Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN XUÂN TRUNG

MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN XUÂN TRUNG

MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội, 2017


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hoàng Ngọc Tuấn giảng viên khoa Toán
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn để em có thể
hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập tại Trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Xuân Trung


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích
với đề tài "Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng" được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn và nhận thức
của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Xuân Trung


Mục lục
Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . .

12

1.3. Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4. Nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1. Nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2. Định lý ánh xạ mở và Định lý Graves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3. Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình và bất phương trình tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4. Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss và dưới vi phân . . . . . .

42

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


Các kí hiệu

d(x, y)

Khoảng cách giữa hai phần tử x và y

{xn }∞
n=1

Dãy số thực hoặc phức

C1

Tập tất cả các hàm khả vi liên tục

B (a, r) hoặc Br (a)

Hình cầu mở tâm a bán kính r

B (a, r) hoặc B r (a)

Hình cầu đóng tâm a bán kính r

BX

Hình cầu đơn vị đóng trong X

x

Chuẩn của x

bd(S)

Biên của S

conv(S)

Bao lồi của S

diam(S)

Đường kính của S

supp(φ)

Giá của hàm φ, {x ∈ X : φ(x) = 0}

∇f (x)

Gradient (Đạo hàm) của f tại x

inf f

Cận dưới đúng của f trên X

sup f

Cận trên đúng của f trên X

X

X

domf

Miền hữu hiệu của f

epif

Trên đồ thị của hàm f

graphF

Đồ thị của F

ιS

Hàm chỉ của tập S

∂F f (x)

Dưới vi phân Fréchet của f tại x

∂V F f (x)

Dưới vi phân Fréchet nhớt của f tại x


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một hàm nửa liên tục dưới trên một tập không compact có thể không
đạt được cực tiểu. Nguyên lý biến phân khẳng định rằng, đối với hàm

nhận giá trị vô cùng, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới, người ta có thể
thêm vào một sự thay đổi nhỏ (làm nhiễu) để nhận được một giá trị cực
tiểu.
Nguyên lý biến phân cho phép chúng ta áp dụng các kỹ thuật biến
phân với hàm nửa liên tục dưới, nhận giá trị vô cùng, một cách có hệ
thống và do đó mở rộng đáng kể sức mạnh của kỹ thuật biến phân.
Những nguyên lý biến phân cung cấp các công cụ mạnh mẽ trong
giải tích biến phân hiện đại. Các ứng dụng của nó bao gồm nhiều lĩnh
vực trong cả lý thuyết và ứng dụng của giải tích như: tối ưu, hình học
không gian Banach, giải tích không trơn, kinh tế, lý thuyết điều khiển,
lý thuyết trò chơi,...
Trong đề tài này, chúng ta tập trung vào hai nguyên lý biến phân và
ứng dụng của nó đó là nguyên lý biến phân Ekeland và nguyên lý biến
phân Borwein-Preiss. Chúng ta cũng xét một "đối tác" của nguyên lý
biến phân Borwein-Preiss được đề xuất bởi Deville, Godefroy và Zizler.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một số nguyên lý biến phân và
ứng dụng của nó, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn tôi
đã chọn đề tài “Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng” để thực
1


hiện luận văn của mình.
Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1 : Nghiên cứu về hai nguyên lý biến phân đó là: Nguyên lý
biến phân Ekeland và nguyên lý biến phân Borwein-Preiss. Chúng ta
cũng xét một "đối tác" của nguyên lý biến phân Borwein-Preiss đó là
nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler.
Chương 2 : Ứng dụng các nguyên lý biến phân trong chứng minh một
số định lý cơ bản của giải tích hàm, sự tồn tại nghiệm của hệ phương
trình và bất phương trình tuyến tính, chứng minh một số định lý cơ bản

của lý thuyết tối ưu.

