Rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến theo định hướng tư duy sáng tạo

1

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU....................................................................................................................................1
I. Lý do chọn đề tài:...........................................................................................................................1
II. Mục tiêu nghiên cứu:....................................................................................................................3
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:..................................................................................................................3
IV. Giả thuyết nghiên cứu:.................................................................................................................3
VI. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:..............................................................................................3
VII. Cấu trúc của tiểu luận:................................................................................................................4
PHẦN NỘI DUNG................................................................................................................................5
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN...........................................................................................................5
1.1. Những khái niệm về sáng tạo và tư duy sáng tạo.......................................................................5
1.2. Các tính chất của tư duy sáng tạo...............................................................................................7
1.3. Những biểu hiện đặc trưng của tư duy sáng tạo.........................................................................8
1.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo...........................................................................................................8
1.5. Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo................................................................9
CHƯƠNG 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ................................................................................................10
2.1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng............................................................................................10
2.2. Phương trình tiếp tuyến với đồ thi............................................................................................11
2.3. Đinh nghĩa hai đường cong tiếp xúc nhau:...............................................................................11
2.4. Các bài toán về tiếp tuyến.........................................................................................................12
2.4.1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = f(x)..................................................................12
2.5. Các biện pháp rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với đường cong theo hướng tư duy sáng
tạo....................................................................................................................................................19
PHẦN KẾT LUẬN..............................................................................................................................29

TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................28
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Xã hội càng phát triển thì người ta càng quan tâm và cũng càng đòi hỏi nhiều ở giáo

dục.
Ngày nay, khi giáo dục đã trớ thành một lực lượng sản xuất trực tiếp, tham gia một
cách quyết đinh vào việc cung ứng những con người có đủ phẩm chất và tài năng cho xã hội,
người ta thường đòi hỏi nền giáo dục phải có nhiều phương pháp giảng dạy mới nhằm giúp
học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẫm mỹ và các kỹ năng cơ bản,
phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bi cho học sinh tiếp
tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc.
Chúng ta biết rằng, nhiệm vụ của môn Toán là truyền thụ tri thức, kĩ năng toán học và
kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh; phát triển năng lực trí tuệ chung cho
học sinh; giáo dục chính tri, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ cho học sinh; bảo đảm chất


2

lượng phổ cập, chú trọng phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về toán. Vì vậy, dạy
toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được kiến thức, những đinh lý toán
học.Điều quan trọng là dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ. Năng lực này sẽ được hình
thành và phát triển trong học tập.Vì vậy cần giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ chung,
bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng.
Trong xu thế chung của nền giáo dục những năm gần đây, viêc đổi mới phương pháp
dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhất nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt
động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ trong các bài giảng lý thuyết, mà
ngay cả trong các giờ luyện tập. Luyện tập, ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng
suy luận cần giúp học sinh biết phân tích, tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp
các kiến thức đã học một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào
giải bài tập một cách năng động sáng tạo và hợp lôgic.
Trong toán học, giáo viên cần hoạt động sáng tạo, tìm hiểu, đưa ra những phương
pháp tích cực nhằm giúp học sinh khắc sâu kiến thức và rèn luyện tư duy đặc biệt là tư duy
sáng tạo (TDST), giúp cho học sinh thấy được ứng dụng của toán học trong các lĩnh vực

khác của khoa học và đời sống nhằm vận dụng các kiến thức đã học một cách sáng tạo trong
nghề nghiệp tương lai. Riêng đối với bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong là
bài toán cơ bản và thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh ĐHCĐ trong
những năm gần đây, nó không phức tạp lắm, thế nhưng không ít học sinh xem đây là một bài
toán khó khăn, các em còn rất lúng túng không có cái nhìn thấu đáo về bài toán này, các em
thường không biết viết phương trình tiếp tuyến ở dạng nào và cần tìm gì? Cũng như chưa
nhận dạng được bài toán và chưa có phương pháp giải cụ thể, cộng với khả năng phân tích đề
còn yếu. Từ đó dẫn đến không giải quyết được bài toán. Cho nên học sinh phải hiểu sâu sắc
nội dung các dạng toán tiếp tuyến để từ đó có cơ sở rèn luyện và phát triển khả năng TDST
trong việc giải bài tập và mở rộng bài toán. Vì vậy, một phương thức tư duy quan trọng trong
hoạt động dạy và học toán mà giáo viên và học sinh cần phải chú ý đó là TDST.
Từ tình hình thực tế như vậy nên tôi đã mạnh dạng tìm hiểu và viết đề tài “Rèn luyện
năng lực giải toán tiếp tuyến với đường cong (C): y=f(x) cho học sinh lớp 12 THPT theo
định hướng tư duy sáng tạo” nhằm giúp các em học sinh nắm chắc được kiến thức về bài
toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong, để các em có sự chuẩn bi tốt cho các kỳ
thi tốt nghiệp PTTH và tuyển sinh CĐĐH.


