Các chuyên đề bám sát đề thi THPT quốc gia tọa độ không gian

r

i

■■

NGƯT. ThS. LÊ HỒNH PHỊ
■
ĩi
■ ■■ ■ ì
■

■■

C ác ch u y ên đ ề

■

V

BÁin lfÍTĐế THÌ
T H P T Q U Ố C GIA


Th.s NHÀ GIÁO ƯU TỦ
LÊ HOẢNH PHÒ

CÁC CHUYÊN ĐÊ
BÁM SÁT ĐỀ THI THPT Q u ố c GIA

TỌA ĐỘ

KHÔNG GIAN

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HẢ NỘI


NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
Điện thoại: Biên tập - C hế bản: (04) 39714896;
Q uản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập; (04) 39715011
Fax: (04) 39729436

C h ịu tr á c h n h iệm x u ấ t bản:
G iám dốc - T ố n g hiên tập: TS. PH Ạ M T H Ị T R Â M

B iên tập:

VŨ T H Ị TH Ư Ý

C h ế ban:

N G U Y Ễ N K H Ở I M IN H

T r ìn h bày bìa:

N H À SÁ CH H ồ N G ÂN

Dối tác liê n k ế t x u ấ t bản:
N H À SÁ CH H Ổ N G ÂN
20C N guyễn T hị M in h K hai - Q1 - T lh Hồ C h í M in h

SACH MEN KET

CÁC CHUYÊN ĐỄ BÁM SÁT ĐỂ THI THPT QUỐC GIA
TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN_ _ _ _ _ _ _ _ _
Mã số: 1L-338ĐH2015
In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Cơng ti cổ phần Văn hóa Văn Lang.
Địa chỉ: Số 6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q, Binh Thạnh - TP. Hổ Chí Minh
Sơ xuất bản: 1439- 2015/CXBIPH/2-217-189/ĐHŨGHN, ngày 3/6/2015.
Quyết định xuất bản số: 356LK-TN/QĐ-NXBĐHQGHN, ngày 13/6/2015
In xong và nộp lưu chiểu quý III năm 2015.


LỜI NĨI ĐẦU
Các lOm học sinh thân mến!
Nhằm mục đích ^'iúp các hạn học sinh lớp 12 chuan bị thật tịl cho KY THI
TRUNG HOC! PHƠ THƠNG QUỒC GIA dạt diem khá, diêm cao d(1 trúng
tuyổn vào các trường Cao dang. Dại học mà mình dã xác dịnh nghề nghiệp cho
tương lai, thoo dịnh hướng mới.
Bộ sách này gồm cS cn cho 8 chuvịn dồ, dơ các om tiộn dùng trong ơn
luyện th(í0 chương trình học và trước kỳ thi:
- KHẢO SÁT HÀM SỔ
- HÀM SỐ VẢ IMIƯƠNG TRÌNH MŨ LỊGARIT
- NGUN HÀM VẢ TÍCH PHÂN
- SỔ PHỨC VẢ T ổ HỢP
- HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
- TỌA DỘ KHƠNG GIAN
- LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHẲ n G
- PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT DANG THỨC
Cn TOA DƠ KHƠNG GIAN gơm có 12 phân nhỏ dc liộn luyện tcập theo
chù d'ô. l ù các kiơn thúc và phưcmg pháp giai Tốn căn bàn Vcà nâng cao dần

tlần, kơt họp ơn tập tốn lóp 10 và 11, bơ sung Vià mị rộng kiến thức và phưong
plỉáp giai khác nhau, luyộn tập Ihơm lồn khó, 1'ốn lơng hạp, các btỢn rịn luyện
kỹ năng Icàm bái v<à lừng buóc giai dùng, giái gọn các bài Itập, các bài tOián trong
kiê’m tra, thi cú'.
Dù dã cô gắng kiêm tra trong (Ị trình hiơn l.ập song cũng khơng tr ánh
khỏi nh ữ ng sai sót mà tác giá chiia thấy hốt. mong dón n h ậ n các gÓỊ) ý của
(Ịuý hạn doc, học sinh de lần iiì sau hồn thiện h(ín.
l'á c giá
i i : HOẢ.NH PHÒ


TOẠ ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ
Toạ độ không gian
Ba vectơ đơn vị i, j , k trên 3 trục Ox, Ov, Oz:
>^z

'i=(l;0;0), ']=(0;1;0), k= (0;0;l)
M(x,y,z) hay M=(x,y,z):
O M = x .i + y. j + z. k
a (x,y,z) hay a =(x,y,z):
a = X. ỉ + y. j

z.k

Phép tốn vectơ

/

Hai vecíơ: It = (x,y,z) và

V

= (x',y'zỹ thì:

u ± V = (x ± x y ± y z ± z'); ku = (kx; ky, kz)
u . V = x x ' ^ y y ' ^ zz'] Ịu
,— ,
COS(u,v) =

I = -ịx~ + y^ +z^

x.x’+y.y'+z.z'

■ . ......... ... —

.

= = r

■yjx' + y^ + z\-Hai điêm A( x ị , yt, Zị) và B(X2, y 2, ^ì) thì:
AB = (X2 - X i ; y 2 - y i, Z2 -Zi)
AB = ^{x^ - X ị ỹ + {y, - y ^ y + { Z j - z ^
X, — kx^

M ch ia AB theo tỉ k ĩT: J: M
\

y^ —ky 2 Zị - kz^

\-k

\-k

\-k

- Toạ độ trung điêm M của đoạn AB, trọng lâm G của lam giác ABC, trọng tâm
E của tứ diện ABCD với tọa độ
A(xi, yi, Zi), B(x 2, y 2, Zĩ), C(X3, ys, Zỉ) , D(X4 ,y4 ,24):
X| + X ,

X, + X 2 + X 3

2

3

M-■y = 3^1 +: ^^2
2

z=

G- y = 3^1 + 3^2 + 3^3
3

z, + z ^
2

Z| + z , + Z j
<

3

X=
E- y
z-

X, +

+ X 3 + x^

+ >^2 +

+ y4

Zị + Z2 + Zị + Z4


Tích có Ituớng
Tích có hướng của a = (x,y,z) và b = (x',y',z') là vecíơ:
T

n =[ a, b ] ^
\

y

2

z

z'

X
x'

