Phương trình sai phân Riccati và một số ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————o0o——————————

PHẠM THỊ NINH

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN RICCATI VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Khải

HÀ NỘI, 2017


Lời cảm ơn
Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôi
đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Để có được kết quả
này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất đến
thầy tôi, TS Nguyễn Văn Khải, người đã định hướng nghiên cứu cho tôi
trong suốt thời gian thực hiện luận văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo
trong bộ môn Toán Giải tích nói riêng và khoa Toán, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 nói chung. Cám ơn Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn
Trãi Thái Bình đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.

Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn
thân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi
để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình.
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả

Phạm Thị Ninh

1


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả

Phạm Thị Ninh

2

Mục lục
Lời mở đầu

5

1

7
7
8
8

2

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số .
1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương
trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số .
1.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương
trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số hằng số .
1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương
trình sai phân tuyến tính cấp k không thuần nhất .
Phương trình sai phân Riccati và một số

toán sơ cấp
2.1 Phương trình sai phân Riccati . . . . . .
2.1.1 Một số khái niệm chung . . . . . .
2.1.2 Phương trình Riccati . . . . . . .
2.2 Ứng dụng trong toán sơ cấp . . . . . . .
2.2.1 Hệ phương trình sai phân dạng .
2.2.2 Phương trình sai phân dạng . . .

3

9
11
11
13
16
16
18

ứng dụng trong
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

22

22
22
23
40
40
45


Kết luận

67

Tài liệu tham khảo

67

4


Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của khoa học kĩ thuật, sinh thái, môi trường... dẫn đến
bài toán phương trình sai phân. Trong quá trình nghiên cứu các phương
pháp số giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình vi phân
đạo hàm riêng cũng dẫn đến bài toán phương trình sai phân.
Chính vì vậy phương trình sai phân là một nội dung quan trọng của
giải tích toán học và có nhiều ứng dụng rộng rãi. Với mong muốn được tìm
hiểu sâu thêm về phương trình sai phân và ứng dụng của nó trong toán sơ
cấp, tôi đã chọn đề tài: "Phương trình sai phân Riccati và một số ứng dụng
trong toán sơ cấp". Phần lý thuyết về phương trình Riccati được dựa trên

cuốn chuyên khảo Dynamics of second order rational difference equation
with open Problems and conjectures của M.R.S Kulonovic và G.Ladas.
Chapman and Hall/CRC.

2. Mục đích và nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất cơ bản của phương trình sai phân Riccati và
nêu được ứng dụng trong toán sơ cấp.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phương trình sai phân nói chung, đặc biệt chú ý đến
phương trình Riccati.
Nghiên cứu một số ứng dụng của phương trình này trong toán sơ cấp.

5


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu : Phương trình sai phân Riccati.
Phạm vi nghiên cứu : Phương trình sai phân, một số ứng dụng trong
toán sơ cấp.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích để tiếp cận vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến vấn đề mà luận
văn đề cập tới.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Luận văn là một tài liệu bước đầu về phương trình sai phân Riccati và
một số ứng dụng trong toán sơ cấp.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Sai phân

Định nghĩa 1 Dãy số là một hàm số đối số nguyên, nói cách khác, dãy
số x là một hàm số x: Z → R, ta ký hiệu x(n) = xn (cũng có thể thay Z
bởi N hoặc tập con nào đó của Z).
Định nghĩa 2 Ta gọi sai phân cấp 1 của xn là ∆xn xác định

∆xn = xn+1 − xn .
Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1 của xn :
quy nạp sai phân cấp k của hàm số x(n) là sai phân của sai phân cấp
(k − 1) của hàm số x(n)(với k ≥ 2)

∆k xn = ∆(∆k−1 xn ).
Tính chất 1.1.1 Sai phân mọi cấp đều được biểu diễn qua các giá trị của
hàm số
k

k

(−1)i Cki xn+k−i .

∆ xn =
i=0

Tính chất 1.1.2 Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính:

∆k (αxn + βyn ) = α∆k xn + β∆k yn
với α, β là các số thực tùy ý.

7


Tính chất 1.1.3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m của n bằng:
a) Hằng số nếu k = m.
b) 0 nếu k > m.
c) Đa thức bậc (m − k) nếu k < m.

