CHUYÊN ĐỀ TOÁN

VẤN ĐỀ 2:
GÓC TẠO BỞI HAI CÁT TUYẾN (HOẶC TIẾP TUYẾN) CỦA
ĐƯỜNG TRÒN
Các góc tạo bởi hai các tuyến (hoặc tiếp tuyến) của đường tròn bao gồm: Nội tiếp, góc
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong hay ngoài đường tròn. Những góc
này có vai trò quan trọng để giải các bài toán đường tròn.
*) Với đỉnh A nằm trên đường tròn, ta xét góc taọ bởi hai dây AB và AC, đó là góc nội tiếp
(hình 3.5a) và góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây AB, đó là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung (hình 3.5b)
Các góc này đều có số đo bằng nữa số đo của cung bị chắn.Do đó, nếu những góc này
cùng chắn một cung (hoặc chắn hai cung bằng nhau) thì chúng bằng nhau, nếu những góc này
bằng nhau thì các cung bị chắn cũng bằng nhau.
Trong chương II có định lý “Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường
tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông”. Sau khi học góc nội tiếp, định lý được thay
bởi mộ định lý đơn giản: Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn là góc vuông.
Trong trường hợp các góc nội tiếp không quá 90
0
thì số đo của góc nội tiếp bằng nữa số
đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
Với đỉnh A ở bên trong đường tròn ta có góc có đỉnh ở bên trong đường tròn (hình
3.5c), số đo của góc này bằng nữa tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và tia đối
của hai cạnh ấy.Với đỉnh A ở bên ngoài đường tròn, ta quan tâm đến các góc có hai cạnh cắt
đường tròn hoặc tiếp xúc với đường tròn (các hình 3.5d, 3.5e, 3.5g), các góc này có số đo bằng
nữa hiệu số đo hai cung bị chắn.
*) Các định lý và hệ quả về góc nội tiếp,góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở
bên trong hay bên ngoài đường tròn giúp chúng ta chứng minh các quan hệ giữa hai góc, nhờ
đó chứng minh các đường thẳng song song, các tam giác bằng nhau, các tam giác đồng dạng.
Ví dụ 2.1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi CD là tiếp tuyến chung của
hai đường tròn., C ∈ (O), D∈ (O’).Gọi K là tâm củađường tròn nội tiếp tam giác BCD.Gọi E là
giao điểm thứ hai của AB và đường tròn (K).Chứng minh rằng ACED là hình bình hành.
Giải (hình 3.6)

Đường tròn (O) ta có
µ
1
A
=
µ
1
C
(góc và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây chắn cung BC)
Đường tròn (K) ta có
µ
1
C
=
µ
1
E
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Suy ra
µ
1
A
=
µ
1
E
, nên AC // DE. Chứng minh tương tự có AD // CE.
Tứ giác ACED có AC // DE, AD // DE, AD // CE suy ra ACED là hình bình hành .
Lưu ý : Để chứng minh AC // DE, ta chứng minh
µ

1
A
=
µ
1
E
.Ta thấy
µ
1
A
là góc nội tiếp của đường
tròn (O),
µ
1
E
là góc nội tiếp của đường tròn (K). Góc C
1
có vai trò trung gian trong chứng minh,
nó là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung của đường tròn (O) và là góc nội tiếp của đường
tròn (K).
Ta gặp thuận lợi khi có sẳn góc C
1
có quan hệ đến cả hai đường tròn (O) và (K). Có những bài
toán đòi hỏi phải vẽ thêm góc có quan hệ đến cả hai đường tròn, chẳng hạn trong ví dụ dưới
đây.
Ví dụ 2.2: Cho hai đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của
đường tròn (O) tại B cắt đường tròn (O
’

) tạiC và D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt
đường tròn (O) theo thứ tự tại E, F.
a/ Chứng minh rằng EF // CD.
b/ Gọi M là điểm chính giữa của cung CD (M và A khác phía đối với CD). Tính số đo góc
BAM.
Giải (hình 3.7)
a/ Qua A kẻ tiếp tuyến chung xy của hai đường tròn .
µ
F
và
µ
1
A
là góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây của (O
’
) cùng chắn cung AC nên
µ
D
=
¶
2
A
.
Ta lại có
µ
1
A
=
¶
2

