Chương 3 chuyển vị của dầm

Chương VI

Chuyển vị của dầm

Nội dung
3.1. Khái niệm, phương trình vi phân của
đường đàn hồi.
3.2. Xác định đường đàn hồi bằng phương
pháp tích phân.
3.3.Phương pháp thông số ban đầu.
3.4. Khái niệm vể tính chuyển vị và nội lực của
dầm bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp.
3.5. Phương pháp đồ toán .
3.6. Bài toán uốn siêu tĩnh.
Bài tập + kiểm tra


Chương VI

Chuyển vị của dầm

3.1. Khái niệm, PTVP của đường đàn hồi.
3.1.1 Khái niệm
Đường đàn hồi: Đường cong của
trục dầm sau khi chịu uốn
K – trước biến dạng
K’ – sau biến dạng
KK – chuyển vị của trong tâm
mặt cắt ngang
’

v(z) – chuyển vị đứng
u(z) – chuyển vị ngang

Biến dạng bé: u(z) << v(z); v(z) => độ võng => Độ võng của dầm chịu uốn
là chuyển vị y(z) theo phương thẳng đứng của trọng tâm MCN
- Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường
đàn hồi, đường vuông góc với tiếp
tuyến t tại K’
- MCN dầm sau biến dạng tạo với MCN
trước biến dạng góc φ => góc xoay φ(z)


Chương VI

Chuyển vị của dầm

Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng
Biến dạng bé:φ(z)=tgφ=y’(z)=> Đạo hàm bậc nhất của độ võng là góc xoay

3.1.2. Phương trình vi phân của đường đàn hồi.
Ảnh hưởng của mô men uốn
nên độ cong của dầm:
Theo hình vẽ:

Mx
= > y" =
EJ x

Để phù hợp với qui ước dấu nội lực, trong kỹ thuật
hay chọn chiều trục y hướng xuống

Mx
y" = −
EJ x
Phương trình vi phân đường đàn hồi


Chương VI

Chuyển vị của dầm

3.2. Xác định đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân.
3.2.1. Công thức tông quát
Tích phân lần 1: 2 vế PT đường đàn hồi
được góc xoay

dy
M
= − ∫ x dz + C
dz
EJ x
M
y = − ∫ ∫ x dz 2 + C z + D
EJ x

ϕ = y' =

Tích phân lần hai được biểu thức độ
võng
C và D là hai hằng số tích phân, xác định nhờ vào điều kiện biên và liên tục

Điều kiện biên:

Điều kiện liên tục:

6.2.2. Trường hợp dầm nhiều đoạn (n đoạn)

Giải hệ 2n p.trình 2n ẩn số


Ví dụ 1
Viết phương trình độ võng và góc xoay
của dầm chịu ngàm một đầu và tải tập
trung tại đầu tự do
Giải
Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là Mx = - Pz
y" = −

Thay vào p.trình vi phân đường đàn hồi

Mx
Pz
=
EJ x EJ x

Lấy tích phân lần 1: được p.trình góc xoay

ϕ = y' =

Lấy tích phân lần 2: được p.trình độ võng

y=

Điều kiện biên : z = l, y’ = 0, y = 0

P 2
z +C
2 EJ x

P 3
z + Cz + D
6 EJ x

Pl 2
Pl 3
Pl 3
Pl 3
= >C = −
;D = −
+
=
2 EJ x
6 EJ x 2 EJ x 3EJ x

ϕ = y' =

P 2
P 2
z −
l
2 EJ x

2 EJ x

Pz 3
Pz 2
P 3
y=
−
l +
l
6 EJ x 2 EJ x
3EJ x

ϕ max

Pl 2
Pl 3
=−
; ymax = f =
2 EJ x
3EJ x


Ví dụ 2
Viết phương trình độ võng và góc
xoay của dầm đặt trên hai gối tựa
đơn chịu tải trọng phân bố đều q,
độ cứng dầm không đổi.
Giải
Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là

MX =

Phương trình vi phân của đường đàn hồi

y" = −

Phương trình góc xoay và độ võng là
Điều kiện biên

2

3

(

Mx
q
=−
lz − z 2
EJ x
2EJ x

)


q  lz 2 z 3 

−  + C
ϕ = y' = −
2

EJ
2
3
x 


q  lz 3 z 4 



 y = − 2EJ  6 − 12  + Cz + D
x 



z = 0 → y = 0
3
ql

= > D = 0; C =
24 EJ x
z = l → y = 0


ql  6 z
4z
1 − 2 − 3
ϕ = y ' = −
24 EJ x 
l

l

= >
3
2
3
 y = ql z 1 − 2 z + z 

24 EJ x 
l2
l 3 

3

ql
q
z − z2
2
2


 Độ võng max tại mặt cắt có y’ = 0


ymax

5 ql 4
=
384 EJ x

Góc xoay max tại các MCN có
ql 3
y’’=0 (tại các gối tựa z = 0 và z = l) ϕ max = ±