1.2
1.2.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ
số hằng số
Khái niệm

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là biểu thức
tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn = x(n) tại các điểm khác nhau có
dạng:
axn+1 + bxn = fn , a = 0, b = 0
hoặc

xn+1 = qxn + fn ,

q = 0.

(1.1)

Nếu a, b, q là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp
một với hệ số hằng số. Nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta có phương trình sai
phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên.
fn là một hàm đã biết của n, gọi là vế phải; hàm xn phải tìm là ẩn.
Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

axn+1 + bxn = 0
xn+1 = qxn .

hoặc
(1.2)

Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.
Định nghĩa 1.2.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.1) được gọi là
nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.1).
Hàm số x
˜n = x˜(n) phụ thuộc 1 tham số thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm
tổng quát của (1.1) nếu với mỗi x0 ban đầu đều xác định được duy nhất
c1 để x˜n là một nghiệm riêng của (1.1), nghĩa là vừa thỏa mãn (1.1) vừa
thỏa mãn x
˜ 0 = x0 .
Nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng:

xn = x˜n + x∗n ,
8

trong đó x
˜n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính
b
thuần nhất (1.2) có dạng x
˜n = Cλn với λ = − , hoặc λ = q, còn x∗n
a
là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất (1.1).

1.2.2

Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương
trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất

Phương pháp chọn(phương pháp hệ số bất định)
a) Nếu fn là đa thức bậc m của n: fn = Pm (n):
1. λ = 1 thì x∗n tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m với fn
x∗n = Qm (n); Qm (n) là đa thức bậc m của n.
2. λ = 1 thì tìm x∗n = nQm (n); trong đó Qm (n) là đa thức bậc m của n.
b) Nếu fn = Pm (n)β n (β = 0), với Pm (n) là đa thức bậc m của n thì x∗n
sẽ tìm dưới dạng:
1.x∗n = Qm (n)β n , nếu λ = β.
2.x∗n = nQm (n)β n , nếu λ = β, trong đó Qm (n) là đa thức bậc m của n.
c) Nếu fn = αsinnx + βcosnx, α2 + β 2 = 0, x = kπ, k ∈ Z thì tìm
x∗n = Asinnx + Bcosnx.
s

d) Nếu fn =

s

fnk , thì tìm nghiệm riêng
k=1

x∗n

x∗nk , với x∗nk tương ứng

=
k=1

là nghiệm riêng của fnk , k = 1, 2, ..., s.
Ví dụ 1.2.1. Tìm nghiệm của phương trình sai phân:

xn+1 = 26xn − 494.7n − 2475n + 99, x0 = 26.
Giải. Ta có xn = x
˜n + x∗n trong đó x˜n là nghiệm tổng quát của phương
trình sai phân tuyến tính thuần nhất xn+1 − 26xn = 0, x
˜n = c.26n , x∗n là
nghiệm riêng của phương trình ban đầu và x∗n = x∗n1 + x∗n2 .
Tìm x∗n1 = a7n . Thay vào phương trình xn+1 = 26xn − 494.7n ta được

a.7n+1 − 26.7n = −494.7n , a = 26.
Vậy x∗n1 = 26.7n .
Tìm x∗n2 = an + b. Thay vào phương trình xn+1 = 26xn − 2475n + 99 ta
9


được a = 99, b = 0.
Vậy x∗n2 = 99n.

Từ kết quả trên ta được x∗n = 26.7n + 99n.
Suy ra xn = c.26n + 26.7n + 99n với x0 = 26 ta được c = 0.
Vậy xn = 26.7n + 99n.
Ví dụ 1.2.2. Tìm nghiệm của phương trình sai phân:

1
1
nπ
xn+1 = √ xn + √ cos , x0 = 1.
4
2
2
1
nπ
nπ
nπ
Giải. Do fn = √ cos
nên x∗n = Acos
+ Bsin
thay vào phương
4
4
4
2
trình ban đầu ta được
π
π
1
nπ
1

nπ
nπ
Acos(n + 1) + Bsin(n + 1) = √ Acos
+ Bsin
+ √ cos
4
4
4
4
4
2
2
1
nπ
1
nπ
1
nπ
1
nπ
⇔ √ Acos
− √ Asin
+ √ Bsin
+ √ Bcos
4
4
4
4
2
2