9

X

y^

x'

y \

Kết q:
Veclơ [ tíf, /) ] vng góc vói a , b
Vectơ a vng góc với h

a. h

Hai vectơ a, b cùng phương o

0

h ^ka

Hai vectơ a , h cùng phương <=> \ a , h ] = 0
Ba 3 veclơ a, h , c đơng phăng <=í> [ a , b I . c = 0
Bổn điếm A, B,

c, D đồngphẳng

Cí> I ÁB , AC ] . AD = 0

Ba 3 veclơ a, b , c không đồng phang <=> [ a , ố ]. C'

0

Bôn điêm A, B, c, D khơng đơng phăng <:í> [ AB , AC ^ . AD ^ 0.
Chú ỷ: ứng dụng tọa độ khơng gian dê giải các hài tốn hình khơng gian cơ điên,
quạn hệ song song, vng góc, dộ dài, góc , khoảng cách, vị trí lương đổi,...
Bài tốn 1.1: Cho ba vectơ a = (2; -5; 3), b = (0; 2; -1), c = (1; 7; 2)
a) Tìm toạ độ của vectơ c = a - 4 b - 2 c .
b) Tìm toạ độ của vectơ ĩ '= 4 a - —b + 3 c .
3
Giải
a) c = ã - 4 b - 2c = (2 - 0 - 2; - 5 - 8 - 14; 3 I 4 - 4) (0; -27; 3)
b) f = 4 a - - b t-3c = (8 4 0 + 3 ;-2 0 - - + 2 1 ; 12 + 3
3
3
Bài tốn 1.2: Tìm toạ độ cùa vectơ m cho biơt:
a) a + m = 4 a và a = (0; -2; 1)
b) a + 2m = b và a = (5; 4; -1), b = (2; -5; 3)
Giải
a) a + m = 4 a => m = 3 a = (0; 6; 3)
^ 3
b )a + 2 m = b = > m = - —a 4 — b =
2
2

V 2

9

'

Bài toán 1.3: Cho hai bộ ba điểm; A(1; 3; 1). B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) và
A'(l; 1; 1;), B'(-4; 3; 1), C'(-9; 5; l).HỎi bộ ba điểm nào thẳng hàng?


Giải
Ta có CẨ = ( 1 ;3 ;0 ) , CB = (0; 1; 1)
Vì các toạ độ khơng tưcmg xứng tỉ lệ nên khơng có sơ k nào đê
CA = k c i i , suy ra A, B, c khơng thẳng hàng.
Ta có C A ' - (10; -4; 0), C B ' = (5; -2; 0) => C A ' = 2 c ^ '
Do đó A', B', c thẳng hàng.
Bài tốn 1.4: Tính tích vơ hướng của hai vectơ trong mỗi trường hợp:
a) a - (3; 0; -8), b = (2; -7; 0)

b) a = (1; -5; 2), b = (4; 3; -5)
Giải

a) a .b = 3 .2 + 0.(-7) + (-8).0 = 6
b) a .b = 1.4 + (-5).3 +2(-5) = -21.
Bài toán 1.5: Cho ba vectơ: a = (1; -1 ;1), b = (4; 0; -1), c = (3; 2; -1). Tính:
a) (a ,b ) c . a .(b .c )
b) a ^ .b + b ^ c .ã + c ^ a , 4 a . c + b ^ - 5 c ^ .
Giải
a ) T acó: a . b = 1.4 + (-l).0 + l.(-l) = 3
D o đ ó ; ( a .b ) c = 3 c = (9; 6;-3). Ta có b .c =4.3 ( 0.2 i (-1)(-1) = 13

Do đó a ( b . c ) = 13a = (1 3 ;-1 3 ; 13)
b) Ta có a ^ = 3, b^ = 17, c ■= 14 nên
a l b + b l c + c l a = 3 b + 17c + 14a = (77; 20;-6)
và a .c = 0 = > 4 a .c + b ^ - 5 c ^ = -53.
Bài toán 1.6: Cho

1 u 1= 2, I V I = 5 , góc giữa hai vcctơ ĩi

và V bằng — . Tìm

k để vectơ p = k u + 17 V vng góc với vectơ q = 3 u - V .
Giải
Ta có

I u I = 2, I V 1 = 5, cos( ĩ i , V) = cos —

= -—

Do đó p T q <=> p .q = 0 'ti> (k u + 17v)(3 u - v ) = 0
« 3 u ^ - 17v^ + (51 - k ) u . ’v = 0
« 3 k . 4 - 17.25 + (5 Ị - k)2.5
Vậy giá trị cần tìm là k = 40.

V2 y

= 0<=> 17k- 680 = 0 « k = 40.


Bài toán 1.7: Cho ba điểm A(2; 0; 4), B(4; Vs ; 5) và C(sin5t; cos3t; sin3t). Tìm t
để AB vng góc với o c .

Giải
Ta có AB = (2; V3 ; 1), o c = (sinSt; cos3t; sin3t)
Hai đường thẳng AB và o c vng góc với nhau khi và chỉ khi:
A B . o c = 0 <=> 2sin5t + V3 cos3t + sin3t = 0.
/T
Ị
<=> sinSt +
cos3t + —sin3t = 0
sinSt + sin(3t + — ) = 0
2
2
3
<=> sinSt = sin(-3t - ^ )
3
n
2n
V ây t = - — + k —
- , ,t
t == — + krt. k e z.
24
4
3
Bài toán 1.8: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
a) a ={-3; l ; - 2 ) , b = (1 ; 1; 1), c = (-2; 2; 1)
b ) a = (4 ;3 ;4 ), b = ( 2 ; - l ; 2 ) , c - ( l ; 2 ; l )
Giải
a) Ta có [a , b ] =

-2^

-3
1

1

1

Do đó [ a , b ]. c = -6 + 2 - 4 = -8
Vậy 3 vectơ khơng đồng phẳng
b )T a c ó [ a , b ] = (10; 0;-10)
Vậy 3 vectơ đồng phang.

= (3; l;-4 ).
0.
[ a , b l.c = 0 .

Bài toán 1.9: Cho 4 vectơ: a = (1; -1; 1), b = (0; 1; 2), c = (4; 2; 3) và d = (2; 7; 7).
a) Chứng minh các vcctơ a , b , c không đồng phẳng
b) Hãy biêu thị vectơ d theo các vectơ a , b , c .
Giải
a) Ta có [a , b I = (-3; -2; l)= 5> [a, b ]c = -135*0
Vậy 5 vecto không dông phăng.
m + 4p = 2

m = -2

b) Giả s ừ d = m a + nb -t pc <=> - m + n-t-2p = 7 <=> n = 3
m + 2n + 3p = 7
Vậy d = -2a + 3 b + c .

