Bai giang mon giai tich 1 cua tac gia to van ban
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.26 MB, 197 trang )
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS TÔ VĂN BAN
BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH I
(Phiên bản bê ta II: 03-09 / 2010)
Hà nội - 2010
1
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
M ỤC L ỤC
Mục lục
Lời nói đầu
Các ký hiệu hay sử dụng
Chương I. Giới hạn, liên tục
§1.1. Số thực
1.1.1. Mở đầu
1.1.2. Các tính chất sơ cấp của số thực
1.1.3. Các tính chất cơ bản của
1.1.4. Đường thẳng thực mở rộng
1.1.5. Lực lượng của ,
§ 1.2. Giới hạn dãy số
1.2.1. Hội tụ - Phân kỳ
1.2.2. Dãy đơn điệu
§ 1.3. Hàm một biến số
1.3.1. Các phương pháp biểu diễn hàm số
1.3.2. Hàm chẵn, lẻ,
1.3.3. Hàm số ngược
1.3.4. Các hàm sơ cấp cơ bản
1.3.5. Một số hàm thông dụng khác
1.3.6. Mô hình toán học
§ 1.4. Giới hạn hàm số
1.4.1. Định nghĩa
1.4.2. Các tính chất của giới hạn hàm số
1.4.3. Các phép toán về giới hạn
1.4.4. Sử dụng VCB, VCL để tìm giới hạn
§ 1.5. Sự liên tục
1.5.1. Định nghĩa
1.5.2. Các tính chất sơ bộ
1.5.3. Các tính chất của hàm liên tục trên đoạn kín
1.5.4. Bổ sung về giới hạn
1.5.5. Một số ví dụ
Chương 2 Đạo hàm, vi phân
§2.1. Đạo hàm và vi phân cấp một
2.1.1. Định nghĩa
2.1.2. Các phép toán với đạo hàm tại một điểm
2.1.3. Đạo hàm của hàm hợp
2.1.4. Đạo hàm hàm ngược
2.1.5. Đạo hàm theo tham số
2.1.6. Bảng các đạo hàm cơ bản
2.1.7. Đạo hàm từng phía, đạo hàm vô cùng
2.1.8. Vi phân
2.1.9. Đạo hàm hàm ẩn
§2.2. Đạo hàm và vi phân cấp cao
2.2.1. Định nghĩa
2.2.2. Quy tắc Leibnitz
2.2.3. Vi phân cấp cao
§2.3. Các định lý về giá trị trung bình
2.3.1. Định lý Rolle
2.3.2. Định lý Lagrange
2.3.3. Quy tắc L'Hôpital
§2.4. Công thức Taylor
2.4.1. Thiết lập công thức
2.4.2. Khai triển Marlourin của một số hàm sơ cấp
2.4.3. Ứng dụng
§ 2.5. Các ứng dụng của đạo hàm
2.5.1. Quy tắc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, bé nhất
2.5.2. Lồi, lõm, điểm uốn
2.5.3. Khảo sát hàm số y f (x)
2
1
4
6
7
7
7
11
12
15
16
18
18
23
30
30
37
37
39
40
42
42
42
43
46
47
48
48
51
52
55
56
59
59
59
60
61
61
62
63
64
64
66
68
68
69
70
70
70
72
74
76
76
77
78
80
80
80
80
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
2.5.4. Khảo sát đường cong cho dưới dạng tham số
2.5.5. Khảo sát đường cong cho dưới dạng tọa độ cực
2.5.6. Mối quan hệ giữa các vận tốc
Chương III. Tích phân
§ 3.1. Tích phân
3.1.1. Định nghĩa, tính chất
3.1.2. Bảng các tích phân cơ bản
3.1.3. Phương pháp tính tích phân bất định
3.1.4. Tích phân bất định của một số lớp hàm sơ cấp
§ 3.2. Tích phân xác định
3.2.1. Định nghĩa và các tính chất mở đầu
3.2.2. Các lớp hàm khả tích
3.2.3. Các tính chất của tích phân xác định
3.2.4. Cách tính tích phân xác định
3.2.5. Tính gần đúng tích phân xác định
§ 3.3. Ứng dụng của tích phân xác định
3.3.1. Tính diện tích hình phẳng
3.3.2. Độ dài đường cong
3.3.3. Thể tích vật thể
3.3.4. Diện tích mặt cong
3.3.5. Tọa độ trọng tâm
3.3.6. Moment tĩnh, moment quán tính, công…
3.3.7. Định lý biến thiên toàn cục
3.3.8. Hai lược đồ áp dụng tổng quát
§ 3.4. Tích phân suy rộng
3.4.1. Tích phân với cận vô hạn
3.4.2. Tích phân của hàm không bị chặn
3.4.3. Một số ví dụ
Chương 4. Chuỗi
§ 4.1. Chuỗi số
4.1.1. Định nghĩa
4.1.2. Điều kiện cần của chuỗi hội tụ
4.1.3. Tiêu chuẩn Cauchy
4.1.4. Các tính chất về phép toán
§ 4.2. Chuỗi số dương
4.2.1. Các tính chất mở đầu
4.2.2. Các quy tắc khảo sát sự hội tụ
§ 4.3. Chuỗi với dấu bất kỳ
4.3.1. Chuỗi đan dấu
4.3.2. Hội tụ tuyệt đối
§ 4.4. Chuỗi hàm số
4.4.1. Sự hội tụ, miền hội tụ
4.4.2. Hội tụ đều
4.4.3. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều
§ 4.5. Chuỗi lũy thừa
4.5.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ
4.5.2. Quy tắc tìm bán kính hội tụ
4.5.3. Tính chất của chuỗi lũy thừa
4.5.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa
4.5.5. Ứng dụng
4.5.6. Tính tổng một số chuỗi
4.5.7. Một số ví dụ
4.5.8. Sự tồn tại hàm liên tục không khả vi
§ 4.6. Chuỗi Fourier
4.6.1. Chuỗi lượng giác
4.6.2. Chuỗi Fourier
Tài liệu tham khảo
85
87
94
96
96
96
98
98
104
112
112
113
115
118
125
128
128
129
131
132
133
133
133
134
137
137
141
142
149
149
149
150
151
151
152
152
153
156
156
157
159
159
160
161
162
162
163
164
165
167
169
176
178
179
179
179
186
3
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
KÝ HIỆU HAY SỬ DỤNG
Ký hiệu
,
, *
n
(a; b), [a; b], (a; b],...
|a|
[x]
{x}
n!
