Đạo hàm tiếp liên bậc hai và ứng dụng trong các bài toán tối ưu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG THU HOÀI

ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG
TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG THU HOÀI

ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG
TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy, người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn
bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học
tập để tôi hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017
Tác giả

Dương Thu Hoài


LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy, luận văn Thạc
sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Đạo hàm tiếp liên bậc hai và
ứng dụng trong các bài toán tối ưu” được hoàn thành bởi chính sự nhận
thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017
Tác giả

Dương Thu Hoài


BẢNG KÝ HIỆU
R

tập số thực

Rn

không gian Euclide n− chiều

Y∗

không gian tô pô đối ngẫu của Y

C+

nón đối ngẫu không âm của nón C

∅

tập rỗng

gph F

đồ thị của F

dom F

miền hữu hiệu của F

epi F

trên đồ thị của F

A×B

tích Descartes của hai tập hợp A và B

∀x

với mọi x

A := B A được định nghĩa bằng B
int S

phần trong của S

cl S

bao đóng của S

cone S

bao nón của S

x, y
0X

tích vô hướng của x và y
điểm gốc của X


Mục lục

Mở đầu

1

1 Đạo hàm tiếp liên bậc hai

6

1.1

Tập tiếp liên bậc hai

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Đạo hàm tiếp liên bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai . . . . . . . . . . . 11

2 Điều kiện tối ưu Karush- Kuhn- Tucker bậc hai

15

2.1

Điều kiện cần tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Điều kiện đủ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nửa thế kỷ qua, bài toán tối ưu đa trị được quan tâm rộng rãi
và các khái niệm khác nhau về đạo hàm đã được đề xuất và áp dụng để

thiết lập các điều kiện tối ưu. Việc đưa ra điều kiện cần và đủ tối ưu FritzJohn cho bài toán tối ưu đa trị là một bước tiến lớn trong nghiên cứu đối
với lớp bài toán này. Gần đây, điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối
ưu véc tơ và vô hướng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Trong các nghiên cứu về điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu véc
tơ và vô hướng, dễ nhận thấy rằng tập tiếp liên bậc hai được giới thiệu bởi
Aubin [2] và nón tiếp liên tiệm cận bậc hai được giới thiệu bởi Penot [17]
có vai trò quan trọng. Theo [7], Gutiérrez và đồng tác giả đã đề xuất khái
niệm mới về đạo hàm bậc hai theo hướng, nó tách biệt được khái niệm đạo
hàm tiệm cận Hadamard và đạo hàm tiệm cận Dini của hàm mục tiêu, từ
đó thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu thông qua tập tiếp liên bậc
hai và nón tiếp liên tiệm cận bậc hai đối với tập chấp nhận được. Jiménez
và Novo [13] đã nghiên cứu về điều kiện cần và đủ tối ưu bậc hai cho bài
toán tối ưu véc tơ theo quan điểm của tập tiếp liên bậc hai và nón tiếp
liên tiệm cận bậc hai. Họ cũng thảo luận về điều kiện cần tối ưu bậc hai
Firtz- John với ưu điểm của điều kiện chính quy mê tric có hướng và điều
kiện hạn chế ràng buộc bậc hai.
Như vậy, đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị lần đầu tiên được giới
thiệu bởi Aubin trong [1] và thường được sử dụng để biểu thị điều kiện tối


2

ưu bậc nhất cho bài toán tối ưu đa trị. Tuy nhiên, điều kiện cần và điều
kiện đủ cho bài toán tối ưu đa trị với tập chấp nhận được (xem [5, 16]) là
không thống nhất dưới điều kiện chuẩn. Để giải quyết bài toán này, Jahn
và Rauh [12] đã đề xuất khái niệm trên đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị
và ứng dụng nó để thiết lập sự thống nhất giữa điều kiện cần và đủ nhưng
sự tồn tại của trên đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đa trị vẫn là một câu hỏi
mở. Theo quan điểm của Chen và Jahn [4] khái niệm trên đạo hàm tiếp
liên suy rộng cho ánh xạ đa trị đã thiết lập được sự thống nhất giữa điều

