Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính bỏ túi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.4 MB, 56 trang )
MỤC LỤC
I. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx 570MS......................................2
II. ĐẠI SỐ...............................................................................................6
1. Tính toán thông thường và sử dụng biến nhớ:...............................6
2. Xử lý số lớn:...................................................................................7
3. Tìm USCLN và BSCNN..................................................................11
4. Tìm số dư:....................................................................................12
5. Tìm số các chữ số:.......................................................................14
6. Tìm số chữ số cuối.......................................................................15
7. Bài toán về đa thức:.....................................................................19
8. Số tự nhiên tuần hoàn - Dấu hiệu chia hết..................................20
8.1 Số tự nhiên tuần hoàn............................................................20
8.2 Dấu hiệu chia hết....................................................................21
9. Dẫy số:.........................................................................................22
9.1 Dẫy số Fibonaci:......................................................................22
9.2 Dẫy số Lucus:..........................................................................22
9.3 Dẫy số Fibonaci suy rộng:.......................................................23
9.4 Dẫy số Fibonaci bậc 3:............................................................23
9.5 Quy về các dãy số trên:..........................................................23
9.6 Dạng tìm n để an là số tự nhiên.............................................24
9.7 Dạng khác...............................................................................25
III. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH.......................................................................25
1. Phương trình bậc I, II, II, bậc cao và quy về bậc I, II, III, bậc cao. 25
1.1 Phương trình bậc I...................................................................25
1.2 Phương trình bậc II..................................................................26
1.3 Phương trình bậc III.................................................................27
1.4 Phương trình bâc cao..............................................................27
1.5 Quy về phương trình bậc I, II, III..............................................27
1.6 Phương trình vô tỉ...................................................................27
2. Giải phương trình dùng SHIFT SOLVE...........................................27
3. Giải phương trình bằng phương pháp lặp....................................27
4. Phương trình lượng giác...............................................................29
5. Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit...............................29
5.1 Phương trình, hệ phương trình mũ..........................................29
5.2 Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit..........................30
6. Hệ phương trình bậc nhất 2, 3 ẩn................................................30
7. Tích phân, đạo hàm.....................................................................30
8. Hàm số.........................................................................................31
8.1 Hàm số:...................................................................................31
8.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác............32
9. Phương trình hàm........................................................................34
10. Giải tích tổ hợp...........................................................................35
IV. HÌNH HỌC......................................................................................35
1
A. Một số công thức hay sử dụng:....................................................35
B. Một số dạng tính toán:.................................................................37
1. Hệ thức lượng giác trong tam giác...........................................37
2. Hệ thức lượng trong đường tròn...............................................38
3. Véc tơ........................................................................................38
4. Đường thẳng:............................................................................38
5. Mặt phẳng.................................................................................38
6. Đường tròn:...............................................................................39
7. Mặt cầu.....................................................................................39
8. Elíp............................................................................................39
9. Hypebol. (tương tự)...................................................................39
10. Parabol. y2=2px (tương tự)....................................................39
11. Tìm giao của các đường..........................................................39
12. Tứ diện – hình chóp.................................................................40
13. Một số bài toán tham khảo.....................................................40
14. Một số bài toán đa giác và đường tròn...................................44
I. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx 570MS
1. Mầu phím:
• Phím Trắng: Bấm trực tiếp.
• Phím vàng: Bấm qua phím Shift.
• Phím Xanh: Bấm trực tiếp.
• Chữa mầu đỏ: Bấm qua phím ALPHA
2. Bật, tắt máy
• ON: Mở máy.
• Shift + OFF: Tắt máy.
• AC: Xoá mang hình, thực hiện phép tính mới.
2
3. Phím chức năng:
• CLS: Xoá màn hình.
• DEL: Xoá số vừa đánh.
• INS: Chèn.
• RCL: Gọi số ghi trong ô nhớ.
• STO: Gán vào ô nhớ.
• DRG: Chuyển Độ - Radial – Grad
• RND: Làm tròn.
• ENG: Chuyển dạng a.10^n với n giảm.
• ENG: Chuyển dạng a.10^n với n tăng.
• A, B, C, D, E, F, X, Y, M: Các ô nhớ.
• M+: Cộng thêm vào ô nhớ M.
• M-: Trừ bớt ô nhớ M.
• EXP: Luỹ thừa 10.
• nCr: Tính tổ hợp chập r của n
• nPr: Tính Chỉnh hợp chập r của n
• O,,,: Nhập đọc Độ, Phút, Giây.
• O,,,: Đọc Độ, Phút, Giây.
• Re-Im: Phần thực, phần ảo.
•
SHIFT + CLR: Xoá nhớ
o Chọn 1: Mcl: Xoá các biến nhớ.
o Chọn 2: Mode: Xoá kiểu, trạng thái, loại hình tính toán
o Chọn 3: ALL: Xoá tất cả
4. Hàm, tính toán, và chuyển đổi:
•
SIN, COS, TAN: Sin, Cosin, tan
•
Sin-1, COS-1, TAN-1: Hàm ngược Sin, Cosin, Tan.
•
Log, Ln: Logarit cơ số 10, cơ số e.
•
ex, 10x: Hàm mũ cơ số e, cơ số 10.
•
x2, x3: Bình phương, lập phương.
•
x-1: Hàm nghịch đảo.
•
x!: Giai thừa.
3
•
%: Phần trăm.