3

II. Mục tiêu nghiên cứu:
Rèn luyện cho học sinh có được năng lực tư duy sang tạo trong khi giải các bài toán
tiếp tuyến với đường cong, qua đó nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng
kiến thức vào những tình huống khác nhau để có thể chủ động giải quyết các bài toán về tiếp
tuyến với đường cong một cách tốt nhất. Đồng thời khai thác các bài toán mới từ bài toán
ban đầu theo hướng phát triển TDST.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Vấn đề phát triển TDST toán học cho học sinh.
- Một số biện pháp phát triển TDST cho học sinh.

IV. Giả thuyết nghiên cứu:
Dạy học theo đinh hướng phat triển TDST có thể góp phần đổi mới phương pháp dạy
học trong giai đoạn hiện nay đồng thời cũng góp phần nâng cao chất lượng của ngành giáo
dục cũng như chất lượng dạy học toán ở trường THPT.
V. Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài đã sử dụng một hệ thống các phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu về giáo dục học, phương pháp dạy học và các công
trình khoa học liên quan đến vấn đề phát triển TDST toán học cho học sinh (HS).

- Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự,...
- Phương pháp nghiên cứu tham khảo các sách báo, các công trình nghiên cứu có liên
quan trực tiếp đến đề tài..
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê toán học.
VI. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Về phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12 trường TH cấp 2-3 Mỹ Thuận, xã Mỹ
Thuận, huyện Bình Tân, tỉnh Vĩnh Long.
- Về đối tượng nghiên cứu:
+ Nghiên cứu năng lực giải toán tiếp tuyến với đường cong của học sinh lớp 12.
+ Biện pháp tâm lý sư phạm: chủ yếu áp dụng một số tác động tâm lý thông qua
phương pháp dạy học của GV nhằm tăng tính chủ động, tìm tòi, sáng tạo giải quyết vấn đề


4

cho học sinh lớp 12.
VII. Cấu trúc của tiểu luận:
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục tiêu nghiên cứu

III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Giả thuyết nghiên cứu
V. Phương pháp nghiên cứu
VI. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Những khái niệm về tư duy sáng tạo
1.2. Các tính chất của tư duy sáng tạo
1.3. Những biểu hiện đặc trưng của tư duy sáng tạo

1.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo
1.5. Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo
Kết luận chương I
CHƯƠNG 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng
2.2. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
2.3. Định nghĩa hai đường cong tiếp xúc nhau
2.4. Các bài toán về tiếp tuyến
2.5. Các biện pháp rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với đường cong
(C) : y = f (x) theo hướng tư duy sáng tạo.
Kết luận chương II
PHẦN KẾT LUẬN


5

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Những khái niệm về sáng tạo và tư duy sáng tạo
Sáng tạo là gì? Tư duy sáng tạo là gì? Dạy cho học sinh về tư duy sáng tạo là dạy

những nội dung gì? Và quan trọng hơn nữa là dạy như thế nào để thật sự bồi dưỡng và nâng
cao được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh chúng ta?
Theo nghĩa thông thường, sáng tạo là một tiến trình phát kiến ra các ý tưởng và quan
niệm mới, hay một kết hợp mới giữa các ý tưởng và quan niệm đã có. Hay đơn giản hơn,
sáng tạo là một hành động làm nên những cái mới. Với cách hiểu đó thì cái quan trọng nhất
đối với sáng tạo là phải có các ý tưởng, như lời của nhà toán học vĩ đại Poincaré: "Trong
sáng tạo khoa học, ý tưởng chỉ là những ánh chớp, nhưng ánh chớp đó là tất cả", hay lời của
một nhà khoa học vĩ đại khác, Linus Pauling, khi trả lời câu hỏi làm thế nào người ta sáng
tạo ra được các lý thuyết khoa học: "Người ta phải cố nắm bắt được nhiều ý tưởng" và "con
đường để có được một ý tưởng tốt là có thật nhiều ý tưởng".
Theo Solso R.L (1991):“ Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một
cách nhìn nhận, hay cách giải quyết mới mẽ đối với một vấn đề hay một tình huống“. Hay
theo cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nói:“ Nghề dạy học là nghề sáng tạo nhất vì nó sáng
tạo ra những con người sáng tạo, cho nên nhà trường phải vũ trang cho học sinh cái khả năng
sáng tạo vô tận“. Như vậy, sáng tạo là một phẩm chất của tư duy, sáng tạo cần thiết cho bất
kỳ lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người, chẳng hạn như những ý tưởng sáng tạo