2
2
1
1
1
nπ
nπ
nπ
+ √ Bsin
+ √ cos
= √ Acos
4
4
4
2
2
2
nπ
nπ
nπ
⇔ −Asin
+ Bcos
= cos .
4
4
4
nπ
Đồng nhất hệ số 2 vế ta được: A = 0, B = 1 và x∗n = sin .
4
1 n

nπ
1 n
Nghiệm x
˜n = C( √ ) ⇒ xn = C( √ ) + sin ; x0 = 1 = C + 0
4
2
2
1
nπ
⇒ C = −1; xn = −( √ )n + sin .
4
2
Phương pháp biến thiên hằng số
Xét phương trình

axn+1 + bxn = fn .
b
Phương trình này có nghiệm x
˜n = Cλn với λ = − . Để tìm nghiệm
a
riêng, ta xem C biến thiên theo n, có nghĩa là C là một hàm của n và tìm
x∗n = Cn λn . Thay vào phương trình sai phân, ta được
aCn+1 λn+1 + bCn λn = fn
b
⇔ aCn+1 λn (− ) + bCn λn = fn
a
10


⇔ −bλn [Cn+1 − Cn ] = −bλn ∆Cn = fn

fn
⇔ ∆Cn = − n .
bλ
Lấy tổng 2 vế theo k từ 0 đến n − 1, ta được
1
Cn = C0 −
b

n−1

k=0

fk
.
λk

Vậy

x∗n

1
= C0 −
b

n−1

k=0

fk n
λ .

λk

Ví dụ 1.2.3. Tìm nghiệm của phương trình sai phân:

xn+1 = 2xn + 6.2n+1 , x0 = 1.
Giải.
Ta có x
˜n = C2n ⇒ x∗n = Cn 2n . Thay vào phương trình ban đầu ta được
Cn+1 2n+1 = Cn 2n+1 + 6.2n ⇒ ∆Cn = 6 = ∆6n ⇒ Cn = 6n và x∗n = 6n2n ,
xn = C2n + 6n2n , x0 = 1 = C ⇒ xn = 2n + 6n.2n = 2n (1 + 6n).

1.3
1.3.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ
số hằng số
Khái niệm

Định nghĩa 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là biểu thức
tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn = x(n) tại các điểm khác nhau
dạng:
axn+2 + bxn+1 + cxn = fn , a = 0, c = 0
hoặc

xn+2 = pxn+1 + qxn + fn ,

q = 0,

(1.3)

trong đó xn là hàm của đối số nguyên n phải tìm là ẩn; fn là một hàm của
n đã biết, gọi là vế phải.
Nếu a, b, c; p, q là các hằng số, thì (1.3) gọi là phương trình sai phân tuyến
11


tính cấp hai với hệ số hằng số. Nếu a, b, c; p, q là các hàm số của n thì (1.3)
gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.
Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai
tương ứng với (1.3):

axn+2 + bxn+1 + cxn = 0
hay

xn+2 = pxn+1 + qxn .

(1.4)

Nếu fn ≡ 0, thì (1.3) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
không thuần nhất.
Định nghĩa 1.3.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.3) được gọi là
nghiệm của phương trình sai phân (1.3).
Hàm số x
˜n = x˜(n) phụ thuộc 2 tham số thỏa mãn (1.3) được gọi là nghiệm
tổng quát của (1.3) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0 , x1 xác định được
duy nhất các tham số c1 , c2 để x
˜n là một nghiệm riêng của (1.3) nghĩa là
vừa thỏa mãn (1.3) vừa thỏa mãn x
˜0 = x0 , x˜1 = x1 .
Nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng

xn = x˜n + x∗n ,
trong đó x
˜n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất (1.4) và x∗n là một nghiệm riêng tùy bất kỳ của (1.3).
Công thức nghiệm tổng quát x
˜n của phương trình thuần nhất.
Định lý 1.3.1 1. Nếu phương trình đặc trưng