•
ab/c: Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, số phập phân và ngược lại
•
d/c: Đổi hỗn số ra phân số.
•
POL( : Chuyển toạ độ đề các sang tạo độ thực.
•
Rec( : Chuyển toạ độ cực sang toạ độ đề các.
•
RAN#: Hiện số ngẫu nhiên
•
DT: Nhập dữ liệu, hiện kết quả.
•
S-SUM: Gọi
•
S-VAR: Gọi x, δ n , δ n −1
∑ x , ∑ x, n
2
_
• δ n : Độ lệch tiêu chuẩn theo n
• δ n −1 : Độ lệch tiêu chuẩn theo n-1
• n : Tổng tần số.
•
•
∑ x Tổng các biến ước lượng
•
∑x
2
Tổng bình phương các biến ước lượng
DEC, HEX, BIN, OCT: Cơ số 10,16, 2, 8.
• COSNT: Gọi hằng số.
• CONV: Chuyển đổi đơn vị.
• MAT, VCT: Ma trận, véc tơ.
• SOLVE: Giải phương trình.
• d/dx: Đạo hàm.
•
∫ dx : Tích phân
• CALC: Tính toán
•
,3 ,x
: Căn bậc 2, bậc 3, bậc x.
• ANS: Gọi kết quả.
• Arg: Argumen
• Abs: Giá trị tuyệt đối.
•
(-): Dấu âm.
•
+, -, *, / , ^: Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Mũ.
•
<-, ->, á, â: Di chuyển dữ liệu.
•
. : Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân
•
, : Ngăn cách các giá trị trong hàm.
4
•
( : Mở ngoặc đơn.
•
) : Đóng ngoặc đơn.
•
п : Số PI.
5. Sử dụng MODE:
• MODE 1:
o Chọn 1: COMP: Chữ D hiển thị ở góc trên bên phải, là trạng thái tính toán cơ
bản.
o Chọn 2: CMPLX: Trạng thái tính toán được cả với số phức
• MODE 2:
o
Chọn 1: SD: Trạng thái giải bài toán thống kê 1 biến.
o
Chọn 2: REG: Thống kê 2 biến
Chọn 1: LIN: Tuyến tính
Chọn 2: LOG:Logarit
Chọn 3: Exp:Mũ
Chọn 1: Pwr: Luỹ thừa
Chọn 2: Inv: Nghịch đảo
Chọn 3: Quad: Bậc 2
Chọn ->
o
Chọn 3: BASE: Chọn và làm việc với các hệ đếm
• MODE 3:
o Chọn 1: EQN: Giải phương trình, hệ phương trình.
Chọn 1:UNKNOWNS: Hệ phương trình.
•
Chọn 2: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
•
Chọn 3: Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn
Chọn 2: DEGREE: Phương trình bậc 2, bậc 3.
•
Chọn 2: Phương trình bậc 2.
•
Chọn 3: Phương trình bậc 3.
o Chọn 2: MAT: Ma trận.
o Chọn 3: VCT: Véc tơ.
• MODE 4:
o Chọn 1: Deg: Chuyển chế độ là Độ.
o Chọn 2: Rag: Chuyển chế độ Radial.
o Chọn 3: Gra: Chuyển chế độ Graph
5
• MODE 5:
o Chọn 1: Fix:Ấn định số thập phân (0-9).
o Chọn 2: Sci: Ấn định số có nghĩa (0-9) của số a ghi dưới dạng ax10 n.
o Chọn 3: Norm: Chọn 1 hoặc 2 để ghi kết quả tính toán dạng khoa học a x 10n.
• MODE 6:
o Chọn 1: DISP: Chọn kiểu hiện thị
•
Chọn 1: EngON: Hiện số dạng kỹ thuật.
•
Chon 2: EngOFF: Không hiện số dạng kỹ thuật.
•
Chọn 1: ab/c: Kết quả ở dạng hỗn số.
•
Chọn 2: d/c: Kết quả ở dạng phân số.
o Chọn ->
o Chọn ->
Chọn 1: DOT: Dấu chấm ngăn cách phần thập phân.
Chọn 2: COMMA: Dấu phảy ngăn cách phần thập phân.
II. ĐẠI SỐ
Một số công thức hay dùng:
1. xn-yn = (x - y)(xn-1 + xn-2y + …. + xyn-2 + yn-1)
2. xn+yn = (x + y)(xn-1 - xn-2y + …. - xyn-2 + yn-1) với n - lẻ.
3. Đồng dư: a ≡ b(mod n) nếu a, b có cùng số dư khi chia cho n.
* a ≡ b (mod n) và b ≡ c (mod n) thì a ≡ c (mod n)
ac ≡ bc( Mod n)
* a ≡ b (mod n) ⇒ a + c ≡ b + c ( Mod n)
m
m
a ≡ b ( Mod n)
* (a+b)m ≡ bm (mod n), với n>0
* Định lý Ferma: Cho p ∈ P, (a, p) =1 thì ap-1 ≡ 1(mod p)
1. Tính toán thông thường và sử dụng biến nhớ:
VD1: T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó:
3+
15
5
a+
2
7+
=
6
5
5685
.
1342
ĐS: a = 9
VD2: A = (
x 2 + xy
1
2 xy
):(
− 3
)
3
2
2
3
2
x + x y + xy + y
x − y x − x y + xy 2 − y 3
6
Với x = 3,545 và y = 1,479.
