chuyên đề nhị thức niuton

BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON
A. BÀI TẬP MẪU
11

1  
1

1. Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức: A   x  2    x 2  
x  
x


7

5

Giaûi:
Công thức khai triển của biểu thức là:
11

k

7
 1 
n
2
  2    C7 x
 x  n 0

A  C x

k 11 k
11

k 0
11

 

7n

1
xn

7

k

n 0

Vậy hệ số của x5 là C112  C73  90

5

Để số hạng chứa x vậy k=2 và n=3

24
7.
v

k 0

n

 A    1 C11k x113k   C7n x143n

0
1
2
1004
2. Tính tổng: S  C2009
 C2009
 C2009
 ...  C2009

Giaûi:
S C

0
2009

C

1
2009

C

2
2009

 ...  C

1004
2009

(1)

1005
 S  C  C  C  ...  C2009
(2) (vì Cnk  Cnnk )
2009
0
1
2
1004
1005
2009
 2S  C2009
 C2009
 C2009
 ...  C2009
 C2009
 ...  C2009
 1  1
2009
2009

2008
2009

2007
2009

3.

w
.h
oc

 S  22008

1  x  2(1  x) 2  ...  n(1  x) n thu được
P( x)  a0  a1 x  ...  an x n . Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn

Khai

triển

và

rút

gọn

biểu

thức

1
7

1
 3  .
2
Cn Cn n

w

Giaûi:
n

3

1
7 1

Ta cã
 3   2
7.3!
1
2
Cn Cn n
 n(n  1)  n(n  1)(n  2)  n


w

§ã lµ 8.C88  9.C98  89.

n  3
 2

 n  9.
n  5n  36  0

Suy ra a8 lµ hÖ sè cña x 8 trong biÓu thøc 8(1  x)8  9(1  x)9 .
0
 2C12009  3C22009  ...  2010C2009
4. Tính tổng S  C2009
.
2009
2009

Xét đa thức: f(x)  x(1  x)

0
2009

 x(C

Giaûi:
2
2009 2009
 C12009x  C2009
x2  ...  C2009
x )

0
 C2009
x  C12009x2  C22009x3  ...  C2009
x2010 .
2009

đa

thức


0
2
2009 2009
Ta có: f / (x)  C2009
 2C12009 x  3C2009
x2  ...  2010C2009
x

*

0
2
2009
 f / (1)  C2009
 2C12009  3C2009
 ...  2010C2009

(a)

Mặt khác: f / (x)  (1  x)2009  2009(1  x)2008 x  (1  x)2008 (2010  x)

*

 f / (1)  2011.22008 (b)

 Từ (a) và (b) suy ra: S  2011.22008.
5. Chöùngminh k,n  Z thõa mãn 3  k  n ta luôn có:
Cnk  3Cnk 1  2Cnk 2  Cnk3  Cnk 3  Cnk 2 .
k 1
n

Ta có: C  3C

k 2
n

 2C



k
n 3

C

k 3
n

C



Giaûi:
 C  Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk3
k 2

n



 

(5)

n

k
n

VT(5)  Cnk  Cnk 1  2 Cnk 1  Cnk 2  Cnk 2  Cnk 3  Cnk1  2Cnk11  Cnk12  Cnk1  Cnk11  Cnk11  Cnk12

6.

24
7.
v

= Cnk2  Cnk12  Cnk3 ( điều phải chứng minh)

Giải phương trình Cxx  2Cxx1  Cxx2  Cx2x23 ( Cnk là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giaûi:

w
.h
oc

2  x  5
ĐK : 
x  N
Ta có Cxx  Cxx1  Cxx1  Cxx2  Cx2x23  Cxx1  Cxx11  Cx2x23  Cxx2  Cx2x23  (5  x)!  2!  x  3
2
4
6
100
7. Tính giá trị biểu thức: A  4C100
.
 8C100
 12C100
 ...  200C100

Giaûi:

Ta có: 1  x 

100

1  x 

100

C

0
100

 C x  C x  ...  C x

1
100

2
2
100

100 100
100

(1)

0
1
2
3
100 100
 C100
 C100
x  C100
x 2  C100
x3  ...  C100
x
(2)

Lấy (1)+(2) ta được:

