Bài tập chương 1,2,3 đại số và giải tích lớp 11 lư sĩ pháp

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TOAÙN 11
CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG II
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
CHƯƠNG III
TẬP 1
DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN



LỜI NÓI ĐẦU

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
Nội dung gồm 3 phần
Phần 1. Kiến thức cần nắm
Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị
Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916.620.899

Email:

Chân thành cảm ơn.
Tác giả
Lư Sĩ Pháp
Gv_Trường THPT Tuy Phong


MỤC LỤC
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Trang 1

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Trang 3

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Trang 11

§3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP

Trang 18

ÔN TẬP CHƯƠNG I

Trang 27

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I

Trang 44

ĐÁP ÁN

Trang 59

CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
§1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

Trang 60

§2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

Trang 66

§3. NHỊ THỨC NIU-TƠN

Trang 77

§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Trang 83

§5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

Trang 86

ÔN TẬP CHƯƠNG II

Trang 93

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II

Trang 103

ĐÁP ÁN

Trang 116

Chương III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Trang 118

§2. DÃY SỐ

Trang 125

§3. CẤP SỐ CỘNG

Trang 134

§4. CẤP SỐ NHÂN

Trang 141

ÔN TẬP CHƯƠNG III

Trang 150

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III

Trang 155

ĐÁP ÁN

Trang 160


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
---0O0---

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin α
π
;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ
cos α
2
kπ
tan α .cot α = 1;α ≠
,k ∈ℤ
2

1
1 + cot 2 α = 2 ; α ≠ kπ , k ∈ ℤ
sin α

sin 2 α + cos2 α = 1

tan α =

cos α
;α ≠ kπ , k ∈ ℤ
sin α
1
π
1 + tan 2 α =
;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ
2
2
cos α
2. Các công thức lượng giác
2.1. Công thức cộng
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cot α =

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

tan α ± tan β
, với mọi α , β làm cho các biểu thức có nghĩa.
1 ∓ tan α tan β
2.2. Công thức nhân đôi
sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
2 tan α
π
tan 2α =
;α ,2α ≠ + kπ , k ∈ ℤ
2
2
1 − tan α
2.3. Công thức nhân ba
cos3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin3 α
2.4. Công thức hạ bậc
1 + cos 2α
1 − cos 2α
cos2 α =
sin 2 α =
2
2
1 − cos 2α
tan 2 α =
, với α làm cho biểu thức có nghĩa.
1 + cos 2α
2.6. Công thức biến đổi tổng thành tích
α +β
α −β
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
.cos
cos α − cos β = −2sin

.sin
2
2
2
2
α +β
α −β
α +β
α −β
sin α + sin β = 2 sin
.cos
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
2
2
, với mọi α , β làm cho các biểu thức có nghĩa.
2.7. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos α .cos β =  cos (α + β ) + cos (α − β ) 
2
1
sin α .sin β = −  cos (α + β ) − cos (α − β ) 
2
1
sin α .cos β = sin (α + β ) + sin (α − β ) 
2
tan (α ± β ) =

Đại số và giải tích 11

1

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

2.8. Công thức rút gọn


π
π
sin α + cos α = 2 sin  α +  = 2 cos  α − 
4
4




π
π
sin α − cos α = 2 sin  α −  = − 2 cos  α + 
4
4



2
, với α làm cho biểu thức có nghĩa
sin 2α
3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt
3.1. Hai góc đối nhau ( cung đối) ( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
cos(−α ) = cos α
sin(−α ) = − sin α
tan(−α ) = − tan α
cot(−α ) = − cot α
3.2. Hai góc bù nhau( cung bù)( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin(π − α ) = sin α
cos(π − α ) = − cos α
tan(π − α ) = − tan α
cot(π − α ) = − cot α
3.3. Hai góc phụ nhau ( cung phụ)( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
π

π

sin  − α  = cos α
cos  − α  = sin α
2

2

tan α + cot α =

π

π


tan  − α  = cot α
cot  − α  = tan α
2

2

3.4. Hai góc hơn kém π (cung hơn kém π ),( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin(π + α ) = − sin α
cos(π + α ) = − cos α
tan(π + α ) = tan α
cot(π + α ) = cot α
3.5. Hai góc hơn kém