P= 1

.


Bài tốn 1.10: Trong khơng gian cho bốn điổm;
A(0; 0; 3), B (l; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0)
a ) T ín h (Ã B .B C )C A + C D ^ Ã B
b) Chứng minh bốn điểm A, B, c, D đồng phang.
Giải
a) ÃB = (1 ; 1;2), BC (-4 ;-l;-5 ), CA = (3; 0; 3), CD = ( 3 ;- 3 ;0 )
D ođó ÃB . BC = -1 5 , C D ^= 18
n ên (Ã B . ã C )C A + CD^ ÃB = -15C A + 18ÃB =(-27; 18;-9)
b) ÃB = (1 ; 1;2), Ã c = (-3; 0;-3) => [ÃB , ÃC] = (-3;-3; 3)
Và ÃD = (0 ; -3; -3)

[Ã B , Ã C IÃ D = 0 : đpcm.

Bài tốn 1.11: Chứng minh các lính chất sau đây của lích có hướng
a) [a , b ] = - [ b , a I

b) fka , b ] = k[a , b] = [a , k b ].
Giải

Gọi a = (x i;y i;Z ]), b = (X2; y 2; Z2). Ta có
Yi

a) [a , b ] =
Y2

"2

^2

^2

Y2

= (yiZ 2 - y2Zi; Z1X2 - Z2X1; Xiy2 - X2yi)
= -(y2Z| - yiZ2; Z2Xi - Z1X2; X2yi - Xiy2)
^Y2

Z-)

-2

^2

X2

Y2 '

X,

y ,,

= -[ b , a ]

Kết quả [ a , a J = -| a , a ] ^ [ a , a ] = 0 .
Yi

7-1

7l

X:

Y2

7.2

72

^2

'ky,

kz,

k

b ) k [ a , b]
V

, Y2

72

kZ|
9

72

,k

kX|
X2

9

X,

y ,'

^2

Yl,

kx,

k y ,'

^2

Y2 ,

[k a , b l.

Tưong tự: k [a , b ] = [a , kh ].
Bài tốn 1.12: Chímg minh các lính chất sau đây của tích vơ hướng

a) a .[b , c ] = [a , b ].c

I

b) [a .b ] p =
Giải

Ia p . Ib p

a) Gọi a = (Xi; y i;Z i), b = (X2; y 2; Z2) , c = (X3; ys; Z3). Ta có

- (a .b)^.


a .[b .c ] = X,

^2

y?.

5^2

+y3

+ z,
X3 y?

z,

y,

y2

X-

+yi
X,

yi

+G
^2 ^2

b) V P = I ã p . I b l “ - ( a .b ) ^

a .b ]c

^2 yi
b “ .cos“a

a 1^ I b

= | a 1". l b | ~ ( l - cos^a) = I a 2

"b I W

a - I [a .b ] p = VT.

Bài toán 1.13: Trong không gian cho ba vectơ a , b , c từng đôikhông

cùng

phuơng. Chửng minh rằng điều kiện cần và đủ đổvcclơ long; a (- b + c = 0
l à [ a , b | = [ b, c] = [c, a |.
Giải
T ừ a + b + C = Õ =>a =-(b + c ) = ^ Ị a , - b - c ] = Õ
Do đó [ ã , - b - c] = [ a , - b ] - [ a , c] = 0 =>[c, a j = [ a , b]
Tưcmg tự ta cũng có [ b , c ] = [ a , b ].
Vậy: [ a , b] -- [ b , c] - | c , k ị
Ngược lại, t ừ [ a , b] = | b , c ] = > [ b , á + c] = 0
Mặt khác, [ b , b ] == õ =í> [ b , a t b "t c J

õ

=> b cùng phương với veclơ a' + b + c .
Chứng minh tương tự ta cũng có vectơ a cùng phương với vectơ a + b + c .
NhuTig a và b không cùng phương, vậy a + b + c = 0 .
Bài toán 1.14: Cho điểm M(a; b; c)
a) rim toạ độ hình chiếu của M trên các mặt phang toạ độ và trên các trục toạ
độ
b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phang toạ độ, đến các trục toạ độ.
Giải
a) Gọi Mi(x; y; 0) là hình chiểu của điểm M(a; b; c) trên mp(Oxy) thì:
MM| = (x - a; y - b; -c)
Vì MM,' . ĩ = 0 và MM| . ] = 0 nên x - a = 0, y - b = 0. Vậy Mi(a; b; 0)
Tương tự. hình chiếu của M trên mp(Oyz) là M2(0; b; c) hình chiếu của M trên
mp(Oxz) là M 3(a; 0; c)
Giả sử Mx(x; 0; 0) là hình chiểu của M(a; b; c) trên trục Ox thi
MM,. = (x - a; -b; -c). Vì MM^ .1 = 0 nên X = a, do đó Mx(a; 0; 0)

10

'1'ương tự, hình chiếu cùa M(a; b; c) trên trục Oy là My(0; b; 0), hình chiếu của
M(a; b; c) trên trục Oz là Mz(0; 0; c).
b) d(M; (Oxy)) = MMi = -y/(a-a)’ + (b - b )" + { c -0 )’ = | c |
Tương tự d(M; (Oyz))

== I a I , d(M; (Ozx)) = I b I

Ta có d(M; Ox) = MMx --/(a-a)-"+ (b-0)'+ (c-0 )" = /b -+ c '
+ c^' , d(M; Oz) = yja^ + b^' .

