Ứng dụng các phép biến hình trong giải bài toán quỹ tích ở trường THPT

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô trong
Khoa khoa học Tự nhiên nói chung và Bộ môn Hình học và Phương pháp giảng
dạy Toán nói riêng đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường. Đặc biệt,
em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn –ThS Nguyễn Thị Xuân
đã tạo cơ hội và điều kiện tốt nhất để em được làm bài tập này, cảm ơn cô đã
giảng dạy chỉ bảo tận tình và truyền đạt những kiến thức quý báu cho em trong
suốt thời gian qua.
Cảm ơn tập thể lớp K17b Đại học Sư phạm Toán đã tận tình giúp đỡ, tạo
điều kiện cho tôi hoàn thành đề tài này, cảm ơn các bạn trong lớp đã giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành bài tiểu luận.
Bước đầu đi vào thực hiện bài tập lớn, kiến thức của em đang còn hạn
chế do vậy không tránh khỏi những thiếu sót và những chỗ chưa chuẩn xác, kính
mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy Cô và các anh
chị, bạn học để em hoàn thiện hơn bài tiểu luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày....tháng....năm..........
Sinh viên

Lê Thị Bích Hường

1


MỤC LỤC

Mục

Tên chương, phần, mục và tiểu mục

Trang

1

LỜI CẢM ƠN

1

2

MỤC LỤC

2

3

PHẦN MỞ ĐẦU

3

4

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

5

5

1.

Khái niệm về quỹ tích

5

6

2.

Dạng chứng minh của bài toán quỹ tích

5

7
8
9

Các phép biến hình trong mặt phẳng
ỨNG DỤNG: Sử dụng các phép biến hình trong giải các bài
toán về quỹ tích
1. Phương pháp giải bài toán quỹ tích

7

Sử dụng các phép biến hình giải bài toán quỹ tích

9

3.

10

2.

11

2.1.

12

•

13

2.2.

14

•

15

2.3.

16

•

17

2.4.

18

•

Phép biến hình – Phép tịnh tiến
Bài tập tự luyện

9
9
9
15

Phép đối xứng trục

16

Bài tập tự luyện

18

Phép quay và phép đối xứng tâm

19

Bài tập tự luyện

23

Phép vị tự

23

Bài tập tự luyện

28

19

PHẦN KẾT LUẬN

29

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

30

2


PHẦN MỞ ĐẦU
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành
những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện
phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt
Nam.
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức
quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức

trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công
cụ để học tốt những môn học khác. Góp phần phát triển nhân cách, ngoài
việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ năng Toán học cần
thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con
người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỷ luật, tính phê phán,
tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương I - Hình học 11, các phép biến hình đã là công cụ
hữu hiệu để giải các bài toán quỹ tích, dựng hình,… Đây là một vấn đề
khó khăn vì học sinh lần đầu tiên làm quen với khái niệm biến hình và
hầu hết các em đều “ngại” làm những bài toán liên quan đến quỹ tích.
Nhưng nội dung của phép biến hình đưa vào chương trình không
chỉ là công cụ để giải toán mà còn giúp các em làm quen với phương pháp
tư duy và suy luận mới biết nhìn sự vật hiện tượng xung quanh với quan
điểm vận động biến đổi góp phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo
trong học tập. Do vậy em xin chọn đề tài: “ Ứng dụng các phép biến hình
trong giải bài toán quỹ tích ở trường THPT”
Với đặc điểm của chương trình này là: kiến thức mới, học sinh tiếp
cận khá khó khăn và chất lượng học sinh không đồng đều. Mặc dù
chương trình mới đã giảm tải về mặt lý thuyết rất nhiều. Nhiều học sinh
học phép biến hình chỉ nghĩ đơn thuần là nắm được định nghĩa và tính
chất nhưng để áp dụng được lý thuyết để giải một số bài toán quỹ tích thì
thực sự là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh.