π
2

(cung hơn kém

π
2

),( α làm cho các biểu thức có nghĩa)

π

π

sin  + α  = cos α
cos  + α  = − sin α

2

2

π

π

tan  + α  = − cot α
cot  + α  = − tan α
2

2

3.6. Cung bội. ( k ∈ ℤ , α làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin(α + k 2π ) = sin α
cos(α + k 2π ) = cos α
tan(α + kπ ) = tan α
cot(α + kπ ) = cot α
4. Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt

α
HSLG

00

300

450

600

900

π

π

π

π

6

4

3

2

0

1
2

2
2

1

3
2

2
2

3
2
1
2

0

3
3

1

0

sin α

cos α
tan α
cot α

||

3

1

1
0

3

||

3
3

0

1200
2π
3

1350
3π
4

1500
5π
6

3
2
1
−

2

2
2

1
2

− 3
−

3
3

−

2
2

-1
-1

1800

π

0

−

3
2

-1

−

3
3

0

− 3

||

|| : Không xác định

Đại số và giải tích 11

2

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
•
•
•
•
•

•
•
•
•
•
•

•

Hàm số y = sin x
Có tập xác định là ℝ
Có tập giá trị là  −1;1

•
•
•
•

Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π
Đồng biến trên mỗi khoảng
 π


π
 − + k 2π ; + k 2π  và nghịch biến trên
2
 2


•

•

π

Có tập xác định là D1 = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2

Có tập giá trị là ℝ
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π
Đồng biến trên mỗi khoảng
 π

π
 − + kπ ; + kπ  ; k ∈ ℤ
2
 2

Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng

π
2

Là hàm số chẵn
Là hàm số tuần hoàn với chu kì
T = 2π
Đồng biến trên mỗi khoảng
( −π + k 2π ; k 2π ) và nghịch biến trên

mỗi khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) , k ∈ ℤ

π

3π
mỗi khoảng  + k 2π ;
+ k 2π  , k ∈ ℤ
2
2

Có đồ thị là một đường hình sin
Hàm số y = tan x

x=

Hàm số y = cos x
Có tập xác định là ℝ
Có tập giá trị là  −1;1

Có đồ thị là một đường hình sin
Hàm số y = cot x

•

Có tập xác định là D2 = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

•
•
•
•

Có tập giá trị là ℝ
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π
Nghịch biến trên mỗi khoảng
( kπ ; π + kπ ) ; k ∈ ℤ

•

Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng
x = kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận

+ kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Tập xác định của hàm số
- Hàm số xác định với một điều kiện
- Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện
- Hàm số y = sin x; y = cos x có tập xác định là ℝ
- Hàm số y = tan x xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ; Hàm số y = cot x xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0
Lưu ý:
1
π

π
sin u = 1 ⇔ u = + k 2π
sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π
sin u = 0 ⇔ u = kπ
2
2
2
π
cos u = 0 ⇔ u = + kπ
cos u = 1 ⇔ u = k 2π
cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π
2
3
π
π
tan u = 1 ⇔ u = + kπ
tan u = −1 ⇔ u = − + kπ
tan u = 0 ⇔ u = kπ
4
4
4
π
π
π
cot u = 1 ⇔ u = + kπ
cot u = −1 ⇔ u = − + kπ
cot u = 0 ⇔ u = + kπ
4
4
2

1
- Hàm số y =
xác định khi và chỉ khi A ≠ 0
A
- Hàm số y = A xác định khi và chỉ khi A ≥ 0

Đại số và giải tích 11

3

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

1
xác định khi và chỉ khi A > 0
A
Bài 1.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:
- Hàm số y =

a) y =

1 + cos x
sin x

b) y =

1 + sin x
cos x

c) y =

1 + cos x
1 − cos x

d) y = 3 − sin x

HD Giải
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π

π

+ kπ , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2
2


1 + cos x
≥ 0 . Vì 1 + cos x ≥ 0 nên điều kiện là 1 − cos x > 0 hay
1 − cos x
1 − cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi

d) Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên 3 − sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy D = ℝ
Bài 1.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:



