Bài giảng môn giải tích 1 dao ham

CHƯƠNG 3:

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN


Đạo hàm
Bài toán mở đầu 1:
Xét đường cong y=f(x).
Một điểm P cố định trên đường cong và cát tuyến PQ.
Cho điểm Q chạy trên đường cong tới điểm P.
Nếu cát tuyến PQ dần đến vị trí giới hạn Pt thì đường
thẳng Pt được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại P
Bài toán đặt ra là khi
nào hàm có tiếp
tuyến tại P và hệ số
góc là bao nhiêu?

t
P

Q


Đạo hàm
Bài toán mở đầu 2:
Xét một vật chuyển động trên đường thẳng.
Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0 = s(t0)
Tại thời điểm t1 nó ở vị trí M1 với hoành độ s1 = s(t1)
Nếu vật chuyển động
M0
M1

đều thì ta có ngay
t0
t1
vận tốc của vật.
Nếu vật chuyển động không đều thì ta chỉ tính được
quãng đường Δs = s1 – s0 trong khoảng thời gian Δt
= t1 – t0.
Từ đó, ta có vận tốc trung bình là tỉ số Δs/ Δt. Khoảng
thời gian Δt càng nhỏ thì vận tốc đó càng gần vận tốc
thật


Đạo hàm
Cả hai bài toán trên đều dẫn ta đến việc tính giới hạn
của tỉ số Δf/ Δx khi Δx→0. Tức là dẫn đến việc lập
hàm f(x) và tính đạo hàm của nó
Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định trong lân cận
của x0, đạo hàm tại x0 của hàm f(x) là
f ( x) − f ( x0 )
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
= lim
x → x0
∆x →0
x − x0
∆x
Nếu giới hạn trên là hữu hạn
Các quy tắc tính đạo hàm
( f + g ) ′ = f ′ + g′

(

f .g ) ′ = f g′ + g ′f

 f ′ f g′ − g ′f
g÷=
2
g
 


Đạo hàm
Bảng đạo hàm các hàm cơ bản
−1
x ′
x
x ′
x
′
1 / a = a ln a ⇒ e = e
9 / ( arccos x ) =
2
1
−
x
a ′
2 / x = a.x a −1
1
′
1

1 10 / ( arctan x ) =
′
′
3 / ( log a x ) =
⇒ ( ln x ) =
1 + x2
x ln a
x
−1
′
11 / ( arccot x ) =
4 / ( sin x ) ′ = cos x
1 + x2
5 / ( cos x ) ′ = − sin x
12 / ( shx ) ′ = chx
1
2
′
′ = shx
6 / ( tan x ) =
=
1
+
tan
x
13
/
chx
(
)

cos 2 x
1
′
1
14 / ( thx ) = 2
2
′
7 / ( cot x ) = − 2 = −(1 + cot x)
ch x
sin x
1
′
15 / ( cthx ) = − 2
1
sh x
8 / ( arcsin x ) ′ =
1 − x2

( )
( )

( )


Đạo hàm
Đạo hàm 1 phía:
Đạo hàm trái:

f (∆x + x0 ) − f ( x0 )
f −′ ( x0 ) = lim −

∆x →0
∆x

Đạo hàm phải:

f (∆x + x0 ) − f ( x0 )
f +′ ( x0 ) = lim +
∆x →0
∆x

Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó
có đạo hàm trái, đạo hàm phải tại x0 và 2 đạo hàm
đó bằng nhau
Đạo hàm vô cùng: Nếu

f (∆x + x0 ) − f ( x0 )
lim
=∞
∆x → 0
∆x

Thì ta nói hàm f có đạo hàm ở vô cực


Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm f ( x) = 3 x − 1
Áp dụng các quy tắc và bảng đạo hàm ta có
1
f ′( x) =
3 3 ( x − 1) 2

Như vậy, tại x=1 không thể thay x=1 vào f ’ để tính
mà phải dùng định nghĩa
3
f (∆x + 1) − f (1)
∆x
′
f (1) = lim
= lim
= +∞
∆x →0
∆x →0 ∆x
∆x

Vậy:

1

,x ≠1
 3
f ′( x) =  3 ( x − 1) 2
 ∞, x = 1



Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm của

 sin x
,x ≠ 0


f ( x) =  x
1, x = 0

Khi x≠0, ta tính bình thường. Khi x=0, ta dùng đ/n
1  sin ∆x 
f (∆x + 0) − f (0)
= lim
− 1÷ = 0
f ′(0) = lim

∆x →0 ∆x  ∆x
∆x →0
∆x

Vậy:

 x cos x − sin x
,x ≠ 0

2
f ′( x) = 
x
0, x = 0


Đạo hàm
Đạo hàm hàm hợp
h = f og ⇒ h′ = f ′.g ′
Tức là y = g ( x), h( x) = f ( y ) ⇒ h′( x) = f ′( y ).g ′( x)
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm : a. f(x) = tan (x3+x)

b. g(x) = esinx
3

2
′
( x + x)
3x + 1
f ′( x) =
=
2 3
cos ( x + x) cos 2 ( x3 + x)

g ′( x) = esin x .(sin x)′ = cos x.esin x


Đạo hàm
Đạo hàm của các hàm hợp cơ bản

(

f ( x)