2. Mục đích nghiên cứu
• Luận văn nghiên cứu về một số nguyên lý biến phân trong giải tích.
• Ứng dụng nguyên lý biến phân trong chứng minh một số định lý cơ
bản của giải tích hàm và lý thuyết tối ưu.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu một số nguyên lý biến phân và ứng dụng của nó.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý biến phân Ekeland và nguyên lý
biến phân Borwein-Preiss.
• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các dạng khác nhau của một số
2


nguyên lý biến phân và ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Vận dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm, giải tích
không trơn, lý thuyết tối ưu. . .
• Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan đến các
nguyên lý biến phân và ứng dụng.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đề
tài một số nguyên lý biến phân và ứng dụng.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế
nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác

giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy
cô và bạn đọc.

3


Chương 1
Một số nguyên lý biến phân
Chương này dành để hệ thống lại một số dạng của nguyên lý biến
phân. Nội dung được chọn lọc từ tài liệu [2], [5].

1.1. Nguyên lý biến phân Ekeland
1.1.1. Minh họa hình học
Xét một hàm nửa liên tục dưới f bị chặn dưới trên một không gian
Banach (X, . ) . Rõ ràng f có thể không đạt được cực tiểu hoặc về
phương diện hình học, f có thể không có một giá siêu phẳng. Nguyên lý
biến phân Ekeland cung cấp một thay thế xấp xỉ để đạt được một cực
tiểu bởi khẳng định rằng, với bất kỳ ε > 0, f phải có một nón tựa có
dạng f (y) − ε x − y . Điều này được minh họa bằng Hình 1.1.
Chúng ta bắt đầu với một điểm z0 mà f (z0 ) < inf X f + ε và xét nón
f (z0 ) − ε x − z0 . Nếu nón này không đỡ được f thì ta luôn có thể tìm
được một điểm z1 ∈ S0 := x ∈ X|f (x) ≤ f (z) − ε x − z

sao cho

1
f (z1 ) < inf f + [f (z0 ) − inf f ].
S0
S0
2

Nếu f (z1 )−ε x − z1 không đỡ được f thì chúng ta lặp lại bước trên. Với
quá trình này hoặc tìm được một nón tựa mong muốn hoặc tạo ra một
dãy các tập đóng lồng nhau (Si ) có đường kính thu nhỏ lại đến 0. Cuối
4


Hình 1.1: Nguyên lý biến phân Ekeland. Nón đỉnh: f (x0 ) − ε|x − x0 |; Nón giữa: f (x1 ) −
ε|x − x1 |; Nón dưới: f (y) − ε|x − y|.

cùng, f (y) − ε x − y là một nón tựa của f , trong đó {y} =

∞
i=1 Si .

Lập luận này được áp dụng tương tự trong một không gian metric đầy
đủ. Hơn nữa, nó cũng cung cấp một sự đánh giá hữu ích về khoảng cách
giữa y và ε-cực tiểu ban đầu z0 .
1.1.2. Dạng cơ bản
Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu dạng giải tích của bức tranh
hình học được mô tả ở trên - Nguyên lý biến phân Ekeland và chứng
minh của nó.
Định lý 1.1.1. ([2], Theorem 2.1.1) (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho
(X, d) là một không gian metric đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là
một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X
thỏa mãn
f (z) < inf f + ε.
X

Khi đó tồn tại y ∈ X sao cho
5

(i) d(z, y) ≤ 1,
(ii) f (y) + εd(z, y) ≤ f (z), và
(iii) f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Ta xác định một dãy (zi ) bằng quy nạp bắt đầu với
z0 := z. Giả sử rằng ta đã xác định được zi . Đặt
Si := x ∈ X| f (x) + εd(x, zi ) ≤ f (zi )
và xét hai khả năng: (a) inf Si f = f (zi ). Khi đó ta xác định zi+1 := zi .
(b) inf Si f < f (zi ). Ta chọn zi+1 ∈ Si sao cho
1
1
f (zi+1 ) < inf f + [f (zi ) − inf f ] = [f (zi ) + inf f ] < f (zi ).
Si
Si
Si
2
2

(1.1)

Ta chỉ ra rằng (zi ) là một dãy Cauchy. Trên thực tế, nếu (a) luôn xảy ra
thì zi là cố định với i đủ lớn. Trái lại,
εd(zi , zi+1 ) ≤ f (zi ) − f (zi+1 ).

(1.2)

Cộng (1.2) từ i đến j − 1 > i ta có
εd(zi , zj ) ≤ f (zi ) − f (zj ).