3


Vì vậy bài tiểu luận này sẽ một phần nào giúp người học nắm rõ
khái quát hơn về khái niệm, các tính chất của các phép biến hình và phân
biệt sự khác nhau giữa các bài toán tìm quỹ tích ở mỗi phép biến hình đó.
Phạm vi nghiên cứu:

- Một số bài tập về quỹ tích ở chương biến hình.
- Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức của bộ môn
Toán Trung học phổ thông, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các
tài liệu bồi dưỡng học sinh luyện thi đại học, cao đẳng và học sinh
giỏi.
Phương pháp nghiên cứu:
-

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách

-

tham khảo, các tài liệu liên quan khác,....
Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học của giáo viên và

-

học sinh.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
4


1. Khái niệm về quỹ tích:
Ta biết rằng hình là một tập hợp điểm nào đó. Để cho một tập hợp, ta có thể
có nhiều cách. Một trong các cách đó là chỉ ra tập hợp đó gồm những điểm nào.
Chẳng hạn có thể nói về tập hợp các đỉnh của một đa giác đã cho. Hoặc có thể
cho về một tập hợp điểm bằng cách chỉ ra những tính chất đặc trưng cho các
điểm đó. Chẳng hạn ta có thể nói về tập hợp các điểm cách đều hai điểm A và B

cho trước.
Khi hình X được xác định như là tập hợp tất cả những điểm có tính chất
thì ta nói “X là quỹ tích của những điểm có tính chất
những điểm có tính chất

α

α

α

,

” hay “Quỹ tích của

là hình X”. Theo lý thuyết tập hợp điều đó có nghĩa

là:
-Nếu điểm M có tính chất
-Nếu M

∈

α

thì M

X thì M có tính chất

α

∈

X.

.

2. Dạng chứng minh của bài toán quỹ tích:
- Bài toán loại này được phát biểu dưới dạng: “Chứng minh rằng quỹ tích
những điểm M có tính chất

α

là hình X”.

Để giải bài toán này, như trên đã nói ta phải chứng minh hai phần: Phần
thuận và phần ảo.
a)
b)

α
∈
Nếu điểm M có tính chất thì M X (phần thuận).
α
∈
Nếu M X thì M có tính chất .

Có thể hay phần thuận a) và phần đảo b) bằng mệnh đề tương đương:
a’) Nếu M

∉

X thì M không có tính chất

b’) Nếu M không có tính chất

α

thì M
5

∉

α

X.

.


Ví dụ: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1; R) và (O2: R) và
là trung điểm của đoạn thẳng

O1O2

O1 ≠ O2

. Gọi C

. Trên hai đường tròn đó lần lượt lấy hai điểm

A, B và gọi M là trung điểm AB. Chứng minh rằng quỹ tích điểm M khi A, B

thay đổi là hình tròn tâm C bán kính R.
Lời giải:
Phần thuận: Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB. Ta phải chứng minh

Thật vậy nếu ta gọi N là trung điểm của
1
R
CN = O1 A =
2
2

. Từ đó suy ra:

O2 A

CM ≤ MN + CN = R

thì

CM ≤ R

1
R
MN = O2 B =
2
2

.

,

.

Phần đảo: Giả sử M là điểm thuộc đường tròn tâm C bán kính R. Ta phải chứng
minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB nào đó, với A, B lần lượt nằm trên hai
đường tròn đã cho.
Ta gọi
tròn

(O2 ; R )

(O3 ; R)

và

là đường tròn đối xứng với

(O3 ; R )

cắt nhau vì

(O1 ; R )

O2O3 = 2CM ≤ 2 R

6

qua điểm M. Hai đường

. Nếu gọi B là một điểm


chung của chúng và A là điểm đối xứng của B qua M thì rõ ràng M là trung điểm

A ∈ (O1; R)

AB và

còn

B ∈ (O2 ; R )

.

