Chuyển vị của dầm chịu uốn ppt

1
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

Phương trình vi phân của đường đàn hồi

Các phương pháp xác định chuyển vị:
1. Phương pháp tích phân bất định
2. Phương pháp tải trọng giả tạo
3. Phương pháp thông số ban đầu

Bài toán siêu tĩnh


2

Đường đàn hồi: đường cong của trục
dầm sau khi bị uốn .

Chuyển vị v gọi là độ võng tại K, f=v
max

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN


3
( )
zytg '
≈ϕ≈ϕ
( ) ( )
zy
dz

dy
dz
dv
z '
===ϕ
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN


4
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

Đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay
của mặt cắt khi dầm bị biến dạng.

Quy ước chuyển vị
Độ võng y>0 nếu hướng xuống
Góc xoay ϕ>0 nếu quay từ trục z đến tiếp
tuyến của đường đàn hồi tại điểm khảo sát là
thuận chiều kim đồng hồ.


5
PT vi phân của đường đàn hồi
x
JE
M
1
x
=
ρ

( )
2
3
2
y1
y1
'
"
+
±=
ρ
( )
x
x
2
3
2
EJ
M
y1
y
±=
+ '
"


6
PT vi phân của đường đàn hồi
Phương trình vi phân
đường đàn hồi có dạng

gần đúng
( )
x
x
2
3
2
EJ
M
y1
y
−=
+ '
"
x
x
EJ
M
y
−=
"
EJ
x
là độ cứng của dầm chịu uốn


7
Xác định đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân bất định
∫

+−===ϕ
Cdz
EJ
M
dz
dy
y
x
x
'
DdzCdz
EJ
M
y
x
x
+








+−=
∫ ∫
x
x
EJ

M
y −="


8
Xác định đường đàn hồi bằng
phương pháp tích phân bất định

Điều kiện biên đối với các dầm đơn giản
tr
C
ph
C
tr
C
ph
C
yy
ϕ=ϕ
=


9
Ví dụ 1
Viết phương trình độ võng và góc xoay của
dầm chịu ngàm một đầu và tải tập trung tại
đầu tự do


10

Ví dụ 1

Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là
M
x
= - Pz

Thay biểu thức trên vào phương trình vi phân
đường đàn hồi
xx
x
EJ
Pz
EJ
M
y
=−=
"


11
Ví dụ 1

Lấy tích phân lần 1:
phương trình góc xoay
như sau

Lấy tích phân lần 2:
phương trình độ võng
như sau

Cz
EJ
P
y
x
+==
2
2
'
ϕ
DCzz
EJ
P
y
x
++=
3
6
xx
x
EJ
Pz
EJ
M
y =−="


12
Ví dụ 1
Điều kiện biên

z = l, y’ = 0, y = 0
32
3
22
326
22
'
l
EJ
P
l
EJ
Pz
EJ
Pz
y
l
EJ
P
z
EJ
P
y
xxx
xx
+−=
−==
ϕ
x
x

EJ
Pl
fy
EJ
Pl
3
2
3
max
2
max
==
−=
ϕ
xxx
x
EJ
Pl
EJ
Pl
EJ
Pl
D
EJ
Pl
C
326
2
333
2

=+−=
−=


13
Ví dụ 2

Viết phương trình độ võng và góc xoay của
dầm đặt trên hai gối tựa đơn chịu tải trọng
phân bố đều q, độ cứng dầm không đổi.