(1.3)

Chú ý rằng dãy (f (zi )) giảm và bị chặn dưới bởi inf X f , do đó nó hội tụ.
Ta có kết luận từ (1.3) rằng (zi ) là dãy Cauchy. Giả sử y := lim zi . Ta
i→∞

chỉ ra rằng y thỏa mãn các kết luận của định lý. Đặt i = 0 trong (1.3)
ta có
εd(z, zj ) + f (zj ) ≤ f (z).

(1.4)

Lấy các giới hạn, khi j → ∞ thu được (ii). Vì f (z) − f (y) ≤ f (z) −
inf X f < ε, từ (ii) suy ra (i). Ta còn phải chỉ ra rằng y thỏa mãn (iii).
6


Cố định i trong (1.3) và lấy giới hạn khi j → ∞ thu được y ∈ Si . Điều
đó có nghĩa là

∞

y∈

Si .
i=1

Mặt khác, nếu x ∈

∞

i=1 Si

thì, với mọi i = 1, 2, ...,

εd(x, zi+1 ) ≤ f (zi+1 ) − f (x) ≤ f (zi+1 ) − inf f.
Si

(1.5)

Từ (1.1) ta có f (zi+1 ) − inf Si f ≤ f (zi ) − f (zi+1 ), và ở đó
limi [f(zi+1 ) − inf Si f ] = 0. Lấy giới hạn trong (1.5) khi j → ∞ ta có
εd(x, y) = 0. Từ đó suy ra
∞

Si = {y} .

(1.6)

i=1

Lưu ý rằng dãy các tập (Si ) là lồng nhau, tức là với i bất kỳ, Si+1 ⊂ Si .
Trong đó, với bất kỳ x ∈ Si+1 , f (x) + εd(x, zi+1 ) ≤ f (zi+1 ) và zi+1 ∈ Si
thu được
f (x) + εd(x, zi ) ≤ f (x) + εd(x, zi+1 ) + εd(zi , zi+1 )
≤ f (zi+1 ) + εd(zi , zi+1 ) ≤ f (zi ),

(1.7)

có nghĩa là x ∈ Si . Bây giờ, với bất kỳ x = y, từ (1.6) suy ra x ∈
/ Si khi

i đủ lớn. Như vậy, f (x) + εd(x, zi ) ≥ f (zi ). Lấy giới hạn khi i → ∞ ta
được (iii).
1.1.3. Các dạng khác
Vì ε > 0 là tùy ý nên nón tựa trong nguyên lý biến phân Ekeland có
thể làm "phẳng" như mong muốn. Điều này chỉ ra rằng trong các ứng
dụng một nón tựa phẳng là đủ để thay thế cho mặt phẳng tựa có thể
7


không tồn tại. Định lý sau đây có thể được suy ra dễ dàng từ Định lý
1.1.1 bởi một lập luận giải tích.
Định lý 1.1.2. ([2], Theorem 2.1.2) Cho (X, d) là một không gian metric
đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn
dưới. Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏa mãn
f (z) < inf f + ε.
X

Khi đó, với mỗi λ > 0 tồn tại y sao cho
(i) d(z, y) ≤ λ,
ε
(ii) f (y) + ( )d(z, y) ≤ f (z), và
λ
ε
(iii) f (x) + ( )d(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\ {y}.
λ
Chứng minh. Nếu λ = 1 thì ta có Định lý 1.1.1 ở trên. Trong trường
d
hợp tổng quát ta thay d bằng và theo Định lý 1.1.1 ta có điều phải
λ
chứng minh.

Hằng số λ trong Định lý 1.1.2 làm cho nó rất linh hoạt. Một sự lựa
√
chọn thường xuyên là lấy λ = ε và để cân bằng các nhiễu trong (ii) và
(iii).
Định lý 1.1.3. ([2], Theorem 2.1.3) Cho (X, d) là một không gian metric
đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn
dưới. Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏa mãn
f (z) < inf f + ε.
X

Khi đó, tồn tại y sao cho
8


√

(i) d(z, y) ≤
(ii) f (y) +
(iii) f (x) +

√

ε,

εd(z, y) ≤ f (z), và

√

εd(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\ {y} .