- Phần thuận và phần đảo nhiều khi có thể trình bày gộp lại thành một phần nếu
chúng ta dùng phép lập luận tương đương.
3. Các phép biến hình trong mặt phẳng:
3.1 Phép biến hình - Phép tịnh tiến:
-

Định nghĩa:
a. Phép biến hình là một quy tắc để vớii mỗi điểm M trên mặt
phẳng có thể xác định được duy nhất một điểm M’ thuộc mặt
phẳng.
b.

Phép tịnh tiến theo vectơ

r
v

là phép biến hình biến điểm M

uuuuu
r r
MM ' = v

-

thành điểm M’ sao cho
.
Tính chất: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai
chất điểm bất kỳ.

3.2 Phép đối xứng trục:
- Định nghĩa: M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d khi và chỉ khi d
là đường trung trực của MM’.
3.3 Phép quay và phép đối xứng tâm:
7


Q( O ;R )
- Định nghĩa phép quay: Điểm M’ là ảnh của M qua phép quay

và chỉ khi OM=OM’ và

( OM ; OM ’) = µ

khi

.

- Định nghĩa phép đối xứng tâm: M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm
O khi và chỉ khi

uuuu
r uuuur r
OM + OM ' = 0

.

3.4 Phép vị tự:
- Định nghĩa: Cho trước một điểm O và số thực
mọi điểm M thành điểm M’ sao cho

uuuur
uuuu
r
OM ' = kOM

k ≠0

. Phép biến đổi biến

được gọi là phép vị tự tâm O

H ( O:k )

hệ số k và được ký hiệu

. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M, M được

gọi là tạo ảnh của M’, O là tâm của phép vị tự, K là hệ số vị tự.

H ( O:k )
Nếu k>0, thì

được gọi phép vị tự dương.

H ( O:k )
Nếu k<0, thì

được gọi là phép vị tự âm.

Nếu k=0, thì ảnh của mọi điểm M là O.

8


ỨNG DỤNG
Sử dụng các phép biến hình trong giải các bài toán về quỹ tích
1.

Phương pháp giải bài toán quỹ tích
Bài toán tìm quỹ tích có dạng sau: “Tìm quỹ tích các điểm M có tính chất

α

”. Trong bài toán dạng này, người ta chưa cho biết quỹ tích M là hình gì.

Chúng ta phải tìm ra một hình H và chứng minh rằng quỹ tích các điểm M
chính là hình H đó.
Để tìm ra hình H ta có thể biến đổi tính chất
chất

β

nào đó tương đương với

chỉ khi M có tính chất

β

α

α

của điểm M thành ra tính

. Có nghĩa là “Điểm M có tính

α

khi và

”. Nếu quỹ tích những điểm M có tính chất

β

là

một bài toán đơn giản hoặc là bài toán đã giải trước rồi thì bài toán đặt ra ban
đầu cũng được giải.
Như vậy lời bài toán tìm quỹ tích phải có hai phần:
- Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất

α

thì nó có tính chất

β

nên

nó thuộc hình H.
- Phần đảo:Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc hình H thì nó có tính chất
Thực chất là chứng minh rằng nếu điểm M có tính chất
2.

β

thì nó có tính chất

Sử dụng các phép biến hình trong giải các bài toán về quỹ tích

2.1 Phép biến hình - Phép tịnh tiến:

9

α
α

.

.


- Phương pháp tìm quỹ tích: Chỉ ra được vectơ

Tvr

r
v

cố định, xét phép tịnh tiến

điểm M’ cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M. Biết M chạy trên đường (C)

thì M’ chạy trên đường (C’) là ảnh của (C) qua phép

Tvr

. Vậy quỹ tích của

điểm M’ là đường (C’).
Ví dụ 2.1.1: Cho 2 điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A
thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:
Nhìn nhận được vấn đề là điểm H “liên quan” với điểm A qua phép tịnh tiến
với vectơ nào?
-

Nếu BC là đường kính thì trực tâm H của tam giác ABC chính là A.

