Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ ĐỊNH

PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ ĐỊNH

PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI, 2017


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã

định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành
luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2017
Tác giả

VŨ THỊ ĐỊNH


Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Stieltjes
và áp dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2017
Tác giả

VŨ THỊ ĐỊNH


Mục lục

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

Tích phân suy rộng với cận vô tận (Tích phân suy
rộng loại I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2

1.2

3

Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn (Tích
phân suy rộng loại II) . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3

3

8

Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng . . . . . . . 10

Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1

Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn . . . . 12

1.2.2

Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tận 13

1.2.3

Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị
chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3

Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4

Phép biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5

Hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1

Khái niệm hàm Bessel và một số mối quan hệ liên
quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
i


1.5.2

Một số tính chất cơ bản của hàm Bessel . . . . . . . 27

2 Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng

29

2.1

Khái niệm về phép biến đổi Stieltjes . . . . . . . . . . . . . 29

2.2

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Một số tính chất toán tử của phép biến đổi Stieltjes . . . . 32

2.4

Phép biến đổi Stieltjes ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5

Một số áp dụng của phép biến đổi Stieltjes . . . . . . . . . 41
2.5.1

Giải bài toán Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.2

Nghiệm của phương trình tích phân . . . . . . . . . 42

Kết luận

45

Phụ lục

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

50

ii


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài. Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử,
được hình thành từ những năm cuối thế kỉ XIX. Về mặt lịch sử, khái niệm
biến đổi tích phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về
lý thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi lượng giác của Fourier và

sau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier.
Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân này là cung cấp những
phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về phương
trình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân. Hai phép
biến đổi tích phân Fourier và Laplace được đánh giá rất quan trọng không
chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác. Đáng kể
hơn để nói về hai phép biến đổi này là các ứng dụng của nó trong việc giải
quyết các bài toán về phương trình vi phân xuất hiện trong xử lý về mạch
điện và màng rung trong môi trường chất lỏng. Xuất phát từ một số vấn
đề thuộc lĩnh vực thực tiễn trong vật lý, nhà toán học Stieltjes giới thiệu
một phép biến đổi tích phân để giải quyết những bài toán này.
Để hoàn thành luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, em chọn
đề tài nghiên cứu về “Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về

1


phép biến đổi Stieltjes và một số áp dụng của nó.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về khái niệm và
một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Stieltjes; phép biến đổi Stieltjes
ngược; mối quan hệ giữa phép biến đổi Stieltjes và một số phép biến đổi
tích phân khác như phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Laplace.
4. Phương pháp nghiên cứu. Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng
hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn.
5. Dự kiến đóng góp của đề tài. Trình bày một cách có hệ thống về
khái niệm cùng các tính chất cơ bản của phép biến đổi Stieltjes.
Trình bày một số áp dụng của phép biến đổi Stieltjes trong việc giải hai
bài toán xuất hiện từ các vấn đề trong lĩnh vực vật lý: Bài toán Moment;
Bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân

∞

f (t)
dt = f (x).
t+x

λ
0

2


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
(Kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [5])

1.1
1.1.1

Tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng với cận vô tận (Tích phân suy rộng
loại I)

Định nghĩa 1.1. Cho hàm f (x) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên
mọi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a. Biểu thức
+∞

b

f (x)dx = lim

f (x)dx

b→+∞

a

(1.1)

a

được gọi là tích phân suy rộng loại I của hàm f (x) trong khoảng [a, +∞).
+∞

f (x)dx được gọi

Nếu giới hạn (1.1) tồn tại và hữu hạn thì tích phân
a

là hội tụ. Nếu giới hạn (1.1) bằng ±∞ hoặc không tồn tại thì tích phân
+∞

f (x)dx được gọi là phân kỳ.
a

Tương tự, nếu hàm f (x) xác định trên (−∞, b] thì ta định nghĩa
b

b

f (x)dx = lim

f (x)dx.

a→−∞

−∞

a

3


Nếu f (x) xác định trên (−∞, +∞) thì ta định nghĩa
+∞

a

f (x)dx =
−∞

+∞

f (x)dx +
−∞

f (x)dx.
a

Trong định nghĩa cuối cùng, nếu tích phân tồn tại thì không phụ thuộc

việc chọn giá trị của cận a.
+∞

dx
; a > 0.
x2

Ví dụ 1.1.1. Tính tích phân suy rộng
a

Với mọi b > a ta có
b

dx
1 1
=
−
+ .
x2
b a
a

Do đó, tích phân trên có giá trị như sau
+∞

b

dx
= lim
x2 b→+∞

a

dx
1 1
= lim
−
2
b→+∞ a
x
b

1
= ; a > 0.
a

a

Các kết quả cơ bản nhất về tích phân này cũng như tích phân suy rộng
của hàm không bị chặn trong phần sau, chúng tôi xin chỉ giới thiệu mà
không đưa ra các chứng minh trực tiếp, cụ thể ta có thể tham khảo trong
tài liệu [1].
Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ). Giả sử f (x) là hàm số
xác định trên [a, +∞). Giả sử rằng f (x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn
+∞