)

′

f ( x)

. f ′( x )
1

′
2 / ( ln f ( x) ) =
. f ′( x)
f ( x)

1/ e

(

3 / f ( x)

a

=e

)

′

= a. f ( x)

a −1

. f ′( x)

4 / ( sin f ( x) ) ′ = cos f ( x ). f ′( x)

5 / ( cos f ( x) ) ′ = − sin f ( x). f ′( x )

6 / ( tan f ( x) ) ′ =

f ′( x )
cos 2 ( f ( x))

− f ′( x)
′
7 / ( cot f ( x) ) =
sin 2 f ( x)

8 / ( arcsin f ( x) ) ′ =
9 / ( arccos f ( x) ) ′ =

10 / ( arctan f ( x) ) ′ =

f ′( x)
1 − f 2 ( x)
− f ′( x)
1 − f 2 ( x)

f ′( x)
1 + f 2 ( x)

− f ′( x)
′
11 / ( arccot f ( x) ) =
1 + f 2 ( x)


Đạo hàm
2

x
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm y = cos  sin ÷
3

x
x 1
x −1


x
x
′
y = −2cos  sin ÷.sin  sin ÷. cos = .cos .sin(2sin )
3
3 3
3 3
3
3


Ví dụ: Tính đạo hàm của y = 3 shx + 1
Đặt: u =
Suy ra:

shx

Thì: y = 3 u + 1

( shx)′

y′( x) = y′(u ).u′( x ) =
.
3 3 (u + 1) 2 2 shx
chx
=
6 3 ( shx + 1) 2 shx
1


Đạo hàm
Đạo hàm hàm ngược
Giả sử hàm 1-1: y = f(x) có hàm ngược là x = g(y).
Tại x = x0 hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn khác 0 thì
hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và
1
g ′( y0 ) =
Hay
ta
còn
viết
′
f ( x0 )

1
x′( y ) =
y′( x)


Đạo hàm
3

Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm y = 2 x − 1
3

2
′
Do y = 2 x − 1 ⇒ y = 6 x ≠ 0∀x ≠ 0

Nên theo CT tính đạo hàm hàm ngược ta được
1
1
x′( y ) =
= 2 , ∀x ≠ 0
y′( x) 6 x
Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm y = chx
1
1
1
y′ = shx ⇒ x′ = =
=
=
y′ shx
ch 2 x − 1

1
y2 −1


Đạo hàm
Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số

 x = x(t )
Cho hàm y=f(x) được cho bởi pt tham số 
 y = y (t )
Đạo hàm của hàm y được tính bởi

y′(t )
y′( x) =
x′(t )

Ví dụ: Tính y’(x) biết x(t) = etcost, y(t) = etsint
y′(t ) (et cos t )′ et (cos t − sin t )
y′( x) =
= t
= t
x′(t ) (e sin t )′ e (sin t + cos t )
cos t − sin t
y′( x) =
sin t + cos t


Đạo hàm
Đạo hàm dạng u(x)v(x):
Ta viết lại dạng uv thành u ( x)v ( x ) = ev ( x ) ln u ( x )

(

Suy ra : u ( x)
=e

( u ( x) )

v( x)

′

v( x)

) =(e
′

v ( x ) ln u ( x )

= u ( x)

v ( x ) ln u ( x )

)

′


u′( x) 
. v′( x)ln u ( x) + v( x)
÷
u ( x) 


u′( x) 
 v′( x )ln u ( x) + v( x) u ( x) ÷



v( x) 


Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm

y=

x
2 ln x

x
 x ′  x ln 2 ′
ln 2 
ln x − 1 
ln
x
ln
x
ln
x
ln 2. 2 ÷
y′ =  2 ÷ =  e
÷=e


÷ 
÷
ln

x



 

x
(ln x)
Ví dụ: Tính đạo hàm y = ln x
x

Lấy ln 2 vế hàm đã cho
Lấy đạo hàm 2 vế:
Vậy:
y′ =

x
2 ln x

(

ln y = ln((ln x) x ) − ln( x ln x )
y′
x ′
ln x ′
= ln((ln x) ) − ln( x )
y

(

)

( ( x ln(ln x) ) ′ − (ln 2 x)′ =

) (

x
2 ln x

)

1
2ln x 

−
 ln ln x +
÷
ln
x
x




Đạo hàm cấp cao
Cho hàm y = f(x) có đạo hàm z = f ’(x). Lấy đạo
hàm của hàm z, ta được đạo hàm cấp 2 của hàm
f(x) – kí hiệu là f ′′( x)
Tiếp tục quá trình đó, ta gọi đạo hàm của đạo hàm
cấp (n-1) là đạo hàm cấp n

f

(n)

( x) = ( f

( n −1)