π
π
π
a) y = tan  x − 
b) y = cot  x + 
c) y = tan  2 x + 
3
6
3




d) y = tan x + cot x

HD Giải

π
π π
5π
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠
+ kπ , k ∈ ℤ .
3
3 2
6


 5π

Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
 6


π
π
π
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin  x +  ≠ 0 ⇔ x + ≠ kπ ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ ℤ .
6
6
6

 π

Vậy D = ℝ \ − + kπ , k ∈ ℤ 
 6


π
π π
π kπ
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos  2 x +  ≠ 0 ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠
+
,k ∈ℤ .
3
3 2
12 2


 π kπ

Vậ y D = ℝ \  +
, k ∈ ℤ
12 2


cos x ≠ 0
kπ
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi 
⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
,k ∈ℤ .
2
sin x ≠ 0
 kπ

Vậ y D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

Bài 1.3. Tìm tập xác định các hàm số sau:
2x
x
a) y = cos
b) y = tan
x −1
3
1
d) y = sin 2
e) y = cos x + 1

x −1

f) y =

2
cos x − cos3x

1 − sin x
3sin x − 7
i) y =
1 + cos x
2 cos x − 5
HD Giải
2x
2x
a) Ta có y = cos
xác định trên ℝ khi và chỉ khi
∈ ℝ ⇔ x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
x −1
x −1
g) y =

3
sin x − cos2 x

c) y = cot2x

2

Đại số và giải tích 11

h) y =

4

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

2x
là D = ℝ \ {1}
x −1
x
x
x π
3π
b) Hàm số y = tan xác định khi và chỉ khi cos ≠ 0 ⇔ ≠ + kπ ⇔ x ≠
+ k 3π , k ∈ ℤ .
3
3
3 2
2
 3π

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  + k 3π , k ∈ ℤ 
2


Vậy tập xác định của hàm số y = cos

 kπ

c) Tập xác định của hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

d) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {−1;1}

e) Ta có cos x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ
f) Ta có cos x − cos3 x = −2 sin 2 x sin(− x ) = 4 sin 2 x cos x .
 kπ

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

 π kπ

g) Ta có sin 2 x − cos2 x = − cos 2 x . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  +
, k ∈ ℤ
4 2

h) Ta có 1 − sin x ≥ 0,1 + cos x ≥ 0 . Do đó hàm số xác định ∀x ∈ ℝ khi cos x ≠ −1 . Vậy tập xác định của
hàm số D = ℝ \ {π + k 2π , k ∈ ℤ}
i) Ta có 3sin x − 7 < 0, 2 cos x − 5 < 0 nên

3sin x − 7
> 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ
2 cos x − 5

Bài 1.4. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = cos x
d) y =

cot x
cos x − 1

1+ x
1− x

b) y = sin
e) y =

1 − cos 2 x
1 + cos2 2 x
tan x + cot x
f) y =
1 − sin 2 x

c) y =

2 − cos x

π
1 + tan  x − 
3


HD Giải

a) Ta có y = cos x xác định trên ℝ khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số D = [0; +∞)

x ∈ℝ ⇔ x ≥ 0 .

1+ x
xác định trên ℝ khi và chỉ khi
1− x
Vậy tập xác định của hàm số D = [−1;1)

b) Ta có y = sin

1+ x
1+ x
∈ℝ ⇔
≥ 0 ⇔ −1 ≤ x < 1 .
1− x
1− x

c) Ta có 1 − cos 2 x ≥ 0,1 + cos2 2 x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ
sin x ≠ 0
 x ≠ kπ
cot x
d) Hàm số y =
xác định ⇔ 
⇔
⇔ x ≠ kπ ; k ∈ ℤ .
cos x − 1
cos x ≠ 1  x ≠ k 2π

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

 
π

5π
cos  x −  ≠ 0
x≠
+ kπ

3
2 − cos x
 


6
e) Hàm số y =
xác định ⇔ 
;k ∈ℤ .
⇔

π
π


π
tan x −
x ≠
1 + tan  x − 
+ kπ


≠0


3

12
3



 
  5π

 π

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \   + kπ  ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ 
 12