Chứng minh. Đặt λ =

√

ε trong Định lý 1.1.2.

Khi z trong Định lý 1.1.2 không được biết chính xác hoặc không quan
trọng thì dạng yếu sau của nguyên lý biến phân Ekeland là hữu ích.
Định lý 1.1.4. ([2], Theorem 2.1.4) Cho (X, d) là một không gian metric
đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn
dưới. Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại y sao cho
f (x) +

√

εd(x, y) > f (y).

Định lý 1.1.5. ([2], Theorem 2.2.5) (Sự tương đương với tính đầy đủ)
Cho (X, d) là một không gian metric. Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi
với mỗi hàm nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} bị chặn dưới và với
mỗi ε > 0 tồn tại một điểm y ∈ X thỏa mãn
f (y) ≤ inf f + ε,
X

và
f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X.
Chứng minh. Chiều thuận được suy ra từ Định lý 1.1.4. Ta sẽ chứng
minh phần đảo của định lý này. Cho (xi ) là một dãy Cauchy. Khi đó,
hàm f (x) := limi→∞ d(xi , x) được xác định và không âm. Do hàm khoảng
cách là Lipschitz đối với x nên f liên tục. Hơn nữa, (xi ) là dãy Cauchy

9


nên ta có f (xi ) → 0 khi i → ∞ để cho inf X f = 0. Với ε ∈ (0, 1) chọn y
sao cho f (y) ≤ ε và
f (y) ≤ f (x) + εd(x, y), ∀x ∈ X.

(1.8)

Cho x = xi trong (1.8) và lấy giới hạn khi i → ∞ ta được f (y) ≤ εf (y)
do đó f (y) = 0. Vậy limi→∞ xi = y.
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày nguyên lý biến phân Ekeland đối với
hàm khả vi Gâteaux trong không gian Banach. Trước hết ta nhắc lại
khái niệm đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet.
Định nghĩa 1.1.1. ([5], Definition 3.4) Cho X, Y là các không gian
Banach, và f : U → Y là một ánh xạ từ tập mở U vào Y , (U ⊆ X).
Ánh xạ f được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ U nếu
f (x + td) − f (x)
= Ad, ∀d ∈ X,
t→0
t

lim

trong đó A : X → Y là một ánh xạ tuyến tính. Nếu f khả vi Gâteaux
tại mọi điểm x ∈ U thì ta nói f khả vi Gâteaux trên U . Ánh xạ A ký
hiệu là Df (x) (hoặc ∇f (x)) và được gọi là đạo hàm Gâteaux của f .
Ánh xạ f được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ U nếu tồn tại một ánh
xạ tuyến tính B : X → Y sao cho
lim

h →0

f (x + h) − f (x) − Bh
= 0.
h

Ánh xạ B ký hiệu là Df (x) (hoặc ∇f (x)) và được gọi là đạo hàm
Fréchet của f . Nếu f khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ U thì ta nói f khả
vi Fréchet trên U . Do đó ta có Df : U → L(X, Y ), trong đó L(X, Y ) là
không gian Banach của các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y được
10


trang bị chuẩn
L := sup Lx .
x =1

Nếu Df liên tục trên U , thì ta nói f khả vi liên tục trên U và viết
là f ∈ C 1 . Nếu Df ∈ C 1 thì ta nói f khả vi liên tục cấp hai và viết là
f ∈ C 2 . Ánh xạ f khả vi liên tục bậc k được ký hiệu là f ∈ C k . Từ đó
thấy rằng nếu f khả vi Fréchet tại x ∈ U thì nó cũng khả vi Gâteaux
tại x và hai đạo hàm này của f là giống nhau.
Định lý 1.1.6. ([5], Corollary 3.5) Cho f : X → R là một hàm trên
không gian Banach X và khả vi Gâteaux, nửa liên tục dưới, bị chặn dưới.
Cho ε > 0 và cho x ∈ X là điểm sao cho f (x) ≤ inf f + ε. Khi đó tồn
X

tại điểm xε ∈ X sao cho
f (xε ) ≤ f (x),

x − xε ≤ 1,
∇f (xε ) ≤ ε.
Vì vậy, khi đó tồn tại một dãy cực tiểu {xn } trong X thỏa mãn f (xn ) →
inf f và ∇f (xn ) → 0.
X