aλ2 + bλ + c = 0
có 2 nghiệm thực khác nhau λ1 = λ2 thì

x˜n = Aλn1 + Bλn2 ,
trong đó A, B là hai hằng số tùy ý.
2. Nếu (1.4) có nghiệm thực kép λ1 = λ2 = λ thì

x˜n = (A + Bn)λn ,
12

(1.5)


trong đó A, B là các hằng số bất kỳ.
3. Nếu (1.4) có nghiệm phức λ = x + iy = r(cosϕ + isinϕ), với i2 = −1,
y
r = |λ| = x2 + y 2 ; ϕ = arctg thì (1.4) có nghiệm phức liên hợp
x
λ = x − iy = r(cosϕ − isinϕ), với i, r, ϕ đã nói trên.
Khi đó nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng

x˜n = rn (Acosnϕ + Bsinnϕ),
trong đó A, B là các hằng số tùy ý.
Ví dụ 1.3.1. Giải phương trình sai phân:

xn+2 = 5xn+1 − 6xn , x0 = 3, x1 = 9.
Giải. Phương trình đặc trưng

λ2 − 5λ + 6 = 0
có 2 nghiệm thực phân biệt λ1 = 2, λ2 = 3 ⇒ x
˜n = xn = A.2n + B.3n .
Với x0 = 3 = A + B, x1 = 2A + 3B = 9 ⇒ A = 0, B = 3 ⇒ xn = 3n+1 .
Ví dụ 1.3.2. Giải phương trình sai phân:

xn+2 − 4xn+1 + 4xn = 0, x0 = 2, x1 = 8.
Giải. Phương trình đặc trưng

λ2 − 4λ + 4 = 0
có nghiệm kép λ1 = λ2 = 2 ⇒ x
˜n = xn = (A + nB).2n .
Với x0 = 2 = A, x1 = 2(A + B) = 8 ⇒ A = 2, B = 2
⇒ xn = (2 + 2n).2n .

1.3.2

Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương
trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Phương pháp chọn(phương pháp hệ số bất định)
1. Nếu fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk (n):
Nếu (1.5) không có nghiệm λ = 1 thì x∗n = Qk (n).

13


Nếu (1.5) có nghiệm đơn λ = 1 thì x∗n = nQk (n).
Nếu (1.5) có nghiệm kép λ = 1 thì tìm x∗n = n2 Qk (n); trong đó Qk (n) là
đa thức bậc k của n.
2. Nếu fn = Pk (n)β n là đa thức bậc k của n.
Nếu (1.5) không có nghiệm λ = β thì x∗n = Qk (n)β n .
Nếu (1.5) có nghiệm đơn λ = β thì x∗n = nQk (n)β n .
Nếu (1.5) có nghiệm kép λ = β thì x∗n = n2 Qk (n)β n , trong đó Qk (n) là
đa thức bậc k của n.
3. Nếu fn = Pm (n)cosβn + Ql (n)sinβn trong đó Pm (n), Ql (n) là các đa
thức bậc m, l của n. Ký hiệu k = max{m, l}.
Nếu α = cosβ ± isinβ , với i2 = −1, không là nghiệm của phương trình
đặc trưng (1.5) thì x∗n dưới dạng

x∗n = Tk (n)cosβn + Rk (n)sinβn
trong đó Tk (n) và Rk (n) là các đa thức bậc k của n.
Nếu α = cosβ ± isinβ , với i2 = −1, là nghiệm của phương trình đặc trưng
(1.5) thì tìm x∗n dưới dạng

x∗n = nTk (n)cosβn + nRk (n)sinβn
trong đó Tk (n) và Rk (n) là các đa thức bậc k của n.
Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình sai phân:

xn+2 − 7xn+1 + 12xn = 0, x0 = 2, x1 = 7.
Giải. Phương trình đặc trưng

λ2 − 7λ + 12 = 0
có 2 nghiệm thực phân biệt

λ1 = 3, λ2 = 4 ⇒ x˜n = xn = A.3n + B.4n , x∗n = an2 + bn + c.
Thay x∗n vào phương trình sai phân ban đầu ta được:
[a(n + 2)2 + b(n + 2) + c] − 7[a(n + 1)2 + b(n + 1) + c] + 12[an2 + bn + c] = 0.
So sánh hệ số của n2 , n và hệ số tự do ở 2 vế ta được: a = b = c = 0.
14