 6


Đại số và giải tích 11

5

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp


kπ
cos x ≠ 0
x≠

tan x + cot x


2
xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ 
f) Hàm số y =
;k ∈ℤ.
1 − sin 2 x
π
sin 2 x ≠ 1  x ≠ + kπ


4
  kπ   π


Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \    ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ 

 2   4

Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x )

Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D (1)
Tính f (− x ) và so sánh f (− x ) với f ( x ) :
Nếu f (− x ) = f ( x ) thì f ( x ) là hàm số chẵn
(2)
Nếu f (− x ) = − f ( x ) thì f ( x ) là hàm số lẻ
(3)
Do vậy
Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D
Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D
Để kết luận f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x0 sao
cho f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) và f (− x0 ) ≠ − f ( x0 )
Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG
Bài 1.5. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
cos x
a) y =
b) y = x – sinx
x
 3π

d) y = 1 + cos x.sin 
− 2x 
e) y = sinx.cos2x + tanx
2


g) y = sin 3 x − tan x

h) y =

c) y = 1 − cos x

f) y = sinx – cosx

tan x + cot x
sin x
HD Giải

cos x
có tập xác định D = ℝ \ {0} . Ta có ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D và
x
cos(− x )
cos x
cos x
f (− x ) =
=−
= − f ( x ) . Vậy hàm số y = f ( x ) =
là hàm số lẻ.
(− x )
x
x
b) Hàm số lẻ
c) Là hàm số chẵn
d) Là hàm số chẵn
e) Là hàm số lẻ
f) Hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x có tập xác định D = ℝ .

a) Hàm số y = f ( x ) =

π  1
π 
 π

3  π
1
3
ta có : f   = −
; f −  = − −
. Suy ra f   ≠ f  − 
6
2 2
6 2 2
 6
6
 6
Vậy hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x là hàm số không chẵn, không lẻ
g) Là hàm số lẻ
h) Là hàm số lẻ
Lấy x =

π

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m.
Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M và ∃x 0 sao cho f ( x0 ) = M thì M gọi là GTLN của hàm số y = f ( x ) trên D và
kí hiệu Max y = M
D

Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m và ∃x 0 sao cho f ( x0 ) = m thì m gọi là GTNN của hàm số y = f ( x ) trên D và kí

Đại số và giải tích 11

6

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

hiệu Min y = m
D

Chú ý:
−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

Bài 1.6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau
a) y = 2 cos x + 1

c) y = 2 (1 + cos x ) + 1

b) y = 3 − 2 sin x

π

d) y = 3sin  x −  − 2
6


HD Giải
cos x ≥ 0
a) y = 2 cos x + 1 . Điều kiện: 
⇔ 0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ
−1 ≤ cos x ≤ 1
Ta có: 0 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2 cos x ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 cos x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3
Vậy: Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
b) y = 3 − 2 sin x . Tập xác định: D = ℝ
Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 2 ≥ −2 sin x ≥ −2 ⇔ 2 + 3 ≥ 3 − 2 sin x ≥ −2 + 3 ⇔ 5 ≥ 3 − 2 sin x ≥ 1 hay 5 ≥ y ≥ 1
Min y = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =
ℝ

Vậy:

Max y = 5 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −
ℝ

Min y = 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x =
ℝ

π
2

π
2

+ k 2π , k ∈ ℤ

+ k 2π , k ∈ ℤ

c) y = 2 (1 + cos x ) + 1 . Tập xác định: D = ℝ

Ta có: −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 4

⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 (1 + cos x ) + 1 ≤ 3
Vậy:

Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

Min y = 1 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

Bài 1.7. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau
π



π
a) y = 2 cos  + x  + 3
b) y = cos x + cos  x − 
3
3


d) y = cos 2 x + 2 cos 2 x

e) y = 5 − 2 cos2 x.sin 2 x
HD Giải

c) y = 3 − 2 sin x
f) 2 sin 2 x − cos 2 x

π

a) Hàm số y = 2 cos  + x  + 3 có tập xác định là D = ℝ .
3

π

π

π

Ta có: −1 ≤ cos  + x  ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2 cos  + x  ≤ 2 ⇔ −1 + 3 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 2 + 3
3