24EJ x


Ví dụ 3
Viết pt độ võng và góc xoay của dầm chịu
tác dụng của lực tập trung P như hình vẽ.
Giải
Biểu thức mômen uốn tại 2 mc 1-1, 2-2:
M X1 =

Pb
z
l

(0 ≤ z ≤ a)

MX2 =

Pb
z − P( z − a )
l

(a ≤ z ≤ l)

Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong các đoạn AB, BC
AB : y1" = −

(0 ≤ z ≤ a)

Pb
z1
lEJ x


Pb z 2
+ C1
ϕ1 = y1 ' = −
lEJ x 2


3
 y = − Pb z + C z + D
1
1
 1
lEJ x 6

 z = 0 → y1 = 0; z = l → y2 = 0

 y1 = y2

z
=
a
→



 y '1 = y '2


D1 = D2 = 0

BC : y2 " = −



Pb 2
(
C1 = C2 =
l − b2 ) 
6lEJ x


( a ≤ z ≤ l)

Pb
= >ϕ1 = y1 ' =
lEJ x

Pb
P
( z − a)
z+
lEJ x
EJ x

2

Pb z 2
P (z − a)
+
+ C2
ϕ2 = y 2 ' = −
lEJ
2
EJ
2

x
x

3
Pb z 3
P (z − a)

+ C2z + D2
 y 2 = − lEJ 6 + EJ
6

x
x

 ( l 2 − b2 ) z 2 
Pb  ( l 2 − b 2 )
z2 



− ; y1 =
z − 
2
lEJ x  6
6
 6

2
Pb  z 2 l ( z − a ) ( l 2 − b2 ) 


−
−
ϕ 2 = y2 ' =

lEJ x  2
2b
6 

= >
3
(
Pb  ( z − a )
l 2 − b2 ) z 3 



 y2 = lEJ  6b l + 6 z − 6 
x 




ymax

5 ql 4
=
384 EJ x

ϕ max

ql 3
=±
24EJ x



Chương VI

Chuyển vị của dầm

3.3.Phương pháp thông số ban đầu.
Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn, đánh số thứ tự 1, 2, …, i, i+1,
…, n từ trái sang phải
Độ cứng mỗi đoạn: E1J1, E2J2, … EnJn .Xét 2 đoạn kề nhau thứ i và i+1 có liên
kết sao cho độ võng và góc xoay tại đây có bước nhảy, tại MCN giữa 2
đoạn có mômen, lực tập chung, đồng thời lực phân bố cũng có bước nhảy

Dùng khai triển Taylor hàm độ võng tại z=a và quan hệ vi phân giữa các
thành phần ứng lực, tải phân bố, được công thức truy hồi của hàm độ

Chương VI

Chuyển vị của dầm

* Khi độ cứng của dầm EJx = const trên cả chiều dài

* Với
* Độ võng đoạn thứ nhất

* Các thông số
được xác định từ điều kiện biên
* Chú ý:

gọi là các thông số ban đầu và

Chiều dương của mô men tập trung, lực tập trung, tải trọng phân bố như hv
Nếu liên kết gữa 2 đoạn thứ (i) và (i+1) là khớp treo thì
Nếu 2 đoạn thứ (i) và (i+1) là liền nhau thì


Ví dụ 6
Tính độ võng tại đầu nút tự do của dầm bằng
thép có E=2.105MN/m2 chịu lực như hình vẽ.
Dầm có MCN là tròn, được cấu tạo thành 2
bậc với đường kính là: d1= 13,3cm, d2 = 9cm

Giải
Các phản lực tại ngàm có trị số là:

VA = P1 + P2=22kN
MA = 12 x 0,6 + 10 X 0.6 x 2 =19,2kNm
Chiều các phản lực được biểu diễn như hình
πd 14 π.0,133 4
J1 =
=
= 15,36.10 6 m 4
64
64

πd 24 π .0,094
J2 =
=
= 15,36.106 m 4
64
64

Tại A

(z=a=0)

y0=0
φ0 =0
M0=-MA=-19,2kNm
Q0=VA=22kN
q0=0
q’0=0

Tại B (z=a=0,6m)
M2(a)= -6kNm

M1(a)= -6kNm
Q2(a)= 10kN
Q1(a)= 22kN
q1(a)=0,q’1(a)=0
q2(a)=0,q’2(a)=0


PT đường đàn hồi trong đoạn 1:
1
z2
z3
1
z2
z3
y1 ( z ) = −
[ M 0 + Q0 ] = −
[ −19,2 + 22 ]
EJ
2!
3!
EJ
2!
3!