6

trong các lĩnh vực thi ca, âm nhạc, hội hoạ, nghệ thuật. Các ý tưởng thường không đến với
con người bằng suy luận, bằng tư duy lôgíc, mà thường đến ở những giây phút xuất thần nào
đó sau những tưởng tượng, những suy tư, những phỏng đoán, những đối chiếu, những so
sánh bóng gió, v.v...tưởng chừng không liên quan gì đến điều mà mình đang bận tâm suy
nghĩ.
Thời đại khoa học ra đời từ thế kỷ 17 đã gắn liền ngay từ đầu với chủ nghĩa cơ giới và
chủ nghĩa duy lý. Phương pháp sáng tạo ra các đinh lý mới, các kiến thức mới trong các lý
thuyết khoa học của thời đại đó đã gắn chặt với các lập luận lôgích, với các phép qui nạp và
diễn dich hình thức. Tôi không dám khẳng đinh 100% rằng chỉ bằng các lập luận lôgíc và
diễn dich hình thức thì không thể làm nên những kiến thức mang tính sáng tạo, nhưng bằng

vào một đinh lý Godel về tính đầy đủ của lôgíc tân từ, không thể suy ra bất kỳ kiến thức gì
thực sự mới từ các lý thuyết được xây dựng trong phạm vi của lôgíc đó. Nhưng từ đầu thế kỷ
20 trở đi, khi khoa học mở rộng đối tượng của mình đến các hệ thống phức tạp trong tự
nhiên và xã hội, thì các phương pháp tư duy cơ giới và duy lý không còn chiếm được vi trí
độc tôn nữa, và các phương pháp tư duy sáng tạo cùng với quan điểm hệ thống trở thành phổ
biến hơn, do đó để hiểu được cuộc sống và thế giới trong tinh thần hiện đại, việc rèn luyện
một năng lực tư duy sáng tạo lại càng có ý nghĩa quan trọng.
Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ biết bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu
cầu tư duy, tức là khi đứng trước một nhu cầu khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục,
một tình huống gợi vấn đề. “tư duy sang tạo luôn bắt đầu từ một tình huống gợi vấn
đề.”(Rubinstein 1960, S.4350).
Theo quan điểm của các nhà khoa học:
G.Mehlhorn cho rằng : “Tư duy sang tạo là hạt nhân của sự sang tạo đồng thời là mục tiêu cơ
bản của giáo dục.”
J.Danton (1985) : Tư duy sáng tạo là năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, những
mối quan hệ mới, là năng lực chứa đựng sự khám phá, sự phát minh, sự đổi mới, trí tưởng
tượng …
Theo Tôn Thân:“ Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc
đáo và có hiệu quả cao trong quyết đinh vấn đề“.
G.Polya “có thể gọi là tư duy có hiệu quả nếu dẫn đến lời giải bài tập cụ thể nào đó.
Có thể coi là sang tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện để giải bài tập.”


7

Theo Nguyễn Cảnh Toàn : “Sáng tạo là sự vận động của tư duy , từ những hiểu biết đã
có dến những hiểu biết mới, vận động đi liền với biện chứng nên có thể nói tư duy sang tạo
về cơ bản là tư duy biện chứng. ”
Như vậy ta có thể kết luận :
Tư duy sang tạo được hiểu là tư duy tạo những ý tưởng mới có hiệu quả cao trong giải quyết

vấn đề. Tư duy sang tạo là tư duy độc lập vì nó không bi gò bó, phụ thuộc vào những cái đã
có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi
sản phẩm của tư duy sang tạo đều mang đậm dấu ấn của cá nhân tạo ra nó.