Chứng minh. Định lý 1.1.1 cho ta điểm xε thỏa mãn hai điều kiện đầu
tiên ở trên. Để chứng minh điều kiện thứ ba, không mất tính tổng quát
ta xét một hướng d ∈ X tùy ý, d = 1, ta có
t ∇f (xε ), d + o(t) = f (xε + td) − f (xε ) ≥ −tε
khi t → 0, trong đó đẳng thức được suy ra từ điều kiện f khả vi Gâteaux và bất đẳng thức được suy ra từ (iii) trong Định lý 1.1.1. Khi đó:
f (xε ) < f (xε +td)+|t| ε ⇒ ∇f (xε ), d +0(t) > − |t| ε ⇒ | ∇f (xε ), d | ≤
11


1
ε, ∀ d = 1, ⇒ ∇f (xε ) ≤ ε. Lấy yn ∈ X sao cho f (yn ) ≤ inf f + ,
X
n
khi đó tồn tại xn sao cho
f (xn ) ≤ f (yn ) và

∇f (xn ) ≤

1
.
n

Vậy dãy {xn }∞
1 thỏa mãn tính chất trên.

1.2. Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland
Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu nguyên lý biến phân Ekeland từ góc
độ hình học.
1.2.1. Định lý Bishop-Phelps
Cho X là một không gian Banach. Với mỗi x∗ ∈ X ∗ \ {0} và với ε > 0
ta nói rằng
K(x∗ , ε) := x ∈ X : ε x∗

x ≤ x∗ , x

là một nón Bishop-Phelps với x∗ và ε. Trong không gian 3 chiều ta có
minh họa hình học là Hình 1.2.
Định lý 1.2.1. ([2], Theorem 2.2.1) (Định lý Bishop-Phelps) Cho X là
một không gian Banach và cho S là một tập con đóng của X. Giả sử
rằng x∗ ∈ X ∗ là bị chặn trên S. Khi đó, với mỗi ε > 0, S có một nón
K(x∗ , ε) tựa điểm y, tức là
{y} = S ∩ [K(x∗ , ε) + y].

12


Hình 1.2: Nón Bishop-Phelps.

Chứng minh. Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland của Định lý 1.1.1
x∗
với hàm f = − ∗ + ιS là nửa liên tục dưới ta được điều phải chứng
x

0 nếu x ∈ S,

minh. Trong đó ιS (x) =
+∞ nếu trái lại.

Bức tranh hình học của Định lý Bishop-Phelps và của nguyên lý biến
phân Ekeland là gần như giống nhau: nón Bishop-Phelps K(x∗ , ε) + y
trong Định lý 1.2.1 đóng vai trò tương tự như nón f (y) − εd(x, y) trong
Định lý 1.1.1. Ta có thể dễ dàng thu được một phiên bản không gian
Banach của nguyên lý biến phân Ekeland bằng cách áp dụng Định lý
Bishop-Phelps với trên đồ thị của một hàm nửa liên tục dưới, bị chặn
dưới.
Nếu ta có thêm thông tin, chẳng hạn các điểm trong hoặc điểm ngoài
13


của tập đã cho, thì nón tựa có thể được thay thế bởi các tập bị chặn
được xây dựng một cách tinh vi hơn. Khi đó ta có Định lý Flower-Petal
hay còn được gọi là Định lý Cánh hoa.
1.2.2. Định lý Cánh hoa
Cho X là một không gian Banach và cho a, b ∈ X. Ta nói rằng
Pγ (a, b) := x ∈ X : γ a − x + x − b ≤ b − a
là một cánh hoa liên kết với γ ∈ (0, +∞) và a, b ∈ X. Một cánh hoa thì
luôn lồi và những cánh hoa thú vị được hình thành khi γ ∈ (0, 1).
1
1
Hình 1.3 vẽ các cánh hoa Pγ ((0, 0), (1, 0)) với γ = , và γ = .
3
2

Hình 1.3: Hai cánh hoa.