[a, b] với b > a. Khi đó, tích phân

f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi
a

4


ε > 0 tồn tại b0 > a sao cho với mọi b , b > b0 ta có
b

f (x)dx < ε.
b

Định lý 1.2. Giả sử f (x) là hàm số xác định trên [a, +∞) và khả tích
+∞

trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a. Khi đó, tích phân

f (x)dx hội
a

+∞

f (x)dx với c > a cũng hội tụ và

tụ khi và chỉ khi tích phân
c
+∞

c

f (x)dx =
a

+∞

f (x)dx +
a

f (x)dx.
c
+∞

f (x)dx và

Định lý 1.3 (Tính chất tuyến tính). Giả sử các tích phân
a
+∞

+∞

(α.f (x) ± β.g(x)) dx; với α và β

g(x)dx hội tụ. Khi đó, tích phân
a

a

là các hằng số thực, cũng hội tụ và ta có
+∞

+∞

(α.f (x) ± β.g(x)) dx = α

a

+∞

f (x)dx ± β
a

g(x)dx.
a

Tích phân suy rộng loại I của hàm số không âm
Định lý 1.4. Cho các hàm f (x) > 0 và g(x) > 0; với mọi x ∈ [a, +∞).
Giả sử

f (x)
= k ∈ (0, +∞).
x→+∞ g(x)
lim

5


+∞

+∞

f (x)dx và

Khi đó, các tích phân
a

g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân
a

kỳ.
Định lý 1.5. Giả sử f (x) và g(x) là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu
hạn [a, b] sao cho

0 ≤ f (x) ≤ g(x); với mọi x ∈ [a, +∞).

Khi đó
+∞

(i) Nếu

+∞

g(x)dx hội tụ thì
a

f (x)dx hội tụ;
a
+∞

+∞

g(x)dx phân kỳ.

f (x)dx phân kỳ thì

(ii) Nếu

a

a

Một số dấu hiệu hội tụ
Định lý 1.6 (Dấu hiệu Abel). Cho các hàm f (x) và g(x) là các hàm xác
định và liên tục trên [a, +∞). Giả sử rằng
+∞

(i) Tích phân

f (x)dx hội tụ;
a

(ii) Hàm g(x) có đạo hàm liên tục trên [a, +∞) và đơn điệu bị chặn trong
khoảng đó, tức là tồn tại hằng số M > 0 sao cho

|g(x)| ≤ M ; với mọi x ∈ [a, +∞) .

6


+∞

f (x).g(x)dx hội tụ.

Khi đó, tích phân
a

Định lý 1.7 (Dấu hiệu Dirichlet). Cho các hàm số f (x) và g(x) là các
hàm xác định liên tục trên [a, +∞). Giả sử rằng

(i) Hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) bị chặn trên [a, +∞), tức là tồn
tại hằng số M > 0 sao cho
b

|F (b)| =

f (x)dx ≤ M, với mọi a ≤ b < +∞;
a

(ii) Hàm số g(x) có đạo hàm liên tục trên [a, +∞) và đơn điệu về 0 khi
x → +∞.
+∞

f (x).g(x)dx hội tụ.

Khi đó, tích phân
a

Tích phân hội tụ tuyệt đối
Định nghĩa 1.2. Cho hàm f (x) xác định trong khoảng [a, +∞). Khi đó,
ta giới thiệu hai khái niệm sau
+∞

+∞

|f (x)| dx hội tụ thì ta nói tích phân

(i) Nếu tích phân
a

f (x)dx hội
a

tụ tuyệt đối.
+∞

(ii) Nếu

+∞

|f (x)| dx phân kỳ thì tích

f (x)dx hội tụ nhưng tích phân
a

a
+∞

f (x)dx được gọi là bán hội tụ hay là hội tụ không tuyệt đối.

phân
a

7

1.1.2

Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

(Tích phân

suy rộng loại II)
Định nghĩa 1.3. Xét hàm số f (x) xác định trên [a, b) và không bị chặn
tại điểm b. Giả sử rằng hàm f (x) khả tích trong mọi đoạn [a, b − ε], với

ε > 0 đủ nhỏ. Giới hạn
b

b−ε

f (x)dx = lim

f (x)dx.