Max A (MinA)
lim x n
Ý nghĩa
tập các số thực, tập các số thực dương
tập các số tự nhiên 0,1,2,…, tập các số 1, 2, ...
tập các số nguyên 0; 1; 2;...
tập các số hữu tỷ
không gian Euclide thực n chiều
khoảng suy rộng trên : khoảng, đoạn, nửa khoảng
trị tuyệt đối của số thực a,
phần nguyên của số thực x
{x} phần phân (lẻ) của số thực x x = x - [x] ; tập
hợp gồm một phần tử x
giai thừa
n ! = 1. 2. 3... n
phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của tập A
giới hạn của dãy số xn
n
giới hạn của hàm số f(x) khi x dẫn đến a
lim f (x)
x a
lim f (x), ( lim f (x)) giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a từ bên phải
(từ bên trái).
x a
x a
hàm số; - giá trị của hàm f tại điểm x.
hàm ngược của hàm f(x)
f(x)
1
f (x)
f : A B
df x
dx
'
f (x 0 ) (f ' (x 0 ))
f ' x ;
f (n) (x);
d n f (x)
2
ánh xạ từ A vào B; - hàm số với tập xác định là A,
tập giá trị chứa trong B.
đạo hàm bậc nhất của hàm f(x)
đạo hàm phía phải (trái) của hàm f(x) tại x0
đạo hàm bậc n của hàm f(x).
dx n
df, d f,...
vi phân cấp một, cấp 2,... của hàm f(x).
f (x) dx
tích phân suy rộng loại I của hàm f(x) trên [a; ) .
a
f (x) o (g(x))
f (x) O(g(x))
f (x) g(x)
VCB
#
(☼), (☼)
4
f(x) là vô cùng bé bậc cao hơn so với vô cùng bé g(x)
f(x) là vô cùng bé cùng bậc so với vô cùng bé g(x)
f x là vô cùng bé tương đương với vô cùng bé g(x)
vô cùng bé
kết thúc chứng minh
kết thúc ví dụ
bắt đầu (kết thúc) mục, phần… có thể bỏ qua trong
lần đọc đầu tiên
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Chương 1
GIỚI HẠN, LIÊN TỤC
§ 1.1. SỐ THỰC
1.1.1. Mở đầu
a. Giới thiệu
Chúng ta đã có những hiểu biết khá tốt về số hữu tỷ ngay từ thời học phổ
thông; chúng ta cũng có những hiểu biết nhất định về số vô tỷ, số thực. Để hiểu
chúng sâu sắc và chính xác, người ta phải xây dựng hệ thống tiên đề chính xác
cho số thực. Sau đây là các loại số mà loài người nhận thức được trong lịch sử
phát triển của mình:
* Các số tự nhiên khác không 1, 2, ..., n, ... ký hiệu là * ;
* Các số tự nhiên 0, 1, ..., n, ... ký hiệu là .
* Bởi vì trong thiếu các phần tử mà cộng với nhau bằng 0, người ta đưa
vào các số nguyên âm được ... , 2, 1, 0, 1, 2, ... , ký hiệu là .
Trong không có các phần tử mà nhân với 2, 3, ... bằng 1. Vậy người ta
đưa thêm vào trong các phần tử dạng p / q , được các số hữu tỷ
p
*
, q , p , ký hiệu là . Trong đại số ta biết là một trường.
q
Trong không có các phần tử kiểu như 2, e, , ... , gọi là các số vô tỷ.
Cần đưa vào các số vô tỷ để được - tập các số thực - rộng hơn . Có nhiều
cách xây dựng tập các số thực như dùng các số thập phân vô hạn tuần hoàn, lát
cắt Dedekin, ... Chúng ta đưa ra phương pháp xây dựng số thực sau đây, dễ hiểu
và được chấp nhận rộng rãi.
b. Tiên đề số thực
Chúng ta công nhận sự tồn tại và duy nhất tập hợp các số thực, ký hiệu là
, ở đó có trang bị hai luật hợp thành trong (phép toán) và . và một quan hệ
thứ tự sau cho:
i) ( , , .) là một trường, cụ thể là: (☼)
1) Phép cộng có tính chất kết hợp:
a, b, c , (a b) c a (b c) .
2) Phép cộng có tính chất giao hoán:
a, b , a b b a .
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
7
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
3) có phần tử trung lập với phép cộng, ký hiệu là 0, thỏa mãn điều kiện:
a , a 0 0 a a .
4) a đều có phần tử đối, ký hiệu là a thỏa mãn điều kiện:
a (a) (a) a 0 .
5) Phép nhân có tính chất kết hợp:
a, b, c , (a.b).c a.(b.c) .
6) Phép nhân có tính chất giao hoán: a, b , a.b b.a
7) có phần tử trung hòa với phép nhân, ký hiệu là 1, thỏa mãn điều kiện:
a.1 1.a a .
8) Mọi phần tử a {0} đều có phần tử nghịch đảo, ký hiệu là a 1 , thỏa
mãn điều kiện a .a 1 a 1.a 1.
9) Phép nhân phân phối với phép cộng:
a, b, c , a.(b c) a.b a.c
(☼)
ii) là một quan hệ thứ tự toàn phần trong , cụ thể là:
1) có tính chất phản xạ: a , a a .
2) có tính chất phản đối xứng:
a b
a, b ,
a b.
b a
a b
3) có tính chất bắc cầu: a, b, c ,
a c
b c
a b
4) là quan hệ thứ tự toàn phần: a, b
b a
Nếu a, b và a b, a b , ta nói a nhỏ hơn b và viết a b .
iii) Giữa các phép toán , . và quan hệ thứ tự có mối liên hệ sau đây:
1) a b a c b c
2) d 0, a b a.d b.d
iv) Mỗi tập không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng.