1.2. Các tính chất của tư duy sáng tạo
• Tính mềm dẻo là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ
khác; vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, …, linh hoạt chuyển từ giải
pháp này sang giải pháp khác, suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy
móc; nhận ra vấn đề mới và chức năng mới trong điều kiện quen thuộc.
• Tính nhuần nhuyễn là năng lực tạo ra một cách linh hoạt sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ
của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới, là tính đa dạng của các
cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống
khác nhau; khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
• Tính độc lập là khả năng tìm kiếm và quyết đinh phương thức giải quyết lạ hoặc duy
nhất;
• Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý
tưởng, kiểm ta và chứng minh ý tưởng;
• Tính nhạy cảm vấn đề là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề,mâu thuẫn, sai lầm,
sự thiếu lôgic,...do đó, nảy ra ý muốn cấu trúc lại hợp lý, hài hòa, tạo ra cái mới.
Các tính chất của TDST không tách rời nhau mà quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ cho
nhau và góp phần tạo nên TDST, đỉnh cao nhất trong hoạt động trí tuệ của con người.


8

1.3. Những biểu hiện đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo I. Ia. Lerner, TDST có các biểu hiện đặc trưng sau:


Thực hiện độc lập việc chuyển các tri thức, kĩ năng, kĩ xảo sang tình huống mới

hoặc gần hoặc xa, bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiến thức.


Nhìn thấy những nội dung, chức năng, cấu trúc mới của đối tượng quen biết.



Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết tạo thành cái mới.



Nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếm lời giải.



Xây dựng phương pháp mới về nguyên tắc, khác với những nguyên tắc quen thuộc.

1.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo
Muốn tư duy sáng tạo cần phải nắm được những quy luật khách quan của sự vật –
đây là đối tượng nghiên cứu. Một nhà khoa học đã từng khuyên “Hãy suy nghĩ theo hững
quy luật khách quan về sự phát triển, chắc chắn bạn sẽ có sự cải tiến, cao hơn nữa là sự sáng
chế phát minh“.
Việc rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo hiện nay thường gắn liền với một phương
pháp nhận thức mới là phương pháp giải quyết bài toán (problem solving method), với quan
niệm mới xem rằng nhiệm vụ của khoa học không phải (và cũng không thể) là tìm kiếm chân
lý, mà là tìm kiếm lời giải cho những bài toán mà con người liên tục gặp phải trong cuộc
sống. Yếu tố cốt lõi của phương pháp giải quyết bài toán là tư duy sáng tạo, sáng tạo trong
việc xác đinh bài toán, xác đinh các mục tiêu của bài toán, tạo sinh các ý tưởng bằng các
thao tác trí tuệ như tưởng tượng, phỏng đoán, so sánh với các ẩn dụ, đưa ra các giả thuyết,

phê phán và đánh giá các giả thuyết, rồi lựa chọn các lời giải, thực thi từng phần hoặc toàn
bộ một lời giải đã chọn, đánh giá các lời giải khả thi, sửa đồi để hoàn thiện lời giải,... Từ
nhiều năm gần đây, rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo và sử dụng rộng rãi phương pháp giải
quyết bài toán đã được phổ biến rộng rãi trong nhiều lĩnh vực hoạt động như quản lý, lập kế
hoạch kinh tế, giáo dục và hoạt động khoa học ở nhiều nước. Trong lĩnh vực giáo dục, việc
vận dụng phương pháp giải quyết bài toán trong tổ chức và quản lý giáo dục, trong việc cải
thiện nội dung và phương pháp dạy học, thậm chí đến việc đổi mới chương trình học của một
số bộ môn khoa học như toán, lý, hoá, sinh học cũng đã được thực hiện một số nước khác.


9

1.5. Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo
Do TDST có các tính chất: mềm dẻo, nhuần nhuyễn, độc đáo, hòa quyện vào nhau
không tách rời, nên muốn rèn luyện phát triển TDST ta rèn luyện theo một số nhóm các biện
pháp sau:
Nhóm biện pháp 1: Chú trọng bồi dưỡng các thao tác tư duy (dự đoán, phân tích, tổng
hợp, so sánh, quy nạp, tương tự,…) và trang bi cho học sinh những tri thức về phương pháp
của hoạt động nhận thức.