3


3

π

⇔ 1 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 5 hay 1 ≤ y ≤ 5
3

π

π
Vậy: Max y = 5 khi cos  + x  = 1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ ℤ
ℝ
3
3

π

2π
Min y = −1 khi cos  + x  = −1 ⇔ x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
ℝ
3
3


Đại số và giải tích 11

7

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp


π
b) Hàm số y = cos x + cos  x −  có tập xác định là D = ℝ .
3




π
π
π
π
Ta có cos x + cos  x −  = 2 cos  x −  cos = 3 cos  x −  .
3
6
6
6




π
Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: − 3 ≤ 3 cos  x −  ≤ 3 hay − 3 ≤ y ≤ 3

6


π
π
Vậy: GTLN của y là 3 , đạt đựơc khi cos  x −  = 1 ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ℤ
6
6


π
7π
GTNN của y là − 3 , đạt được khi cos  x −  = −1 ⇔ x =
+ k 2π ; k ∈ ℤ
6
6

c) Hàm số y = 3 − 2 sin x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ −2 sin x ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 3 − 2 sin x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3
Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ
GTNN của y là 1, đạt được khi sin x = ±1 ⇔ x = ±

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
d) Hàm số y = cos2 x + 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ .
1 + cos 2 x
1 + 5 cos 2 x
+ 2 cos 2 x =

.
2
2
1 + 5 cos 2 x
Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: −2 ≤
≤ 3.
2
Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

Ta có cos2 x + 2 cos 2 x =

GTNN của y là -2, đạt được khi cos 2 x = −1 ⇔ x =

π
2

+ kπ , k ∈ ℤ

e) Hàm số y = 5 − 2 cos2 x.sin 2 x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có

1
5 − 2 cos2 x.sin 2 x = 5 − sin 2 2 x .
2

Vì 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên −
Vậy: GTLN của y là

1
1

9
1
3 2
≤ − sin 2 2 x ≤ 0 ⇔ ≤ 5 − sin2 2 x ≤ 5 hay
≤y≤ 5.
2
2
2
2
2

5 , đạt được khi sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

3 2
π kπ
, đạt được khi sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = ±1 ⇔ x = ± +
,k ∈ℤ
2
4 2
f) Hàm số y = 2 sin 2 x − cos 2 x = 1 − 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có −1 ≤ 1 − 2 cos 2 x ≤ 3
GTNN của y là

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là -1, đạt được khi cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos 2 x = −1 ⇔ x =

Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = 3 + sin x cos x
d) y =

3
5 − sin 2 x

b) y = 4 − 2 cos2 x

( )

e) y = 1 − sin x 2 − 1

c) y =

2
3 + cos x

f) y = 4sin x

HD Giải

Đại số và giải tích 11

8

Chương I. HSLG & PTLG

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

7
π
, đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ
2
4
5
π
GTNN của y là , đạt được khi x = − + kπ , k ∈ ℤ
2
4

a) GTLN của y là

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là 2, đạt được khi x = k 2π ∨ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
2
có tập xác định là D = ℝ .
c) Hàm số y =
3 + cos x
1
1
1
1

2
Ta có −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 2 ≤ 3 + cos x ≤ 4 ⇔ ≤
≤ ⇔ ≤
≤1
4 3 + cos x 2
2 3 + cos x
GTLN của y là 1, đạt được khi x = π + k 2π , k ∈ ℤ
1
GTNN của y là , đạt được khi x = k 2π , k ∈ ℤ
2
3
π
d) GTLN của y là , đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ
4
2
3
GTNN của y là , đạt đươc khi x = kπ , k ∈ ℤ
5
b) GTLN của y là 4, đạt được khi x =

( )

e) Hàm số y = 1 − sin x 2 − 1 có tập xác định là D = ℝ .