˜n + x∗n = A.3n + B.4n + 0.
Vậy x∗n = 0 và xn = x
Với x0 = 2 = A + B, x1 = 3A + 4B = 7 ⇒ A = 1, B = 1
⇒ xn = 3n + 4n .
Ví dụ 1.3.4. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân

xn+2 − 4xn+1 + 4xn = 2(n+3) .
Giải. Phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 4 = 0 có nghiệm kép
λ = 2 = β ⇒ x∗n = n2 .a.2n .
Thay x∗n vào phương trình sai phân và ước lượng cho 2n+2 , ta được:

(n + 2)2 .a − 2(n + 1)2 a + n2 a = 2.
Cho n = −1 ⇒ a = 1 ⇒ x∗n = n2 .2n .
Ví dụ 1.3.5. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân

xn+2 − 4xn+1 + 3xn = 6(n + 1)cos

nπ
nπ
+ (2n + 9)sin .
2
2

Giải. Phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 3 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt
nπ
nπ
λ1 = 1, λ2 = 3 ⇒ x∗n = (an + b)cos
+ (cn + d)sin .
2
2
Thay x∗n vào phương trình sai phân và chú ý

π
nπ
nπ
= cos(
+ π) = −cos
2
2
2
π
nπ
nπ
sin(n + 2) = sin(
+ π) = −sin
2
2
2
nπ π
nπ
π
cos(n + 1) = cos(

+ ) = −sin
2
2
2
2
π
nπ π
nπ
sin(n + 1) = sin(
+ ) = cos
2
2
2
2
cos(n + 2)

ta được:
nπ
nπ
nπ
−[a(n + 2) + b]cos
− [c(n + 2) + d]sin
+ 4[a(n + 1) + b]sin
2nπ
2
nπ 2
nπ
−4[c(n + 1) + d]cos
+ 3[an + b]cos 2[cn + d]sin
2

2
2
nπ
nπ
= 6(n + 1)cos
+ (2n + 9)sin .
2
2
15


nπ
nπ
So sánh hệ số của cos
và sin
ở 2 vế, ta được:
2
2

−[a(n + 2) + b] − 4[c(n + 1) + d] + 3[an + b] = 6(n + 1)
−[c(n + 2) + d] + 4[a(n + 1) + b] + 3[cn + d] = 2n + 9.
So sánh hệ số của n và hệ số tự do ở 2 vế, ta được:

2a − 4c = 6;

− 2a + 2b − 4c − 4d = 6

4a + 2c = 2;

4a + 4b − 2c + 2d = 12.

Giải hệ này ta được a = 1, b = 1, c = −1, d = −1.
nπ
nπ
Vậy x∗n = (n + 1)cos
− (n + 1)sin .
2
2

1.4
1.4.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ
số hằng số
Khái niệm

Định nghĩa 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k là một biểu
thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn = x(n) có dạng:

a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = fn ,

a0 = 0, ak = 0.

(1.6)

trong đó xn là hàm phải tìm là ẩn, fn là một hàm đã biết của n, gọi là
vế phải.
Nếu a0 , a1 , ..., ak là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến
tính cấp k với hệ số hằng số.
Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k

tương ứng với (1.6).
Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k tương ứng với (1.6)
có dạng:

a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = 0,

a0 = 0, ak = 0.

(1.7)

Nếu fn ≡ 0, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất cấp k .
16


Định nghĩa 1.4.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.6) được gọi là
nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.6).
Hàm số x
˜n = x˜(n) phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.7) được gọi là nghiệm
tổng quát của (1.7) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0 , ..., xk−1 đều xác
định được duy nhất các tham số c1 , ..., ck để x
˜n là một nghiệm riêng của
(1.7) nghĩa là vừa thỏa mãn (1.7) vừa thỏa mãn

x˜0 = x0 , x˜1 = x1 , ..., x˜k−1 = xk−1 .
Nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng

xn = x˜n + x∗n ,
trong đó x
˜n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính

thuần nhất (1.7) và x∗n là một nghiệm riêng tùy kỳ của (1.6).
Để tìm x
˜n = x˜(n) là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến
tính thuần nhất (1.7) ta xét phương trình đại số bậc k sau:

a0 λk + a1 λk−1 + ... + ak = 0

(1.8)