kiện cần và đủ tối ưu. Đối với các bài toán tối ưu đa trị mà tập chấp nhận
được được định nghĩa bởi bất đẳng thức, điều kiện tối ưu bậc nhất luôn
được thiết lập bằng việc sử dụng quy tắc toán tử Lagrange tổng quát dưới
điều kiện chính quy thích hợp. Trong [5], Corley thiết lập điều kiện cần
tối ưu bậc nhất Fritz- John bằng cách sử dụng khái niệm đạo hàm được
định nghĩa trong điều kiện của nón tiếp tuyến. G¨otz và Jahn [6] mở rộng
khái niệm quy tắc toán tử Lagrange cho bài toán tối ưu đa trị ràng buộc
bằng cách sử dụng khái niệm trên đạo hàm tiếp liên. Đồng thời, họ nhận
được điều kiện cần tối ưu Karush- Kuhn- Tucker, đó cũng là điều kiện đủ
dưới giả thiết tính lồi suy rộng. Trong [10], Jahn và Khan mở rộng quy
tắc toán tử Lagrange và gọi là điều kiện chính quy Kurcyusz- RobinsonZowe bằng cách sử dụng khái niệm của trên đạo hàm tiếp liên suy rộng
và trên đạo hàm tiếp liên yếu của ánh xạ đa mục tiêu. Họ cũng thiết lập
điều kiện cần và đủ tối ưu cho các khái niệm tối ưu khác nhau trong bài
toán tối ưu đa trị.
Tuy nhiên, điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu đa trị vẫn cần
phải được giải quyết. Trong [11], Jahn và đồng tác giả đề xuất khái niệm
trên đạo hàm tiếp liên bậc hai và trên đạo hàm tiếp liên bậc hai suy rộng
cho ánh xạ đa trị đồng thời ứng dụng các khái niệm này để thiết lập điều
kiện tối ưu bậc hai. Li và đồng tác giả [15] tìm hiểu một vài tính chất của
tập tiếp tuyến bậc cao và đạo hàm bậc cao được giới thiệu trong [2], từ đó
thu được điều kiện cần và đủ tối ưu bậc cao cho bài toán tối ưu đa trị với


3

tập chấp nhận được tổng quát. Họ cũng thiết lập điều kiện cần và đủ tối
ưu Fritz- John bậc cao cho bài toán tối ưu đa trị với tập chấp nhận được
được xác định bởi ánh xạ đa trị. Sau đó, Li và Chen [14] giới thiệu trên
đạo hàm tiếp liên suy rộng bậc cao và trên đạo hàm liền kề suy rộng bậc
cao của ánh xạ đa trị, thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu Fritz- John bậc

cao cho nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán tối ưu đa trị ràng buộc. Tuy
nhiên, trong trường hợp tổng quát đạo hàm bậc hai được định nghĩa theo
tập tiếp liên bậc hai chỉ là tập đóng và không là nón. Thậm chí tập tiếp
liên bậc hai là không lồi mặc dù tập mà chúng ta xem xét là tập lồi. Do
đó so sánh với đạo hàm bậc nhất đã biết, cấu trúc của đạo hàm bậc hai
là chưa đầy đủ.
Trên cơ sở các nghiên cứu của mình thì Zhu và đồng tác giả [18] giới
thiệu về đạo hàm tiếp liên bậc hai cho ánh xạ đa trị, mối liên hệ của nó
với đạo hàm tiếp liên bậc hai đã được biết đến bởi Aubin [2] và thu được
một số tính chất đặc biệt. Ưu điểm của đạo hàm tiếp liên bậc hai theo
nghĩa của Zhu và đồng tác giả là mở rộng được quy tắc toán tử Lagrange
đã biết và điều kiện chính quy Kurcyusz- Robinson- Zowe bậc hai cho bài
toán tối ưu đa trị có ràng buộc, đồng thời cũng thu được điều kiện cần và
đủ tối ưu Karush- Kuhn- Tucker bậc hai cho bài toán tối ưu đa trị với tập
chấp nhận được được xác định bởi ánh xạ đa trị dưới điều kiện chính quy
Kurcyusz- Robinson- Zowe bậc hai suy rộng. Hơn nữa, điều kiện tối ưu
Karush- Kuhn- Tucker bậc hai được khái quát và cải tiến kết quả tương
ứng cho trên đạo hàm tiếp liên trong [6].
Đề tài luận văn “Đạo hàm tiếp liên bậc hai và ứng dụng trong các
bài toán tối ưu” với mục đích nghiên cứu về các khái niệm và các kết quả
đã đạt được của bài báo trên.


4

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu đạo hàm tiếp liên bậc hai cho hàm đa trị trong không gian
tuyến tính định chuẩn thực.
Nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm tiếp liên bậc hai đó đối với sự tồn
tại cực tiểu (yếu) của bài toán giá trị tối ưu.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm và tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai cho
hàm đa trị trong không gian tuyến tính định chuẩn thực.
Nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu (yếu) của bài toán giá trị tối ưu.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: đạo hàm tiếp liên bậc hai.
+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong không gian tuyến tính định
chuẩn thực: khái niệm, tính chất, ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong đại số tuyến tính, giải
tích đa trị, giải tích lồi và lý thuyết tối ưu.