Các đòi hỏi i) - iv) xem là những tiên đề của số thực. Riêng tiên đề iv) cần
có những giải thích tỷ mỉ hơn sau đây.
c. Cận, bị chặn
Ta nói x là một cận trên (hay biên trên) của tập hợp A nếu
a A, a x .
8
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Ta nói y là một cận dưới (hay biên dưới) của tập hợp A nếu
a A, y a .
Ta nói x là phần tử lớn nhất (hay giá trị lớn nhất) của tập hợp A nếu
x A và x là một cận trên của A:
x A
a A, x a
Ký hiệu phần tử lớn nhất của tập hợp A là Max(A).
Tương tự những điều trên đối với khái niệm phần tử nhỏ nhất. Ký hiệu phần
tử nhỏ nhất của tập hợp A là Min(A).
Khi A là hữu hạn, ta dùng ký hiệu Max(a1 , ..., a n ) hay Max a i thay cho ký
1 i n
hiệu Max a1, ... , a n .
Tập con A được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại (ít nhất) một cận trên
của nó. Tương tự ta có thể hiểu khái niệm bị chặn dưới.
Tập hợp A được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Supremum. Phần tử bé nhất trong các cận trên của tập hợp A, nếu tồn tại,
được gọi là cận trên đúng của A, ký hiệu là Sup(A) (đọc là supremum của tập
hợp A).
Phần tử lớn nhất trong các cận dưới của tập hợp A, nếu tồn tại, được gọi là
cận dưới đúng của A, ký hiệu là Inf(A).
Có thể xảy ra trường hợp Sup(A) A hoặc (và) Inf (A) A . Chẳng hạn
khi A (a; b) .
Dễ thấy tiên đề iv) tương đương với:
iv') Mỗi tập không trống và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng.
d. Nhúng vào (☼)
Ta đã biết tốt về . Ta đã có - cái gọi là số thực. Bây giờ ta xây dựng
một ánh xạ f : sao cho nó là 1 đơn ánh.
f
Như đã nêu ở trên, 1 được dùng để ký hiệu phần tử trung lập của phép nhân
trong . n ta xác định một số thực f(n), ký hiệu là n.1 như sau:
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
9
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
---------------------------------------------------------------------------------------------*
khi n
1 1 ... 1
n.1
n
( 1) ... ( 1)
Bây giờ q , m , n * sao cho q
(1.1.1)
m
. Ta xác định số thực f(q),
n
ký hiệu là q.1, như sau:
q.1 (m.1).(n.1)1
Rõ ràng vế phải là một số thực. Mặt khác, định nghĩa này hợp lý vì nếu q có
m' m
biểu diễn khác: q
thì từ chỗ
n' n
m 'n n 'm (m.1).(n '.1) (m '.1)(n.1) ;
nhân 2 vế với số thực (n '.1) 1 (n.1) 1 ta được
(m.1).(n.1)1 (m '.1).(n.1).(n.1)1.(n '.1) 1 (m'.1)(n '.1) 1 .
Vậy, cả hai biểu diễn của q cho ra cùng 1 kết quả.
Rõ ràng ánh xạ f là đơn ánh. Vậy ta có thể đồng nhất với
{.1, q } f () là một tập hợp con của . Như vậy, coi là 1 bộ phận
của .
(☼)
e. Các loại khoảng
Có 9 loại khoảng suy rộng sau đây trong
1) a; b x : a x b ,
2) [a; b) x : a x b ,
3) (a; b] x : a x b ,
4) (a; b) x : a x b ,
5) [a; ) x : a x ,
6) (a; ) x : a x ,
7) (; a] x : x a ,
8) ( ; a) x : x a .
9) (; )
Các khoảng a; b ; (; a]; [b; ); (; ) :
đóng
(a; b); ( ; a); (b; ); ( ; ) :
mở
[a; b); (a; b] : nửa đóng, nửa mở.
a, b :
các mút của khoảng.
o
Khoảng I bỏ đi các mút, nếu có, được gọi là phần trong của I, ký hiệu là I .
10
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Khoảng I, lấy thêm 2 mút của nó gọi là bao đóng của I, ký hiệu là I .
1.1.2. Các tính chất sơ cấp của số thực
a. Các bất đẳng thức
Các bất đẳng thức của số thực mà chúng ta đã biết từ phổ thông là đúng,
chẳng hạn
x 0 0
1
;
x
0 x y
x, y, u, v ,
xu yv.
0 u v
Các bất đẳng thức Cauchy, Cauchy-Bunhiacopski-Schwartz nghiệm đúng.
Bất đẳng thức Mincopski (Bất đẳng thức tam giác trong n )
1/2
n
n
n
2
2
(x
y
)
x
i
i yi2
i
i 1
i 1
i1
hay || x y || || x || || y || .
(1.1.2)
Chứng minh. Bình phương 2 vế rồi đưa về bất đẳng thức C-B-S.
b. Giá trị tuyệt đối. Giá trị tuyệt đối của số thực x là một số thực, ký hiệu là
|x|, xác định bởi
x khi x 0,
| x |
x 0.
x
Gía trị tuyệt đối có các tính chất đã biết, ví dụ
n
n
| x i | | x i |,
i 1
i 1
1
x, y , Max(x, y) (x y | x y |),
2
1
Min(x, y) (x y | x y |),
2
| x | | y | | x y |,
| a | b b a b.
c. Khoảng cách thông thường trong
ĐN. Khoảng cách (thông thường) trong là ánh xạ
d:
(x, y) d(x, y) | x y | .
Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y (hay từ x đến y).
Tính chất. Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa giá trị tuyệt đối.
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
11
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
1) x, y , d(x, y) 0; d(x, y) 0 x y : tính xác định dương
2) x, y , d(x, y) d(y, x)
: tính đối xứng
3) x, y, z , d(x, y) d(y, z) d(x, z)
: bất đẳng tam giác
1.1.3. Các tính chất cơ bản của
a. Cận trên
Chúng ta nhắc lại tiên đề về cận trên đúng:
Mọi tập A không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng Sup(A).