( )

Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: −1 ≤ 1 − sin x 2 − 1 ≤ 2 − 1 . Vậy
GTLN của y là

2 − 1 , đạt được khi x 2 = −

π

GTNN của y là −1 , đạt được khi x 2 =

2

π
2

+ k 2π , k ≥ 1

+ k 2π , k > 0

f) Hàm số y = 4sin x có tập xác định là D =  0; +∞ ) . Trên D ta có: −4 ≤ 4sin x ≤ 4 .

x=

Vậy: GTLN của y là 4, đạt được khi

π
2

+ k 2π , k ≥ 0

π

+ k 2π , k ≥ 1
2
Bài 1.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y = sin 4 x − cos4 x
b) y = sin 4 x + cos4 x
GTNN của y là −4 , đạt được khi

x =−

c) y = sin 2 x + 2 sin x + 6

d) y = cos4 x + 4 cos2 x + 5
HD Giải
4
4
2
2
2
a) y = sin x − cos x = sin x − cos x sin x + cos2 x = − cos 2 x .

(

Mặt khác: −1 ≤ cos 2 x ≤ 1

)(

)

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là −1 , đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ

GTLN của y là 1, đạt được khi x =

(

b) y = sin 4 x + cos4 x = sin 2 x + cos2 x
Mặt khác

)

2

1
− 2 sin 2 x cos2 x = 1 − sin 2 2 x .
2

1
1
≤ 1 − sin 2 2 x ≤ 1
2
2

GTLN của y là 1, đạt được khi x =

Đại số và giải tích 11

kπ
,k ∈ℤ
2

9

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11
GTNN của y là

GV. Lư Sĩ Pháp
1
π kπ
, đạt được khi x = +
,k ∈ℤ
2
4 2

c) Ta có y = sin 2 x + 2 sin x + 6 = ( sin x + 1) + 5 . Mặt khác: 5 ≤ ( sin x + 1) + 5 ≤ 9
2

GTLN của y là 9, đạt được khi x =

π
2

GTNN của y là 5, đạt được khi x = −

(

2

+ k 2π , k ∈ ℤ

π
2

+ k 2π , k ∈ ℤ

)

(

2

)

2

d) Ta có y = cos4 x + 4 cos2 x + 5 = cos2 x + 2 + 1 . Mặt khác: 5 ≤ cos2 x + 2 + 1 ≤ 10
GTLN của y là 10, đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ
GTNN của y là 5, đạt được khi x =

π
2

+ kπ , k ∈ ℤ

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.10. Tìm tập xác định của các hàm số sau
tan x
1
a) y =

b) y =
1 + tan x
3 cot 2 x + 1
e) y =

1+ cos9x
+ cot9x
1+ cos9x

f) y =

sin x
2 cos x + 2

c) y =

g) y =

3sin x + 1
π

3 − 3cos  x + 
6

tan 2 x − 1
1 + sin x + 1

Bài 1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhật của các hàm số sau

π

a) y = 1 + cos 2 x − 5
c) y = 2 − 4 + 2 sin 5 x
b) y = 4 + 5cos  3x + 
3


π

e) y = 1 − 3sin  2 x − 
3


Đại số và giải tích 11

f) y = 1 − 8sin 2 2 x

g) y = 9 − 9 sin 9 x

10

d) y =

h) y =

d) y =

sin x
π

1 − cos  x + 

4

2 − cot 3 x
1 − 1 + sin 3 x

3
+1
cot x + 1
2

h) y = sin 2 x − 5

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Phương trình sin x = m (1)
Nếu m > 1 : phương trình (1) vô nghiệm
Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin α = m

 x = α + k 2π
sin x = m ⇔ 
;k ∈ℤ
 x = π − α + k 2π
 x = α + k 360 0

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: sin x = m ⇔ 
;k ∈ℤ
0
0
 x = 180 − α + k 360
Nhận thấy, trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai
đơn vị độ và radian.
Chú ý:
 π
π
− ≤ α ≤
i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:  2
2 thì ta viết α = arcsin m .
sin α = m


 x = arcsin m + k 2π
Khi đó: sin x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
π
π
x
=
−
arcsin
m
+
k
2