6. Đóng góp của luận văn
Hệ thống hóa các tính chất, kết quả về đạo hàm tiếp liên bậc hai cho
hàm đa trị trong không gian tuyến tính định chuẩn thực và khả năng ứng
dụng của chúng đối với sự tồn tại cực tiểu (yếu) của bài toán giá trị tối


5

ưu.
Minh họa các khái niệm, tính chất trong trường hợp có thể thông
qua các ví dụ cụ thể.


6

Chương 1
Đạo hàm tiếp liên bậc hai
Trong chương này ta sẽ trình bày về tập tiếp liên bậc hai, đạo hàm
tiếp liên bậc hai và các tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai.
Gọi X, Y và Z là các không gian định chuẩn thực, S và E là các tập
con khác rỗng của X. 0X , 0Y và 0Z tương ứng là các điểm gốc của X, Y
và Z. Kí hiệu int S , cl S và cone S lần lượt là phần trong của S , bao
đóng của S và bao nón của S . Lấy C ⊂ Y là một nón lồi, đóng và nhọn
với int C khác rỗng và Y là tập được sắp thứ tự bộ phận trong C . Cho

F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. Các khái niệm miền, đồ thị và trên đồ thị của
F lần lượt được định nghĩa là dom F := {x ∈ X | F (x) = ∅} , gph F :=

{(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)} , epi F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C}.
Ánh xạ đa trị F + C : X ⇒ Y được xác định bởi (F + C) (x) :=

F (x) + C, ∀x ∈ dom F . Khi đó trên đồ thị của F là đồ thị của F + C ,
tức là, epi F = gph(F + C). Kí hiệu F (S) =

1.1

{F (x) | x ∈ S}.

Tập tiếp liên bậc hai
Bây giờ ta định nghĩa nón tiếp liên và nón tiếp liên bậc hai.

Định nghĩa 1.1. [2] Cho S là một tập con khác rỗng của X , x ∈ cl S và

ω ∈ X.

7

(i) Nón tiếp liên của S tại x là T (S, x) := {v ∈ X | ∃tn ↓ 0, ∃vn →

v sao cho x + tn vn ∈ S, ∀n ∈ N}, hay tương đương, T (S, x) := {v ∈
X | ∃λn → +∞, ∃xn ∈ S sao cho xn → x và λn (xn − x) → v}.
(ii) Tập tiếp liên bậc hai của S tại x theo hướng ω ∈ X là T 2 (S, x, ω) :=

{v ∈ X | ∃tn ↓ 0, ∃vn → v sao cho x + tn ω + 21 t2n vn ∈ S, ∀n ∈ N}.
Mệnh đề 1.1. [13] Cho S ⊂ X là một tập lồi, x ∈ S và ω ∈ T (S, x).
Khi đó

T (T (S, x) , ω) = cl (cone (cone (S − x) − ω))
và

T 2 (S, x, ω) ⊂ T (T (S, x) , ω) .
Hơn nữa trong [3], nếu 0X ∈ T 2 (S, x, ω) thì

T 2 (S, x, ω) = T (T (S, x) , ω) .
Nhận xét 1.1. Cho S ⊂ X là một tập khác rỗng, x ∈ S và ω ∈ X . Khi
đó
(i) T 2 (S, x, 0X ) = T (S, x) và T (T (S, x) , 0X ) = T (S, x).
(ii) T 2 (S, x, ω) và T (T (S, x) , ω) có thể khác rỗng chỉ nếu ω ∈ T (S, x).
(iii) T (S, x) và T (T (S, x) , ω) luôn là nón đóng, và đặc biệt là lồi khi

S là tập lồi. Hơn nữa, từ [3] ta suy ra rằng T 2 (S, x, ω) chỉ là tập
đóng và không nhất thiết là nón, T 2 (S, x, ω) là tập con thực sự của

T (T (S, x) , ω) và không lồi mặc dù S là lồi.

Mệnh đề 1.2. Với λ > 0 tùy ý, ta có
(i) T 2 (S, x, λω) = λ2 T 2 (S, x, ω);
(ii) T (T (S, x) , λω) = T (T (S, x) , ω).
Định nghĩa 1.2. [9] Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị và tập lồi S ⊂ X . F
được gọi là C- lồi nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 ∈ S và λ ∈ [0, 1] , λF (x1 )+

(1 − λ) F (x2 ) ⊂ F (λx1 + (1 − λ) x2 ) + C . Rõ ràng rằng F là C- lồi khi
và chỉ khi epi F là tập lồi.