Tương tự d(M; Oy) =

Bài toán 1,15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm
A ( l;2 ;4 ) ,B ( 2 ;- l;0 ) ,C ( - 2 ;3 ;- l) .
a) Gọi (x; y; z) là các toạ độ của diểm M nằm trên mặt phang (ABC). Tìm sự
liên hệ giữa X, y, z.
b) Tim toạ độ của điểm D biết rằng hình ABCD là hình bình hành.
Giải
a) ÃB = (1; -3; -4), AC (-3; 1; -5), ẤM = (x - 1; y - 2; z - 4)
Ta có M nằm trên mặt phẳng (ABC)
»

f A B , AC ]. AM =■ 0

19(x - 1) + 17(y - 2) - 8(z - 4) = 0 »

19x t 17y - 8z - 21

0.

b) Vì ABCD là hình binh hành nên AB ^ D C :
l= -2-x„
-3 = 3-yp
-4 = -l

<=><Ịy„=6 . Vậy D(-3; 6; 3).
Zj5 —3

Bài toán 1.16: Cho A (2 ;-l;3 ), B(4; 0; ỉ), C(-10; 5; 3)
a) Chứng minh rằng: A, B, c là ba dỉnh của một lam giác
b) Tìm chân đường phân giác ngồi của góc B của tam giác ABC.
Giải
a) ĨĨA = (-2; -1; 2), ĩ ĩ c = (-14; 5; 2)
Ta có BA và BC không cùng phương nôn A, B, c là ba đỉnh của một tam giác.
b) Gọi BE là đường phân giác ngồi của g(k B, khi dó:
ỊM _EA
EA
3
1
BC ~ EC

EC~15~5'

Vì 2 veclơ EA, EC cùng hướng nên E chia đoạn AC theo tỉ
k=

E (5 ;-^ ;3 ).

Bài toán 1.17: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(xi; yi; Zi), C(X3; y 3; Z3),
E'( x'2; y'2; 7!2), k)'(x'4; y'4; z'4). Tìm loạ độ của các đỉnh còn lại.
11


Giải
Gọi Q = AC n BD, Q' = A'C' n B'D' Ihì Q, Q' là trung điểm của AC, B'D' nên:

D'

B

X, +X3 + x ';-x ', _ y, +Y3 +y’;-y ', . z, + z , + zy\ - z7'4 ^

D

'A
X|+X3 ~X',+X'4 _^ +y., -y'2+y'4 .Zl+ 2 3 -z''2 0+.7
2'
2

2

2

,

Bài tốn 1.18: a) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm
A ( l;2 ;3 )v à B (- 3 ;-3 ;2 )
b) Trên mặt phẳng (Oxz) thì điểm M cách đều ba điểm A (l; 1; 1), B (-l; 1; 0),

C(3;
Giải
a) M thuộc Ox nên M(x; 0; 0). Ta có MA = MB <=> MA^ = MB^
<=> (1 - x)^ + 2^ + 3^ = (-3 - x)^ + (-3)^ + 2^ o X = -1.
Vậy M (-1;0; 0)
b) M thuộc (Oxz) trôn M(x; 0; z). Ta có: MA = MB = MC
ÍAM^ =BM<=> ị
AM- = CM2z = l
4z = 8

<=>-

í ( x - l ) '+ l + ( z - l ) - = ( x + l ) V l + z^
(x -1)^ +1 + (z -1)- = (X - 3)- +1 + (z +1)^
5
X= —
rì

__
_f5
. Vây M
7
u
z = —6

^

7^
6)

Bài tốn 1.19: Cho tam giác ABC có A(-2; 1; 0), B(0; 3; -1), C (-l; 0; 2).
a) Chứng minh tam giác ABC có góc B nhọn.
b) Tìm toạ độ điểm II là hình chiếu của A trên cạnh BC.
12


Giải
a) Ta có BA = (-2; -2; 1), BC = (-1; -3; 3)
Nên cos B =

BẤ.BC _
BA BC

n
3VĨ9

> 0 => góc B nhọn.

b) H(x; y; z) thuộc BC nên BH = tB C
Do đó

X

= -t, y - 3 = -3t, z + 1 = 3t => X = -t, y = 3 - 3l, z = -1 + 3t

Ta có AH 1 BC nên ÃH . BC = 0.
(-t + 2)(-l) + (-3t + 2)(-3) + (z i 1)3 = 0 => t = — .

n _2 8

Vậy hình chiếu H

9 ’ 3 ’3

Bài toán 1.20: Cho bốn điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Hỏi
hai đường thẳng AB và CD có cắt nhau hay khơng? Neu chúng cắt nhau, hãy
tìm toạ độ giao điểm.
Giải
Ta có: ÃB = (3; -5; -8), Ã c = (5; -6; -11)
ÃD = (7; -8; -15), CD = (2; -2; -4).
Do đó [A B , ÀC] = (7; -7; 7) => [ AB . AC] . AD = 0 nên AB, CD đồng phẳng,
hơn nữa A B , CD khơng cùng phương, do đó 2 đường thăng AB và CD căt nhau.
Gọi

M (xm ;

Đặt

y\i,

zm )

là giao điểm của AB và CD.

= k M B , Ã ^ ’ = Ấ:'Ãffi.Tacó:
•3
X c-k'X p
“■M

Ym =

"M

1 -k

1-k'

1-k

i-k

^ y c - k ' y p <=>
i-k'
i-k

1 -k

^ yc-k'Zp
1-k'

7
Giải ra được k' = — nên M
11

2 -4 k ’
1 -k ’
- l + 3k'
i-k'

1 5 -7 k ^ 4

1-k
1-k'
2

2

.

Bài toán 1.21: a) Cho hai điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4).
Tìm điểm C(x; y; 6) để A, B, c thẳng hàng,
b) Cho hai điểm A (-l; 6; 6), B(3; -6; -2).
Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
13


Giải
X-

a) A, B,

c thẳng hàng <=> Ảc = k AB<=>

2=k

X

=5

y - 5 = 2k «

y = ll.

3= k

k=3 .