PT đường đàn hồi trong đoạn 2 là:

( z − a) + Q ( a) ( z − a) ]
1
y2 ( z ) = y1 ( z ) −
[M1( a )

1
EJ
2!
3!
2

3

Độ võng tại đầu mút tự do C sẽ là: thay z = 1,2 vào y2(z)

Trình tự giải theo phương pháp thông số ban đầu
* Chia dầm thành n đoạn
* Lập bảng thông số ban đầu
* Viết phương trình chuyển vị và nội lực của từng đoạn theo ct
* Tìm điều kiện biên để xác định các thông số chưa biết. ĐK
biên được suy ra từ các giá trị nội lực và chuyển vị đã xác định
tại các mặt cắt cụ thể trên dầm



Chương VI

Chuyển vị của dầm

3.4. Khái niệm về tính chuyển vị và nội lực của
dầm bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp.
Dựa vào quan hệ đạo hàn giữa các thông số ta rút ra một nhóm các
phương trình của dầm liên quan đến chuyển vị và nội lực:



M ( z)
ϕ ' ( z ) = −
EJ x


dv ( z )
ϕ ( z ) =

dz

dM ( z )

Q ( z ) = dz

dQ ( z )

q ( z ) = dz
Áp dụng các quan hệ này cho một đoạn dầm với các thông số ở đầu
đoạn và tải trọng phân bố trên đoạn:


M 0 z 2 Q0 z 3 q0 z 4 q0 ' z 5
v1 ( z ) = v0 + ϕ0 z −
−
−
−
− ......
EJ x 2 EJ x 6 EJ x 24 EJ x 120
M0
Q 0 z 2 q0 z 3 q0 ' z 4

ϕ1 ( z ) = ϕ0 −
z−
−
−
− .....
EJ x
EJ x 2 EJ x 6 EJ x 24
z2
z3
M 1 ( z ) = M 0 + Q0 z + q0 + q0 ' + ......
2
6
z2
Q1 ( z ) = Q0 + q0 z + q0 ' + ........
2

{ W } = A1 { W0 }
Trong đó: { W ( z ) } = { v1 ( z ) , ϕ1 ( z ) , M 1 ( z ) , Q1 ( z ) ,1}

Viết dưới dạng ma trận ta được:

là véc tơ chuyển vị nội lực – nội lực của đoạn dầm thứ nhất

{ W0 } = { v0 , ϕ0 , M 0 , Q0 ,1}

là véc tơ thông số chuyển vị nội lực – nội lực ở đầu đoạn
dầm




1


0

A1 = 
0


0

0


2

z
z −
2 EJ x
1

z
−
EJ x

0

1

0

0

0
0


q0 ' z 5
−
− ...
120 EJ x


q0 z 3
q0 ' z 4
−
−
− ... 
6 EJ x
24 EJ x

2
3

q0 z
q0 ' z

+
+
+ ..
2

6


q0 ' z 2
q0 z +

+ ..
2

1

q0 ' z + .
q0 z 4
−
24 EJ x

3

z
−
6 EJ x
z2
−
2 EJ x
z
1
0


Chương VI

Chuyển vị của dầm

3.5. Phương pháp đồ toán .
- Dựa vào các
quan hệ vi phân:

d 2 M x dQ y
=
= q( z )
2
dz
dz

Mx
y" = −
EJ x

Mx
- Tưởng tượng ta tác dụng lên 1 dầm nào đó (dầm
giả tạo) một tải trọng phân bố giả tạo có cường độ: q gt = − EJ
x
2
d
M gt dQgt
d y
Mx
= > y" = 2 = −
= qgt =
=

2
dz
EJ x
dz
dz
2

- Chọn dầm giả tạo với các điều kiện sao cho có sự tương ứng:
y(dầm thực) = Mgt(dầm giả tạo) ; ϕ(dầm thực) = Qgt(dầm giả tạo)
thì có thể thay đổi việc tích phân biểu thức y’’ bằng cách tính nội lực
trên dầm giả tạo khi biết qgt .


Cách chọn dầm giả tạo

y(dầm thực)=Mgt(dầm giả tạo)
ϕ(dầm thực)=Qgt(dầmgiả tạo)


Chương VI

Chuyển vị của dầm

3.6. Bài toán uốn siêu tĩnh.
Cho dầm chịu lực như hình vẽ
- Số phản lực liên kết là 4, trong khi chỉ viết
được 3 pt cb => Bài toán siêu tĩnh
- Bổ xung thêm pt biến dạng: yB = 0
- Tưởng tượng bỏ gối tựa tại B và thay bằng
phản lực VB .Theo nguyên lý cộng tác dụng:

Mà

Do vậy:
Biểu đồ nội lực:


Chương VI

Chuyển vị của dầm

Bài tập
Bài tập phương pháp tích phân trực tiếp


Chương VI

Chuyển vị của dầm

Bài tập PP thông số ban đầu để XĐ đường đàn hồi


Chương VI

Chuyển vị của dầm


Chương VI

Chuyển vị của dầm

Chương VI

Chuyển vị của dầm


Chương VI

Chuyển vị của dầm