8

1.2

Đạo hàm tiếp liên bậc hai
Sau đây ta nhắc lại một vài khái niệm về đạo hàm tiếp liên bậc nhất

và bậc hai cho ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3. [2] Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F.
Đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y) là ánh xạ đa trị DF (x, y) : X ⇒ Y
được xác định bởi gph DF (x, y) = T (gph F, (x, y)) .
Định nghĩa 1.4. [12] Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F.
Trên đạo hàm tiếp liên của F tại (x, y) là ánh xạ giá trị véc tơ D↑ F (x, y) :

X → Y được xác định bởi epi D↑ F (x, y) = T (epiF, (x, y)).
Nhận xét 1.2. Từ Định nghĩa 1.4 ta suy ra rằng với mọi x ∈ dom D↑ F (x, y)
thì (x, D↑ F (x, y) (x)) ∈ gph D↑ F (x, y) ⊂ epi D↑ F (x, y) = T (epi F, (x, y)) .
Mặt khác, theo Định nghĩa 1.3 có T (epi F, (x, y)) = gph D (F + C) (x, y).
Do đó, ta kết luận được rằng (x, D↑ F (x, y) (x)) ∈ gph D (F + C) (x, y),
hay D↑ F (x, y) (x) ∈ D (F + C) (x, y) (x) với mọi x ∈ dom D↑ F (x, y).

Định nghĩa 1.5. [2] Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và

(u, v) ∈ X × Y . Đạo hàm tiếp liên bậc hai của F tại (x, y) theo hướng
(u, v) là ánh xạ đa trị D2 F (x, y, u, v) : X ⇒ Y được xác định bởi gph
D2 F (x, y, u, v) = T 2 (gph F, (x, y) , (u, v)).
Rõ ràng rằng, từ T 2 (S, x, 0X ) = T (S, x) ta có

D2 F (x, y, 0X , 0Y ) (x) = DF (x, y) (x) ,

∀x ∈ X.

Như vậy, từ Mệnh đề 1.1 và Nhận xét 1.1, ta thấy tập tiếp liên bậc
hai T 2 (S, x, ω) được đề xuất bởi Aubin [2] chỉ là tập đóng mà không nhất
thiết là nón. Hơn nữa, T 2 (S, x, ω) có thể không lồi mặc dù S là lồi. Mặt
khác, T (T (S, x) , ω) luôn là nón đóng, tương thích, và lồi khi S là tập lồi.
Dựa vào nhận xét này và các Định nghĩa 1.3, 1.4, 1.5 , Zhu và đồng tác giả
đề xuất khái niệm đạo hàm tiếp liên bậc hai cho ánh xạ đa trị như sau.


9

Định nghĩa 1.6. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và

(u, v) ∈ X × Y . Đạo hàm tiếp liên bậc hai của F tại (x, y) theo hướng
(u, v) là ánh xạ đa trị D F (x, y, u, v) : X ⇒ Y được xác định bởi gph
D F (x, y, u, v) = T (T (gph F, (x, y)) , (u, v)) .
Nhận xét 1.3. Chú ý rằng, nếu F là C - lồi thì epi F là lồi, tức là gph

(F + C) là lồi. Từ Mệnh đề 1.1 ta có
T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v)) ⊂ T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)) .

Khi đó, theo Định nghĩa 1.5 và 1.6 ta suy ra rằng
gph D2 (F + C) (x, y, u, v) ⊂ gph D (F + C) (x, y, u, v) .
Do đó, với mọi x ∈ dom D2 (F + C) (x, y, u, v), ta có

D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) ⊂ D (F + C) (x, y, u, v) (x) .
Hơn nữa, nếu (0X , 0Y ) ∈ gph D2 (F + C) (x, y, u, v) thì

T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v)) = T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)) ,
tức là, với mọi x ∈ X ,

D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) = D (F + C) (x, y, u, v) (x) .
Đặc biệt, nếu (u, v) = (0X , 0Y ) thì T (T (gph F, (x, y)) , (0X , 0Y )) =

T (gph F, (x, y)). Từ Định nghĩa 1.3 và 1.6 ta kết luận được
gph D F (x, y, 0X , 0Y ) = gph DF (x, y) ,
tức là, với mọi x ∈ X ,

D F (x, y, 0X , 0Y ) (x) = DF (x, y) (x) = D2 F (x, y, 0X , 0Y ) (x) .
Ví dụ sau sẽ minh họa cho Nhận xét 1.3.


10
2

Ví dụ 1.1. Xét ánh xạ đa trị F : R+ → 2R với F (x) := {y = (y1 , y2 ) ∈
R2 | y1 ≥ x2 , y1 + y2 ≥ x} , ∀x ∈ R+ , và C = R2+ . Dễ dàng kiểm tra được
F là C - lồi. Lấy (x, y) = (0, (0, 0)) ∈ gph F. Khi đó, từ Định nghĩa 1.1 ta
có

T (gph (F + C) , (x, y)) = (x, y) ∈ R × R2 | x ≥ 0, y1 ≥ 0, y1 + y2 ≥ x .

