công thức giải nhanh toán 12

CÔ NGUYỄN THỊ LANH –CHIA SẺ TÀI LIỆU

[CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN HÀM SỐ 12]

1. Một số công thức về đạo hàm:
 Bảng công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm sơ cấp

C   0
'

u     u

(C là hằng số )

 x   .x
'



Đạo hàm của hàm hợp
'



1

1

 u'

'

u'
1
 u    u2  u  0
 
'
u'
u 
 u  0
2 u

'

1
1
 x    x2  x  0
 
'
1
x 
 x  0
2 x

 

 

 sin x   cos x
'

cos x    sinx

sin u   u' cos u
'
cos u  u' sin u

 tan x  

1
 cosx  0
cos2x
1
'
 cot x    2  sinx  0
sin x

u'
 cosu  0
cos2u
1
'
 cot u    2  sinu  0
sin u

e   e
a   a

e   u' e
a   u' a

'

'

 tan u  

'

x

x

'

'

u

x

'

 ln| x|

'

x

 lna



u

1
x

 loga |x| 
'

'

'

 ln|u|

'

1
x  lna



u

u

 lna

u'

u

 loga |u| 
'

u'
u  lna

 Đặc biệt :
'



ad  bc
 ax  b 
 cx  d  
2

  cx  d 



 ax2  bx  c  adx2  2aex  be  cd

 
2
 dx  e 
 dx  e 



 ax  bx  c  d e
d f
 2
 
 dx  ex  f 
dx2  ex  f

'

a b
2

'

x2  2



a c

x



2

b c
e f



 ae  bd  x2  2 af  cd  x   bf  ce 

dx

2

 ex  f



2

2. Tính đơn điệu của hàm số:
 Hàm phân thức hữu tỉ: y 

ax  b 
d 
x
dấu ‘=’ khi xét đạo hàm y’ không xảy ra
cx  d 
c 

 Hàm bậc ba y  ax3  bx2  cx  d có đạo hàm y'  3ax2  2bx  c

1


CÔ NGUYỄN THỊ LANH –CHIA SẺ TÀI LIỆU

[CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN HÀM SỐ 12]

Hàm số đồng biến trên  ;  

Hàm số nghịch biến trên  ;  

a  0
a  0
a  0

hoặc b  0
hoặc
 f '  x   0 x   
 f '  x   0 x   
  0
  0
c  0

Đặc biệt: Dạng toán tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l.

a  0

b  0
c  0


a  0; b2  4ac  0


a  0;   0
Giả sử y'  f '  x,m   ax  bx  c. YCBT  
  b 2 4c
2
2
2

 2  l
 x1  x2   4x1 x2  l
a
a
2

3. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên a;b
Bước 1: Tìm TXĐ, tìm f '  x 
Bước 2: Tìm các nghiệm x i của phương trình f '  x   0 trên a;b hoặc tại đó hàm liên tục và không
có đạo hàm.
Bước 3: So sánh các giá trị f  x i  với f  a  ,f  b
Bước 4: Kết luận
4. Quy tắc tìm cực trị
Bước 1: Tìm TXĐ, tìm f '  x 
Bước 2: Tìm các nghiệm x i của phương trình f '  x   0
Bước 3: Tính f ''  x  và f ''  x i 


Nếu f ''  x i   0  thì hàm số đạt cực đại tại x i



Nếu f ''  x i   0  thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

 Cực trị có điều kiện của hàm bậc ba

y  ax3  bx2  cx  d

Đạo hàm : y'  g  x   3ax2  2bx  c
Hàm số không có cực trị

b2  3ac  0

Hàm số có hai điểm cực trị

b2  3ac  0

Hàm số có hai cực trị trái dấu
Đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía
của trục Oy

ac < 0

Hàm số có hai cực trị cùng dấu
Đồ thị hàm số có hai cực trị nằm cùng một
phía của trục Oy

 y '  0


c
P  x1 x 2   0
3a




2


CÔ NGUYỄN THỊ LANH –CHIA SẺ TÀI LIỆU

[CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN HÀM SỐ 12]