Hệ quả. Mọi tập A không trống và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng
Inf(A).
Ví dụ 1.1. Tìm cận trên đúng và cận dưới đúng (nếu có) của tập hợp
1 (1)n
E n
, n * .
n
2
1 1 1 1 1 1
1
Giải. E 1; ; ;
; ... .
4 2 8 3 16 4
2
k * , 0 u 2k
u 2k 1
u 2k 1
1
2
2k 1
1
2
2k 1
1
2
2k
1
1 1 3
u2
2k
4 2 4
1
1
1
1
u1,
2k 1
2k 1
3
2
1 3
u2.
8 4
1
3
Như vậy u1 u n u 2
2
4
Sup(E) Max(E) u 2 3 / 4,
Inf (E) Min(E) u1 1 / 2.
#
Định lý 1.1. Cho A là tập không trống. Khi đó
(*)
M là môt cân trên,
M Sup(A)
0, a A : M a M. (**)
Chứng minh. a) " " : Cần. Giả sử M Sup(A) . Vậy M là một cận trên. Ta giả
sử không xảy ra (**), nghĩa là 0 0, a A, a M 0 . Như vậy, M 0
cũng là 1 cận trên của A. Rõ ràng M 0 M . Vậy M không là cận trên nhỏ
nhất, mâu thuẫn.
b) " " : Đủ. Giả sử xảy ra (1) và (2). Như vậy M là 1 cận trên. Giả sử M
không là cận trên nhỏ nhất. Vì A bị chặn trên (ít ra bởi M) nên tồn tại cận trên
nhỏ nhất M' và M M. Đặt M M 0 . Theo (**),
a A : M M (M M) M a M .
12
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy M không là cận trên, mâu thuẫn.
Lưu ý. Điểm a nói ở (2) có thể chính là Sup(A) hoặc không.
b. Căn bậc n của số dương (☼)
Cho a , ta sẽ chứng minh ! b để b n a , với n nguyên dương:
n * .
i) Trường hợp 1: a 0 hay a 1 , kết luận là rõ ràng.
ii) Trường hợp 2: 1 < a.
Đặt E {x , x n a}. Rõ ràng E không rỗng vì E chứa 1. E bị chặn trên,
chẳng hạn bởi a. Theo tiên đề cận trên, b Sup(E) .
Tất nhiên 0 1 b (vì 1 E) . Ta sẽ chứng minh b chính là phần tử phải
tìm, tức là b n a .
Giả sử ngược lại, b n a . Xảy ra 2 khả năng
Khả năng 1: b n a . Ta sẽ chứng minh tồn tại số thực (0; 1) để
(b ) n a .
(*)
Khi đó b E, b b mâu thuẫn với định nghĩa b Sup(E) .
Bây giờ ta chứng minh (*). Theo khai triển nhị thức Newton, (0; 1) thì
n
(b ) n b n Ckn b n k k .
k 1
Ta có b n k n b n 1
k 1
b
k 1
bn 1
n
(b ) n b n C kn b n 1 b n (b n 1)(2n 1) a
k 1
với đủ nhỏ.
(Chứng minh chi tiết: Chọn số thực đủ bé sao cho
a bn
0 Min 1; n
(2 1) b n
.
Khi ấy 0 1 và
(b ) n bn (2n 1) b n 1 bn a bn a ).
Như vậy (*) được chứng minh, tức là khả năng 1 không xảy ra.
Khả năng 2: b n a . Chứng minh tương tự, trường hợp này cũng dẫn đến
mâu thuẫn. Như vậy khả năng 2 cũng không xảy ra.
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
13
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
---------------------------------------------------------------------------------------------n
Tóm lại b a .
Còn phải chứng minh tính duy nhất của b. Thực vậy, với x, y 0,
x n y n a thì x n y n (x y)(x n 1y x n 2 y 2 ... xy n 1 ) 0
x y 0 x y.
iii) Trường hợp 3: 0 a 1 .
n
1 1
1
Đặt t 1 / a . Theo ii), u mà u n t . Khi đó, n a . Sự
t
u
u
duy nhất là tương tự. Ta thu được đpcm.
(☼)
Mệnh đề, định nghĩa. a , n nguyên dương, ! b sao cho
b n a . Phần tử b này được ký hiệu bởi
Với n 2, ta ký hiệu
a thay cho
2
n
a hay a1/n và gọi là căn bậc n của a.
a.
Độc giả có thể tự định nghĩa căn bậc lẻ của số âm:
2n 1
a , a 0.
c. Tính chất Archimede - Phần nguyên
Định lý 1.2. có tính chất Archimede sau đây:
0, A 0, n * : n A .
Hình ảnh trực quan: Nếu tôi có một cái gậy, thì dù anh có xa tôi mấy đi nữa,
tôi đặt liên tiếp các gậy này, tôi sẽ đến và đi quá chỗ anh đứng.
0
2
A n
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại,
0 0, A0 0 sao cho n0 A 0 , n * . Khi đó tập hợp
E {n 0 , n 1, 2, ...} không trống, bị chặn bởi A 0 . Vậy tồn tại cận trên đúng
Sup(A) = b.
Rõ ràng b 0 b .
b 0 n 0 0 b .
Mặt
khác,
theo
Định
lý
1.1,
n 0 * :
b (n 0 1) 0
: Mâu thuẫn với cách xác định của b.
(n 0 1) E
Phần nguyên. Bây giờ cho x là số thực bất kỳ. Lấy 1 , theo Định lý 1.2,
n 0 : n 0 n 0 .1 x . Vậy tập hợp {n : n n.1 x} bị chặn trên. Rõ ràng tập
hợp này không rỗng. Vậy tồn tại phần tử lớn nhất, ký hiệu là [x] . Ta thu được
Mệnh đề - Định nghĩa. Với mọi x , tồn tại duy nhất số nguyên n
sao cho n x n 1 . Số nguyên như vậy được gọi là phần nguyên của x, ký hiệu
là [x] .