1  x 

100

 1  x 

100

0
2
4
100 100
 2C100
 2C100
x 2  2C100
x 4  ...  2C100
x

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được

2
4
100 99
100 1  x   100 1  x   4C100
x  8C100
x3  ...  200C100
x
99

w

99

w

Thay x=1 vào
2
4
100
=> A  100.299  4C100
 8C100
 ...  200C100
n

1
 2 2
8. Tìm hệ số x trong khai triển  x   biết n thoả mãn: C2 n
x

2n
Khai triển: (1+x) thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12
Giaûi:
3

 C23n  ...  C22nn1  2 23




12

12
2 2

x


C12k 2 k x 243k h s x3: C127 2 7 =101376

Khai trin:

x

k 0
n


1
9. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của x 4
2 x

2
3
n 1
2
2
2
6560
biết rằng n là số nguyên d-ơng thỏa mãn: 2Cn0 Cn1 Cn2
Cnn
2
3
n 1
n 1

( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử)
2

Giaỷi:
2

I (1 x) dx
n

0

0



2



1
1
1


C nn x n 1
C C x C x C x dx C 0n x C 1n x 2 C 2n x 3
2
3
n 1

0
0
n

1
n

2
n

2

n
n

n

7



k

7
1
1
x 4 k C 7k x
0 2
2 x
14 3k

Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa mãn
2k2
4
1
21
Vậy hệ số cần tìm là 2 C 27
4
2
7 k

w
.h
oc

7

1
Ta có khai triển x 4 C 7k
2 x
0


24
7.
v

2 2 1 23 2
2 n 1 n
Cn Cn
C n (1)

2
3
n 1
2
1
3 n 1 1
Mặt khác I
(2)
(1 x) n 1
0
n 1
n 1
22
23
2 n 1 n 3 n 1 1
Từ (1) và (2) ta có 2C 0n C 1n C 2n
Cn
2
3
n 1
n 1
n 1
3 1 6560
Theo bài ra thì

3 n1 6561 n 7
n 1
n 1

suy ra I 2C 0n

143 k
4

10. Tỡm h s ca x8 trong khai trin (x2 + 2)n, bit: A3n 8C2n C1n 49 .



w

iu kin n 4

n

Giaỷi:

C x
n

w

Ta cú: x2 2

k 2k nk
2
n

k 0

H s ca s hng cha x8 l C4n 2n 4

Ta cú: A3n 8C2n C1n 49
(n 2)(n 1)n 4(n 1)n + n = 49
n3 7n2 + 7n 49 = 0 (n 7)(n2 + 7) = 0 n = 7
Nờn h s ca x8 l C47 23 280
B- BAỉI TAP Tệẽ LUYEN :

n

2


1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18


1 
 2 x  5  , (x>0).
x


Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
C  C  C
 2048 . ( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
3. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của
x(12x)5+x2(1+3x)10.
2. (ĐH_Khối
1
2n

D

2008)

2 n 1
2n

3
2n

D

4. (ĐH_Khối

2005)

Tính

giá

trị

biểu

thức

M 

An41  3 An3
,

n  1!

biết

rằng

Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24  149 (n là số nguyên dương, Ank là số chỉnh hợp chập k của n

n

phần tử và C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử)
5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7

24
7.
v

3
1 
 x  4  với x>0.
x


6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển
thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n.
7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0  2Cn1  4Cn2    2 n Cnn  2048 .
8. (ĐH_Khối B 2008)

Chứng minh rằng

n 1  1
1  1
 k  k 1   k (n, k là các số nguyên

n  2  C n1 C n 1  C n

C n0 

w
.h
oc

dương, k≤n, C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của
(2+x)n, biết:
3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C nk là số tổ hợp
chập k của n phần tử).
10. (ĐH_Khối
B
2003)
Cho
n
là
số
nguyên
dương.
Tính
tổng
2 2  1 1 23  1 2

2 n1  1 n
Cn 
Cn   
C n , ( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử)..
2
3
n 1

11. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số

w

a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a0 

a
a1
   nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0,
2
2

w

a1,…an.

12. (ĐH_Khối A 2007)

Chứng minh rằng

1 1 1 3 1 5
1

2 2n  1 1
C 2 n  C 2 n  C 2 n    C 22nn1 
C2n ,
2
4
6
2n
2n  1

( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
13. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của
n

 1
1
2
n
20
k
7
 4  x  , biết rằng C2n1  C2n1    C2n1  2  1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp
x



chập k của n phần tử).