Cơ sở khoa học: Nhóm biện pháp thể hiện rõ con đường biện chứng của sự nhận

thức chân lí vận dụng trong môn Toán và thể hiện mối quan hệ biện chứng của các cặp phạm
trù cái chung và cái riêng.


Yêu cầu khi sử dụng nhóm biện pháp này
Vận dụng các phương pháp suy luận KQH, ĐBH, TT để hình thành TDST cho HS.
Khai thác các lời giải để đinh hướng giải quyết các BT đặc biệt, tương tự, tổng quát.

Khi giải xong BT phải rút ra các kinh nghiệm KQH, ĐBH, TT, và đề xuất BT mới.



Nhóm biện pháp yêu cầu HS nắm vững: Các khái niệm, đinh lí, công thức, …; suy

luận logic; vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, vào bài tập từ thấp đến cao, phù hợp
các đối tượng HS. Từ đó hình thành tính mềm dẻo của TDST.
Nhóm biện pháp 2: Tập cho HS biết phân tích tình huống đặt ra dưới nhiều góc độ khác
nhau, biết giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau và lựa chọn cách giải quyết tối ưu.


Cơ sở khoa học: Nhóm biện pháp thể hiện mối quan hệ biện chứng của cặp phạm

trù nội dung và hình thức, vận động và đứng yên.


Yêu cầu khi vận dụng nhóm biện pháp: HS phải nắm vững kiến thức, các phép

suy luận thì mới có thể linh hoạt sáng tạo trong giải quyết. Giúp HS có cách nhìn toàn diện,
biết hệ thống hóa và sử dụng kiến thức, các kĩ năng thủ thuật một cách chắc chắn, mềm dẻo,
linh hoạt. Tập hợp nhiều cách giải và tìm được cách giải tốt hơn. Đây là quá trình tư duy trên
các cách giải. Từ đó phát hiện ra các vấn đề mới (hình thành tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn,
độc đáo của TDST).
Nhóm biện pháp 3: Tập cho HS biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phương pháp.


Cơ sở khoa học: Phép biện chứng xem xét sự vật trong mối liên hệ ràng buộc lẫn

nhau, GV phải hệ thống các cách giải và chỉ ra cách giải tối ưu. Đây chính là cách dạy cho

10

HS cách tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề, bước đầu rèn luyện TDST, quá trình sáng
tạo phát triển liên tục.


Yêu cầu khi vận dụng biện pháp: Giúp cho HS ôn tập, tổng kết, hệ thống hóa, KQH kiến

thức, kĩ năng sau khi học xong một chương, một phần hay toàn bộ chương trình.


Ứng dụng: Tập cho HS biết hệ thống hóa kiến thức và phương pháp như:

trắc nghiệm khách quan, chứng minh, tính toán, BT cực tri, BT có nội dung thực tiễn, BT
ghép hình, BT dựng hình.
Kết luận chương 1
Tóm lại, phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần
được tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học.Cần tạo điều kiện cho học sinh có
dip được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế,
trong việc viết báo toán với những bài toán tự sáng chế, tìm ra những cách giải mới khai thác
từ các bài toán đã giải.

CHƯƠNG 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x)
và M(x 0 ; f (x 0 ))∈ (C ) kí hiệu M’(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C)
y
f(x)

M’
M

T

f (x 0 )

O

Đường thẳng MM’ là một cát tuyến của ( C).

x0

x

x


11

Khi x →x 0 thì M’(x; f(x))

di chuyển trên ( C) tới M(x 0 ; f (x 0 )) và ngược lại.
Giả sử MM’ có vi trí giới hạn, kí hiệu là MT thì MT được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M.
Điểm M được gọi là tiếp điểm
2.2. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
Định lý 1: Cho hàm số y = f(x)

(C)

M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C ) có dạng:

Phương trình tiếp tuyến tại
,

y = f (x 0 ).( x-x 0 ) + y 0
Với: f’(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến
và

y 0 = f (x 0 )

Định lý 2: Cho hàm số (C): y = f(x) và đường thẳng (d): y = kx + b. Khi đó:
Đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 f ( x) = kx +b

,
 k = f ( x)
Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm
2.3. Định nghĩa hai đường cong tiếp xúc nhau:

Cho hai đường cong (C1), C2) lần lượt có phương trình y = f1(x), y = f2(x).