Định lý 1.2.2. ([2], Theorem 2.2.2) (Định lý Cánh hoa) Cho X là một
không gian Banach và cho S là một tập con đóng của X. Giả sử rằng
14


a ∈ S và b ∈ X\S với r ∈ (0, d(S; b)) và t = b − a . Khi đó, với bất kỳ
t−r
γ > 0, đều tồn tại y ∈ S ∩ Pγ (a, b) thỏa mãn y − a ≤
sao cho
γ
Pγ (y, b) ∩ S = {y}.
Chứng minh. Đặt f (x) = x − b + ιS (x). Khi đó
f (a) < inf f + (t − r).
X

Áp dụng nguyên lý biến phân của Định lý 1.1.2 cho hàm f (x) với ε = t−r
t−r
t−r
và λ =
, khi đó tồn tại y ∈ S sao cho y − a <
thỏa mãn
γ
γ
y−b +γ a−y ≤ a−b
và
x − b + γ x − y > y − b , ∀x ∈ S\ {y} .
Bất đẳng thức thứ nhất chứng tỏ y ∈ Pγ (a, b) còn từ bất đẳng thức thứ
hai suy ra Pγ (y, b) ∩ S = {y} .
1.2.3. Định lý Giọt nước
Cho X là một không gian Banach, cho C là một tập con lồi của X

và cho a ∈ X. Ta nói rằng
[a, C] := conv ({a} ∪ C) = {a + t (c − a) : c ∈ C}
là giọt nước sinh bởi a và C.
Bổ đề sau đây cung cấp cho chúng ta thông tin hữu ích về mối quan
hệ giữa giọt nước và cánh hoa. Điều này được minh họa trong Hình 1.4.
Bổ đề 1.2.1. ([2], Lemma 2.2.3) (Giọt nước và Cánh hoa) Cho X là một
không gian Banach, cho a, b ∈ X và cho γ ∈ (0, 1). Khi đó
B

a−b (1−γ)/(1+γ) (b)

15

⊂ Pγ (a, b),


Hình 1.4: Cánh hoa chứa giọt nước.

và do đó
a, B

a−b (1−γ)/(1+γ) (b)

⊂ Pγ (a, b).

Bây giờ ta có thể suy ra Định lý Giọt nước từ Định lý Cánh hoa.
Định lý 1.2.3. ([2], Theorem 2.2.4) (Định lý Giọt nước) Cho X là một
không gian Banach và cho S là một tập con đóng của X. Giả sử rằng
b ∈ X\S và r ∈ (0, d(S; b)). Khi đó, với bất kỳ ε > 0, tồn tại y ∈ bd(S)
thỏa mãn y − b ≤ d(S; b) + ε sao cho [y, Br (b)] ∩ S = {y} .

Chứng minh. Chọn a ∈ S thỏa mãn a − b < d(S; b) + ε và chọn
γ=

a−b −r
∈ (0, 1).
a−b +r

Theo Định lý 1.2.2 tồn tại y ∈ S ∩ Pγ (a, b) sao cho Pγ (y, b) ∩ S = {y}. Rõ
ràng, y ∈ bd(S). Hơn nữa, y ∈ Pγ (a, b) có nghĩa là y − b < a − b <
16


d(S; y) + ε. Từ Bổ đề 1.2.1 và r =

1−γ
a − b suy ra [y, Br (b)] ∩ S =
1+γ

{y}.

1.3. Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss
Định nghĩa 1.3.1. ([2], Definition 2.5.1) Cho (X, d) là một không gian
metric. Ta nói một hàm liên tục ρ : X × X → [0, ∞] là một hàm cỡ nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau
(i) ρ(x, x) = 0, với mọi x ∈ X,
(ii) với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y, z ∈ X ta có ρ(y, z) ≤ δ
kéo theo d(y, z) < ε.
Định lý 1.3.1. ([2], Theorem 2.5.2) (Nguyên lý biến phân BorweinPreiss) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và cho f : X →
R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Giả sử rằng ρ
là một hàm cỡ và (δi )∞

i=0 là một dãy số dương, và giả sử rằng ε > 0 và
z ∈ X thỏa mãn
f (z) ≤ inf f + ε.
X

Khi đó tồn tại y và một dãy {xi } ⊂ X sao cho
(i) ρ(z, y) ≤ ε/δ0 , ρ(xi , y) ≤ ε/(2i δ0 ),
(ii) f (y) +
(iii) f (x)+

∞
i=0 δi ρ(y, xi )
∞
i=0 δi ρ(x, xi )

≤ f (z), và
> f (y)+

∞
i=0 δi ρ(y, xi ),

với mọi x ∈ X\ {y}.