Vậy điểm C(5; 11; 6).
b) Vì za = 6, Zn = -2
za . zb < 0 => A, B ở hai phía của mp(Oxy).
Vậy MA + MB nhỏ nhất khi A, B, M thẳng hàng
A M , AB cùng phương
Gọi M(x; y; 0) e mp(Oxy)

[ A M , A B 1= 0
ẢM = (x + 1; y - 6; -6 ), AB = (4; -12; -8)

Ta có: [Ã M , ÃB] = (-8 y -2 4 ; 8x - 1 6 ;-12x - 4y + 1 2 ) - õ
-8y-24 = 0
X = z

8 x -l6 = 0

y = -3

- 1 2 x - 4 y + 12 = 0

Vậy MA + MB ngắn nhất khi M(2; -3; 0)
Bài toán 1.22: Cho tứ diện ABCD có: A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D
thuộc trục Oy. Biết V a b c d = 5. Tìm toạ độ đỉnh D.
Giải

Gọi D(0; y; 0) thuộc trục Oy. Ta có:
ÃB = (1 ;-1 ;2 ), ÃD = ( - 2 ; y - 1; 1), AC - (0;-2; 4)
= > [ X b , Ã C ]= --(0 ;-4 ;-2 )= ^ [X b , X c ]Ã D = -4(y - l ) - 2 - - 4 y + 2.
Theo giả thiết V abcd = 5 <=> — lị À B , AC ] AD
6

I

I-

5

I

<=> - 4y -í 2 = 30 <=í> y = -7; y = 8
Vậy có 2 điểm D trên trục Oy: D(0; -7; 0) và D(0; 8; 0).
Bài toán 1.23: Gọi G là trọng tcim của tứ diện ABCD
Chứng minh ràng dường thăng đi qua G và một dinh của tứ diện cũng di qua
trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó. Gọi A' là trọng tâm tam giác BCD. Chứng
minh răng

GA'

= 3.
Giải

Ta giải bằng phương pháp toạ độ.
Trong không gian toạ độ Oxyz, giả sử A(xi; yi; Z | ) , B(X2; V2; / 2), C(X3; y 3,
D(x4; y4; Z4) thì trọng tâm A' của tam giác BCD, trọng lâm tứ diện G:
A'

14

^ X, + X, +

y^ + y, -f y4 . z, + z, + z /

Za),


G

^ X, +

+ X , + X,, ^ y , + y , + y , + Y4 . z , + Z;,_ + 7.3 + z , ^

V

4

4

4

Do đó:
~y2 "^3 -y4 ■3?^- 'Í Ị - í y

ã \-í
-3x,

+X3 +X3 +X4

^-3y| +y^ +Y 3 +Y4 . -3Z| + 2,

12

12

+/-3

+z,

12

, GA
= 3.
Suy ra: GA = -3 G A ' => G, A, A' thẳng hàng và
GA'
Tưong lự thì có đpcm.
Bài tốn 1.24; Cho tứ diện nội tiếp trong mặt cầu tâm o và có AB = AC = AD.
Gọi G là trọng tâm AACD, E, F là trung điếm BG, AỈC
Chứng minh: OF _L BG <=5> OD _L AC.
Giải
AB = AC = AD và OB - oc - OD
=> OA _L (BCD) tại chân dường cao II với
HB = HC = HD.
lí
Chọn H làm gốc toạ độ. với hệ trục Hx, Ily, Hz
sao cho I lA là trục Mz, HB là trục Hy.
A (0;0; a), B(0; b; 0); C (c ; C2; 0),
D(di; d 2; 0) và 0(0 ; 0; z)

suy ra G

+d|
^
V 3
C|

I

C|

+dT a „
^
,E
3
i)

C,

+ d, b

Ct + dj 7a
12

12
và

ÒF =
BG =

c, + d| b

’ 12

c, + d, 7a

12 ’4”^ '12 ’' n
C|

+ d|

Cj

- z

+d
a
—^ - b ,
3
2)

AC = (Ci; C2; -a), OD = (di; dỵ, -z)
Theo giả thiết OA = OB =

oc = OD <=> OA" = OB‘ = oc^ = OD^

(a - z)" = b^ + z^ = c^ + cị + z^' = df + dị + z^
» a - 2az = b^ = c? + cl = d,“ + dỉ
Ta có: OF.BG = 0 «

(C i + d i) ^

+

(C2

+

( 1)
d2)^

- 9b^ + 7a' - 12az = 0

(2)
15


Khai triển (2) và thay thế (1) ta được:
(2) <=> 32 + Cidi + C2d 2 = 0 <tí> OD . AC = 0: đpcm.
BÀI TẬP
Bài tập 1.1: Tính tích vô hướng của hai vectơ sau:
a = (0 ; V 2; ^/3), b = (4; V 3 ; - V 2 ) .
HD-DS

V 2 .V ĩ + V 3 (- V 2 ) = 0.

a.b =0.4+

Bài tập 1.2: Chứng minh các tính chất sau đây của tích vơ hướng
a) [ a , a ] = Ổ

b) [c , a + b] = [c , a ] + [c , b]
ÌID-ĐS
Gọi a =

(Xi; y i ; Z i ) ,

/
a) [ a , a ] =

(X 2;

z,

X,

yi

Vyi
a + h] =

z.3

b =

y3

Xl

Zi

^y3
yy.

y2

^3

^3

Zl

z,

9

7i+yi
7.3

Z3

Z2
X3
x,[

Xi

yi'

X,

yi.

23

y,

z, +z^
X,

í
Zl

y 2; Z 2> , c =

z,

X,

X,

y.3

X,

y,

+

9

9

+

= (0;0; 0 ) = Õ ,

Z2
Z,+Z^

X3

z.3

(X3; y 3 ; 2 3).

X3
X1 + X

X3

y.3

Xi

y.

+

2

X3

9

X, + x .

X3

y3

X2

y2 y

^3

X,

X3 y3

y2 ^2 z,

X2

^2

y3

Bài tập 1.3: Cho hai điểm A(xi; yi;
đoạn thẳng AB theo tỉ sổ k + 1.

Z |)

[ c , ã ] + [ c , b].

y2

và B(X2; yi\ 7.2). Tìm toạ độ điểm M chia

IID-DS
Gọi M(x; y; z) ta có:
MA = (Xi - x; yi - y; Zi - z), MB = (X2 - x; y 2 - y; Z2 - z)
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 3Ế 1 khi và chỉ khi
X, - k x ,
X = — ------— X| - X = k ( X j - x )

MẨ = kMB<=> ^z, - z = k(Z 2 - z)

16

y+
yi+y..

