Slide bai giang mon giai tich 1 cua tac gia le xuan dai

Mục Lục
01 Gioi Han Lien Tuc Cua Ham Mot Bien
02 Gioi Han Cua Day So
03 Dao Ham Vi Phan Ham Mot Bien
04 Phuong Trinh Vi Phan Cap 1
05 Phuong Trinh Vi Phan Cap 2
06 He Phuong Trinh Vi Phan
07 Tich Phan Xac Dinh
08 Tich Phan Bat Dinh
09 Tich Phan Suy Rong
10 Ung Dung Cua Tich Phan


GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
Bài giảng điện tử

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

1 / 53

Giới hạn của hàm số

Bài toán thực tế

Lý thuyết tương đối của Albert Einstein

Nếu L0 là khoảng cách từ người đứng yên đến vật
đang đứng yên, L là khoảng cách từ người đứng
yên đến vật đang chuyển động với vận tốc v (m/s)
thì ta có công thức
L = L0.

v2
1 − 2,
c

ở đây c là vận tốc ánh sáng. Câu hỏi: Nếu vật
chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh
sáng thì khoảng cách L sẽ như thế nào?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

2 / 53


Giới hạn của hàm số

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Bài toán thực tế

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

3 / 53


Giới hạn của hàm số

Bài toán thực tế

Theo yêu cầu bài toán chúng ta cần tìm
lim L0.

v →c

v2
1 − 2 = L0.
c

c2
1− 2 =0
c

Kết luận: Nếu vật chuyển động với vận tốc càng
gần với vận tốc ánh sáng, thì khoảng cách giữa

người đứng yên và vật chuyển động càng gần về 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

4 / 53


Giới hạn của hàm số

Định nghĩa điểm giới hạn

Định nghĩa điểm giới hạn

Cho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, còn a ∈ R là
1 số cố định nào đó.
Định nghĩa
Nếu số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp
X ⊂ R, thì tồn tại dãy số (xn ) ⊂ X \ a hội tụ về
điểm a này xn → a.
Định nghĩa
Tập hợp (a − ε, a + ε), với ε > 0 là số tùy ý, được
gọi là lân cận của a. Kí hiệu O(a, ε).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

5 / 53


Giới hạn của hàm số

Định nghĩa giới hạn của hàm số

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và
a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X này.
Định nghĩa
Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x)
khi x → a, nếu như với mọi dãy ∀(xn ) ⊂ X \ a hội
tụ về a : xn → a, dãy giá trị của hàm số tương
ứng hội tụ về A : f (xn ) → A.
Ví dụ
Giới hạn của hàm số f (x) = x + 1, khi x → 0 là 1
vì với ∀xn → 0 thì f (xn ) = xn + 1 → 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

6 / 53


Giới hạn của hàm số

Định nghĩa giới hạn của hàm số

Ví dụ
ln n
n→∞ n
ln n
1/n
lim
= lim
= 0(theo L’ Hopital) ⇒ SAI
n→∞ n
n→∞ 1
vì KHÔNG TỒN TẠI (ln n) , (n) , n ∈ N.
Cách giải đúng.
ln x
1/x
lim
= lim
= 0(theo L’ Hopital). Do đó
x→∞ x
x→∞ 1
theo định nghĩa giới hạn của hàm số với
ln n
xn = n → ∞, ta có f (xn ) =
→ 0. Vậy I = 0.
n
Tìm giới hạn I = lim

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

7 / 53


Giới hạn của hàm số

Định nghĩa giới hạn của hàm số

Chú ý. Nếu tồn tại 2 dãy (xn ), (yn ) cùng hội tụ về
a nhưng f (xn ), f (yn ) tiến tới 2 giới hạn khác nhau
thì KHÔNG TỒN TẠI giới hạn lim f (x).
x→a