A ≈ 2,431752178
VD3:
VD4: Cho sin x = 0, 7
(0 < x <
π
3π
) và cos y = −0,8 (π < y < ) . Tính gần đúng với 5 chữ số
2
2
thập phân:
x 3 + tg 4 x
a. A= 2
sin ( x + x 2 ) + cos 2 ( x − x 2 )
b. B=
tg 5 ( x 2 + 2 y 2 ) + cot g 5 ( x 2 − 2 y 2 )
sin 3 ( x + y ) + cos 3 ( x − y )
A ≈ 0,71882
B ≈ - 889,59389
VD5: 4) Tháng vừa qua có thứ 7 ngày 7 tháng 7 năm 2007. Theo cách tính
dương lịch ở từ điển
trên mạng wikipedia một năm có 365,2425 ngày .
Vậy dựa vào cách tính trên thì đến ngày 7 tháng 7 năm 7777 sẽ là thứ mấy ? (ta chỉ tính theo lí
thuyết còn thực tế có thể có điều chỉnh khác).
ĐÁP SỐ : Thứ 2 ngày 7 tháng 7 năm 7777
Lời giải :
Ngày 7 tháng 7 năm 7777 - Ngày 7 tháng 7 năm 2007 = 5770 năm
5770 × 365,2425 = 2107449,225 ngày
2107449,225 ÷ 7 = 301064,175 tuần
0,175 × 7 = 1,225 ngày
Suy ra : Thứ 2 ngày 7 tháng 7 năm 7777
2. Xử lý số lớn:
Sử dụng phương pháp chia nhỏ và kết hợp giữa máy và cộng trên giấy.
VD 1: Tính chính xác A = 7684352 x 4325319
HD:
(768.104+ 4352)(432.104+5319)
= 331776.108+4084992.104+1880064.104+23148288
= 331776.108+408.108+188.108+4992.104+64.104+2314.104+8288
7
= 332372. 108+7370. 104+8288
332372
0000
7370
332372
7370
0000
0000
8288
8288
= 33237273708288
VD 2: Tính chính xác B = 3752142 + 2158433
HD:
=(375.103+214)2+(251.103+843)3
=140625.106+160500.103+45796+9938375.109
+16903025.106+ 45836605.103+599077107
=10055877778236903
VD 3: Tính chính xác Q = 3333355555 × 3333377777
ĐS: Q = 11111333329876501235
VD 4: Tìm số dư: 2222255555 x 2222266666
ĐS: 493844444209829630.
25
25
26
26
5+ 5
5− 5
5+ 5
5− 5
+
+
+
VD 5: A =
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
2
2
2
2
8
Nhận xét:
n
n
5+ 5 5− 5 k
+ Mấu chốt của bài toán này là
÷
÷ + 2 ÷
÷ M5
2
n
n
5+ 5 5− 5
S − 5S n +1 + 5S n = 0
+ Nếu đặt S n =
÷
÷ + 2 ÷
÷ , ta được dãy số n + 2
2
9
......
77 − 293972367 .
VD 6: Tính P = 7 + 77 + 777 + ... + 77
2
ĐS : 526837050
17 sô '7
Lời giải chi tiết :
Lập quy trình ấn phím như sau :
Gán 1 cho A ấn
1 SHIFT STO A
Gán 7 cho B ấn
7 SHIFT STO B
Gán 7 cho C ấn
7 SHIFT STO C
Ghi vào màn hình : A = A +1:B = 10B + 7 : C = C + B
Ấn = cho đến khi màn hình hiện A = 17 và ấn = hai lần
C = 8,641975309 ×1016
Ấn tiếp ALPHA C - 293972367 2
=
Kết quả : 526800000
P = 526800000 ,ta tìm thêm 5 số cuối và nghi ngờ rằng số 8 có thể đã được làm tròn .( Lưu ý thí
sinh nên cẩn thận : vì máy fx -570MS có tính toán bên trong đến 12 chữ số với số có mũ 2, mũ 3, còn
mũ lớn hơn 3 hoặc số nguyên thì tính toán bên trong là 10 chữ số ,để chắc chắn các bạn nên tính thêm
trên máy ES có tính toán bên trong cao hơn ).
Tính tiếp tục : Vì cần tìm 5 số cuối của tổng P nên ta chỉ lấy tổng đến 5 chữ số 7 trong các số từ
77......77
77777 đến
17 sô '7
Vậy ta có : C = 7 + 77 + 777 + 7777 + 77777 ×13 .Kết quả : 1019739
Và tính 72367 2 = 5236982689 (sáu số cuối của số 293972367 2 )
Năm số cuối của P là :
P = 1019739 - 82689 = 37050
10
Ta thấy kết quả P = 526837050 ( chắc chắn số 8 đã không bị làm tròn vì sau số 8 là số 3 nên số 8
không thề làm tròn )
3. Tìm USCLN và BSCNN
* Tìm USCLN:
- Dạng 1: Số không quá lớn
a = m.x
a x
a b
⇒ = ⇒m= =
USCLN(a, b) = m ⇒
b y
x y
b = m. y
VD: Tìm USCLN (3456; 1234)
HD: Bấm 3456/1234 (a/b)=1728/617(x/y)
Vây: USCLN (3456; 1234) = 3456/1728 = 2.