1 -k

1 -k


Bài tập 1.4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các điểm A (l; 0; 1), B(2; 1; 2),

D (l; -1; 1) và C'(4; 5; -5). Tìm các điểm cịn lại.
HD-ĐS
ABCD là hình bình hành nên:
Xf - 2 =0
X(. = 2
BC = AD ^

y^. - 0 .Do đó: C(2; 0; 2)

<; . , . - l = - l «
-

2

=

0

Và ÃA' = BB' = DD' = CC' = (2; 5; -7) nên A'(3; 5; -6), B'(4; 6; 5), D'(3; 4; -6).
Bài tập 1.5: Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ
1) a = ( l ; - 2 ; 2 ) , b = ( 1 ; 0 ; 0), c = (2;-1; 1)
2 ) a = ( - 5 ; l ; 4 ) , b = ( - 3 ; 2 ; 3), c = ( l ; 2 ; 0 )
IID-ĐS
l)đ ồ n g p h ẳn g .
2) không đồng phẳng.
Bài tập 1.6: Cho 4 điểm A(5; 1; 3), B (l; 6; 2), C(5; 0; 4) và D(4; 0; 5).Chứng
minh A, B, c, D là 4 đỉnh tứ diện. Tìm trọng tâm Gcủa tứ diện.
HD-ĐS
^15 7 15^
Trọng tâm G

4 ’ 4’ 4 ,
Bài tập 1.7: Cho ã =(2, 3, 1), b =(5, 7, 0), c -(3, -2, 4)
a , b , c có đơng phăng khơng và tính Ia + b - 3 c I
HD-ĐS
Không đồng phẳng,

1

Bài tập 1.8:
a) Tìm hình chiếu M(2;-4;7) lên Ox, Oy, Oz., (xOy), (yOz), (zOx).
b) Tìm điểm đối xứng M (-l;9;3) qua o, Ox, Oy, (xOy), (zOy).
lĩD -Đ S
a) (2;0;0) ,(0;-4;0) ,(0;0;7) ,(2;-4;0) ,(0;-4;7) ,(2;0;7)
b) (l;-9;-3) ,(-l;-9;-3) ,(l;9;-3) ,(-l;9;-3), (1;9;3).
Bài tập 1.9: Cho A: - — - = — =
-2
3
cho đoạn AM ngắn lứiất.

1

và điểm A(0; 1; 3). Tìm điểm M trên A sao

ĨID-ĐS
AM ngắn nhất khi AM vng góc với đường thẳng A,
M

0

9 17^

7

7

7,
17


2J P

góc, k h o ả n g c á c h , d iệ n t íc h , t h ể t íc h

Tích có hướng của a = (x,y,z) và h --= (x'.y',z') là veclơ:
n = [a , h ] =

z
?

z'

- Độ dài của vectơ: u = (x,y,z):

X
z'

X
>

''

X'

I MI =

+ y~

.

- Khoáng cách giữa hai diêm A(xi, Vi, Zi) và B(X2, V2, 22):
AB = 7(^2 - x ^ Ý + (y^ -

)- + (Z2 - z, ) ^

- Góc giữa hai vecíơ: u = (x,y,z) và V' = (x',y',zỹ:
,— ^
x.x’+y.y'+z.z'
cos(w,v) = — ------.
+ y + z^ .^Jx'^+y'^+z'
- Góc của tam giác ABC: cos A = cos(AB, A C ).
- Diện tích lam giác ABC:

s = — \ [AB ,

AC Ị \

- Thế lích tứ diện ABCD: V = ~ \ [ÃB , J c ị Ã Ĩ ) \
6
- Thể tích hình hộp ABCD.A B'C/D': V = \[ Ã B
- Thể tích hình lăng trụ AB C A 'B'C': V = - \ [ A B ,

.1 Ã ' \

à õ ] . Z ĩ ' I.

Chủ ý:
Ị) Góc giữa 2 vectcĩ từ 0“ đến I8Ơ’ và các góc cồn lại giữa đường thẳng, mặt
phang đều từ ( f đến 9Ơ^.
2) Dùng diện tích tam giác đê tỉnh chiểu cao tam giác và thế tích tứ diện đê
tính chiều cao tứ diện.
3) ứng dụng tọa độ khơng gian đế giải các hài tốn hình khơng gian cơ điển,
CỊuạn hệ song song, vng góc, độ dài, góc , khoảng cách, vị tri tương đổi, ...
Bài tốn 2.1: Tính cơsin của góc giữa hai vectơ u và V trong mỗi trường họp sau:
a) Ũ =(1; 1; 1); V = (2; 1;-1)

b) u = 3 Ĩ t 4 j* ; V = - l Ỵ + 3 k
Giải

^ ^
xx'+y.y'+z.z'
a) cos(u,v) = p ■
•ựx^ + y" + z .•ựx'Vy'^+z'^
18

v2
^
3


b) Ta có ũ = (3; 4; 0), V = (0; -2; 3) => c o s(ii, v ) =

-8VĨ3
65

Bài tốn 2.2: Cho các vccíơ:
u = i - 2 j ; v = 3 Ĩ + 5(j

- k);w=2Ì-k+3j.

a) Tìm cơsin của các góc ( V, i ), ( V, j ) và ( V, k ).
b) Tính các tích vơ hướng u . v , u . w , v . w .
Giải
a) u = ( l ; - 2 ; 0 ) , V = (3; 5;-5), w = ( 2 ; 3 ; - l )
Và các vectơ đơn vị i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), ĩc = (0; 0; 1) nên
co s(v ,i)

c o s(v ,k ) =

V.I
-• -*
V1

59

v.k

-5

; c o s(v J) =

V.J

S9

59

b) Ta có u . V = x.x' + y.y' + z.z' = -7.
Tương tự thì được u . w = -4, V. w =26.
Bài tốn 2.3: Cho hình bình hành ABCD với A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2 ).
Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ AC và B D .
Giải
Ta có BẤ = (-6; 1; -1), BC = (2; 3; 1). Vi toạ độ của hai vectơ đó khơng tỉ lệ
nên ba điểm A, B, c, không thẳng hàng.
Gọi D(x; y; z). Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
x + 3= 2
AD = BC <í^ z

=1

x = -l
<=í> y = l . V ậyD (-l; 1; 1)
z=1

Ta có AC = (8; 2; 2), BD = (-4; 4; 0), do đó:
■32 + 8
cos(A C , BD ) =
V T 2.V ^ ‘ 2
Vậy ( Ã c , BD ) = 120".
Bài toán 2.4: Ba vcctơ đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz là i, j , k
Cho vectơ u tuỳ ý khác 0 .
19

Chứng minh rằng: cos^( u , i ) + cos^( u , j ) + cos^( u , ỉc) = 1.
Giải
Ba vectơ đơn vỊ trên 3 trục Ox, Oy, Oz: i={ 1;0;0), 7 =(0; 1;0 ) , Ic =(0;0; 1) .
Giả sử u = (x; y; z) ta có; cos(u,r) = •— —
u 1

^
V x“ + y = + z ’ '

Do đó cos^ (u, i ) = —— ^ ^ .
X +y +z
2

2

y
7.
Tương tự: cos^(uJ) = --^-..y , - ; co^(ĩi,k) =
X +y +z
X +y'+z
Từ

đó suy ra cos^( u , i )

f cos^( u , j ) + cos^( u , k ) = 1.