Phương trình (1.8) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.7) và (1.6).
Nghiệm x
˜n , x∗n phụ thuộc chặt chẽ vào cấu trúc nghiệm của (1.8).
Nghiệm tổng quát x
˜n của phương trình thuần nhất:
Định lý 1.4.1 1. Nếu (1.8) có k nghiệm thực phân biệt λ1 , ..., λk thì
nghiệm tổng quát x
˜n của (1.7) có dạng:

x˜n = c1 λn1 + ... + ck λnk .
2. Nếu (1.8) có λj bội s, các λi nghiệm đơn thì nghiệm tổng quát x
˜n của
(1.7) có dạng:
s−1

cij ni λnj +

x˜n =
j=1

ci λni .

i=j

3. Nếu (1.8) có nghiệm phức λj = r(cosϕ + isinϕ) thì nghiệm tổng quát
x˜n của (1.7) có dạng:

ci λni + rn (c1j cosnϕ + c2j sinnϕ).

x˜n =
i=j

17


4. Nếu (1.8) có nghiệm phức λj bội s thì nghiệm tổng quát x
˜n của (1.7)
có dạng:

ci λni + rn [(A1 + ... + As .ns−1 )cosnϕ + (B1 + ... + Bs .ns−1 )sinnϕ)].

x˜n =
i=j

1.4.2

Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương
trình sai phân tuyến tính cấp k không thuần nhất

Phương pháp chọn
a) Nếu fn là đa thức bậc m của n: fn = Pm (n) :
1. Nếu các nghiệm của phương trình (1.8) λ1 , λ2 , ..., λk là các số thực khác

1 thì x∗n có dạng
x∗n = Qm (n) với Qm (n) là đa thức bậc m của n.
2. Nếu phương trình (1.8) có nghiệm λ = 1 bội s thì x∗n có dạng
x∗n = ns Qm (n), m ∈ N; trong đó Qm (n) là đa thức bậc m của n.
b) Nếu fn = Pm (n)β n (β = 0), Pm (n) là đa thức bậc m của n:
1. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.8) đều là các số thực
khác β , thì x∗n có dạng x∗n = Qm (n)β n , với Qm (n) là đa thức bậc m.
2. Nếu phương trình (1.8) có nghiệm λ = β bội s và các nghiệm còn lại
thực phân biệt thì x∗n có dạng x∗n = ns Qm (n)β n , với Qm (n) là đa thức bậc
m.
c) Nếu fn = αsinnx + βcosnx, α2 + β 2 = 0, x = kπ, k ∈ Z thì x∗n có dạng
x∗n = Asinnx + Bcosnx.
s

s

fnk , thì tìm nghiệm riêng

d) Nếu fn =

x∗n

x∗nk , với x∗nk tương ứng

=

k=1

k=1

là nghiệm riêng của fnk , k = 1, 2, ..., s.
Ví dụ 1.4.1. Giải phương trình sai phân sau:

xn+3 − 3xn+2 − 4xn+1 − 12xn = n + 1.
Giải. Phương trình đặc trưng λ3 − 3λ2 − 4λ + 12 = 0 có nghiệm λ = ±2,
λ = 3 đều khác 1.
Do vậy, ta tìm x∗n ở dạng x∗n = an + b, thay x∗n = an + b vào phương trình
18


sai phân và so sánh các hệ số của các lũy thừa của n ở 2 vế:

a(n + 3) + b − 3[a(n + 2) + b] − 4[a(n + 1) + b] + 12(an + b) = n + 1
ta được:

6a
=1
−7a + 6b = 1

⇒




a=



1
6




 b = 13 .
36

Vậy

1
13
x∗n = n + .
6
36
Ví dụ 1.4.2. Giải phương trình sai phân sau:

xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 2n (24 − 24n).
Giải. Phương trình đặc trưng

λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = 0
có nghiệm λ1 = 2(bội 2), λ2 = 3; Pm (n) = 24 − 24n; β = 2 nên ta tìm
x∗n = n2 (an + b)2n .
Thay x∗n = n2 (an + b)2n vào phương trình sai phân và giản ước cho 2n
ta được:
8[a(n + 3) + b](n + 3)2 − 28[a(n + 2) + b](n + 2)2
+32[a(n + 1) + b](n + 1)2 − 12(an + b)n2 = 24 − 24n.
Sau khi biến đổi vế trái thành đa thức đối với n, đồng nhất hệ số các lũy
thừa của n ở hai vế ta được:

−24a = −24

24a − 8b = 24

⇒

a= 1
b = 0.