Hàm số có hai cực trị cùng dương
Đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về phía bên
phải trục Oy


 y '  0

2b

0
S  x1  x 2 
3a



c
P  x1 x 2  3a  0

 y '  0

2b

0
S  x1  x 2 
3a


c
P  x1 x 2  3a  0
a.g     0

Hàm số có hai cực trị cùng âm
Đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về bên trái
trục Oy

Hàm số có hai cực trị thỏa mãn x1    x2
Hàm số có hai cực trị thỏa mãn x1  x2  

 y '  0

a.g     0

S  2
 y '  0


a.g     0

S  2

Hàm số có hai cực trị thỏa mãn   x1  x2

Phương trình y = 0 có 3 nghiệm lập thành
cấp số cộng
Phương trình y = 0 có 3 nghiệm lập thành
cấp số nhân
Phương trình đường thẳng đi qua các
điểm cực trị

b
3a
d
Khi có 1 nghiệm là  3
a
2
 2c 2b 
bc
g x   
x d 
9a
 3 9a 
Khi có 1 nghiệm là

y '.y ''
2

y '.y ''
hoặc g  x   y 
3y '''
hoặc g  x   9ay 

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số

AB 

b2  3ac
4e  16e3
với e 
a
9a

Đặc biệt:
 Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên của trục Ox
y CD  y CT  0
 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và 
y CD  y CT  0


Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới của trục Ox
y CD  y CT  0
 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và 
y CD  y CT  0

3


CÔ NGUYỄN THỊ LANH –CHIA SẺ TÀI LIỆU


[CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN HÀM SỐ 12]

Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về hai phía của trục Ox
 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y CD  y CT  0

 Cực trị có điều kiện của hàm bậc bốn trùng phương

y  ax4  bx2  c  a  0

x  0
Ta có: y'  4ax  2bx ; y '  0  x  2
x   b

2a
3




a  0,b  0
Hàm số có một cực trị  
ab  0,a  0

Hàm số có ba cực trị  a.b  0



a  0
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu  
b  0



a  0
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại  
b  0



a  0
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại  
b  0



a  0
Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu  
b  0

Giả sử hàm số y  ax4  bx2  c  a  0 ba điểm cực trị là:
 b   
b


A 0;c  ,B  
;   ,C   ;  
 2a 4a  
2a 4a 

 

tạo thành tam giác ABC cân tại A thỏa mãn ab<0, AB  AC 
cosA=

b4
b
b
 ,BC  2 
2
2a
16a 2a

b3  8a
b3  8a

ABC vuông cân
ABC đều

BAC  

SABC
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Tam giác ABC có BC  m0

b3
1 0
8a
b3
3 0
8a

8a  b3 .tan2  0
2
5
b
S2 
32a3
b3  8a
R
8ab
am20  2b  0



4


CÔ NGUYỄN THỊ LANH –CHIA SẺ TÀI LIỆU

[CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN HÀM SỐ 12]

Tam giác ABC có AB  AC  n0

16a2n20  b4  8ab  0

Tam giác ABC có cực trị B, C thuộc trục Ox
Tam giác ABC có 3 góc nhọn

b2  4ac
b 8a  b3  0





Tam giác ABC có trọng tâm O
Tam giác ABC có trực tâm O
Tam giác ABC cùng điểm O tao thành hình thoi
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
Tam giác ABC có cạnh BC = k.AB = k.AC

b2  6ac
b3  8a  4abc  0
b2  2ac
b3  8a  4abc  0
b3  8a  8abc  0
b3 .k 2  8a k 2  4  0

Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có
diện tích bằng nhau
Đồ thị hàm số C : y  ax 4  bx2  c cắt trục Ox tại
4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC

b2  4 2 ac





100
ac,   0,P  0,S  0
9
2 
 2  
x2  y 2     c  y     c  0
 b 4a   b 4a 
b2 

CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG
Mọi thắc mắc em thảo luận trên DODAIHOC.COM hoặc tham gia nhóm học toán cùng cô Lanh nhé!
Trang cá nhân: />Fanpage: />Group 2000 : />Trang web: />




5