14
Ví dụ 2

Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là

Phương trình vi phân của đường đàn hồi
2
X
z
2
q
z
2
ql
M
−=
( )
2

xx
x
zlz
EJ2
q
EJ
M
y
−−=−=
"


15
Ví dụ 2

Phương trình góc xoay và độ võng là

Điều kiện biên







++









−−=
+








−−==ϕ
DCz
12
z
6
lz
EJ2
q
y
C
3
z
2
lz
EJ2
q

y
43
x
32
x
'



=→=
=→=
0ylz
0y0z





=
=
x
3
EJ24
ql
C
0D


16
Ví dụ 2


Độ võng lớn nhất tại mặt
cắt có y’ = 0

Góc xoay lớn nhất tại
các mặt cắt ngang có y’’
= 0 (M
x
=0) tức là tại các
gối tựa z = 0 và z = l















+−=









−−−==ϕ
3
3
2
2
x
3
3
3
2
2
x
3
l
z
l
z2
1z
EJ24
ql
y
l
z4
l
z6
1

EJ24
ql
y'
x
4
EJ
ql
384
5
fy
==
max
x
3
EJ24
ql
±=ϕ
max


17
Ví dụ 3
Viết phương trình độ võng và góc xoay của
dầm đặt trên hai gối tựa đơn chịu tác dụng
của lực tập trung P như hình vẽ.


18
Ví dụ 3
Biểu thức mômen uốn tại hai mặt cắt 1-1, 2-2:

( )
azz
l
Pb
M
X
≤≤=
0
1
( ) ( )
lzaazPz
l
Pb
M
X
≤≤−−=
2


19
Ví dụ 3
Phương trình vi phân của đường đàn hồi
trong các đoạn AB, BC
1
x
1
z
lEJ
Pb
y

−=
"
( )
az
EJ
P
z
lEJ
Pb
y
xx
2
−+−=
"


20
Ví dụ 3
( )







++−=
+−==ϕ
≤≤
11

3
x
1
1
2
x
11
DzC
6
z
lEJ
Pb
y
C
2
z
lEJ
Pb
y
az0
'
( )
( )
( )








++
−
+−=
+
−
+−==ϕ
≤≤
22
3
x
3
x
2
2
2
x
2
x
22
DzC
6
az
EJ
P
6
z
lEJ
Pb
y

C
2
az
EJ
P
2
z
lEJ
Pb
y
lza
'


21
Ví dụ 3












=
=

→=
=→=
=→=
21
21
2
1
''
0
00
yy
yy
az
ylz
yz
( )









−=
=
==
22
x

21
21
bl
lEJ6
Pb
CC
0DD
( )
( )















−
−
=









−
−
==ϕ
6
z
z
6
bl
lEJ
Pb
y
2
z
6
bl
lEJ
Pb
y
222
x
1
222
x
11
'

( )
( )
( )
( )















−
−
+
−
=









−
−
−
−==ϕ
6
z
z
6
bl
l
b6
az
lEJ
Pb
y
6
bl
b2
azl
2
z
lEJ
Pb
y
322
3
x
2

22
2
2
x
22
'


22
Ví dụ 3
x
4
EJ
ql
384
5
fy
==
max
x
3
EJ24
ql
±=ϕ
max


23
Phương pháp tải trọng giả tạo
Tưởng tượng ta tác dụng lên 1 dầm

nào đó (gọi là dầm giả tạo) một tải
trọng phân bố giả tạo có cường độ:
( )
zq
dz
Md
2
2
=
x
x
2
2
EJ
M
dz
Md
y −=="
2
gt
2
gt
x
x
2
2
dz
Md
q
EJ

M
dz
yd
==−=
x
x
gt
EJ
M
q
−=
gt
2
gt
2
2
2
q
dz
Md
dz
yd
y
===
"
dz
dQ
dz
dy
gt

=
'


24
Phương pháp tải trọng giả tạo
Chọn dầm giả tạo với các điều kiện sao cho có
sự tương ứng:
y
(dầm thực)
= M
gt (dầm giả tạo)
ϕ
(dầm thực)
= Q
gt (dầmgiả tạo)
thì có thể thay đổi việc tích phân biểu thức y’’
bằng cách tính nội lực trên dầm giả tạo khi biết
q
gt
.


25
Phương pháp tải trọng giả tạo

Cách chọn dầm giả tạo
y
(dầm thực)
=M

gt(dầm giả tạo)
ϕ
(dầm thực)
=Q
gt(dầmgiả tạo)