ε→0

a

(1.2)

a

được gọi là tích phân suy rộng loại II của hàm f (x) trên đoạn [a, b].
b

f (x)dx hội tụ. Nếu

Nếu giới hạn (1.2) tồn tại và hữu hạn thì tích phân
a

b

giới hạn (1.2) không tồn tại hoặc bằng ±∞ thì tích phân

f (x)dx phân
a

kỳ.
Tương tự nếu hàm f (x) xác định trong khoảng (a, b] không bị chặn tại
điểm a. Nếu hàm f (x) khả tích trong mọi đoạn [a + ε, b]; với ε > 0 đủ
nhỏ, thì giới hạn
b

b

f (x)dx = lim
a

ε→0
a+ε

f (x)dx

cũng được gọi là tích phân suy rộng loại II của hàm f (x) trên đoạn [a, b].
Nếu hàm f (x) không bị chặn tại c ∈ (a, b) thì ta định nghĩa tích phân suy

8


rộng của hàm này như sau
b

c

f (x)dx =
a

b

f (x)dx +
a

f (x)dx.
c

Định lý 1.8 (Tiêu chuẩn Cauchy [1]). Giả sử f (x) xác định trên (a, b]
không bị chặn trong lân cận của điểm a, nhưng khả tích trên mọi đoạn [c, b];
b

a < c ≤ b. Khi đó, tích phân

g(x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi số
a

ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi c , c ∈ R mà a < c ≤ c ≤ c + δ ≤ b

thì ta có
c

f (x)dx < ε.
c

Định lý 1.9. Giả sử các hàm f (x) và g(x) xác định trên (a, b], không bị
chặn tại điểm a và tồn tại giới hạn

f (x)
= k ∈ (0, +∞).
x→a+ g(x)
lim

b

b

f (x)dx và tích phân

Khi đó, tích phân
a

g(x)dx cùng hội tụ hoặc phân
a

kỳ.
Định lý 1.10. Giả sử các hàm f (x) và g(x) xác định trên (a, b], không bị
chặn tại a. Khi đó, nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x); với mọi x ∈ (a, b] thì
b

(i) từ sự hội tụ của tích phân
tụ;

b

g(x)dx kéo theo tích phân
a

f (x)dx hội
a

9


b

(ii) từ sự phân kỳ của tích phân

f (x)dx kéo theo sự phân kỳ của tích
a

b

g(x)dx.

phân
a

Định nghĩa 1.4. Cho f (x) xác định trên (a, b] không bị chặn tại a. Tích

b

b

|f (x)| dx hội tụ.

f (x)dx gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân

phân
a

a

Định lý 1.11. Cho f (x) xác định trên (a, b] không bị chặn tại a. Nếu tích
b

b

|f (x)| dx hội tụ thì tích phân

phân
a

1.1.3

f (x)dx hội tụ.
a

Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng

Giả sử hàm số f (x) khả tích trên mọi đoạn [a + ε, b] với 0 < ε < b − a và
không bị chặn tại lân cận điểm x = a. Khi đó
b

b

f (x)dx = lim

ε→0
a+ε

a

f (x)dx.

1
Thực hiện phép đổi biến x = a + , ta nhận được
y
1
ε

b

f a+

f (x)dx =
a+ε

1
b−a

1 dy
=
y y2

1
ε
ϕ(y)dy,
1
b−a

10


trong đó ϕ(y) =

1
1
f
a
+
. Cho ε → 0 ta được
y2
y
1
ε

b

a

f (x)dx = lim
ε→0

+∞

ϕ(y)dy =
1
b−a

ϕ(y)dy.
1
b−a

Đẳng thức trên biểu thị mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng loại I
và loại II.
1

dx
; với α là số thực cho trước
xα

Ví dụ 1.1.2. Xét sự hội tụ của tích phân
0

Trường hợp α = 1, thì ta có
1

1

dx
= lim
ε→0
x

dx
= lim(− ln ε) = +∞.
ε→0
x

0+ε

0

Trường hợp α = 1, thì
1

ε

dx
x1−α 1
1
ε1−α
=
−
.
=
xα
1−α
1−α 1−α

ε

Do đó
1

dx
1
=
;
xα
1−α

+ nếu α < 1 thì lim

ε→0
ε
1

dx
= +∞.
xα

+ nếu α > 1 thì lim

ε→0
ε

11

Như vậy, nếu α ≥ 1 thì tích phân phân kỳ và nếu α < 1 thì tích phân hội
tụ.