12

Vì (C1) và C2) có đạo hàm tại M(x, y) nên (C1) và (C2) đgl tiếp xúc với nhau tại M0 nếu
M là một điểm chung của chúng và chúng có chung một tiếp tuyến (d) tại điểm M.
Điểm M đgl tiếp điểm của (C1) và C2).
ĐK cần và đủ để (C1), (C2) tiếp xúc nhau tại điểm M(x; y) khi và chỉ khi hệ:

 f1 ( x) = f 2 ( x)
 '
'
 f1 ( x) = f 2 ( x)

có nghiệm

2.4. Các bài toán về tiếp tuyến
2.4.1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = f(x)
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) (biết tiếp điểm).
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) biết hệ số góc k cho trước (hoặc song song
hoặc vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước).
a) Dạng 1: Biết tiếp điểm
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) tại M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) : y = f ( x)
* Phương pháp: PTTT có dạng y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) (1)
Ta cần tìm x0 , y0 , f '( x0 ) rồi thế vào pt (1)
Ta có các dạng sau :


13

* Các ví dụ:


14


15

b) Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 )
* Phương pháp:


16

* Các ví dụ:
Bài 5:


17

c) Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) biết hệ số góc k cho trước (hoặc song song
hoặc vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước).


18

* Các ví dụ:


19

2.4.2. Tìm tập hợp điểm M: sao cho từ M có thể kẻ được tới (C) : y = f (x) không, một, hai,…
tiếp tuyến; ít nhất một tiếp tuyến; đúng một tiếp tuyến; hai tiếp tuyến vuông góc nhau;….
Cách giải: Xác đinh tọa độ của điểm M(x M , y M ) .
Gọi d là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k, suy ra d : y = k(x − x M ) + y M

f (x) = k(x − x M ) + y M (1)
(2)

f '(x) = k

d tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm 

Thế (2) vào (1) ta được f (x) = f '(x)(x − x M ) + y M

(3)

Số nghiệm của (3) cho biết số tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.

2.5. Các biện pháp rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với đường cong (C) : y = f (x)
theo hướng tư duy sáng tạo.
2.5.1. Biện pháp 1: Tạo cho HS có thói quen mò mẫm, dự đoán rồi phân tích, tổng hợp,
đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự.
Bài toán 1:

Bài toán 2:


20

Bài toán 3:

Giải

Bài toán 4:


21

Giải

Bài toán 5:

Giải

2.5.2. Biện pháp 2: Tập cho HS biết phân tích tình huống đặt ra dưới nhiều góc độ khác nhau,
biết giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau và lựa chọn cách giải quyết tối ưu.
Bài toán 1:


22

Bài toán 2:

Giải


23

Bài toán 3:


24

Một số bài toán tương tự:
Bài toán 4:

Bài toán 5:

2.5.3. Biện pháp 3: Tập cho HS biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phương pháp.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) khi biết tọa độ tiếp điểm.
Bài toán 1:
2 x2 + x − 3
Cho hàm số (C): y =
. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
2x −1

(C) tại A(0;3)
Nhận xét: Đối với BT này HS sẽ xác đinh được đây là dạng viết Pttt khi đã có tọa độ tiếp
điểm. HS tự mình viết được Pttt.
Giải
Ta có: y = x+1 -

4
2
. Suy ra : y’= 1+
(2 x − 1) 2
2x − 1


25
’

Nên y (0) = 5
Phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) tại A(0;3) có dạng:
y = 5(x-0) + 3

hay

y = 5x + 3

* Từ BT 1 ta có thể phát triển thành các BT như sau:
Bài toán 1.1:

Bài toán 1.2:

Bài toán 1.3:

Đối với BT này có hai cách để xác đinh giao điểm:
Cách 1. Vẽ đồ thi (C) và xác đinh giao điểm.
 y = x 3 − 2x 2 + 2x + 1
Cách 2. Giao điểm là nghiệm của hệ phương trình 
x = 0
Nếu BT có yêu cầu vẽ đồ thi (C) thì cách 1 là tối ưu. Ngược lại, thì cách 2 tối ưu.
Dạng 2: Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x 0 , y 0 )
Bài toán 2:
Cho hàm số (C): y =
qua điểm A(3;0)

1 3 2
x - x . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi
3