Vậy H nằm trên đường tròn (O; R).
- Nếu BC không là đường kính, vẽ đường kính BB’ của đường tròn.
uuur uuuu
r
uuuu
r
AH = B ' C
B 'C
Ta có:
( Do tứ giác AHCB’ là hình bình hành ) mà
cố định.

10


Vậy qua phép tịnh tiến
(O;R)

⇔

TuBuu' Cur

biến A thành H. Do đó A chạy trên đường tròn

H chạy trên đường tròn (O’; R), O’ được xác định:

uuuu
r uuuu
r
OO ' = B 'C

.

Kết luận: Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của
đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ

uuuu
r
B 'C

.

Ví dụ 2.1.2: Cho đường tròn(O;R) và một điểm M chạy trên đường tròn đó, cho
một đoạn AB có A,B không nằm trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích các điểm M’
là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMM’.

Lời giải:
Hướng cho học sinh tìm thấy điểm M có mối quan hệ với điểm nào? Qua
phép tịnh tiến nào?
Ta có tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên :

định . Vậy phép tịnh tiến

uuuuur uuu
r uuuuur uuu
r
MM ' = BA MM ' = BA

uuuuur uuur uuur Tuuur
MM ' + MA = MB BA

11

mà

uuu
r
BA

cố

: Biến M thành M’. Do đó M


chạy trên đường tròn (O;R) M’ chạy trên đường tròn (O’;R), O’ được xác định:
uuuu
r uuu
r
OO ' = BA

.

Kết luận : Quỹ tích điểm M’ là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường

tròn (O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ

uuu
r
BA

.

Ví dụ 2.1.3: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên
đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho:
uuuuur uuur uuur
MM ' + MA = MB

Ta có

Lời giải:
uuuuur uuur uuur uuu
r
MM ' = MB − MA = AB

Phép tịnh tiến T theo vecto

uuu
r
AB

biến M thành M’

Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là

uuuu
r uuu
r
OO' = AB

thì quỹ tích M' là

đường tròn O' có bán kính bằng bán kính đường tròn (O).
Ví dụ 2.1.4: Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính
MN thay đổi. Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và
Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ?
Lời giải:

12


∆MPQ

có QA là một đường cao ( vì

tại trực tâm H của

∆NMH

nên

∆MPQ

trùng B)

⊥

). Kẻ MM' PQ thì MM' cắt QA

, đoạn đường thẳng OA là đường trung bình của

uuuu
r
uuu
r uuu
r
MH = 2OA = BA

Vậy phép tịnh tiến T theo
⇒

QA ⊥ MP

uuu
r
BA

biến M thành H. ( M không trùng A; M không

Quỹ tích H là ảnh của đường tròn (O)

( không kể hai điểm A và B) qua phép tịnh tiến đó.
Làm tương tự đối với trực tâm H' của
Ví dụ 2.1.5: Cho

∆ABC

uuuu
r uuur
uuur uuur
MN = MA + 2MB − 3MC

∆NPQ.

, với mỗi điểm M ta dựng điểm N thỏa mãn:

. Tìm tập hợp điểm N, khi M thay đổi trên một đường

thẳng d.
Lời giải:
uuuu
r uuur
uuur uuur
uuuu
r
uuu
r uuur uuur
MN = MA + 2MB − 3MC ⇔ MN = 2 AB − 3 AC = AE

13


Ta có

uuur

AE

là một vecto xác định

→

N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo

uuur
AE

.

Vì M thuộc d, nên N thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến đó. Tập hợp N là cả
đường thẳng d’.
Ví dụ 2.1.6: Cho

∆ABC

cố định có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE, từ D và E

vẽ các đường thẳng vuông góc với AB và AC. Các đường thẳng này cắt nhau tại
điểm M. Tìm quỹ tích của điểm M.