1.2
1.2.1

Tích phân phụ thuộc tham số
Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn

Định nghĩa 1.5. Cho hàm số hai biến số f (x, u) xác định trên hình chữ
nhật R = (x, u) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ u ≤ d sao cho với mỗi u ∈ [c, d]
cố định hàm x → f (x, u) khả tích trên đoạn [a, b]. Khi đó, tích phân
b

I(u) =

f (x, u)dx;

u ∈ [c, d]

(1.3)

a

là một hàm số xác định trên [c, d] và được gọi là tích phân phụ thuộc tham
số của hàm f (x, u) trên đoạn [a, b].
Định lý 1.12 (Tính khả vi). Giả sử hàm f (x, u) liên tục trên hình chữ
nhật R = [a, b] × [c, d]. Nếu với mỗi u ∈ [c, d] cố định hàm x → f (x, u)
liên tục trên [a, b] và đạo hàm riêng

∂f
(x, u) liên tục trong hình chữ nhật
∂u

R, thì tích phân phụ thuộc tham số
b

f (x, u)dx; u ∈ [c, d]

I(u) =
a

12


là hàm khả vi trên đoạn [c, d] và
b

∂f
(x, u)dx.
∂u

I (u) =
a

Định lý 1.13 (Tính liên tục). Nếu hàm f (x, u) liên tục trên hình chữ
nhật R = [a, b] × [c, d] thì tích phân phụ thuộc tham số
b

I(u) =

f (x, u)dx
a

là hàm liên tục trên đoạn [c, d].
Định lý 1.14 (Tính khả tích). Nếu hàm f (x, u) liên tục trên hình chữ
b

nhật D = [a, b] × [c, d], thì hàm I(u) =

f (x, u)dx khả tích trên [c, d] và
a

ta có công thức
d

d

I(u)du =
c

1.2.2

b



f (x, u)dx du =



c

d



a

b

du
c

f (x, u)dx.
a

Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tận

Định nghĩa 1.6. Cho hàm f (x, u) xác định trên tập hợp

R = {(x, u) : a ≤ x < +∞, c ≤ u ≤ d} .

13


Giả sử, với mỗi u ∈ [c, d] hàm x → f (x, u) khả tích suy rộng trong khoảng

[a, +∞). Khi đó, tích phân
+∞

I(u) =

f (x, u)dx

(1.4)

a

là một hàm xác định trên [c, d] và được gọi là tích phân suy rộng phụ
thuộc tham số của hàm f (x, u).
Tích phân trên hội tụ theo nghĩa: với mọi ε > 0 tồn tại b0 = b0 (ε, u) ≥ a
sao cho với mọi b > b0 ta có
b

f (x, u)dx − I(u) < ε.
a

Tích phân (1.4) được gọi là hội tụ đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại b0 =

b0 (ε) ≥ a sao cho với mọi b > b0 ta có
b

f (x, u)dx − I(u) < ε; với mọi u ∈ [c, d]
a
+∞

Định lý 1.15. Tích phân I(u) =

f (x, u)dx hội tụ đều trên [c, d] khi
a

và chỉ khi
+∞

lim sup

b→+∞ u∈[c,d]

f (x, u)dx = 0.
b

Định lý 1.16 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của tích phân). Cho
hàm f (x, u) xác định trên tập hợp R = {(x, u) : a ≤ x < +∞, c ≤ u ≤ d} .
14


Giả sử, với mỗi u ∈ [c, d] hàm f (x, u) khả tích trên mọi đoạn [a, b] với

b > a. Khi đó, tích phân
+∞

I(u) =

f (x, u)dx,
a

hội tụ đều trên [c, d] khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại b0 ≥ a sao cho
với mọi b ≥ b ≥ b0 ta có
b

f (x, u)dx < ε; với mọi u ∈ [c, d].
b

1.2.3

Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị
chặn

Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm f (x, u) xác định trên tập hợp R = (a, b] ×

[c, d] và hàm x → f (x, u) không bị chặn tại a. Nếu tồn tại giới hạn
b

I(u) = lim

δ→0
a+δ

f (x, u)dx,

(1.5)

thì giới hạn đó là một hàm số theo biến u ∈ [c, d] và gọi là tích phân phụ
thuộc tham số của hàm không bị chặn và ký hiệu là
b