Chứng minh. Ta xác định các dãy (xi ) và (Si ) bằng cách quy nạp bắt
17


đầu với x0 := z và
S0 := x ∈ X| f (x) + δ0 ρ(x, x0 ) ≤ f (x0 ) .

(1.9)

Vì x0 ∈ S0 nên S0 = ∅. Hơn nữa nó là đóng bởi vì cả f và ρ(., x0 ) là các
hàm nửa liên tục dưới. Ta cũng có, với mọi x ∈ S0 ,
δ0 ρ(x, x0 ) ≤ f (x0 ) − f (x) ≤ f (z) − inf f ≤ ε.

(1.10)

X

Lấy x1 ∈ S0 sao cho
f (x1 ) + δ0 ρ(x1 , x0 ) ≤ inf [f (x) + δ0 ρ(x, x0 )] +
x∈S0

δ1 ε
2δ0

(1.11)

và định nghĩa tương tự
1

S1 :=

x ∈ S0 | f (x) +

δk ρ(x, xk ) ≤ f (x1 ) + δ0 ρ(x1 , x0 ) .

(1.12)

k=0

Tổng quát, giả sử ta đã xác định được xj , Sj với j = 0, 1, ..., i − 1 thỏa
mãn
j−1

j−1

δk ρ(xj , xk ) ≤ inf

f (xj ) +

x∈Sj−1

k=0

f (x) +

δk ρ(x, xk ) +
k=0

εδj
2j δ0

(1.13)

và
j

Sj :=

x ∈ Sj−1 |f (x) +

j−1

δk ρ(x, xk ) ≤ f (xj ) +
k=0

δk ρ(xj , xk ) .
k=0

(1.14)
Ta chọn xi ∈ Si−1 sao cho
i−1

i−1

δk ρ(xi , xk ) ≤ inf

f (xi ) +
k=0

x∈Si−1

f (x) +

δk ρ(x, xk ) +
k=0

18

εδi
2 i δ0

(1.15)


và ta định nghĩa
i−1

i

Si :=

δk ρ(x, xk ) ≤ f (xi ) +

x ∈ Si−1 | f (x) +

δk ρ(xi , xk ) .
k=0

k=0

(1.16)
Ta thấy rằng với mỗi i = 1, 2, ..., Si là tập đóng và khác rỗng. Từ (1.15)
và (1.16) suy ra, với mọi x ∈ Si ,
i−1

i−1

δk ρ(xi , xk ) − f (x) +

δi ρ(x, xi ) ≤ f (xi ) +

k=0

k=0
i−1

i−1

δk ρ(xi , xk ) − inf

≤ f (xi ) +

f (x) +

x∈Si−1

k=0

≤

δk ρ(x, xk )
δk ρ(x, xk )
k=0

εδi
,
2 i δ0

tức là
ρ(x, xi ) ≤

ε
, ∀x ∈ Si .
2 i δ0

(1.17)

Vì ρ là một hàm cỡ, bất đẳng thức (1.17) có nghĩa là d(x, xi ) → 0 đều
theo x, và do đó diam(Si ) → 0. Vì X là đầy đủ cho nên, theo định lý dãy
các tập đóng lồng nhau của Cantor tồn tại duy nhất một y ∈

∞
i=0 Si ,

thỏa mãn (i) bởi vì (1.10) và (1.17). Rõ ràng, ta có xi → y. Với x = y,
ta có x ∈
/

∞
i=0 Si ,

và do đó với j nào đó,
j

∞

δk ρ(x, xk ) ≥ f (x) +

f (x) +
k=0

δk ρ(x, xk )
k=0
j−1

> f (xj ) +

δk ρ(xj , xk ).
k=0

19

(1.18)