Sau đây ta xét hai trường hợp chọn (u, v).
Trường hợp 1: Nếu lấy (u, v) = (1, (0, 1)) ∈ T (gph (F + C) , (x, y)),
bằng Định nghĩa 1.1 và tính trực tiếp, ta được
T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v)) = (x, y) ∈ R × R2 | x ∈ R, y1 ≥ 2, y1 + y2 ≥ x

và
T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)) = (x, y) ∈ R × R2 | x ∈ R, y1 ≥ 0, y1 + y2 ≥ x .

Từ Định nghĩa 1.5 và 1.6 ta suy ra rằng

D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) = y ∈ R2 | y1 ≥ 2, y1 + y2 ≥ x ,

∀x ∈ R,

và

D (F + C) (x, y, u, v) (x) = y ∈ R2 | y1 ≥ 0, y1 + y2 ≥ x ,

∀x ∈ R.

Như vậy

D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) ⊂ D (F + C) (x, y, u, v) (x) ,

∀x ∈ R.

Trường hợp 2: Nếu lấy (u, v) = (1, (1, 0)) ∈ T (gph (F + C) , (x, y)),
bằng cách làm tương tự như trường hợp 1 ta được
T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)) = T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v))
=

(x, y) ∈ R × R2 | x ∈ R, y1 + y2 ≥ x .

Hiển nhiên,

(0, (0, 0)) ∈ T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u, v))
và

D2 (F + C) (x, y, u, v) (x) = D (F + C) (x, y, u, v) (x) ,

∀x ∈ R.


11

1.3

Tính chất của đạo hàm tiếp liên bậc hai
Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của đạo hàm

tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác giả.
Định lý 1.1. Cho F : S ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và

(u, v) ∈ X × Y . Nếu đạo hàm tiếp liên bậc hai D F (x, y, u, v) tồn tại thì
nó có tính chất thuần nhất dương nghiêm ngặt, tức là, với mọi α > 0 và
với mọi x ∈ X , ta có

D F (x, y, u, v) (αx) = αD F (x, y, u, v) (x) .
Chứng minh. Từ Định nghĩa 1.6, với mọi α > 0 và với mọi x ∈ X , ta có

D F (x, y, u, v) (αx) = {y ∈ Y | (αx, y) ∈ T (T (gph F, (x, y)) , (u, v))}
= {αu ∈ Y | (αx, αu) ∈ T (T (gph F, (x, y)) , (u, v))}
= α {u ∈ Y | (x, u) ∈ T (T (gph F, (x, y)) , (u, v))}
= αD F (x, y, u, v) (x) .

Định lý 1.2. Cho F : S ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và

(u, v) ∈ X × Y .Khi đó, với mọi x ∈ dom (D F (x, y, u, v)), ta có
D F (x, y, u, v) (x) + C ⊂ D (F + C) (x, y, u, v) (x) .
Chứng minh. Giả sử rằng lấy tùy ý y ∈ D F (x, y, u, v) (x) và c ∈ C . Theo
Định nghĩa 1.6 thì (x, y) ∈ T (T (gph F, (x, y)) , (u, v)). Do đó, từ Định
nghĩa 1.1, có dãy (xn , yn ) → (x, y) và tn ↓ 0 sao cho (u, v) + tn (xn , yn ) ∈

T (gph F, (x, y)) , ∀n ∈ N. Hơn nữa, ∀n ∈ N, tồn tại dãy xkn , ynk

→

(u, v) + tn (xn , yn ) và tkn ↓ 0 sao cho (x, y) + tkn xkn , ynk ∈ gph F, ∀k ∈ N.
Khi đó ta có

y + tkn ynk ∈ F x + tkn ynk ,

∀n, k ∈ N.

(1.1)


12

Do C là nón và c ∈ C , cùng với (1.1), ta được

y + tkn ynk + tn c

= y + tkn ynk + tkn tn c
∈ F x + tkn xkn + C,

∀n, k ∈ N,

tức là, (x, y) + tkn xkn , ynk + tn c ∈ gph (F + C) , ∀n, k ∈ N. Từ xkn , ynk →

(u, v) + tn (xn , yn ) , ta có xkn , ynk + tn c → (u, v) + tn (xn , yn + c) khi k →
+∞. Vì vậy (u, v) + tn (xn , yn + c) ∈ T (gph (F + C) , (x, y)) , ∀n ∈ N.
Đồng thời (xn , yn + c) → (x, y + c) vì (xn , yn ) → (x, y) khi n → +∞, do
đó (x, y + c) ∈ T (T (gph (F + C) , (x, y)) , (u, v)). Từ Định nghĩa 1.6, ta
có y + c ∈ D (F + C) (x, y, u, v) (x) và định lí được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho F : S ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F và (u, v) ∈