Bài toán 2.5: Cho tam giác ABC vuông ở A biết A(4; 2; -1), B(3; 0; 2), C(x; -2; 1)
a) Tìm tâm và bán kính đưịng trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A.
Giải
a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB^ + AC^ = BC^
Mà AB^ = 1 + 4 + 9 = 14, AC^ = (x - 4)^ + 16 + 4 = (x - AỶ + 20
BC^ = (x - 3)^ + 4 + 1 = (X - 3 f + 5
X = 18 ^ C(18; -2; 1)
Tâm đưòng tròn ngoại tiếp I là trung điểm của BC.
Nên l í — ;-l; - ì và bán kính R = — =
V2
2;
2

2

b) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AI I nôn
AH.HC = A B . A C ^ A H = i ^ = ^
.
BC
115
Bài toán 2.6: Cho ba điểm A(l; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1)
a) Chứng minh A, B, c khơng thẳng hàng. Tính chu vi, diện tích và
đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A.
b) Tính các góc của tam giác ABC.
Giải

độ dài

a) Ta có BA = (1; 0; -1), BC - (2; 1; 0), toạ độ hai vectơ đó khơng tỉ lệ nên
chúng không cùng phương. Vậy ba điểm A, B, c khơng thẳng hàng.
Ta có AB = ^ IÝ + 0 ^ + { -I Ý = V2 , BC = V2 ' + 1 ' +0^ = Vs

AC =

= V3 .

Vậy chu vi tam giác ABC bằng ^Í2 +
20


Vì BC^ = AB^ + AC^ nên tam giác ABC vng tại A do đỏ diện tích:
s = - A B .A C - — .
2
2
V3Õ

Ta có S aiỉc= -^BC.Iia
2

BC

u^
^ giác
•' ABC
An r' vng
'
♦tại• A
A nên:
^ cosB
n =
b) Vì ttam
= ^ , c o s C r' -= — =

BC vS
BC v5
,
r, .
,
.
„_BC.BẨ
2.1+ 0 + 0 ^Ỉ2
Cách khác: Tính cosB theo công thức: cosB = — — — = — r- r- =
•
BC.BA
V5 .V2
Vs
Bài tốn 2.7: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A (l; 2; -1),
B (2 ;-l;3 ),C (-4 ;7 ;5 ) .
a) Tính độ dài đường cao hA của tam giác vẽ từ đỉnh A.
b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác vẽ từ đỉnh B.
Giải
a) Ta có ÃB = (1; -3; 4 ), Ã c - (-5; 5; 6), BC = (-6; 8; 2)
^ [ Ã B , AC] = (-38;-26;-10)
V ậ y S A B C = - AB,AC = - V 3 F ^ r 2 6 ^ ^ f ^ =

2 ^

^ 2

u = 2S^oc
-^AUC 2 V ^ _ y Ị Ĩ Ĩ Ĩ
BC ~ VĨÕ4 ~ 4 Ũ
b) Gọi D(x; y; z) là chân đưòng phân giác vẽ từ B:

DA
BA
Ta có. —
—=—
^
DC BC

426 =_ ^1 . Vì
, D
p, năm
i giữa
•- A,
A cr- nên:
;-----^/ĨÕ4 2

2

2 (l-x ) = x + 4
DA = - - DC «

2

V âyD U ;ii

CD = 2DA o <2 ( 2 - y ) = y - 7 «
2 (-l-z ) = z -5

BD =

X= —

3
11
' 3

z=1

2 4 ĨẦ

Bài toán 2.8: Cho hình bình hành ABCD có 3 dinh A(3; 0; 4), B(1; 2; 3), C(9; 6; 4).
a) Tính góc B của tam giác ABC
b) Tính diện tích hình bình hành ABCD.
21


Giải
a) Ta có BA = (2; -2; 1), BC = (8; 4; 1)
Ta có cosB = cos( BA , B C ) = —.
b) Hình binh hành ABCD có diện tích:

s

I

= 2S abc = 2. — [ BA , BC ]

I

s

Ta có [ B A, BC] = (-6; 6; 24) ^

= 18 V2 .
Bài tốn 2.9: Cho bốn điểm có tọa độ:
A(2; 5;.-4), B(l; 6; 3), C(-4; -’l; 12), D(-2; -3; -2)
a) Chứng minh ABCD là một hình thang.
b) Tính diện tích hình thang ABCD.
Giải
a) AB = (-1; 1; 7), AC = (-6; -6; 16), hai vectơ này không cùng phưong vì toạ
độ khơng tỉ lệ suy ra A, B, c khơng thẳng hàng và có;
DC =( - 2; 2; 14) = 2ÃB => A B / / CD.
Vậy ABCD là hình thang
b) Sabcd - Sabc + Sadc
= - | [ A B , A C ] | + - | [ A D , Ã C ] | = 3V l046 .
Bài toán 2.10: Cho hai điểm A(2; 0; -1), B(0; -2; 3)
a) Tìm toạ độ điểm c e Oy để tam giác ABC có diện tích bằng V ĩĩ và thoả
mãn o c > 1.
b) Tìm toạ độ điểm D e (Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB.
Giải
a) Gọi C(0; y; 0) ^

ÃB = (-2; -2; 4), Ã c

Ta có: Sabc = Vu «

-

(-2; y; 1).