(☼)
14
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
d. Sự trù mật (☼)
Định nghĩa. Cho 2 tập hợp số thực A, B, hơn nữa A B . Ta nói tập hợp A
trù mật trong tập hợp B nếu
b B, 0, a A : b a b .
Lưu ý: Ta vẫn thu được định nghĩa tương đương nếu bất đẳng thức sau cùng
thay bởi
b a b (hay b a b hay b a b ) .
Định lý 1.3. trù mật trong .
Chứng minh. Cho b tùy ý trong , 0 tùy ý . Vì có tính chất
Archimede nên n * : 2n 1 hay
n((b ) (b )) 1 n(b ) 1 n(b ) .
Vậy, giữa 2 số n(b ) và n(b ) có số nguyên n 0 :
n(b ) n 0 n(b ) b
q
n0
b .
n
n0
là số hữu tỷ phải tìm.
n
Hệ quả: Cho x và y là 2 số thực bất kỳ, hơn nữa x y . Tồn tại số hữu tỷ a
để x a y .
Hình ảnh trực quan: 2 số thực dù gần nhau bao nhiêu chăng nữa vẫn có một
số hữu tỷ ở giữa.
(☼)
e. Số vô tỷ
Một số thực được gọi là số vô tỷ nếu nó không là số hữu tỷ.
(Tập số vô tỷ là ).
x y
Lưu ý. x , y xy
x / y
(Tổng, tích, thương một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ).
Định lý 1.4. Tập hợp các số vô tỷ trù mật trong .
1.1.4. Đường thẳng thực mở rộng
Định nghĩa. Thêm vào hai phần tử bổ sung, gọi là âm vô cực (âm vô
cùng), dương vô cực (dương vô cùng), ký hiệu lần lượt là , được tập hợp
mới, ký hiệu là .
Đặt
{x , x 0} { },
{x , x 0} {- }
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
15
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Đồng thời, chúng ta cũng mở rộng các phép toán , . lên như sau.
x ,
x ( ) ( ) x
x () () x
() ( )
() ( )
x :
x.() ().x
x.() ().x
x :
x.( ) ( ).x
x.() ().x
().()
().()
().() ().( )
()( )
x :
x
Khi đó được gọi là đường thẳng thực mở rộng.
Lưu ý. Các phép toán , . không được định nghĩa cho mọi phần tử của ,
ví dụ ( ) (), 0.( ), ... (ứng với các dạng vô định).
1.1.5. Lực lượng của , (Tự đọc) (☼)
Định nghĩa. Cho 2 tập bất kỳ A và B. A được gọi là có lực lượng bé hơn lực
lượng của B nếu tồn tại một đơn ánh f : A B .
A và B được gọi là có cùng lực lượng (có lược lượng như nhau) nếu tồn tại
song ánh f : A B .
Lực lượng của tập hợp A ký hiệu là Card(A) (có tài liệu ghi là #A).
Nếu A là tập hữu hạn n phần tử: A {a1, ... , a n } thì quy ước Card(A) n .
Nếu lực lượng của A bé hơn lực lượng của B thì ta viết
Card(A) Card(B) .
Tập hợp A được gọi là có lực lượng đếm được, gọi tắt: A là tập đếm được,
nếu có thể sắp xếp các phần tử của A thành dãy; cụ thể là, tồn tại một song ánh
f : * A .
Tập hợp vô hạn không phải là tập đếm được được gọi là có lực lượng không
đếm được ( gọi tắt: tập không đếm được).
Hệ quả. Lực lượng của tập các số hữu tỷ trên [0; 1] là đếm được.
16
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Chẳng hạn, chúng ta có thể sắp xếp tập này thành dãy như sau:
1 1 2 1 3 1 2 3 1 5
A 0, 1, , , , , , , , , , , ...
2 3 3 4 4 5 5 5 6 6
Độc giả có thể nêu quy tắc xác định dãy này!
Ngoài ra chúng ta có:
Tập các số hữu tỷ là đếm được.
Tập các điểm trên hình vuông đơn vị [0; a] [0; a] với cả 2 tọa độ hữu tỷ là
đếm được ...
Tính chất. là tập hợp không đếm được, ngoài ra
Card( ) Card[0; 1] Card(0; 1) Card(0; 1] .
Nếu bớt đi (hay thêm vào) một tập hợp không đếm được một tập hợp đếm
được thì được một tập hợp không đếm được.
Định nghĩa. Tập hợp A được gọi là có lực lượng nhỏ hơn thực sự lực lượng
của tập hợp B, và ta viết Card(A) Card(B) nếu:
+ Card(A) Card(B) ,
+Không tồn tại song ánh f : A B .
Ví dụ: Card{1, 2, ... , 10} Card{1, 2, ... , 100}.
Lực lượng của tập các số hữu tỷ là nhỏ thực sự lực lượng của tập
các số thực: Card() Card() .
(☼)
Yêu cầu tối thiểu khi học Bài 1.1.
- Định lý 1.1
- Phần nguyên
- Tập hợp đếm được, ví dụ
- Tiên đề cận trên
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
17
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
§ 1.2. GIỚI HẠNDÃY SỐ
1.2.1. Hội tụ - Phân kỳ
a. Định nghĩa
a.1. Giới hạn thông thường
Dãy {u n } được gọi là hội tụ đến giới hạn (hay có giới hạn ) nếu với mọi
số 0 , tồn tại N sao cho | u n | , n N .
Khi đó ta viết lim u n hay u n (n ).
n
Hình ảnh trực quan: Từ chỉ số N đủ lớn trở đi, u n sẽ "chui" vào lân cận
( ; ) .
Ta nói {u n } là dãy hội tụ nếu tồn tại để lim .
n
Ta nói {u n } là dãy phân kỳ nếu nó không hội tụ, cụ thể là:
, 0, N , n N : | u n | .