I(u) =

f (x, u)dx.
a

15


b

Tích phân I(u) =

f (x, u)dx được gọi là hội tụ đều trên [c, d] nếu với
a

mỗi ε > 0 tồn tại δ0 > 0 sao cho a + δ0 < b và
a+δ

f (x, u)dx < ε; với mọi 0 < δ ≤ δ0 và mọi u ∈ [c, d].
a

Định lý 1.17. Giả sử hàm f (x, u) liên tục trên tập hợp R = [a, +∞) ×

[c, d] và tích phân
+∞

f (x, u)dx,

I(u) =
a

hội tụ đều trên [c, d] thì hàm số I(u) liên tục trên [c, d].
Định lý 1.18. Giả sử hàm f (x, u) liên tục trên tập hợp R = [a, +∞) ×

[c, d] và tích phân
+∞

I(u) =

f (x, u)dx,
a

hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó, ta có
d

+∞

I(u)du =
c

d

dx
a

f (x, u)du;
c

tức là
d

+∞

du

c

+∞

f (x, u)du =
a

d

dx
a

f (x, u)du.
c

Để trình bày được về phép biến đổi Stieltjes, chúng ta cần thêm một số
phép biến đổi sau và hàm Bessel liên quan đến phép biến đổi này.
16


1.3

Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.8 (Phép biến đổi Laplace). Giả sử f là hàm biến thực của
biến t > 0 và s là tham số thực hoặc phức. Biến đổi Laplace của hàm f
được xác định và ký hiệu bởi

F (s) = L (f (t))
∞

e−st f (t)dt

=
0

τ

e−st f (t)dt.

= lim

τ →∞

(1.6)

0

Biến đổi Laplace của hàm f (t) tồn tại nếu tích phân (1.6) hội tụ trong
một miền nào đó của trục thực hoặc miền nào đó trong mặt phẳng phức.
Trường hợp tích phân trên phân kỳ thì ta nói không tồn tại biến đổi
Laplace của hàm f .
Ký hiệu L (f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f và tích phân
trên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận. Hàm F (s) được
gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace của hàm f (t). Phép biến đổi Laplace
được goị là thực hay phức nếu biến s là thực hay phức.
Tham số s thuộc miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt
phẳng phức. Chúng ta sẽ chọn s thích hợp sao cho tích phân (1.6) hội tụ.
Khi biến s là phức ta thường sử dụng ký hiệu s = x + iy . Ký hiệu L là

17


biến đổi Laplace, nó có tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra một hàm
mới theo biến s là hàm F (s) = L (f (t)).
Một số ví dụ
Ví dụ 1.3.1. Cho hàm

f (t) =





t

khi 0 ≤ t ≤ 1




1

khi t > 1

Từ định nghĩa của phép biến đổi Laplace, ta có
∞

L (f (t)) =

e−st f (t)dt
0

te−st
=
−s
=

1

1

1
+
s
0

−st

e

e−st
dt + lim
τ →∞ −s

0

τ
1

1 − e−s
; (Re(s) > 0) .
s2

Một số kết quả căn bản về biến đổi Laplace. Trong trường hợp tổng
quát, ta không thể thu được biến đổi Laplace của một chuỗi vô hạn bằng
việc lấy biến đổi Laplace từng số hạng của chuỗi. Tuy nhiên ta có kết quả
sau
∞

an tn hội tụ với mọi t ≥ 0 và

Định lý 1.19. Giả sử chuỗi hàm f (t) =
n=0

Kαn
|an | ≤
,
n!
18


với mọi n đủ lớn và α > 0, K > 0. Khi đó, ta có
∞

L (f (t)) =

an L (t ) =
n=0

1.4

∞
n

an
n=0

n!
sn+1

; với Re(s) > α.

Phép biến đổi Mellin

Định nghĩa 1.9. Cho f (t) là một hàm xác định trên trục thực dương

0 < t < +∞. Biến đổi Mellin M là phép ánh xạ hàm f (t) thành hàm
F (s) xác định trên mặt phẳng phức bởi công thức
+∞

M [f ; s] ≡ F (s) =

ts−1 f (t)dt.
0

Hàm F (s) được gọi là biến đổi Mellin của hàm f (t). Nói chung, tích phân
chỉ tồn tại với các giá trị của biến phức s = a + ib thoả mãn a1 < a < a2 ,
trong đó a1 và a2 là những số phụ thuộc vào hàm f (t). Điều kiện này được
gọi là dải xác định (hay dải chỉnh hình) của biến đổi Mellin và được kí

hiệu là S(a1 , a2 ).
Trong một số trường hợp, dải này có thể mở rộng đến nửa mặt phẳng

(a1 = −∞ hoặc a2 = +∞) hoặc toàn bộ mặt phẳng phức (s) (a1 = −∞
và a2 = +∞).
Một số ví dụ

19