- Dạng 2: Số quá lớn:
USCLN(a-b,b) voi a > b
C1. USCLN(a, b)=
USCLN(a,b-a) voi a < b
Cú tiếp tục đến khi a = b đó là m
USCLN(Mod(a,b),b) voi a > b
C2. USCLN(a, b)=
USCLN(a,Mod(b,a)) voi a < b
Cú tiếp tục đến khi số dư bằng không thì b = m.
* Tìm BSCNN
BSCNN(a, b) =
a.b
USCLN(a, b)
VD: Cho a= 1408884 và b = 7401274. Tìm USCLN(a;b), BSCNN(a, b)
7401274 = 5 x 1408884 + 356854
1408884 = 3 x 356854 + 338322
356854 = 1 x 338322 + 18532
338322 = 18 x 18532 + 4746
18532 = 3 x 4746 + 4294
4294 = 1 x 4294 + 452
4294= 9 x 452 + 226
452
= 226 x 2 + 0
Vậy USCLN(a;b) = 226
BSCNN(a, b) =
a.b
1048884 x7401274
=
USCLN (a; b)
226
= 6234 x 7401274
= 6234 x(7401x103 + 274)
= 46137834 x 103 + 1708116
= 46139542116.
11
4. Tìm số dư:
* Dạng 1: Thông thường. Mod (a, b) = a – b.[a, b]
VD: Tìm số dư của 56789 và 54321.
ĐS:
* Dạng 2: Số chữ số lớn hơn 10 chữ số: Ta dùng phương pháp chia để trị.
- Cắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số (kể từ bên trái) tìm số dư của số này với số bị chia.
- Viết liên tiếp sau số dư các số còn lại của số chia tối đa đủ 9 chữ số, rồi tìm số dư lần 2.
- Tiếp tục như vậy đến hết.
VD 1: Tìm số dư: 506507508506507508 : 2006
HD: Thực hiện Tìm số dư : 5065075086 : 2006 dư : 1313
Thực hiện Tìm số dư : 1313065075 : 2006
dư : 1667
Thực hiện Tìm số dư : 166708 : 2006
dư : 210
⇒ Đây cũng là số dư của bài
VD 2: Tìm số dư 103200610320061032006 : 2010 .
* Dạng 3: Tìm số dư của một luỹ thừa bậc cao cho một sô.
VD 1: Tìm số dư 91999 cho 12.
a ≡ m(mod p) a.b ≡ m.n(mod p )
⇒ α
Áp dụng
α
b ≡ n(mod p )
a ≡ m (mod p )
12
ĐS: 396
Ta có: 91 ≡ 9 (mod 12);
92 ≡ 9 (mod 12);
93 ≡ 9 (mod 12)
⇒ 99 ≡ 9 (mod 12)
≡ 9 (mod 12)
⇒ 9100=(910)10 ≡ 910 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
⇒ 91000=(9100)10 ≡ 9100 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
⇒ 9900=(99)100 ≡ 99 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
⇒ 990=(99)10 ≡ 99 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
Vậy: 91999=91000.9900.990.99 ≡ 93 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
Hay 91999 chia cho 12 dư 9.
VD 2: Tìm số dư 91999 cho 33.
Ta có: 91 ≡ 9 (mod 33)
96 ≡ 9 (mod 33)
92 ≡ 15 (mod 33)
97 ≡ 15 (mod 33)
93 ≡ 3 (mod 33)
98 ≡ 3 (mod 33)
94 ≡ 27 (mod 33)
99 ≡ 27 (mod 33)
95 ≡ 12 (mod 33)
910 ≡ 12 (mod 33)
95k ≡ 12 (mod 33)
5k +1
≡ 9 (mod 33)
9
5k + 2
⇒ 9
≡ 15 (mod 33)
95k +3 ≡ 3 (mod 33)
95k + 4 ≡ 27 (mod 33)
Vậy: 91999=95.399+4 ≡ 27 (mod 33). Hay 91999 chia cho 33 dư 27.
Sử dụng lý thuyết phần trên: 33=3.11, (3,11)=1
91999 chia cho 3 dư 0
95 k +1 đồng dư 9 khi chia cho 11
91995 đồng dư với 9 khi chia cho 11, 94 đồng dư với 5 khi chia cho 11, suy ra
91999 chia cho 11 dư 1
VD 3: Tìm số dư 2004376 cho 1975
HD:
Biết 376 = 6 . 62 +4
20042 ≡ 841 (mode 1975)
20044 ≡ 4812
200412 ≡ 2313 ≡ 416
200448 ≡ 4162 ≡ 536
200460 ≡ 536 x 416
≡ 1776
200462 x3 ≡ 5163 ≡ 1171
≡ 231
200462 ≡ 1776 x 8412 ≡ 516
200462 x 6 ≡ 11712 ≡ 591
200462 x 6 + 4 ≡ 591 x 231 ≡ 246
VD 4: Tìm số dư A = 2100+2201+ … + 22007 chia cho 2007.
13
⇒ 910
* Dang 4: Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho (ax + b)
Phương pháp: Tính P(-b/a). KQ là số dư.
VD: Tìm số dư khi chia đa thức x2 + 10 +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) cho (10x-3).
ĐS: -45,78407
5. Tìm số các chữ số:
* Dạng an: Phương pháp: Số các chữ số cảu ax là [x.lga]+1.