A
(đối đỉnh) nên
µ
D
=
µ
F
Hai góc ở vị trí so le trong D,F bằng nhau nên EF // CD.
b/ Vẽ đường kính BK của đường tròn (O).Ta có BK ⊥ BD mà EF // CD nên BK ⊥ EF. BK là
đường kính vuông góc với dây EF nên
»
KE
=
»
KF
, suy ra AK là tia phân giác của góc EAF.
¼
CM
=
¼
MD
=> Am là tia phân giác của góc CAD
Ta lại có
·
EAF
và
·
CAD
đối đỉnh nên K, A, M thẳng hàng. Do
·

BAK
= 90
0
nên
·
BAM
= 90
0
Lưu ý: Để chứng minh EF // CD, ta chứng minh
µ
F
=
µ
D
. Ta thấy
µ
F
là góc nội tiếp của đường
tròn (O),
µ
D
là góc nội tiếp của đường tròn (O
’
).Cách vẽ thêm tiếp tuyến xAy đã tạo ra góc A
1
và A
2
, trong đó
µ
1

A
=
µ
F
,
¶
2
A
=
µ
D
, nhờ đó chứng minh được
µ
F
=
µ
D
.
*) Sử dụng các định lý về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta chứng minh
được các góc bằng nhau, từ đó có các tam giác đồng dạng, do đó chứng minh được nhiều hệ
thức liên hệ giữa các độ dài .
Ví dụ 2.3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt BC ở D và
cắt đường tròn ở M. Chứng minh các hệ thức :
a/ AB.AC = AD.AM;
b/ MD.MA = MB
2

Giải (hình 3.8)
a/ Xét ∆ AMB và ∆ACD, ta có
µ

1
A
=
¶
2
A
(giả thiết)
¶
M
=
µ
C
.(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Do đó ∆AMB ~ ∆ACD (g.g) =>
AM
AC
=
AB
AD
=> AB.AC = AD.AM
b/ Xét ∆MAB và ∆MBD, ta có :
¶
M
là góc chung
µ
1
B
=
µ
1

A
(cùng bằng
¶
2
A
).
Do đó ∆MAB ~ ∆MBD (g.g)
=>
MA
MB
=
MB
MD
=> MD.MA = MB
2
.
Ví dụ 2.4: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và
các tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa A và E).Tia phân giác của góc DBE cắt DE ở I.
Chứng minh rằng :
a/
BD
BE
=
CD
CE
;
b/ AI = AB = AC;
c/ CI là tia phân giác của góc DCE.
Giải (hình 3.9)
a/ Xét ∆ABD và ∆AEB ta có

µ
A
là góc chung

¶
3
B
=
µ
1
E
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung DB).
Do đó ∆ABD ~ ∆AEB (g.g) =>
BD
BE
=
AB
AE
;
Tương tự
CD
CE
=
AC
AE
.
Ta lại có AB = AC nên
BD
BE
=

CD
CE
.
b/ Ta có :
µ
1
I
=
¶
2
B
+
µ
1
E
(góc ngoài của ∆IBE)
¶
ABI
=
µ
1
B
+
¶
3
B
=
¶
2
B

+
¶
3
B
Ta lại có
µ
1
E
=
¶
3
B
nên
µ
1
I
=
¶
ABI
. Do đó ∆ABI cân tại A, suy ra AI = AB hợp với AB = AC
suy ra AI = AB = AC.
c/ Tam giác AIC cân tại A nên
µ
2
I
=
µ
1
C
+

¶
3
C
Ta lại có
µ
2
I
=
¶
2
C
+
¶
2
E
(góc ngoài của ∆ICE) mà
¶
2
E
=
¶
3
C
(góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cùng chắn cung CD)
Suy ra
µ
1
C
=

¶
2
C
.Vậy CI là tia phân giác của góc DCE.
Lưu ý:
Từ hệ thức ở câu a, ta có nhận xét: Nếu tứ giác BDCE có đỉnh nằm trên một đường tròn , các
tiếp tuyến tại B và C quy với đường thẳng DE thì BD.CE = BE.CD. Như vậy một tứ giác có
bốn đỉnh nằm trên một đường tròn và các tiếp tuyến của đường tròn tại hai đỉnh đối diện đồng
quy với đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại thì tích các cặp cạnh đối của bằng nhau.
*) Khi xét một góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, ta có thể xem góc đó là tổng của hai góc nội
tiếp hoặc sử dụng định lý về góc có đỉnh ở bên trong đường tròn