I [ AB , AC ] I = V ĩ 1^ - -1Ị { 2 + 4 y f +36+(2y+4)^ =VĨ 1

7

3
20y^ + 32y + 12 = 0<=>y = -l hoặc y = - — (loại)

Vậy điểm C(0; -1; 0)
b) Gọi D(x; 0; z) e (Oxz) => DC = (-x; -1; -z)
ABCD là hình thang khi và chi khi A B , DC cùng hướng
- x _ -1 _ - z
•> 0 <=> X = 1, z = -2.
Vậy điểm D (l;0 ;-2 ).
22


Bài toán 2.11: Cho bốn điểm A( ]; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; ]) và D(-2; 1; -2)
a) Chứng minh rằng A, B, c, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. Tính góc
giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ đỉnh A.
Giải
a ) Ta c ó : ÃB = ( - l ; 1;0), Ã c = ( - l ; 0 ; 1), ÃD = (-3; l ;-2)
nên f AB . AC ]

'

1

.0

0

0

-1

-1

1

1

1

-1

-1

0

/

Do đó [ AB, AC]. AD = -3 + 1 - 2 = -4 qẾ 0, suy ra ba vectơ AB, AC, AD
không đồng phẳng. Vậy A, B, c, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
Ta có CĨ5 = (-2 ; l;-3 ),

= (0;-1; 1), ĨĨĨD - ( - 2 ; 0;-2).

Gọi a , p, Y lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng; AB và CD, AC và BD,
AD và BC thì ta có:
c o sa = cos(AB,CD)
cosị3= cos(AB,CD)

c o s y = cos(AB,CD)

|2 + 1 + 0| _ 3VĨ7

~ V2.VĨ4 ~
2 + 0 -2

14

=0

V2.V8
|-1-2| 3VĨ7
^.^/Ĩ4~

14

b) Thể tích tứ diện ABCD là V = - A B , AB
6 ^
Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A là: hA =

.AD

'3

2V3

3V

3V
-■bcd

2

1

bc,bd

Bài tốn 2.12: Cho tử diện ABCD có:
A (-l; 2; 0), B(0; 1; 1), C(0; 3; 0), D(2; 1; 0)
a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
b) Tim hình chiếu của D lên mặt phang (ABC).
Giải
a ) T a c ó ẢB = ( 1 ; - 1 ; 1), Ã c =(1; 1;0), ÃD = ( 3 ; - l ; 0 )
nên [ AB, AC] = (-1; 1; 2)

1

S abc ^ - | [ A B , A C ] | = —

2

V à [ A B , à C l . A D = - 4 ^ V abcd = - | f à B . A C ].A D
6

2

I = -3.
23

b) Gọi H(x; y; z) là hình chiếu D trên mặt phẳng (ABC) thì:
ÃH = ( x + l ; y - 2 ; z ) , Ĩ5h = ( x - 2 ; y - l;z). Ta có:
X =

DH.ÃB = 0

x - 2 y +z - 0

DH.ÃC = 0

X

ã b , ã c Ịã h

-0

+y=3

Oi

y=

x - y - 3 z = -3

z=

18
11
15
11

12
11

V ạ y H Íll; ll;lỉì.
u 1 11 11J
Bài tốn 2.13: Trong khơng gian Oxyz, cho 4 điểm A (l; 0; 3), B(-3; 1; 3), C (l; 5; 1)
và M(x; y; 0).
Tìm giá trị nhỏ nhất T = 2 MA + ÃĨB+ÃÍC
Giải
Gọi I là trung điểm của BC;
=>I( -1; 3; 2)=> ^

+^

= 2MỈ =>T = 2(MA + MI)

Za - 3 > 0 và Zi = 2 > 0 => A và I nằm về cùng 1 phía đối với mp(Oxy) và M(x;
y; 0) thuộc mp(Oxy) nên lấy đối xứng I(-l; 3; 2) qua mp(Oxy) thành J(-l; 3; -2)

^ MI = MJ ^ T = 2(MA + MJ) > 2AJ = 2
Dấu = xảy ra khi M là giao điểm của đoạn MJ với mp(Oxy) là M

1

9

V 5

5

Vậy minT = 2 - \/ ^ .
Bài tốn 2.14: Cho hình lập phưcmg ABCD.A'B’C'D' có cạnh bàng a. Gọi I, J lần
lượt là trung điểm của A'D' và B'B.
a) Chứng minh rằng u ± A C . Tính độ dài đoạn thẳng u.
b) Chứng minh rằng D'B -L mp(A'C'D), mp(ACB') và tính góc giữa hai đưịng
thẳng u và A'D.
Giải
a) Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho
A(0; 0; 0), D(a; 0; 0), B(0; a; 0),
A-(0; 0; a).
Ta có C' (a; a; a),
B'(0; a; a), D'(a; 0; a) nên:
I ( | ; 0 ; a); J(0; a; | )
24


Ta có; ĩj = (0 - - ; a - 0; - - a) =
2
2

2

; a; - - )
2

A C ' = (a - 0; a - 0; a - 0) = (a; a; a)

u . A C ' = - —.a + a.a - —.a = -a^ + a^ = 0.

nên

2

Vậy

u1

2

A C . Đoạn

^ a^

u

2

2 r a^
+a +
. 2,

iVó

b) Để chứng minh D'B ± mp(A'C'D), ta chứng minh
Ỡ B 1 Ã ^c,

1

D T3.Ả ^' = 0, D ^ . Ã ^ = 0

Ta có D'B = (-a; a; -a), A ’C = (a; a; 0); A 'D = (a; 0; -a)
Do đó D 'B A 'C ' = 0, D’B.A'D = 0 .
Tưcmg tự, ta cũng chứng minh được D'B 1 mp(ACB')
Ta có A 'D = (a; 0; -a).
Gọi (p là góc giữa hai đưỊTig thẳng
IÌ.A'D
coscp

cos(ĩJ,A 'D )

IJ.A'D

u và A'D thì:
- —.a + a.O - —(-a )
2
2
aVó
,aV2

=

0.

Vậy góc cp = 90°.
Bài tốn 2.15: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Trên các cạnh
BB', CD, A ’D' lần lượt lấy các điểm M, N, p sao cho B'M = CN = D ’P = ka
(0a) Tính diện tích tam giác MNP theo k và a.
b) Xác định vỊ trí M trên BB' để diện tích tam giác MNP có giá trị bé nhất.
Giải'.

z
Chọn hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ
p i:
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0)
tA ’
C(a; a; 0), D(0; a; 0)
B'
A'(0; 0; a), B'(a; 0; a)
i1
M
1i
C'(a; a; a), D'(0; a; a)
" '" k
.

/i.

a) B'M = kB' B => M(a; 0 ; a - k a )
CN = kCD

N(a - ka; a; 0)

n

//

ịy

/ n
c

X

D' P = k D ’A ' = > P ( 0 ; a - k a ; a)
25