Vậy

x∗n = n3 .2n .
Ví dụ 1.4.3. Giải phương trình sai phân sau:

√
3
nπ
5
3
nπ
cos .
xn+3 −6xn+2 +11xn+1 −6xn = 4(n−1)−2n+1 +2.3n+1 + sin +
2
3
2
3
19


Giải. Phương trình đặc trưng λ3 − 6λ2 + 11λ − 6 = 0 có các nghiệm là
λ1 = 1, λ2 = 2; λ3 = 3.
Vế phải:

√
3
nπ
5
nπ
3
fn = 4(n−1)−2n+1 +2.3n+1 + sin +
cos
= fn1 +fn2 +fn3 +fn4 .
2
3
2
3
Với fn1 = 4(n − 1) thì nghiệm riêng tương ứng có dạng x∗n1 = n(an + b),
thay vào phương trình sai phân và đồng nhất hệ số các lũy thừa của n ở
2 vế ta được:

4a − 12b = 4
−4a + 2b = −4

⇒

a= 1
b = 0.

Vậy

x∗n1 = n2 .
Với fn2 = −2.2n thì nghiệm riêng tương ứng có dạng x∗n1 = a.n.2n , thay
vào phương trình sai phân ta được:

a(n + 3)2n+3 + 6a(n + 2)2n+2 + 11a(n + 1)2n+1 − 6an2n = −2.2n .
Chọn n = 0 ⇒ a = 1.
Vậy
x∗n2 = n.2n .
Với fn3 = 6.3n thì nghiệm riêng tương ứng có dạng x∗n1 = a.n.3n , thay
vào phương trình sai phân ta được:
a(n + 3)3n+3 + 6a(n + 2)3n+2 + 11a(n + 1)3n+1 − 6an3n = 6.3n .
Chọn n = 0 ⇒ a = 1.
Vậy
x∗n3 = n.2n .
√
3
nπ 5 3
nπ
Với fn4 = sin
+
cos
thì nghiệm riêng tương ứng có dạng
2
3
2
3
nπ
nπ
x∗n1 = acos
+ bsin , thay vào phương trình sai phân ta được:
3
3

(n + 3)pi

(n + 2)π
(n + 3)π
(n + 2)π
+ bsin
− 6 acos
+ bsin
3
3
3
3
(n + 1)π
(n + 1)π
nπ
nπ
+11 acos
+ bsin
− 6(acos
+ bsin )
3
3
3
3

acos

20


√
nπ 5 3

nπ
3
+
cos .
= sin
2
3
2
3
Chọn n = 0; n = 1 ⇒ a = 0, b = 1.
Vậy
nπ
x∗n4 = sin .
3
Vậy nghiệm riêng ứng với fn là
x∗n = x∗n1 + x∗n2 + x∗n3 + x∗n4 = n2 + n.2n + n3n + sin

nπ
.
3

Dãy số tuần hoàn
Định nghĩa 1.4.3 Dãy số {un } được gọi là một dãy tuần hoàn nếu tồn
tại số nguyên dương l sao cho

un+l = un ,

∀n ∈ N.

(1.9)

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {un } thỏa mãn (1.9) được gọi là chu
kỳ cơ sở của dãy.

21


Chương 2
Phương trình sai phân Riccati và
một số ứng dụng trong toán sơ cấp
2.1

Phương trình sai phân Riccati

2.1.1

Một số khái niệm chung

Cho I là một khoảng số thực và giả sử

f :I→I
là hàm khả vi liên tục.
Khi đó với mỗi điều kiện ban đầu x0 ∈ I , phương trình sai phân

xn+1 = f (xn ),

n = 0, 1, ...