CM: G/s A= a1a2 ...an ta chứng minh [lgA]+1 = n hay [lgA]=n-1
Do đó n − 1 ≤ lg A < n . Thật vây. A= a1a2 ...an = a1.10n-1+a2.10n-2+….+an ⇒ lg A ≥ n − 1
A= ≤ a1a2 ...an = 9.10n-1+9.10n-2+….+9 ⇒ lg A < n
14
Đó là điều phải chứng minh.
VD 1: Tìm số chữ số của 222425.
HD: [22425.lg2] + 1= [22425.0,30103] +1 = [6750,597] + 1 = 6751.
VD 2: Tìm số chữ số của 46526.
ĐS: 70.
VD 3: Tìm số chữ số của 123!
[Lg123!]+1= [lg(1.2.3….123)]+1 = [lg1+lg2+….+lg123] + 1=…
BT: Dùng bao nhiêu chữ số để viết số: 453246, 209237
ĐS: 657, 550
6. Tìm số chữ số cuối.
Để tìm n chữ số cuối của số A, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 10n. Để tìm số dư khi
A chia cho 10n, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 2n và 5n.
VD 1. Cho A = 22004.
1) Tìm 2 số tận cùng của A.
2) Tìm 3 số tận cùng của A.
HD:
a. Tìm 2 số tận cùng của A, thực chất là tìm số dư của A khi chia cho 100.
Ta có 100 = 4.25
Trước hết ta tìm số dư của A khi chia cho 25.
210=1024 ≡ -1 (mod 25)
Do đó A = 24.(210)100 ≡ 16 (mod 25)
Hay A có thể viết dưới dạng: A = 16k + 25
Mặt khác: A chia hết cho 4 nên k chia hết cho 4 hay k=4m
Từ đó A = 100m + 16 ≡ 16 (mod 100)
Vậy 2 số tận cùng của A là 16.
b. Tương tự ta tìm số dư của A khi chia cho 1000 = 8 . 125
250=(210)5=(1024)5 ≡ -1 (mod 125)
A=16.(250)4 ≡ 16 (mod 125) do đó A = 125 k + 16
Mặt khác A chia hết cho 8 nên k=8m
Vậy A = 1000m + 16 hay 3 số cuối của A là 016.
VD 2. Tìm 3 số cuối A = 266
2001
HD:
Ta có 1000 = 8. 125
+) xét số dư của A cho 125
62001=(5+1)2001 ≡ 1 (mod 5) ⇒ 62001=5m+1
⇒ A=265m+1=26.(265)m
15
Mặt khác: 265 ≡ 1 (mod 125) ⇒ A ≡ 26 (mod 125) ⇒ A = 125k + 26
+ Xét A chia cho 8:
Do A chia hết cho 8 nên 125k+26 chia hết cho 8 ⇒ k+2 chia hết cho 8
Hay k+2 = 8m ⇒ k=8m-2
⇒ A = 125(8m-2)+26=1000m – 224 = 1000(m-1)+776 . Vậy 3 số cuối của A là 776.
* Mẹo nhỏ:
+) Để tìm 1 chữ số tậm cùng của an.
- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì an lần lượt có số tận cùng là 0, 1, 5, và 6
- Nếu a có số tận cùng là 2, 3, 7 thì:
24k ≡ 6 (mod 10)
34k ≡ 1 (mod 10)
74k ≡ 1 (mod 10).
Do đó để tìm 1 số tận cùng của an với a tận cùng là 2, 3, 7 ta lấy n chia cho 4, được n=4k+r.
Nếu a ≡ 2 (mod 10) thì a2 ≡ 2n (mod 10) ≡ 2(4k+r) (mod 10) ≡ 6.2r (mod 10)
Nếu a ≡ 3 (mod 10) thì an ≡ a(4k+r) (mod 10) ≡ ar (mod 10)
+) Để tìm 2 chữ số tậm cùng của an.
Ta có:
220 ≡ 76 (mod 100)
320 ≡ 1 (mod 100)
65 ≡ 76 (mod 100)
74 ≡ 01(mod 100)
Mà
76n ≡ 76 (mod 100) với n>=1.
Và
5n ≡ 25 (mod 100) với n>=2
Từ đó:
- a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a đồng dư 0 (mod 10)
- a20k ≡ 01 (mod 100) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)
- a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a đồng dư 5 (mod 10)
- a20k ≡ 76 (mod 100) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)
+) Để tìm 3 chữ số tậm cùng của an.