Chú ý. Rất dễ dàng nhận được kết quả:
lim u n lim | u n | 0 .
n
n
Định lý 1.6 (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của dãy số, nếu tồn tại
thì duy nhất. Cụ thể là:
lim u n 1
1 2
lim u n 2
n 0
n 0
(
|
1
)
(
|
)
2
Chứng minh. Giả sử ngược lại 1 2 . Không hạn chế tổng quát coi
1 2 . Chọn ( 2 1 ) / 3 0 . Từ giả thiết,
lim u n 1 N1 , n N1 : | u n 1 | ,
n 0
lim u n 2 N 2 , n N 2 : | u n 2 | .
n 0
Đặt N Max(N1, N 2 ) 1 , ta có
0 | 1 2 || 1 u N | | u N 2 | 2
2
| 2 1 | .
3
Mâu thuẫn này chứng minh khẳng định.
Chú ý.
Mỗi dãy dừng (nghĩa là không đổi từ một số hạng nào đó trở đi) là dãy
hội tụ, hội tụ đến số không đổi đã nêu.
18
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Hai dãy số trùng nhau từ một số hạng nào đó trở đi cùng hội tụ hay cùng
phân kỳ.
Nếu ta thay đổi một số hữu hạn số hạng, hay thêm vào hoặc bớt đi một
số hữu hạn số hạng của dãy thì được một dãy cùng hội tụ hay cùng phân
kỳ như dãy dãy cho.
Chẳng hạn, ta biết rằng
1,
1 1 1 1 1 1
1
, , , , , , ... , , ... 0 (n ) .
2 3 4 5 6 7
n
Thế thì các dãy sau cũng hội tụ đến 0:
1
1 1 1
, 1, , , , ... ,
3
5 6 7
1 1 1
2, 4, 3, 1, , , , ... ,
2 3 4
1 1 1 1
1
, , , , ... , , ...
5 6 7 8
n
7, 0,
1
, ...
n
1
, ...
n
a.2. Bị chặn. Ta nói dãy { u n } là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn
dưới) nếu tập hợp {u n , n=1, 2, ...} là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn
dưới).
Định lý 1.7. Dãy hội tụ thì bị chặn.
Chứng minh. Giả sử dãy { u n } hội tụ: lim u n a . Thế thì tồn tại số
n
nguyên N để n N, a 1 u n a 1 . Đặt
b Min{a 1, u1, ... , u N }
c Max{a 1, u1 , ... , u N }
thì có ngay b u n c, n .
a.3. Giới hạn vô hạn
Ta nói dãy {u n } tiến đến + (hay {u n } có giới hạn + , {u n } nhận +
làm giới hạn ...) nếu:
L 0, N : n N, u n L.
Khi đó ta viết lim u n hoặc u n (n ) .
n
Chúng ta dễ hiểu ý nghĩa của ký hiệu u n (n ) .
Ta nói dãy {u n } tiến đến (hay {u n } có giới hạn , {u n } nhận làm
giới hạn) nếu:
L 0, N : n N, | u n | L.
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
19
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý 1.8. Mỗi dãy dần ra đều bị chặn dưới. Tương tự, mỗi dãy dần
ra đều bị chặn trên.
Chứng minh. Giả sử lim u n . Tồn tại số nguyên dương N để
n
n N, u n 1 . Đặt M Min{u1 , u 2 , ... , u N , 1} . Rõ ràng u n M, n .
Đối với trường hợp lim u n , xét dãy { u n } .
n
b. Tính chất về thứ tự của giới hạn
Định lý 1.9. Giả sử {u n }, {v n } là 2 dãy thỏa mãn điều kiện u n v n với
n n 0 nào đó và tồn tại các giới hạn lim u n u; lim v n v . Khi đó u v .
n
n
Định lý 1.10 (Định lý kẹp). Cho {u n }, {v n }, {w n } là ba dãy. Nếu từ một
chỉ số N nào đó trở đi xảy ra bất đẳng thức u n w n v n còn {u n } và {vn }
cùng hội tụ đến giới hạn thì {w n } cũng hội tụ đến .
Định lý 1.11. Cho hai dãy {u n }, {v n } .
N , n N, u n v n
lim v n
lim u
n
n
n
Chứng minh. Giả sử A 0 tùy ý cho trước. Từ giả thiết,
N1 , n N1 , u n A . Đặt P Max(N1, N) thì n P, v n u n A .
Vậy lim v n .
n
c. Các phép toán về giới hạn
Định lý 1.12. Cho {u n }, {v n } là 2 dãy, , , là ba số thực.
1. u n (n ) | u n || | (n ).
2. u n 0 (n ) | u n || 0 | (n ).
u n (n )
3.
u n v n (n ).
v n (n )
4. u n (n ) u n (n ).
u n 0 (n )
5.
u n v n 0 (n ).
{v
}
bi
chan
n
u n (n )
6.
u n v n (n ).
v n (n )
1
7. u n 0 (n ) Dãy được xác định từ một chỉ số N
un
1
1
nào đó trở đi và
(n ) .
un
20
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
u
8. u n , v n 0 (n ) Dãy n được xác định từ một
vn
u
chỉ số N nào đó trở đi và lim n .
n v n
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh (5) và (8). Để chứng minh (5), giả sử
{v n } bị chặn. Vậy M, n , | v n | M . Giả sử 0 tùy ý cho trước,
N , n N, | u n |
.
M 1
Khi đó, n N, | u n v n | | u n || v n |
.M .
M 1
Nghĩa là u n vn 0 khi n .
Để chứng minh (8), ta giả sử vn 0 (n ) . Khi đó tồn tại M,
u
n M, | v n | | | /2 | v n | | | /2 n M . Vậy n xác định, ít ra từ
vn
chỉ số M trở đi. Ta có
un
u n v n
(u n ) (v n )
v n
vn
v n
| || u n | | || v n |
| v n || |
| v n || |
(*)
Bây giờ giả sử 0 cho trước. Vì
| |
lim u n N1 , n N1 : | u n | .
n
2 2
| | | |
lim v n N 2 , n N 2 : | v n |
.
.
n
|| 2 2
(**)
(***)
Vậy n N Max(N1, N 2 , N3 ) thì
u n | | 1
| | 1
.