Lời giải:
Tứ giác BCDE là hình thoi nên BC=CD, BC//ED. H là trực tâm

BH ⊥ AC , ME ⊥ AC
⇒ BH

// ME. Suy ra

·
·
HBC
= MED
·
·
⇒ HCB
= MDE

Tương tự: HC//DM và BC//ED
uuur uuuur
∆HBC = ∆MDE ⇒ CH = DM
Suy ra:
⇒

Phép tịnh tiến

uuur ( D ) = M
TCH

14

∆ABC

nên


Ta có BC=CD nên điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm C, bán kính R=BC

⇒

điểm M thuộc đường tròn tâm H, bán kính R=BC là ảnh của đường tròn (C)

qua phép tịnh tiến

uuur
TCH

Ví dụ 2.1.7: Cho tam giác
huyền BC của

∆ABC

∆ABC

µA = 900

có

. Từ điểm P thay đổi trên cạnh

vẽ các đường vuông góc PR, PQ với các cạnh vuông AB,

∈
∈
AC ( R AB, Q AC). Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng RQ.
Lời giải:
Dựng hình chữ nhật ABSQ

⊥
⊥
⊥
Ta có PR AB, PQ AC và RA AQ
⇒

ARPQ là hình chữ nhật. Suy ra RBSP là hình chữ nhật.
1
2

Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MN//SQ và MN= SQ
⇒

1
2

MN//BA và MN= BA

Đặt

r 1 uuu
r uuuur r
u = BA ⇒ NM = u
2

. Phép tịnh tiến

Tur : N → M

15

≡
≡
Khi P C thì N D là trung điểm cạnh BC
Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD
thuộc cạnh huyền BC.

Tur : B → B1

và

Tur : D → N1

thì B1 và N1 là trung điểm cạnh AB, AC. Suy ra quỹ

tích của điểm M là đoạn thẳng B1N1.

Bài tập tự luyện:
1.

Cho một đường tròn (O), một điểm P cố định và một đoạn thẳng AB = a
cố định. Với mỗi điểm M thuộc (O) ta dựng hình bình hành ABNM và gọi
Q là điểm đối xứng của N qua P. Tìm tập hợp điểm Q, khi M thay đổi trên

2.

đường tròn.
Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, cạnh CD thay đổi sao cho
AC BD

=
AB AD

3.

. Tìm tập hợp tất cả các đỉnh C và D.
Cho đường tròn (O), hai điểm cố định A, B và đoạn thẳng CD có định.
Với mỗi điểm M thuộc đường tròn (O) ta dựng điểm M 1 đối xứng với M
qua A, dựng điểm M2 là đỉnh của một hình bình hành

M 1CDM 2

, dựng

điểm M3 đối xứng với M2 qua B. Tìm tập hợp M 3 khi M biến thiên trên
4.

đường tròn.
Cho trước đường tròn (O), một đường thẳng d cố định và đoạn thẳng AB
cố định. Với điểm M bất kỳ thuộc (O) ta dựng điểm M 1 đối xứng với M
qua d và M2 là đỉnh của một hình bình hành
16

M 1 ABM 2

, dựng điểm M’ là


đỉnh của hình bình hành MABM’, biết rằng M’ đối xứng với M 2 qua d.
5.

Tìm tập hợp các điểm M2 và M’, khi M biến thiên.
Trên đường tròn (O; R) cho hai điểm cố dịnh B, C và một điểm A thay

6.

đổi. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.
Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN
thay đổi. Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến B lần lượt tại P và Q.

7.

Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ.
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo BD cố định, A di động trên
đường tròn tâm D bán kính R.
a) Tìm quỹ tích đỉnh C của hình bình hành ABCD.
b) Tìm quỹ tích đỉnh E của hình bình hành.

2.2 Phép đối xứng trục:
- Phương pháp tìm quỹ tích: Chỉ ra một đường thẳng d cố định. Điểm M
cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M’ qua phép

Dd

biết M’ chạy trên đường (C’)

thì M chạy trên đường (C) là ảnh của (C’) qua phép

Dd

.

Ví dụ 2.2.1: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A
thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.