- a100k ≡ 000 (mod 1000) nếu a đồng dư 0 (mod 10)
- a100k ≡ 001 (mod 1000) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)
- a100k ≡ 625 (mod 1000) nếu a đồng dư 5 (mod 10)
- a100k ≡ 376 (mod 1000) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)
VD 1: Tìm 3 số cuối
1) 13100
≡ 001 (mod 1000)
2) 167200
≡ 001 (mod 1000)
16
3) (17 x 19)100 ≡ 001 (mod 1000)
4) 18100 ≡ 376 (mod 1000)
5) 15200 ≡ 625 (mod 1000)
6) 20300 ≡ 000 (mod 1000)
* Với m nguyên không chứa thừa số 2 hay 5 và với các số a, b, …, k, n thì:
m ab...kn ≡ m kn (mod1000)
Khi m chứa thừa số 2 thì:
m ab...kn ≡ 376m kn (mod1000)
Khi m chứa thừa số 5 thì:
m ab...kn ≡ 625m kn (mod1000)
VD:
1) 72311 ≡ 711 ≡ 743 (mod 1000)
2) 211306 ≡ 2106 ≡ 121 (mod 1000)
3) 271209 ≡ 279 ≡ 987 (mod 1000)
4) 22001 ≡ 376. 201 ≡ 752 (mod 1000)
5) 23100 ≡ 376.200 ≡ 376 (mod 1000)
6) 15402 ≡ 625.152 ≡ 625 (mod 1000)
* Khi kn > 2 thì m ab...kn ≡ m kn (mod1000) đúng với mọi số nguyên m
VD: 1) 22003 ≡ 23 ≡ 008 (mod 1000)
2) 31004 ≡ 34 ≡ 081 (mod 1000)
3) 51003 ≡ 53 ≡ 125 (mod 1000)
4) 65011 ≡ 11 ≡ 056 (mod 1000)
24
VD: Tìm 5 chữ số tận cùng của 22 + 1
24
12
HD: Ta có: 22 = 22
x 212
12
12
= (22 ) 2 = (24096 ) 4096
Ta chia làm 2 bước:
Bước 1: Tìm 5 số cuối của 24096.
2020=1048576 ta lấy 5 số cuối là 48576
240 ≡ 48576 x 48576 = 27776 mod (100000)
(240)5 ≡ (277762)2x 27776 = (06176)2 x 27776 = 42976 x 27776 = 01376(Mode 100000)
(240)10 ≡ 2400 ≡ 013762 ≡ 93376 Mode (100000)
(2400)5 ≡ 29376
24000 ≡ 49376
280 ≡ 06176 và 216 ≡ 65536 suy ra 296 ≡ 50336
Do đó: 24096=24000.296 ≡ 49376 x 50336 = 90336 mode (100000)
17
vậy 5 chữ số cuôi của (24096)4096 là 5 số cuối của (90336)4096.
Bước 2:
903362 ≡ 92896
90336200 ≡ 41376
903364 ≡ 66816
90336400 ≡ 73376
903365 ≡ 90176
90336800 ≡ 37376
9033610 ≡ 10976
903362000 ≡ 29376
9033620 ≡ 72576
903364000 ≡ 49376
9033640 ≡ 75776
9033680 ≡ 02176
90336100 ≡ 23576
Mà 9033690 ≡ 83776 và 903366 ≡ 39136 nên 9033696 ≡ 57536
Do đó: 903364096= 903364000.9033696 ≡ 49376 x 57536 = 97536
Vậy: 22 + 1 ≡ 97536 Mode (100000) + 1 = 97537.
24
VD: 1. Tìm chữ số cuối của 72005.
HD:
71= 7
72= 49
73 = 343
74= 2401
75 = 16807
76 = 117649
78=5764801
79 = 40353607
……………..
Ta thấy các số cuối lần lượt là 7, 9, 3, 1 chu kỳ là 4.
Mặt khác: 2005 = 4. 501 + 1
Nên 72005 có số cuối là 7.
2. Tìm chữ số hàng chục của số 232005
HD: Ta có
231 ≡ 23 (mode 100)
232 ≡ 29 (mode 100)
233 ≡ 67 (mode 100)
234 ≡ 41 (mode 100)
2320 = (234)5 ≡ 415 ≡ 1 (mode 100)
232000 ≡ 1100 ≡ 1 (mode 100)
18
232005 ≡ 231.234.232000 ≡ 23.41.1 ≡ 43 (mode 100)
Vậy số hàng chục là 4.
3. Tìm 2 chữ số cuối của: A= 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 + 22007
HD: A = 22000(1+2+4+8+16+32+64+128)
= (220)100 x 255
mà 220 = (210)2 =10242 = 1048576
Ta nhận thấy bất kỳ một số có đuôi là 76 thì lũy thừa luôn luôn có đuôi là 76 (dùng máy để kiểm
tra)
Do đó: A = 255 x (…76) = ….. 80
Vậy 2 số cuối của A có giá trị là 80.
7. Bài toán về đa thức:
Sử dụng lược đồ Hooc-Nơ:
Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+ a0.
* Dạng 1: Tìm hệ số an, an-1, … khi biết các cặp (xi ; yi)
VD1: Cho P(x) = x3 +ax2+bx+c. Tìm a, b, c khi P(x) nhận các giá trị là 15, -12 và 7 khi x nhận các
giá trị tương ứng là 1,-2, 3. ĐS:
VD2: Cho P(x) = x5+ax4 +bx3+cx2+dx+e. Tìm a, b, c khi P(x) nhận các giá trị là 11, 14, 19, 26 và
35 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1,2, 3, 3, 4, 5.
HD: Ta có Q(x) = x2 + 10 nhận các giá trị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhận các giá trị tương ứng
là 1,2, 3, 3, 4, 5
Nên P(x) – Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
Hay P(x) = x2 +10 +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
VD3: Cho P(x) = x4 + ax3+bx2+cx+d và P(1) = 4; P(-2) = 7; P(3) = 24; P(-4) = 29. Tìm quy luật và
tính P(40)
HD: Đặt P(x) = (x-1)(x+2)(x-3)(x+4) + U(x-1)(x+2)(x-3)+V(x-1)(x+2) + S(x-1) + T.
Thay giá trị trên vào ta được: T=4; S=-1; V=2,2; U=1/35
Nên P(40) = 2671964,2
* Dạng 2: Cho P(x) tính P(a).