X × Y .Khi đó, với mọi x ∈ dom D (F + C) (x, y, u, v) ta có
D (F + C) (x, y, u, v) (x) + C = D (F + C) (x, y, u, v) (x) .
Chứng minh. Rõ ràng rằng

D (F + C) (x, y, u, v) (x) ⊂ D (F + C) (x, y, u, v) (x) + C.
Ngược lại, từ Định lí 1.2 và C+C=C ta suy ra rằng

D (F + C) (x, y, u, v) (x) + C ⊂ D (F + C + C) (x, y, u, v) (x)
= D (F + C) (x, y, u, v) (x) .
Do đó hệ quả được chứng minh.
Tiếp theo, từ Định lý 4.1 trong [15] ta có tính chất quan trọng cho
đạo hàm tiếp liên bậc hai và đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu
và đồng tác giả trong trường hợp C - lồi.

Định lý 1.3. Cho F : S ⇒ Y là ánh xạ đa trị, (x, y) ∈ gph F trong đó S
là lồi và F là C- lồi. Khi đó, với mọi x ∈ S , ta có
(i) F (x) − {y} ⊂ D2 (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x),


13

(ii) F (x) − {y} ⊂ D (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x),
với u ∈ S và v ∈ F (u) + C .
Chứng minh. Lấy tùy ý x ∈ S và y ∈ F (x). Vì S là lồi và F là C - lồi nên

1
1
1
(x
−
x)
=
x
+
1
−
x ∈ S, ∀n ∈ N,
4n2
4n2
4n2
1
1
1
x + (u − x) = u + 1 −

x ∈ S, ∀n ∈ N,
n
n
n

x+

(1.2)
(1.3)

và

1
1
1
(y
−
y)
=
y
+
1
−
y
4n2
4n2
4n2
1
1
x

+
1
−
x +C
∈ F
4n2
4n2
1
= F x + 2 (x − x) + C, ∀n ∈ N,
4n
1
1
1
y + (v − y) = v + 1 −
y
n
n
n
1
1
∈ F
x +C
u+ 1−
n
n
1
= F x + (u − x) + C, ∀n ∈ N.
n

y+

(1.4)

(1.5)

Hơn nữa, do S lồi nên từ (1.2) và (1.3) ta có

x+

1
1
(u − x) + 2 (x − x) ∈ S,
2n
8n

∀n ∈ N,

(1.6)

và từ (1.4), (1.5) với C là nón lồi, với mọi n ∈ N thì
y+

1
1
1
(v − y) + 2 (y − y) ∈
F
2n
8n
2

⊂ F

Kí hiệu

xn := x +

1
1
1
(x − x) + F x + (u − x) + C
2
4n
2
n
1
1
x+
(u − x) + 2 (x − x) + C.
(1.7)
2n
8n
x+

1
1
(u − x) + 2 (x − x) ,
2n
8n

∀n ∈ N,

14

và

1
1
(v − y) + 2 (y − y) ,
2n
8n
Khi đó, từ (1.6) và (1.7) ta được
yn := y +

(xn , yn ) = (x, y)+

1
1
(u − x, v − y)+
2n
2

1
2n

∀n ∈ N.

2

(x − x, y − y) ∈ gph (F + C) ,

∀n ∈ N.

Từ Định nghĩa 1.1 ta suy ra rằng

(x − x, y − y) ∈ T 2 (gph (F + C) , (x, y) , (u − x, v − y))
= gph D2 (F + C) (x, y, u − x, v − y) ,
với

y − y ∈ D2 (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x) .
Mục (i) được chứng minh.
Để chứng minh mục (ii), từ Nhận xét 1.3 ta có
D2 (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x) ⊂ D (F + C) (x, y, u − x, v − y) (x − x) .

Cùng với kết luận của (i), kết luận của (ii) được khẳng định và Định lí 1.3
được chứng minh.
Như vậy, đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác
giả là ánh xạ đa trị mà đồ thị của nó luôn là nón đóng và lồi khi đồ thị
của ánh xạ đa trị là tập lồi. Đồng thời ta cũng nhận được một số tính chất
quan trọng của đạo hàm tiếp liên bậc hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác
giả như tính chất thuần nhất dương nghiêm ngặt; tính chất trong trường
hợp C - lồi.