.
. .
.
.
v n 2 2 | | 2 | | 2
2
un
.
n v n
lim
(Bạn đã rút ra kinh nghiệm gì khi đánh giá vế trái của (*)?)
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
21
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý 1.13. Cho hai dãy {u n }, {v n } .
1.
2.
* u n (n )
u n v n (n )
v n bi chan duoi
* u n (n )
u n v n (n )
v n (n )
* u n (n )
u n v n (n )
v n (n )
u n (n )
u n v n (n )
C 0, N , n N, v n C
1
3. u n (n ) xác định từ một chỉ số nào đó và
vn
1
0 (n ) .
vn
4.
u n 0 (n )
1
(n ) .
N, n N, u n 0 u n
Ví dụ 1.2. Xét sự hội tụ của dãy
n a , (a 0) .
Trường hợp 1: a 1 . Dùng khai triển nhị thức Newton ta có
a ( n a ) n (1 ( n a 1)) n
n
Ckn ( n a 1)k
k 0
1
Ckn (n a 1)k 1 n( n a 1)
k 0
a 1 n
a 1 0.
n
n * ,
Theo Định lý kẹp,
n
a 1 0 (n ) .
Trường hợp 2: 0 a 1 . Khi đó 1/ a 1 . Theo trường hợp 1,
1
1
n 1 (n ) n a 1 (n ).
a
a
n
Trường hợp 3: a 1. Rõ ràng
n
a 1 (n ) .
Tóm lại,
lim n a 1 (a 0).
(1.2.1)
n
Nhận xét. Sau này ta có nhiều công cụ giải bài toán trên nhanh hơn. #
22
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
---------------------------------------------------------------------------------------------n
Ví dụ 1.3. Xét sự hội tụ của dãy
a
nm
với a 1 và m nguyên dương cố định.
An
, A 1.
n 0 n
Trước hết, ta sẽ chứng minh lim
Thực vậy, với n 2 đặt h A 1 0 thì:
A n (1 (A 1)) n (1 h) n
n
Ckn h k C2n h 2
k 0
n(n 1) 2
h
2
An n 1 2
h (n ) . Vậy,
n
2
An
lim
, (A 1) .
n n
(1.2.2)
a n
Bây giờ xét sự hội tụ của dãy m , a > 1. Ta có
n
an
n
m
m
m
a n/m
( m a )n
An
n
n
n
lim
an
n n
m
m
(A m a 1). Vậy
, a 1, m *.
(1.2.3)
Ta nói hàm mũ dần ra vô hạn nhanh hơn bất kỳ hàm lũy thừa nào (hay hàm
mũ trội hơn hàm lũy thừa).
#
Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng
an
a , lim
0.
n n!
(1.2.4)
Chứng minh. Đặt N | a |. Với mọi n N ta có
| an | | a | | a | | a |
|a |
...
...
n!
1
N N 1
n
|a | |a | |a |
|a |
...
0 (n ) .
1 .
A.
1
N
n
n
Ta nói giai thừa trội hơn hàm mũ (n! dần ra nhanh hơn a n ).
#
1.2.2. Dãy đơn điệu
a. Định nghĩa
Dãy {u n } được gọi là tăng (giảm) nếu u n u n 1 (u n u n 1 ) với mọi n.
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
23
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Dãy {u n } được gọi là tăng (giảm) thực sự nếu u n u n 1 (u n u n 1 ) với
mọi n.
Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
Định lý 1. 14. Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ.
Chứng minh. + Giả sử dãy {u n } tăng và bị chặn trên:
u1 u 2 ... L . Tập hợp {u n , n 1, 2, ...} không trống và bị chặn trên.
Theo tiên đề về cận trên, tồn tại M Sup{u n , n 1, 2, ...} . Ta sẽ chứng minh
lim u n M .
n
Thực vậy, 0 cho trước, theo tính chất của supremum, tồn tại
n 0 : M u n 0 M . Mặt khác, do {u n } không giảm và bị chặn trên bởi M nên
u n 0 u n M, n n 0 . Suy ra
M u n M M , n n 0 . Vậy lim u n M .
n
+ Đối với dãy {u n } giảm và bị chặn dưới, xét dãy { u n } . Phần còn lại là
rõ ràng.
Hệ quả. Dãy tăng, không bị chặn trên thì hội tụ tới + ,
Dãy giảm, không bị chặn dưới thì hội tụ tới - .
b. Dãy kề nhau
Định nghĩa. Hai dãy {u n }, {v n } được gọi là kề nhau nếu {u n } tăng, {v n }
giảm và v n u n 0 (n ) .
Định lý 1.15. Hai dãy {u n }, {v n } kề nhau thì chúng hội tụ đến cùng một
giới hạn . Hơn nữa
u n u n 1 v n 1 v n , n *.
Chứng minh. Đặt w n v n u n . Dãy {w n } không tăng, thực vậy,
w n 1 v n 1 u n 1
(v n 1 v n ) (v n u n ) (u n u n 1 ) 0 w n 0 w n .
Lại có w n 0 (n ) nên bằng phản chứng dễ suy ra w n 0 hay
u n vn , n . Từ đó
u1 ... u n u n 1 v n 1 v n ... v1 .
Dãy {u n } tăng, bị chặn trên (bởi v1 ) lim u n ,
n
Dãy {v n } giảm, bị chặn dưới (bởi u1 ) lim v n .
n
lim u n lim v n lim (u n v n ) 0 .
n
24
n
n
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
---------------------------------------------------------------------------------------------n
n
Ví dụ 1.5. Hai dãy u n
1
1
1
1
k! 1 1! 2! ... n! ,
vn
k 0
1
1
k! n.n! ,
k 0
n = 1, 2, . . . là kề nhau. Vậy chúng có cùng giới hạn, gọi là e. Ta biết
e 2.718 281 828 .