17


Lời giải:
Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường tròn.
Ta có:

∠BAH = ∠HCB
∠BAH = ∠BCH '

(tương ứng vuông góc)
(cùng chắn một cung)

Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H và H’ đối xứng nhau qua đường thẳng
BC.
Kết luận: Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của
đường tròn (O; R) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC.
Ví dụ 2.2.2: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M
ta xác định điểm M' sao cho

uuuuur uuur uuur
MM ' = MA + MB

. Tìm quỹ tích điểm M' sao cho M

chạy trên (O;R).

Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB

uuur uuur
uuu
r uuuuur uuur uuur
MA + MB = 2MI MM ' = MA + MB
thi I cố định và
,
uuuuu
r
uuu
r
⇔ MM ' = 2MI

⇒ MM '

nhận I làm trung điểm
18


hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M'. Vậy khi M chạy trên đường
tròn (O;R) thì quỹ tích điểm M' là ảnh của đường tròn qua Đ I. Nếu ta gọi O' là
điểm đối xứng của O qua điểm I thì quỹ tích của M' là đường tròn (O';R).
Ví dụ 2.2.3: Cho đường tròn (O) và

∆ABC

. Một điểm M thay đổi trên đường

tròn (O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A. M2 là điểm đối xứng của M1
qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích điểm M3.
Lời giải:
Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành

⇒

điểm D cố định.

Vì phép đối xứng qua điểm D biến M thành M 3 nên quỹ tích M3 là ảnh của
đường tòn (O) qua phép đối xứng đó.
Ví dụ 2.2.4: Cho đoạn thẳng BC cố định và số k>0. Với mỗi điểm A ta xác định
điểm D sao cho
điều kiện

uuur uuu
r uuur
AD = AB + AC

. Tìm tập hợp điểm D khi A thay đổi thỏa mãn

AB 2 + AC 2 = k .

Lời giải:
Gọi I là trung điểm của BC, khi đó
⇒

uur uuu

r uuur uuur
2AI = AB + AC = AD

I là trung điểm của AD. Phép đối xứng qua I biến A thành D. Tập hợp điểm A

thỏa mãn điều kiện đã cho là một đường tròn hoặc một điểm hoặc rỗng. Vậy tập
hợp điểm D là đường tròn hoặc một điểm hoặc tập rỗng.
Ví dụ 2.2.5: Cho hai điểm cố định A, B và số a>0. Xét các đường elip (E) đi qua
A, nhận B là tâm đối xứng và có độ dài trục lớn là 2a. Tìm tập hợp các tiêu điểm
của (E).
19


Lời giải:
Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm của (E). Với A’ đối xứng với A qua B, khi đó ta có:
A'F1 + AF1 = A'F1 + AF1 = 2a

.

Vậy tập hợp các tiêu điểm là một elip nhận A, A’ làm các tiêu điểm và có độ dài
trục lớn là 2a.
Bài tập tự luyện
1.

Cho hai đường thẳng a, b và đường tròn (O). Với mỗi điểm M thuộc (O)
ta dựng điểm N đối xứng với M qua a, điểm P đối xứng với N qua b và
điểm Q đối xứng với P qua a. Tìm tập hợp điểm Q, khi M thay đổi trên

2.

đường tròn (O).
Cho hình vuông ABCD. Tìm tập hợp các đỉnh của một tứ giác lồi sao cho

3.

4 đỉnh của hình vuông đã cho là trung điểm 4 cạnh tứ giác.
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp 4 đỉnh của một tứ giác lồi sao cho 3 đỉnh

4.

tam giác là trung điểm 3 cạnh tứ giác đó.
Cho hai điểm cố dịnh A và B. Với mỗi đường thẳng x đi qua B ta dựng

5.

điểm A’ đối xứng của A qua x. Tìm tập hợp A’ khi x quay quanh B.
Cho Parabol (P). Với mỗi đường thẳng x tiếp xúc với (P) ta lấy đối xứng

6.

tiêu điểm F của (P) qua x. Tìm tập hợp ảnh của F trong phép đối xứng đó.
Cho Elip (E). Với mỗi đường thẳng x tiếp xúc với elip ta lấy đối xứng một

7.

tiêu điểm F1 của E qua x Tìm tập hợp ảnh của F1 khi x thay đổi.
Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có cạnh BCcạnh BC ta dựng hình bình hành APMQ (P thuộc cạnh AB và Q thuộc
cạnh AC). Tìm tập hợp ảnh của điểm M trong phép đối xứng qua đường
thẳng PQ.