15

Chương 2
Điều kiện tối ưu Karush- KuhnTucker bậc hai
Trong chương này, ta sẽ trình bày việc sử dụng đạo hàm tiếp liên bậc
hai theo nghĩa của Zhu và đồng tác giả để thiết lập các điều kiện cần và

đủ tối ưu.
Xét bài toán tối ưu đa trị có ràng buộc sau:

(P )

min F (x) ,

sao cho x ∈ S, G (x) ∩ (−D) = ∅,

trong đó F : S ⇒ Y và G : S ⇒ Z là các ánh xạ đa trị, và D ⊂ Z là
nón lồi, nhọn và đóng với int D khác rỗng. Để cho đơn giản, ta kí hiệu

E := {x ∈ S | G (x) ∩ (−D) = ∅} là tập chấp nhận được của (P ). Ta
nhắc lại một số khái niệm nghiệm của bài toán (P ).
Một cặp (x, y) ∈ X × Y với x ∈ E và y ∈ F (x) được gọi là cực tiểu
yếu của (P ) nếu và chỉ nếu y là điểm hữu hiệu yếu của tập F (E), tức là,

F (E) ∩ ({y} − int C) = ∅.
Một cặp (x, y) ∈ X × Y với x ∈ E và y ∈ F (x) được gọi là cực tiểu
yếu địa phương của (P ) nếu và chỉ nếu tồn tại một lân cận U của x sao
cho y là điểm hữu hiệu yếu của tập F (E ∩ U ), tức là,

F (E ∩ U ) ∩ ({y} − int C) = ∅.


16

Một cặp (x, y) ∈ X × Y với x ∈ E và y ∈ F (x) được gọi là cực tiểu
hay cực tiểu Pareto của (P ) nếu và chỉ nếu y là điểm hữu hiệu của tập

F (E), tức là,
F (E) ∩ ({y} − C) = {y} .
Một cặp (x, y) ∈ X × Y với x ∈ E và y ∈ F (x) được gọi là cực tiểu
địa phương của (P ) nếu và chỉ nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho y
là điểm hữu hiệu của tập F (E ∩ U ), tức là,

F (E ∩ U ) ∩ ({y} − C) = {y} .
Gọi Y ∗ là không gian tô pô đối ngẫu của Y . Ta kí hiệu

C + := {λ ∈ Y ∗ | λ (c) ≥ 0,

∀c ∈ C}

là nón đối ngẫu không âm của C. λ ∈ C + được gọi là xác định dương nếu

λ (c) > 0 với mọi c ∈ int C , và dương nghiêm ngặt nếu λ (c) > 0 với mọi
c ∈ C \ {0Y }. Kí hiệu 0Y ∗ là điểm gốc của Y ∗ . Kí hiệu (F, G) (x) được
dùng để chỉ F (x) × G (x). Các kí hiệu FE và GE tương ứng được dùng để
chỉ sự hạn chế của F trên E và G trên E.

2.1

Điều kiện cần tối ưu

Định lý 2.1. Cho F và G tương ứng là C- lồi và D- lồi trên tập lồi S.
Lấy (u, (v, w)) ∈ X × (−C) × (−D). Giả sử rằng (x, y) ∈ X × Y với

x ∈ E và y ∈ F (x) là cực tiểu (yếu) địa phương của (P ). Khi đó với
mọi z ∈ G (x) ∩ (−D), có các phiếm hàm tuyến tính liên tục λ ∈ C + và

µ ∈ D+ với (λ, µ) = (0Y ∗ , 0Z ∗ ) sao cho
µ (z) = 0,

(2.1)

λ (y) + µ (z) ≥ 0,

(2.2)


17

với mọi (y, z) ∈ D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x − x) và x ∈ S .
Hơn nữa, giả sử rằng điều kiện chính quy

z ∈ Z | (y, z) ∈ D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (cone (S − {x}))
+cone (D + {z}) = Z
(2.3)
được thỏa mãn. Khi đó λ = 0Y ∗ .
Chứng minh. Lấy tùy ý z ∈ G (x) ∩ (−D). Ta ký hiệu

D (F + C, G + D) (x, (y, z) u, (v, w)) (x − x) + (0Y , z) .

M :=
x∈S

Chứng minh định lí này theo 4 bước.
Bước 1: Chứng minh rằng tập M khác rỗng là tập lồi.
Bước 2: Ta chỉ ra tính chất M ∩ [(−int C) × (−int D)] = ∅.
Bước 3: Sử dụng định lí tách để chứng minh phần 1 của định lí.

Bước 4: Ta chỉ ra rằng λ = 0Y ∗ với điều kiện chính quy (2.3).
Bây giờ ta trình bày cụ thể chứng minh
Bước 1: Ta chứng minh M lồi bằng cách chứng minh tính lồi của tập

M := M − (0Y , z). Lấy (yi , zi ) ∈ M , i = 1, 2. Khi đó tồn tại x1 , x2 ∈ S
sao cho

(yi , zi ) ∈ D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (xi − x) ,

i = 1, 2.