* Dạng 3: Tìm dư của P(x)
Tìm dư của
P( x)
là Ax + B với
ax + bx + c
2
P ( x1 ) = Ax1 + B
P ( x2 ) = Ax 2 + B
x3 + x 2 + x + 1
VD1: Tìm số dư
x2 + 5x − 6
Ta có nghiệm của mẫu số là -6 và 1 nên
P(-6) = -185= A(-6) +B
P(1) = 4 = A(1)+B
19
Suy ra: A = 27, B=-23.
Số dư là 27x-23
VD2: Cho P(x) = ax3+bx2+cx-2007. Tìm a, b, c để P(x) chia cho (x-13) dư 1, cho (x-3) dư 2 và (x14) dư 3 chính xác đến 2 chữ số thập phân.
HD: Giải hệ phương trình được a = 3,69; b=-110,62; c=968,20.
* Dạng khác:
VD1: Tính tổng các hệ số của (x2+x+1)50
P(x) = a100x100+ …. + a0. Khi đó P(1) = a100+ ….+a0 =350 chính là tổng các hệ số.
Tổng quát: Tổng triển khai (a1+a2+ ….+ an)m là nm.
VD2: Tính tổng các hệ số của (3x2+2x+1)15 = a30x30+ …. + a0.
Tính tổng các hệ số E = a100+ ….+a0. (trích đề thi HSG lớp 9 TPHCM 2005)
ĐS: E=470184984576
BT: Cho đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Tìm a, b, c, d, e biết P(x) chia hết cho x 2 – 1, P(x)
chia cho (x2 + 2) dư x và P(2) = 2012
a=112
b=
−1
3
c = 112
d=
1
3
e = - 224
8. Số tự nhiên tuần hoàn - Dấu hiệu chia hết.
8.1 Số tự nhiên tuần hoàn
VD1:
1) 0,123123123…… = 123/999
2) 4,353535….
= 4 + 35/99
3) 2,45736736…..
= 2+ 45/100+736/99900
VD2: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của 17/13
HD: 17/13 = 1,307692307….
Ta thấy chu kỳ là 6, mà 105 ≡ 3 (mod 6)
Nên chữ số lể thứ 105 là 7
VD3: Tìm số n ∈ N nhỏ nhất có 3 chữ số biết n121 có 5 chữ số đều là 3.
HD:
Ta không thể dùng máy tính được n121 với n có 3 chữ số, nhưng ta biết 123121; 12,3121; 1,23121 có
các chữ số giống nhau.
Do đó 1,00121=1; 1,01121=3,333333 KQ: n =101
VD4: Tìm số nguyên dương abc ( a,b,c là chữ số khác nhau ) biết
( với mọi n nguyên dương )
20
(abc )
n
= .. .. . .. .. abc
Lời giải :
( abc )
n
Dùng quy nạp ta chứng minh Nếu
( abc )
2
= . . .. . . . . . abc
thì
= . . .. . . . . . abc
( Bạn đọc tự chứng minh )
( abc )
Ta có
(. . .c )
2
2
= . . .. . . . . . abc dùng máy thử và suy luận ta thấy số 0 , 1 , 5 ,6 thoả
= . . .. . . . . . c
Mà
c = 0 suy ra
c = 1 suy ra
( abc ) = 000 ( loại vì theo đề cho a ≠ b ≠ c )
( abc ) = 001 ( loại vì theo đề cho a ≠ b ≠ c )
c = 5 thử trên máy với 05 2 , 15 2 , 25 2 , . . . , 95 2 thì có 25 2 = 625 hai số cuối là 25 .
Tiếp tục thử 025 2 , 125 2 , 225 2 , . . . , 925 2 thì có 625 2 = 390625 ba số cuối là 625
c = 6 thử trên máy với 076 2 , 176 2 , 276 2 , . . . , 976 2 thì có 376 2 = 141376 ba số cuối là 376
Đáp số : 625 , 376 thoả bài ra
BT: 1) Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 456456 của 13/23
(Đề thi HSG 9 TP HCM 2003)
ĐS: 9.
2) Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 122005 của 10000/17 (Đề thi HSG 9 TP HCM 2005)
ĐS: 8.
8.2 Dấu hiệu chia hết.
VD1: 776679 có chia hết cho cho 17 không?
HD:
Ta có: 102, 1020, 10200, … là bội số của 17.
776679 – 714000 (tức là 776679 – 102 x 7 x 1000) =62679
62679 – 61200 (tức là 62679 – 102 x 6 x 100) = 1479
1479 -1020 ( tức là 1479 – 102 x 10)=459
459 – 408 (tức là 459 – 102 x 4) = 51
51 = 17 x 3
Vậy 776679 chia hết cho cho 17
Tổng quát:
7 ta chọn bội số 105
11 ta chọn bội số 110
13 ta chọn bội số 104
17 ta chọn bội số 102
21
18 ta chọn bội số 108
19 ta chọn bội số 114
23 ta chọn bội số 115
29 ta chọn bội số 116
31 ta chọn bội số 124
37 ta chọn bội số 111
……………..
Lưu ý: Nếu hiệu của tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các số ở vị trí chẵn bằng 0 hay là bội số của
11 thì số đó chia hết cho 11.
VD1: 87635064
(8+6+5+6) – (7+3+0+4) = 25 – 14 = 11 nên số này chia hết cho 11.
VD2: Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 17 thì dư 2 và khi chia cho 29 thì
dư 5.