(2.1)

tồn tại duy nhất nghiệm {xn }∞
n=0 .
Định nghĩa 2.1.1 Điểm x ∈ I được gọi là điểm cân bằng (equilibrium
point) của phương trình (2.1) nếu

x = f (x),
nghĩa là

xn = x, n ≥ 0
là nghiệm của phương trình (2.1), hoặc tương đương, x là điểm cố
định của f.

22


Định nghĩa 2.1.2 Cho x ∈ I được gọi là điểm cân bằng của phương
trình (2.1).
(i) Điểm cân bằng x của phương trình (2.1) được gọi là ổn định địa phương
(locally stable) nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ I
với |x0 − x| < δ, thì ta có

|xn − x| < ε, với mọi n ≥ 0.
(ii) Điểm cân bằng x của phương trình (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận
địa phương (locally asymptotically stable) nếu nó là ổn định địa phương
và nếu γ > 0, sao cho với mọi x0 ∈ I với |x0 − x| < γ, thì ta có

lim xn = x.

n→∞

(iii) Điểm cân bằng x của phương trình (2.1) được gọi là hút toàn cục
(global attractor) nếu với mọi x0 ∈ I thì ta có

lim xn = x.

n→∞

(iv) Điểm cân bằng x của phương trình (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận
toàn cục (globally asymptotically stable) nếu nó là ổn định địa phương và
hút toàn cục.
(v) Điểm cân bằng x của phương trình (2.1) được gọi là điểm gốc (source)
nếu tồn tại r > 0, sao cho với mọi x0 ∈ I với 0 < |x0 − x| < r, tồn tại
N ≥ 1 thì
|xN − x| ≥ r.

2.1.2

Phương trình Riccati

Định nghĩa 2.1.3 Phương trình sai phân có dạng

xn+1 =

α + βxn
,
A + Bxn

n = 0, 1, ...

(2.2)

trong đó α, β, A, B là các hằng số và điều kiện ban đầu x0 là số thực được
gọi là phương trình sai phân Riccati.
Để tránh trường hợp suy biến, ta giả sử rằng

B = 0 và αB − βA = 0.
23

(2.3)


Thật vậy khi B = 0, phương trình (2.2) có dạng :

xn+1 =

α β
α + βxn
⇔ xn+1 = + xn
A
A A

là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số bậc 1.
βA
Khi αB − βA = 0 ⇔ α =
, thay vào phương trình (2.2) ta có
B

xn+1 =

βA

B

+ βxn
β
⇔ xn+1 =
A + Bxn
B

A + Bxn
A + Bxn

⇔ xn+1 =

β
, với mọi n ≥ 0.
B

Tập các giá trị ban đầu x0 ∈ R mà qua đó mẫu số A + Bxn trong phương
trình (2.2) sẽ trở thành số không với một giá trị n ≥ 0 nào đó thì được
gọi là tập cấm F (Forbidden set F ) của phương trình (2.2).
Mục tiêu thứ nhất là chúng ta sẽ xác định tập cấm F của (2.2).
Mục tiêu thứ hai là chúng ta mô tả chi tiết các trạng thái dài và ngắn hạn
của các nghiệm của phương trình (2.2) khi x0 không thuộc F .
Định lý 2.1.1 Giả sử rằng (2.3) luôn thỏa mãn và phương trình (2.2) có
nghiệm tuần hoàn với chu kỳ cơ sở hai. Khi ấy

β + A = 0.

(2.4)

Hơn nữa khi (2.4) đúng, mỗi nghiệm của phương trình (2.2) với

x0 =

β
B

là tuần hoàn với chu kỳ hai.
Tiếp theo, cùng với điều kiện (2.3) đúng, giả sử rằng β + A = 0.
Đổi biến
A
β+A
ωn − , n ≥ 0
xn =
B
B
thì phương trình (2.2) được phương trình sai phân sau

ωn+1 = 1 −
với

R=

R
, n = 0, 1, ...
ωn
βA − αB
(β + A)2

là số thực khác không, gọi là số Riccati của phương trình (2.2).

24

(2.5)

(2.6)