De thi HSG toan 9 ( 06-07)

đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2006-2007
Môn: Toán lớp 9-Thời gian 120 phút
Bài 1:
Cho biểu thức: A=








+








+
+

xxx
1
1
1
1
1
1

a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để
AA
>

Bài 2 :
Giải các phơng trình sau:
a)
11
=+
xx

b)
21212
=++
xxxx
c) x +y +z +4 = 2
56342
++
zyx
Bài 3:
a) Cho 2 số không âm a và b.
Chứng minh rằng:
ab
ba

+
2
, dấu =xảy ra khi nào?

b) Tìm cặp số x,y sao cho: x
11
+
xyy
= xy
c) Cho 0 < a, b, c < 2.
Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:
a(2 - b) > 1; b(2 - c) > 1; c(2 - a) > 1
Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông ở A,đờng cao AH. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu
của điểm H trên AB và AC. Biết BH=4cm, CH=9cm.
a) Tính độ dài đoạn DE .
b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
c) Chứng minh: AH
3
=BC.BD.CE
Bài 5:
Cho n số a
1
; a
2
; ...; a
n
, mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng -1
và a
1
a
2
+ a
2

a
3
+...+ a
n
a
1
= 0. Hỏi n có thể bằng 2006 đợc không? Tại sao?
Phòng Giáo dục huyện Yên Thành
đáp án, biểu điểm chấm môn toán 9
Bài Nội dung Điểm
1
(1,5đ)
Câu a:1 điểm, câu b: 0,5 điểm
a)TXĐ =
{
1;0/
>
xxRx
}

A=
x
x
x
xx 1
.
1
11
+

++
=
1
2
)1)(1(
)1(2
)1(
)1(2

=
+
+
=

+
xxx
x
xx
xx
b)
10)1(
<>>
AAAAA
(Điều kiện:A

0

101
>>
xx

)

93121
1
2
><<<


xxx
x
(Thỏa mãn)
Vậy với x>9 thì
AA
>
0.5
0.5
0.25
0.25
2
(3đ)
Câu a:1 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 1điểm
a)
11
=+
xx
Điều kiện:x
1


2

)1(1
=+
xx

0)1(
=
xx


0
=
x
(loại) hoặc x=1 (Thỏa mãn)
b)
21212
=++
xxxx

22
)11()11(
++
xx
=2

1111
++
xx
=2
Điều kiện x
1

Nhận xét:
=++
1111 xx

1111
++
xx
2


Dấu bằng xẩy ra khi:(
)11
+
x
.(1-
)1

x

0

2-x
0


x

2
Vậy nghiệm của phơng trình là:1

2

x
c) x+y+z+4 = 2
56342
++
zyx
Điều Kiện :x
5;3;2

zy

[ ] [ ] [ ]
095.6)5(43.4)3(122)2(
=+++++
zzyyxx

2
)12(

x
+
0)35()23(
22
=+
zy

=
=
=

035
023
012
z
y
x





=
=
=

14
7
3
z
y
x
Là nghiệm

0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
3
(2,0đ)
Câu a:0,5 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 0.5 điểm
a) vì a và b không âm nên tồn tại
a
và
b
Ta có
0)(
2

ba
02
+
abba
abba 2
+
ab
ba

+

2
Dấu = xảy ra khi a=b

b) Điều kiện : x

1 ; y

1

2
1
22
11
)1(11
xy
xy
xx
xx
=
+
=
(1)
0.25
0.25
0.25
Tơng tự
2
1

2
1
xy
yx
y
y

(2)
Từ (1) và (2) ta có : x
xyxyy
+
11

Dấu "="xảy ra




=
=
11
11
y
x





=

=
2
2
y
x
c) Giả sử các BĐT trên đều đúng. Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại
với nhau ta đợc:
a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1)
Ta lại có a(2 - a) = 2a - a
2
= 1 - (1-a)
2


1
Tơng tự b(2 - b)

1
c(2 - c)

1
Do 0 < a, b, c < 2 nên a( 2 - a) > 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > 0
Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c)

1 Mâu thuẫn với (1)
Vậy có ít nhất một trong các BĐT đã cho là sai.
0.5
0.25
0.25
0.25

4
(2,5đ)
Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ

a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông

DE = AH
Tam giác ABC vuông ở A, có AH

BC, nên
AH
2
=BH.CH=4.9=36


AH=6(cm) Vậy DE=6cm.
b) Ta có AH
2
=AD.AB ; AH
2
=AE.AC


AD.AB=AE.AC
c) Ta có AH
2
=BH.CH


AH

4
=BH
2
CH
2
=AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE


AH
3
=BC.BD.CE
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
5
(1đ)
Vì a
j
= + 1 nên a
i
a
j
= + 1
Do đó tổng n số hạng a
1
a
2

+ a
2
a
3
+..+ a
n
a
1
mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1.
Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn.
Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1.
Tích của n số hạng đó (a
1
a
2
)(a
2
a
3
)...(a
n
a
1
) = (a
1
a
2
...a
n
)

2
= 1
Nên số hạng bằng -1 phải là số chẵn, k = 2p
Vậy n = 2k = 4 p.
Mà 2006 không chia hết cho 4, suy ra n không thể bằng 2006.
0.5
0.25
0.25
Các cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa
A
B
C
D
E
H