A

14. (ĐH_Khối
C

1
2 n 1

 2.2C

2
2 n 1

2005)

 3.2 C
2

3
2 n 1

Tìm

 4.2 C
3

4
2 n 1

số

ngun

   2n  1.2 C
2n

2 n 1
2 n 1

dương
n
sao
cho
k
 2005 , ( C n là số tổ hợp chập k

của n phần tử).
15. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8.
16. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của
n

 1
n 1
n
k
5 
 3  x  , biết rằng Cn4  Cn3  7n  3 , (n ngun dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập
x


k của n phần tử).
17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức

n

n

n 1

n 1

n

n

 3x 
 x 
 x 1   x 
 2     C nn 1  2 2  2 3   C nn  2 3 















3
1
(n là số ngun dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n

24
7.
v

x
 x21

 x 1 
 x 1 
 2  2 3   C n0  2 2   C n1  2 2 













và x.

18. (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển đa thức:  2  3x  biết

2n

rằng n là số ngun dương thoả mãn: C21n1  C23n1  C25n 1  ...  C 22nn 11  1024( Cnk là tổ hợp chập k
của n phần tử )
19. (ĐH A–DB1-2006) p dụng công thức Newtơn (x2+x)100. Chứng minh rằng:
99

100

20. (ĐH-D-2004)
7

198

99  1 
 ...  199C100
 
2

w
.h
oc

0 1
1 1
100C100
   101C100  
2
2

199

100  1 
 200C100
 
2

0

Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của

1 
3
 x  4  với x > 0.
x


21. (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển của biểu thức: 1  x 2 1  x  .
8

22. (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của:
n

w

w

1
n 1
n

5 
 3  x  , biết rằng: Cn4  Cn3  7(n  3) ( n là số ngun dương, x > 0 ).
x


23. (ĐH-D-2003) Với n là số ngun dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành

đa thức của  x 2  1  x  2  . Tìm n để a3n3  26n.
n

n

24. (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của:
n

 1
1
2
3
n
20
7
 4  x  , biết rằng: C2n1  C2n1  C2n1  ...  C2n1  2  1. ( n là số ngun dương, x > 0 ).
x



25. (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A3n  8C2n  C1n  49 .
26. (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n ngun dương ln có
nC0n  n  1C1n  ...   1

n 2

Cnn 2   1

n 1

Cnn 1  0 .


27. (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton
(1+3x)2n biết rằng An3  2 An2  100 (n là số nguyên dương)
28. (ĐH B –DB1-2008) Cho số nguyên n thỏa mãn

An3  C n3
 35
(n  1)(n  2)

(n  3) . Tính tổng

S  2 2.Cn2  32 Cn3  4 2 Cn4  ....... (1) n .n 2 .Cnn

29. (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton
( x  1) n  Cn0 x n  Cn1 x n1  Cn2 x n2  ....  Cnn

30. (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương
n.2n C0n  (n  1).2n 1 C1n  ....  2Cnn 1  2n.3n 1

Cho khai triển: 1  2 x   a0  a1 x  ...  an x n . Trong đó n  N * và các hệ số
n

32. (ĐH-A-2002)

2


a
a1
 ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số: a0 , a1 ,..., an .
2
2

Cho khai triển nhị thức:

n

n

n 1

n 1

n

x
x 1
 3x 

  3x 
n 1 

n
3
2
 2   ...  Cn  2   2   Cn  2  ( n là số nguyên







3
1
dương ). Biết rằng trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
x 1
2



 2   Cn0  2



n

a0 , a1,....., an thỏa mãn hệ thức: a0 

24
7.
v

31. (ĐH-A-2008)

x
3

33. (ĐH-A-2005)
C

 2.2C

2
2 n 1

Tìm số nguyên dương n sao cho:

 3.2 C23n1  4.23 C24n1  ...   2n  1 .22 n C22nn11  2005.
2

34. (ĐH-B-2003)
Cn0 

x 1


1
2
  Cn  2 





Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:

w
.h
oc

1
2 n 1

x 1
2

2 1 1 2 1 2
2n1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn .
2
3
n 1
2

3

35. (ĐH-D-2002)

Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn0  2Cn1  4Cn2  ...  2n Cnn  243.

36. (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức: M 

w

w

Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24  149

An41  3 An3
, biết rằng:
 n  1!

( n là số nguyên dương ).