Ví dụ
Tìm I = lim sin
x→0

1
x

1
1
Xét 2 dãy xn = 2πn+
π → 0 và yn = nπ → 0. Ta có
2
lim f (xn ) = lim sin(2πn + π2 ) = lim sin( π2 ) = 1
n→∞

n→∞

n→∞

và lim f (yn ) = lim sin(πn) = 0. Vậy I .
n→∞

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

n→∞

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

8 / 53


Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số từ một phía

Xa+ = {x ∈ X \ x > a}, Xa− = {x ∈ X \ x < a}.
Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R
còn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+(Xa−).
Định nghĩa
Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x)
khi x → a từ bên phải (từ bên trái) nếu như
lim f (x) = A ( lim f (x) = A)

x→a,x∈Xa−

x→a,x∈Xa+

Chúng được kí hiệu là lim f (x), f (a + 0) và
x→a+0

lim f (x), f (a − 0)

x→a−0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

9 / 53


Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số từ một phía

Ví dụ



1,
f (x) = signx =

0,

−1,

x >0
x =0
x <0

Dễ dàng thấy rằng
f (0 + 0) = lim f (x) = 1
x→0+0

còn
f (0 − 0) = lim f (x) = −1.
x→0−0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

10 / 53


Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số từ một phía

Cho a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp

Xa+ = {x ∈ X \ x > a} và tập hợp
Xa− = {x ∈ X \ x < a}. Khi đó a cũng là điểm
giới hạn của tập hợp X . Khi đó ta có định lý sau:
Định lý
Đẳng thức lim f (x) = A tương đương với 2 đẳng
x→a

thức sau


 lim f (x) = A
x→a+0

 lim f (x) = A
x→a−0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

11 / 53


Giới hạn của hàm số

Tính chất của giới hạn của hàm số

Tính chất của giới hạn của hàm số

Định lý
Nếu hàm số f (x) và g (x) với cùng 1 tập xác định
X ⊂ R có giới hạn hữu hạn khi x → a :
lim f (x) = A và lim g (x) = B thì ta có đẳng thức
x→a

x→a

lim [f (x) ± g (x)] = A ± B

x→a

lim [f (x).g (x)] = A.B

x→a

f (x)
A
=
x→a g (x)
B

Nếu có thêm điều kiện B = 0 thì lim
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

12 / 53


Giới hạn của hàm số

Tính chất của giới hạn của hàm số

Phân loại giới hạn của hàm số

Các dạng không phải vô định
a
∞
a
= ∞(a = 0);
= 0;
= ∞;
0
∞∞
a
a.∞ = ∞(a = 0); q = 0(|q| < 1).
7 dạng vô định trong giới hạn hàm số
∞ 0
, , ∞ − ∞ , 0.∞ ,1∞ , ∞0 , 00
∞ 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

13 / 53


Giới hạn của hàm số

Tính chất của giới hạn của hàm số

Tính chất của giới hạn của hàm số

1o Nếu hàm số f (x) khi x → a có giới hạn hữu
hạn lim f (x) = A thì giới hạn đó là duy nhất.
x→a

o

2 Nếu
g (x) f (x) h(x) với mọi ∀x ∈ O(a, ε)
lim g (x) = A = lim h(x). (A - hữu hạn)
1

2

x→a

x→a

thì lim f (x) = A.
x→a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

14 / 53


Giới hạn của hàm số

Tính chất của giới hạn của hàm số

Ví dụ
Tính giới hạn I = lim x 2. sin
x→0

1
x

1
1
I = lim x 2. lim sin SAI vì lim sin KHÔNG tồn
x→0
x→0
x→0
x
x
tại.
Cách giải đúng:

−x 2

x 2 sin

1
x

x2

và lim (−x 2) = lim x 2 = 0. Vậy I = 0.
x→0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x→0

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

15 / 53


Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm hợp

Định lý
Cho lim f (x) = b, lim g (y ) = c và tồn tại số
x→a

y →b

δ0 > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn bất
đẳng thức |x − a| < δ0 luôn có f (x) = b thì giới
hạn của hàm hợp là lim g (f (x)) = c.
x→a