Hình 1.1. Hai dãy kề nhau {u n } (dưới) và {v n } (trên) ở Ví dụ 1.5
n
1
2
3
4
5
6
7
un
2
2.5
2.666667
2.708333
2.716667
2.718056
2.718254
vn
3
2.75
2.722222
2.71875
2.716898
2.718084
2.718254
Hình 1.1 chỉ ra 7 giá trị đầu của dãy {u n } và {v n } .
n
1
(Chúng ta nhớ lại định nghĩa khác của e: e lim 1 ).
n
n
#
Hệ quả (Định lý về các đoạn lồng nhau). Cho hai dãy số thực {a n },{b n }
sao cho n , a n b n ; [a n 1; b n 1 ] [a n ; b n ] và lim (b n a n ) 0 .
n
Khi đó, tồn tại duy nhất số thực sao cho
[a n ; b n ] .
n 1
[
[ | ]
a n 1 a n b n
]
b n 1
Chứng minh. Rõ ràng hai dãy {a n }, {bn } kề nhau. Theo Định lý 1.15,
! : lim a n lim a n . Cũng từ Định lý 1.15
n
n
a i , i
[a i ; bi ], i .
bi , i
c. Dãy con.
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
25
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa. Cho dãy {u n }: u1, u 2 , ... Dãy {u n k , k 1, 2, ...} với các chỉ số
n k thỏa mãn : n1 n 2 n 3 ... được gọi là một dãy con trích ra từ dãy {u n } .
Chẳng hạn, {u n } là dãy cho trước,
{u 2n }: u 2 , u 4 , u 6 , ...
: dãy "chẵn"
{u 2n 1}: u1 , u 3 , u 5 , ...
: dãy "lẻ"
{u 3n }: u 3 , u 6 , u 9 , ...
là các dãy con. Tuy nhiên
{u
n 2 3n 3
}: u1, u1, u3 , u 7 , ...
là dãy, nhưng không là dãy con của {u n } vì chỉ số 1 bị lặp lại!
Định lý 1.16. Nếu {u n } có giới hạn thì mọi dãy con trích ra từ đó cũng
có giới hạn .
Chứng minh. Từ giả thiết, 0, N , n N, | u n | .
Giả sử {u n k } là một dãy con của {u n } . Với k N,
n k k N nên
| u n k | . Vậy lim u n k .
n
Định lý này có tác dụng tốt để chứng minh một dãy nào đó không hội tụ.
Ví dụ 1.6. Xét sự hội tụ của dãy {(1)n } .
u 2n (1) 2n 1 1 (n )
u 2n 1 (1)2n 1 1 1 (n )
Vì 1 1 , theo Định lý 1.16, dãy này không thể hội tụ, vậy nó phân kỳ. #
Định lý 1.17. Cho {u n } là một dãy, còn là một số thực. Khi đó,
lim u 2n
n
lim u n
n
u 2n 1
nlim
Chứng minh. Cần " ". Suy ra từ Định lý 1.16.
Đủ " ". Giả sử lim u 2n , lim u 2n 1 . Khi đó 0, N1 , N 2 :
n
n
k N1 : | u 2k | ; k N 2 : | u 2k 1 |
n 2k 1
Đặt N 2Max(N1, N 2 ). n N, k :
n 2k
* n 2k 1. Rõ ràng k N 2 | u n | .
* n 2k. Rõ ràng k N1 | u n | .
26
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy lim u n .
n
Lưu ý: Có thể mở rộng Định lý trên bằng cách tách {u n } thành hai hoặc k
dãy con rời nhau.
Định lý 1.18 (Bổ đề Bolzano-Weierstrass). Từ mọi dãy số thực bị chặn đều
có thể trích ra một dãy con hội tụ.
Chứng minh. Cho dãy bị chặn {u n } . a1 , b1 : n * , a1 u n b1 .
Đặt h b1 a1 0 . Rõ ràng đoạn [a1; b1 ] chứa vô hạn phần tử của dãy {u n }.
Chọn một phần tử u n1 tùy ý của dãy {u n } . Như vậy a1 u n1 b1 .
Chia đôi đoạn [a1; b1 ] bởi điểm (a1 b1 ) / 2 , được 2 đoạn,
[a1 ; (a1 b1 ) / 2], [(a1 b1 ) / 2; b1 ] . Có ít nhất một trong 2 đoạn này chứa vô hạn
các phần tử của dãy {u n }. Gọi đoạn đó là [a 2 ; b2 ] .
h b1 a1
.
2
2
Chọn một phần tử u n 2 tùy ý của {u n } sao cho n 2 n1 và u n 2 nằm trong
Rõ ràng [a 2 ; b 2 ] [a1; b1 ]; b 2 a 2
đoạn [a 2 ; b2 ] : a 2 u n 2 b 2 .
Tương tự, bằng quy nạp ta xây dựng được dãy đoạn [a n ; bn ] mà
+ Chứa vô hạn các phần tử của dãy {u n } ,
bk a k
h
... k .
2
2
của dãy {u n } sao cho n k n k 1 và
+ [a k 1; b k 1 ] [a k ; b k ]; b k 1 a k 1
Chọn một phần tử u n k
a k u nk bk .
(*)
Dãy đoạn [a k ; b k ] là lồng nhau (nói cách khác, {a k }, {b k } là hai dãy kề
nhau). Theo Định lý 1.15, tồn tại giới hạn chung của chúng:
lim a k lim b k .
k
Theo định lý kẹp
k
lim u n k (đpcm).
k
Định nghĩa. Cho {u n } là một dãy số; {u n k } là một dãy con của nó thỏa
mãn:
- lim u n k ;
k
- Đối với mọi dãy con {u mk } khác mà lim u mk thì .
k
Khi đó được gọi là giới hạn trên của dãy {u n } và ký hiệu là lim u n .
Chúng ta dễ dàng hiểu ý nghĩa của giới hạn dưới lim u n .
Định lý 1.19
i. Luôn tồn tại lim u n .
Hơn nữa nếu {u n } không bị chặn trên thì lim u n .
ii. Nếu {u n } bị chặn trên bởi M thì lim u n M .
iii. lim u n lim u n lim u n .
n
-------------------------------------------------------------------------------------PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010
27
