánh xạ đơn điệu cực đại và có
tính chất bức với miền xác định D(F ). Cho C là một tập con lồi, đóng
trong D(F ) sao cho intC = ∅ hoặc intC ∩ D(F ) = ∅. Khi đó bất đẳng
thức biến phân
Tìm p∗ ∈ C sao cho:

F p∗ − f0 , p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C, f0 ∈ E ∗ .
(1.7)

có ít nhất một nghiệm với mọi f0 ∈ E ∗ .
1.2.2

Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu

Cho E là không gian Banach và j : E → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc đơn trị của E, F : E → E là ánh xạ đơn trị, j-đơn điệu. Bài toán


19

bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu, ký hiệu là VI∗ (F, C), được phát
biểu như sau:
Tìm p∗ ∈ C thỏa mãn:

F p∗ , j(p − p∗ ) ≥ 0 ∀p ∈ C.

(1.8)

Định nghĩa 1.2.10 Ánh xạ QC : E → C được gọi là phép co rút không
giãn theo tia từ E lên C nếu QC thỏa mãn:
(i) QC là phép co rút trên C, tức là Q2C = QC ;
(ii) QC là ánh xạ không giãn;
(iii) QC là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞
QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x).
Tập C được gọi là tập co rút không giãn theo tia nếu tồn tại phép co
rút không giãn theo tia QC từ E lên C.
Bổ đề 1.2.11 Mọi tập con C lồi đóng của không gian Banach lồi đều
E đều là tập co rút của E, tức là tồn tại phép co rút từ E lên C.
Bổ đề 1.2.12 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Banach trơn E và QC : E → C là một phép co rút từ E lên C. Khi
đó, các phát biểu sau là tương đương:
(i) QC là ánh xạ không giãn theo tia.

(ii) x − QC (x), j(y − QC (x)) ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C.
Chú ý 1.2.13
(i) Khi E là không gian Hilbert H, ánh xạ QC chính là phép chiếu mêtric
PC từ H lên C.
(ii) Nếu C là tập con khác rỗng, lồi đóng của không gian Hilbert H thì
phép chiếu mêtric PC : H → C là phép co rút không giãn theo tia từ H
lên C. Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach.
Từ Bổ đề 1.2.12, mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân (1.8) với
bài toán điểm bất động trong không gian Banach trơn được giới thiệu
trong mệnh đề sau đây.


20

Mệnh đề 1.2.14 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Banach trơn E. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.8) tương đương
với phương trình điểm bất động:
p∗ = QC (I − λF )p∗ ,

λ > 0,

(1.9)

tức là VI∗ (F, C) = Fix(QC (I − λF )).
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.12, ta có p∗ ∈ Fix(QC (I − λF )) khi và
chỉ khi
(p∗ − λF p∗ ) − p∗ , j(x − p∗ ) ≤ 0 ⇔ −λF p∗ , j(x − p∗ ) ≤ 0
với mọi x ∈ C và λ > 0. Do λ > 0 nên ta suy ra x0 ∈ VI∗ (F, C). Mệnh
đề được chứng minh.
Từ sự tương đương của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không

gian Banach trơn với bài toán điểm bất động, nhiều phương pháp giải
bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach cũng được xây dựng
dựa vào các phương pháp xấp xỉ điểm bất động.


21

Chương 2

Phương pháp lặp hiện lai ghép
đường dốc nhất giải bất đẳng thức
biến phân j-đơn điệu
Chương này trình bày phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất
giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động chung
của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Các kiến
thức của chương này được tổng hợp từ các tài liệu [5], [6], [8], [16] và
các tài liệu trích dẫn trong đó.

2.1
2.1.1

Nửa nhóm ánh xạ không giãn
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Banach E. Họ các ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} từ C vào C được gọi là nửa nhóm
ánh xạ không giãn (còn gọi tắt là nửa nhóm không giãn) trên C nếu
(i) T (t) là ánh xạ không giãn với mỗi t > 0;
(ii) T (0)x = x với mọi x ∈ C;
(iii) T (t + s)x = T (t) ◦ T (s)x với mọi x ∈ C, t, s ≥ 0;
(iv) với mọi x ∈ C, T (s)x : [0, ∞) → C là ánh xạ liên tục theo s.

22

Ký hiệu F = ∩t≥0 Fix(T (t)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm
ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0}.
Ví dụ 2.1.2 Cho ánh xạ T (t) : R → R xác định định bởi T (t)x = e−t x,
x ∈ R. Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên
R với tập điểm bất động chung F = {0}.
Thật vậy, hiển nhiên các điều kiện (ii) và (iv) thỏa mãn. Với t > 0,
thì T (t)x = e−t x là ánh xạ không giãn, đồng thời T (t + s)x = e−t−s x =
e−t (e−s x), nên điều kiện (iii) cũng thỏa mãn.
Ví dụ 2.1.3 Cho ánh xạ T (t) : R3 → R3 xác định như sau:

 
x1
cos(αt) − sin(αt) 0

 
T (t)x =  sin(αt) cos(αt) 0 x2  ,
0

0

1

x3

ở đây α ∈ R cố định và x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 . Khi đó {T (t) : t ≥ 0}
là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 với tập điểm bất động chung

F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T }.
Dễ thấy các họ ánh xạ T (t) : R3 → R3 thỏa mãn các điều kiện (ii) và
(iv), ta chỉ ra nó thỏa mãn các điều kiện (i) và (iii). Thật vậy, với mọi
t > 0, α ∈ R cố định và mọi x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 , ta có
T (t)x − T (t)y =

(x1 − y1 ) cos(αt) − (x2 − y2 ) sin(αt),
(x1 − y1 ) sin(αt) + (x2 − y2 ) cos(αt), x3 − y3

=

(x1 − y1 ) cos(αt) − (x2 − y2 ) sin(αt)

2

+ (x1 − y1 ) sin(αt) + (x2 − y2 ) cos(αt)
+ (x3 − y3 )2

2

1/2

= (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2

1/2

= x−y .
Ta sẽ chứng minh họ T (t) : R3 → R3 thỏa mãn điều kiện (iii). Thật