Từ Định nghĩa 1.6 ta có
(xi − x, (yi , zi )) ∈ T (T (gph (F + C, G + D) , (x, (y, z))) , (u, (v, w))) , i = 1, 2. (2.4)

Do F và G lần lượt là C - lồi và D- lồi trên tập lồi S nên F × G là C × D
- lồi trên S. Hơn nữa, gph (F + C, G + D) = epi (F, G) là tập lồi. Khi
đó nón tiếp liên T (T (gph (F + C, G + D) , (x, (y, z))) , (u, (v, w))) là lồi.
Từ (2.4) ta có với mọi t ∈ [0, 1],
t (x1 − x, (y1 , z1 ))+(1 − t) (x2 − x, (y2 , z2 )) ∈ T (T (gph (F + C, G + D) , (x, (y, z))) , (u, (v, w)))


18

hay ta nhận được
(ty1 + (1 − t) y2 , tz1 + (1 − t) z2 ) ∈ D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (tx1 + (1 − t) x2 − x) .

Do S là lồi và x1 , x2 ∈ S nên tx1 + (1 − t) x2 ∈ S . Khi đó

(ty1 + (1 − t) y2 , tz1 + (1 − t) z2 ) ∈ M ,

t ∈ [0, 1] ,

do đó M là lồi và ta nhận được tính lồi của tập M .
Bước 2: Ta chứng minh tính chất

M ∩ [(−int C) × (−int D)] = ∅.

(2.5)

Giả sử (2.5) không đúng. Khi đó tồn tại x ∈ S và (y, z) ∈ Y × Z sao cho

(y, z) ∈ D (F + C, G + D) (x, (y, z) , u, (v, w)) (x − x)

(2.6)

và

(y, z + z) ∈ (−int C) × (−int D) .

(2.7)

Từ (2.6) và Định nghĩa 1.6 ta có

(x − x, (y, z)) ∈ T (T (gph (F + C, G + D) , (x, (y, z))) , (u, (v, w))) .
Theo Định nghĩa 1.1 thì tồn tại dãy λn → +∞ và (un , (vn , wn )) ∈

T (epi (F, G) , (x, (y, z))) sao cho (un , (vn , wn )) → (u, (v, w)) và
λn (un , (vn , wn ))−(u, (v, w))

→ (x − x, (y, z)) ,

khi n → +∞. (2.8)

Vì (un , (vn , wn )) ∈ T (epi (F, G) , (x, (y, z))) , ∀n ∈ N nên tồn tại dãy

λkn → +∞ và dãy
xkn ∈ S,

xkn , ynk , znk

với

ynk ∈ F xkn + C,

znk ∈ G xkn + D

(2.9)

sao cho

xkn , ynk , znk

→ (x, (y, z))

và

λkn

xkn , ynk , znk −(x, (y, z))

→ (un , (vn , wn )) ,

khi k → +∞. (2.10)


19

Từ (2.8) ta suy ra rằng λn ((vn , wn ) − (v, w))+(0Y , z) → (y, z + z) khi n →

+∞. Cùng với (2.7), tồn tại N1 ∈ N sao cho, với mọi n ≥ N1 ta có
λn (vn , wn ) − (v, w) + (0Y , z) ∈ (−int C) × (−int D) .

(2.11)

Do C, D là nón và (v, w) ∈ (−C) × (−D) kết hợp với (2.11) ta có

(vn , wn ) + 0Y ,

1
z
λn

∈ (−int C + {v}) × (−int D + {w})
⊂ (−int C − C) × (−int D − D)
= (−int C) × (−int D) ,

∀n ≥ N1 . (2.12)

ynk , znk −(y, z) + 0Y , λ1n z →

Hơn nữa, từ (2.10), ta có với mọi n ∈ N, λkn

(vn , wn ) + 0Y , λ1n z , khi k → +∞. Theo (2.12) ta có, với mọi n ∈ N mà
n ≥ N1 , tồn tại K1 (n) ∈ N sao cho λkn

ynk , znk − (y, z) + 0Y , λ1n z ∈

(−int C) × (−int D) , ∀k ≥ K1 (n), tức là
ynk , znk − (y, z) + 0Y ,

1
z
λn λkn

∈ (−int C) × (−int D) ,

∀n ≥ N1 ,

∀k ≥ K1 (n) .

(2.13)

Do đó

ynk − y ∈ −int C,

∀n ≥ N1 ,

∀k ≥ K1 (n) ,

(2.14)

và

znk − z +

1
z ∈ −int D,
λn λkn

∀n ≥ N1 ,

∀k ≥ K1 (n) .

(2.15)

Từ (2.9), tồn tại y kn ∈ F xkn và z kn ∈ G xkn sao cho

ynk ∈ y kn + C,

∀n,

k ∈ N,

(2.16)

znk ∈ z kn + D,

∀n,

k ∈ N.

(2.17)

và

Từ (2.14) và (2.16) ta có

y kn ∈

ynk − C

⊂ {y} − int C − C
= {y} − int C,

∀n ≥ N1 ,

∀k ≥ K1 (n) .

(2.18)