2.3 Phép quay và phép đối xứng tâm:

20


- Phương pháp tìm quỹ tích: Chỉ ra một điểm O cố định và một góc lượng

giác

λ

không đổi. Điểm M cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M’ qua phép

Phép đối xứng tâm là trường hợp đặc biệt của phép quay với góc quay là

Q( O;λ )

.

180o.

Ví dụ 2.3.1: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A
thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của BC vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứng
minh I là trung điểm của HM. Ta đii tìm quỹ tích của điểm H dựa vào phép đối
xứng tâm I.
Ví dụ 2.3.2: Xác định M’ sao cho

uuuuur uuur uuur
MM ' = MA + MB

. Tìm quỹ tích điểm M’ khi

M chạy trên (O; R).
Lời giải:
Gọi I là trung điểm AB thì I cố định
và

uuur uuur
uuu
r
MA + MB = 2MI

Do vậy

.

uuuuu
r uuur uuur
uuuuu
r
uuu
r
MM ' = MA + MB ⇔ MM ' = 2 MI

tức là MM’ nhận I làm trung điểm hay
phép ĐI biến M thành M’. Vậy khi M
chạy trên đường tròn (O; R) thì quỹ tích điểm M’ là đường tròn (O’; R) là ảnh

của đường tròn (O; R) qua phép ĐI. O’ được xác định

uuur uur
O ' I = IO

.

Ví dụ 2.3.3: Cho đường tròn (O) và một điểm I không nằm trên đường tròn. Với
mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm là I. Tìm
quỹ tích các điểm B, C, D.
21


Lời giải:
Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C. Vậy quỹ tích C là đường tròn
đối xứng với (O) qua I.
Phép quay Q tâm I góc quay 900 biến A thành B( hoặc thành D), phép
quay Q' tâm I góc quay - 90 0 biến A thành D ( hoặc thành B). Vậy quỹ tích B và
D là ảnh của (O) qua hai phép quay đó.
Ví dụ 2.3.4: Cho điểm I cố định. Mọi M, M' là hai điểm sao cho

∆

IMM' vuông

cân tại I.
a) Cho điểm M chạy trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích các điểm M'
b) Cho điểm M chạy trên đường thẳng d. Tìm quỹ tích các điểm M' . Gọi
H là hình chiếu của I xuống MM'. Tìm quỹ tích các điểm H.
Lời giải:

∆

IMM'

vuông

cân

tại

I

nên

IM=IM'

và

( IM , IM ') = 900
Suy ra M' là ảnh của M qua phép quay tâm I, góc
quay 900.
Tức là Q(I,900):

M →M'

M ∈( O)

a) Khi

0

Q(I,90 ):
Suy ra

O → O' ⇒

0

Q(I,90 ):

(O) → (O ')

M ' ∈ ( O ')

Vậy quỹ tích điểm M' là đường tròn (O') ảnh của đường tròn (O) qua phép
quay Q(I,900)
22


b) Khi

M ∈d

, gọi J là hình chiếu vuông góc của I lên d

Ta có: Q(I,900):
⇒

0

Q(I,90 ):

J →J'

d →d'

d ' ⊥ IJ '

và

tại J',

d ⊥ d ', M ∈ d ⇒ M ∈ d '

Vậy quỹ tích điểm M' là đường thẳng d' đi qua J' và vuông góc với d.
* Tìm quỹ tích điểm H:
Kẻ

·
IH ⊥ MM ' ⇒ MIH
= 450

( Do

∆

IMM' vuông cân tại I )

Suy ra tứ giác IJMH nội tiếp đường tròn đường kính MI

·
·
⇒ MJH
= MIH
= 450

Ta có

( cùng chắn cung

¼
MH

)

·
MJJ
' = 450

(JJ' là đường chéo hình vuông OJIJ')
cùng phía đối với đường thẳng d nên

·
·
⇒ MJH
= MJJ
'
H ∈ JJ '

thẳng JJ'.