ĐS: 1000000335
VD3: Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 5 thì dư 3 và khi chia cho 619 thì
dư 273.
(Trích đề thi HSG 9 TP HCM 2003)
ĐS: 1000000308
9. Dẫy số:
9.1 Dẫy số Fibonaci:
u1 = 1; u2 = 1
;(n > 2)
un + 2 = un + un +1
Cách 1: Công thức nghiệm tổng quát:
1 1+ 5 n 1− 5 n
((
) −(
) )
2
2
5
Bấm: (((1+ 5 ):2)^ALPHA X – ((1- 5 ):2)^ALPHA X): 5
Bấm: CALC máy hiện X
Thay X (từ 1 – 49) ta được các số trên.
Cách 2: A= u1; B = u2
Nhập: C=A+B:A=C+B:B=A+C
Ấn dấu bằng liên tiếp để có kết quả
9.2 Dẫy số Lucus:
u1 = a; u2 = b
;(n > 2)
un + 2 = un + un +1
Cách làm: A= u1; B = u2
Nhập: C=A+B:A=C+B:B=A+C
22
Ấn dấu bằng liên tiếp để có kết quả
VD: u1=3; u2=5; un+1=un+un-1. Tính u46.
ĐS: 7778742049
9.3 Dẫy số Fibonaci suy rộng:
u1 = a; u2 = b
;(n > 2)
Dạng 1:
un + 2 = Aun + Bun +1
VD: u1=2; u2=3; un+1=2un+3un-1. Tính u19.
HD: A= 2; B = 3
Nhập: C=2A+3B:A=2B+3C:B=2C+3ª. Ấn dấu bằng liên tiếp 17 lần để có kết quả. ĐS:
8501763049
u1 = a; u2 = b
;( n > 2)
Dạng 2:
2
2
un + 2 = un + un −1
u1 = a; u2 = b; u3 = c
;(n > 3)
9.4 Dẫy số Fibonaci bậc 3:
un +3 = Aun + Bun +1 + Cun + 2
u1 = 1; u2 = 2; u3 = 3
;(n > 3) . Tính u15
VD:
un +3 = 3un + 4un +1 − 5un + 2
HD: A=1; B=2;C=3;
Nhập: D=3A+4B-5C:A=3B+4C-5D:B=3C+4D-5A:C=3D+4A-5B
Ấn dấu bằng liên tiếp 19 lần để có kết quả.: -6245363930;
9.5 Quy về các dãy số trên:
VD1: Cho dãy số U n =
(4 + 3) n − (4 − 3) n
;( n = 0,1, 2,....)
4 3
1) Tính U1 ; U2 ; U3 ; U4 ; U5.
U1= 0,5
(0,5đ)
U2 = 4
(0,5đ)
U3 = 25,5
(0,5đ)
U4 = 152
(0,5đ)
U5 = 884,5
(0,5đ)
2) Lập công thức tính Un+2 theo Un và Un+1: (2,5đ)
Đặt: an =
(4 + 3) n
(4 − 3) n
; bn =
⇒ U n = an + bn
4 3
4 3
U n +1 = (4 + 3)an − (4 − 3)bn
U n + 2 = (4 + 3) 2 an − (4 − 3) 2 bn = (19 + 8 3) an − (19 − 8 3)bn
= 8[(4 + 3) an − (4 − 3)bn ] − 13( an − bn )
= 8U n +1 − 13U n
23
(5 + 3) n − (5 − 3) n
;(n = 0,1, 2,....)
VD2: Cho dãy số U n =
2 3
a) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un.
Un+2 =
b) Tính U5 và U12
HD:
a)
U n = an − bn
U n +1 = (5 + 3)an − (5 − 3)bn
U n + 2 = (5 + 3) 2 an − (5 − 3) 2 bn = (28 + 10 3) an − (28 − 10 3)bn
= ((50 + 10 3)an − (50 − 10 3)bn ) − 22( an − bn ) = 10U n +1 − 22U n
b)
ấn: 10 Shift Sto A X 10 – 22 X 1 Shift Sto B
Lặp lại:
X 10 - 22 ALPHA A Shift Sto A
X 10 - 22 ALPHA B Shift Sto B
9.6 Dạng tìm n để an là số tự nhiên.
VD1: Tìm số tự nhiên n (1000
57121 + 35n là số tự nhiên.
HD: Vì (1000
Nên 303
Chứng tỏ (an-1) hoặc (an+1) phải chia hết cho 7 hay an=7k+1 hoặc an=7k-1
- Nếu an=7k+1 thì 304<7k+1<356 hay 44
1221; 1749; 1888.
- Nếu an=7k-1 thì 304<7k-1<356 hay 43
1312; 1848; 1889.
VD2: Tìm số tự nhiên n (1000
54756 + 15n là số tự nhiên.
VD3: Tìm số tự nhiên n (1000
20203 + 21n là số tự nhiên.
24
9.7 Dạng khác.
III. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
1. Phương trình bậc I, II, II, bậc cao và quy về bậc I, II, III, bậc cao.
1.1 Phương trình bậc I
VD1: Giải phương trình (
2+ 3
1− 6
3 − 7 15 − 11
)x − (
)( x −
)=
3− 5
3+ 2
4− 3
2 3 −5
(Đề thi chọn HSG TP HCM năm 2004)
ĐS: x = 1, 4492.
25