Ví dụ
lim sin(x 2 + 2x + 3) = sin 3 vì

x→0

lim x 2 + 2x + 3 = 3 và lim sin y = sin 3

x→0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

y →3

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

16 / 53


Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Giới hạn vô cùng bé của hàm số

f (x) 0
=
x→a g (x)
0

Tìm giới hạn I = lim

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

17 / 53


Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Định nghĩa

Cho hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp
X ⊂ R và số a là điểm giới hạn của tập hợp X .
Định nghĩa
Hàm số α = α(x) được gọi là hàm vô cùng bé
(VCB) khi x → a, nếu như giới hạn của nó bằng 0
lim α(x) = 0.

x→a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

18 / 53


Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Tính chất của hàm vô cùng bé

Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên
cùng 1 tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới
hạn của tập hợp X .
α = α(x) − VCB khi x → a
1o
β = β(x) − VCB khi x → a
⇒ α ± β = α(x) ± β(x) − VCB khi x → a
α = α(x) −hàm bị chặn ∀x ∈ O(a, ε)
2o
⇒
β = β(x)
−VCB khi x → a
α.β = α(x).β(x) = α(x).β(x) − VCB khi x → a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

19 / 53


Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Tính chất của hàm vô cùng bé

3o Nếu α = α(x) là VCB khi x → a thì với mọi
∀c ∈ R tích c.α(x) cũng là VCB khi x → a.
α = α(x) −VCB khi x → a
4o
β = β(x) −VCB khi x → a
⇒ α.β = α(x).β(x) = α(x).β(x)−VCB khi x → a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

20 / 53


Giới hạn vô cùng bé của hàm số

So sánh hàm vô cùng bé

Cho α = α(x) và β = β(x) là những VCB khi
x → a, khi đó nếu
1

2

3

4

α(x)
= 0 thì α(x) là VCB có bậc cao hơn β(x).
x→a β(x)
α(x)
lim
= c = 0(c ∈ R) thì α(x), β(x) là VCB có
x→a β(x)
cùng bậc.
α(x)
lim
= ∞ thì α(x) là VCB có bậc thấp hơn β(x).
x→a β(x)
α(x)
không tồn tại lim
hữu hạn hay vô cùng thì
x→a β(x)
α(x), β(x) được gọi là VCB không so sánh được.
lim

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

21 / 53


Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Vô cùng bé tương đương

Định nghĩa
Những VCB α = α(x) và β = β(x) khi x → a
α(x)
= 1. Kí
được gọi là tương đương nếu như lim
x→a β(x)
x→a
hiệu α(x) ∼ β(x) khi x → a hay α(x) ∼ β(x).
Nguyên lý thay thế VCB tương đương.
Khi x → a VCB α(x) ∼ α(x) còn VCB
β(x) ∼ β(x). Khi đó luôn có đẳng thức
α(x)
α(x)
lim
= lim
nếu như có ít nhất 1 trong 2
x→a β(x)
x→a β(x)

giới hạn trên tồn tại.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

22 / 53


Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Vô cùng bé tương đương

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao.
Tổng hữu hạn các VCB
=
x→a Tổng hữu hạn các VCB
lim

Tổng các VCB có bậc thấp nhất của tử
x→a Tổng các VCB có bậc thấp nhất của mẫu

= lim

Chú ý. Tổng các VCB có bậc thấp nhất của tử và
mẫu phải TỒN TẠI, có nghĩa là chúng không bị
triệt tiêu.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

23 / 53


Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Những giới hạn cơ bản

sin x
= 1.
x→0 x
loga (1 + x)
1
lim
= loga e =
(a > 0, a = 1)
x→0
x
ln a
ln(1 + x)
lim
=1
x→0
x
1
lim (1 + x) x = e.
lim

x→0

ax − 1
lim
= ln a(a > 0, a = 1)
x→0
x
ex − 1
lim
=1
x→0
x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

24 / 53