( x))′

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 1, 2 của hàm y = tan(x2+1)
2cos( x 2 + 1) + 2 x.2 x.sin(2 x 2 + 2)
2x
′′
⇒
y
=
y′ =
3 2
2 2
cos
( x + 1)
cos ( x + 1)


Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao của hàm cho bởi pt tham số
Cho hàm y = y(x) xác định bởi x = x(t), y = y(t)
y′(t )
Đạo hàm cấp 1: y′( x) =

x′(t )
Tức là đạo hàm cấp 1 cũng là hàm cho bởi pt tham số
y′(t )
x = x(t ), y′ =
= g (t )
x′(t )
g ′(t ) y′′(t ) x′(t ) − y′(t ) x′′(t )
Đạo hàm cấp 2: y′′( x) =
=
x′(t )
( x′(t ))3
Tương tự, đạo hàm cấp (n-1) vẫn là hàm cho bởi pt
tham số nên đạo hàm cấp n được tính theo cách trên


Đạo hàm cấp cao
Ví dụ: Tính y’, y’’ biết x = e2t sht, y = e2tcht
2t
′
y (t ) e (2cht + sht ) 2cht + sht
y′( x) =
= 2t
=
x′(t ) e (2 sht + cht ) 2 sht + cht
2
2
′
(2
sht
+

cht
)
−
(2
cht
+
sht
)
 2cht + sht 
2

÷
(2
sht
+
cht
)
2
sht
+
cht

 =
y′′( x) =
2t
e
(2 sht + cht )
′
x (t )
2

2

3( sh t + ch t )
= 2t
e (2 sht + cht )3


Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao của hàm hợp – CT Leibnitz
Cho hàm hợp h = f o g
Đh cấp 1: h′ = f ′.g ′
Suy ra đh cấp 2: h′′ = ( f ′.g ′)′ = f ′′.g ′ + f ′.g ′′
Bằng QUY NẠP, ta chứng minh được
n

CT Leibnitz: h( n ) = ∑ Cnk . f ( k ) .g ( n − k )
k =0

Trong đó, ta quy ước f(0) = f (đh hàm cấp 0 bằng
chính nó)


Đạo hàm cấp cao
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm y = sinx.ln(x+1)
3

y (3) = ∑ C3k (sin x)( k ) (ln( x + 1))(3− k )
k −0

y (3) = C30 (sin x)(0) (ln( x + 1))(3) + ... + C33 (sin x)(3) (ln( x + 1))(0)

y

(3)

2
−1
1
= sin x
+ 3cos x
− 3sin x
− cos x.ln( x + 1)
3
2
x +1
( x + 1)
( x + 1)


Đạo hàm cấp cao
Đh cấp cao một số hàm thường gặp
a ( n)

1 / (x )

= a (a − 1)...(a − n + 1) x

2 / (e ax )( n ) = a ne ax
n −1

(
−
1)
( n − 1)!
(n)
3 / (ln( x + 1)) =
( x + 1) n
π
(n)
n
4 / (sin ax) = a sin(ax + n )
2

5 / (cos ax)

(n)

π
= a cos(ax + n )
2
n

a −n

(n)

 1 
⇒
÷
x

+
1



(−1) n n!
=
( x + 1) n +1


Đạo hàm cấp cao
Ví dụ: Tính y(n) biết y = (2x2-x+3)sin(2x+1)
Đặt f(x) = 2x2-x+3, g(x) = sin(2x+1) thì y = fog
Áp dụng CT Leibnitz với lưu ý: với mọi k>2 thì f(k)=0
n

y ( n ) = ∑ Cnk f ( k ) g ( n − k )
k =0

= Cn0 f (0) g ( n ) + Cn1 f g′ ( n −1) + Cn2 f ′′g ( n −2)
π
2
n
= (2 x − x + 3)2 sin(2 x + 1 + n )
2

π
+ n(4 x − 1)2 sin(2 x + 1 + ( n − 1) )
2
n(n − 1) n −2

π
+
4.2 sin(2 x + 1 + ( n − 2) )
2
2
n −1


Đạo hàm cấp cao
1
Ví dụ: Tính đh cấp n của y = 2
x −1
Vì:

1
1 1
1 
y= 2
= 
−
÷
2
x
−
1
x
+
1
x −1




Nên : y ( n )

(n)
(n) 

1  1 
 1 
= 
−
÷
÷ ÷

2   x −1 
 x +1 ÷



(−1) n! 
1
1
=
−

n +1
n +1 ÷
2  ( x − 1)
( x + 1) 
n

Đạo hàm cấp cao
Ví dụ: Tính đh cấp n của y = sin4x+cos4x
Biến đổi lượng giác:
1 2
y = 1 − 2sin x cos x = 1 − sin 2 x
2
1
3 1
= 1 − (1 − cos 4 x) = + cos 4 x
4
4 4
1 4
π
π
(n)
Suy ra: y = 4 cos(4 x + n ) = 64cos(4 x + n )
4
2
2
2

2