Ví dụ 2.3.5: Cho đường tròn (O; R) và hai
điểm A, B thuộc đường tròn. Đường tròn (I, r)
tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;R) tại A.
Một điểm M di động trên đường tròn (O; R),
tia MA cắt đường tròn (I, r) tại điểm thứ hai
C. Qua C vẽ đường thẳng song song với AB
cắt đường thẳng MB tại D. Tìm quỹ tích của
điểm D.
Lời giải:
Gọi E là giao điểm của CD với (I; r)
23

. Hai điểm H và J' nằm

. Quỹ tích của điểm H là đường


Vẽ tiếp tuyến chung của (O; R) và (I; r) là
Ta có

·ABM = xAM
·
·
·
; CEA=tAC

·ABM = EDB
·

xt

·
·
xAM
= tAC

và

do (CD//AB)

·
·
⇒ CEA
= EDB

nên tứ giác ABDE là hình thang cân

Gọi d là đường trung trực đoạn thẳng AB thì d cũng là đường trung trực của
đoạn ED. Phép đối xứng Đd: E

→

D, khi M di động trên đường tròn (O; R) thì E

di động trên đường tròn (I; r) nên quỹ tích điểm D là đường tròn (I'; r) ảnh của
đường tròn (I; r) qua phép đối xứng Đd. Do đường tròn (I; r) tiếp xúc với đường
tròn (O; R) tại A nên đường tròn (I'; r) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B.
Ví dụ 2.3.6: Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và điểm A di động
trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của

∆

ABC.

Lời giải:
Ta có:

·
·
HAC
= CBH

·
·
HAC
= KBC

Suy ra:

Suy ra

(cùng chắn cung

·
·
CBH
= CBK

Mặt khác

∆

( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
»
KC

)

nên BC là phân giác góc

·
KBH

AI ⊥ BC

BHK cân tại B

⇒

HI=IK

Phép đối xứng trục BC là ĐBC:

K →H

Khi A chạy trên đường tròn (O) thì K cũng chạy trên đường tròn (O)
24


Quỹ tích điểm H là đường tròn (O), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng

trục BC.
Bài tập tự luyện
1. Cho tam giác đều ABC. Tìm tập hợp điểm M nằm trong tam giác sao cho

MA2 + MB 2 = MC 2

.
2. Cho đường tròn tâm O và dây cung AB có độ dài không đổi. Gọi M là
trung điểm của AB. Ta dựng tam giác đều OMN. Tìm tập hợp N, khi các
đầu mút của dây AB biến thiên.
3. Cho đường tròn (O), một điểm A cố định và một góc
thuộc đường tròn ta dựng tam giác cân ABC có góc

α

. Với mỗi điểm B

µA = α

. Tìm tập hợp

đỉnh C, khi B thay đổi.
R( O ;a )
4. Cho phép quay
và điểm S cố định khác O. Với mỗi điểm A phép
quay biến A thành A’ sao cho AA’ đi qua S. Tìm tập hợp điểm A.
5. Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm
A thay đổi trên đường tròn, xét hình vuông ABCD có tâm I. Tìm quỹ tích
các điểm B, C, D.
6. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R và M là điểm chuyển

động trên đường tròn đó. Dựng phía ngoài

∆AMB

một hình vuông

MBCD. Tìm quỹ tích của điểm C.
I.4

Phép vị tự:

- Phương pháp tìm quỹ tích: Chỉ ra được một điểm cố định O, một hằng số k.
Xét phép vị tự tâm O tỷ số k (

k ≠ 0)

điểm M’ cần tìm quỹ tích là là ảnh của M.

Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy trên đường (C’) là ảnh của (C) qua
V(O; k).

25