ii) Các trường hợp đặc biệt

π

•

+ k 2π , k ∈ ℤ
2
m = 0 , phương trình sin x = 0 có nghiệm là x = kπ ; k ∈ ℤ

•

m = 1 , phương trình sin x = 1 có nghiệm là x =

•

m = −1 , phương trình sin x = −1 có nghiệm là x = −

π
2

+ k 2π ; k ∈ ℤ

u = v + k 2π
iii) Tổng quát: sin u = sin v ⇔ 
,k ∈ℤ
u = π − v + k 2π
2. Phương trình cos x = m (2)
Nếu m > 1 : phương trình (2) vô nghiệm
Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cos α = m

 x = α + k 2π
cos x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = −α + k 2π
 x = α + k 360 0
Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: cos x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
0
 x = −α + k 360
Chú ý:
i) Nếu α thoả điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = m thì ta viết α = arccosm.
Khi đó pt (2) có nghiệm là : x = ± arccos m + k 2π ; k ∈ ℤ
ii) Các trường hợp đặc biệt khi m ∈ {0; ±1}

•
•
•

cos x = 0 ⇔ x =

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ

Đại số và giải tích 11

11

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

u = v + k 2π
,k ∈ℤ
iii) Tổng quát: cos u = cos v ⇔ 
π
u
=
−
v
+
k
2

3. Phương trình tan x = m (3)

π

•

+ kπ , k ∈ ℤ
2
Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan α = m thì tan x = m ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ

•

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tan x = m ⇔ x = α + k180 0 ; k ∈ ℤ

•

và tan α = m thì ta viết α = arctanm. Lúc đó nghiệm
2
2
của phương trình (3) là: x = arctan m + kπ , k ∈ ℤ

•

Điều kiện: x ≠

Nếu α thảo mãn điều kiện −

π

<α <

π

Các trường hợp đặc biệt biệt khi m ∈ {0; ±1}
tan x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ
tan x = −1 ⇔ x = −
tan x = 1 ⇔ x =

•

π
4

+ kπ , k ∈ ℤ

π

+ kπ , k ∈ ℤ
4
Tổng quát : tan u = tan v có nghiệm: u = v + kπ , k ∈ ℤ

Điều kiện: x ≠ kπ , k ∈ ℤ
4. Phương trình cot x = m (4)
• Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa là cot α = m thì cot x = m ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ
Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cot x = m ⇔ x = α + k180 0 ; k ∈ ℤ
Nếu α thảo mãn điều kiện 0 < α < π và cot α = m thì ta viết α = arc cot m . Lúc đó nghiệm của
phương trình (4) là: x = arc cot m + kπ , k ∈ ℤ
• Tổng quát : cot u = cot v có nghiệm: u = v + kπ , k ∈ ℤ
Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có
chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ
Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
Với u = u( x ), v = v( x ) và u, v làm cho biểu thức có nghĩa, k ∈ ℤ
•
•

u = v + k 2π
1/ sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k 2π
3 / tan u = tan v ⇔ u = v + kπ

u = v + k 2π
2 / cos u = cos v ⇔ 
u = − v + k 2π
4 / cot u = cot v ⇔ u = v + kπ

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Giải phương trình lượng giác cơ bản
- Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản
- Cung đối và cung bù
Bài 2.1. Giải các phương trình sau:
a) sin x =

1
2

b) sin x = −

3
2

x


1
π
1
e) sin  + 100  = −
f) sin  2 x +  = −
2

6
2
2



c) sin x =

2
3

 2x π 
g) sin 
− =0
 3 3
HD Giải


π

π
d) sin  2 x −  = sin  + x 
5

5

π 1

h) sin  9 x −  =
3 2



1
π
= sin . Phương trình đã cho tương đương với:
2
6
π
π


π
x
=
+
k
2
x
=
+ k 2π


π
6
6
sin x = sin ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ
6
 x = π − π + k 2π

 x = 5π + k 2π


6
6

a) Ta có: sin 300 =

Đại số và giải tích 11

12

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Vậy phương trình có các nghiệm là: x =
b) Ta có: −

π
6

+ k 2π ; x =

5π
+ k 2π , k ∈ ℤ
6

 π
3
π
= − sin = sin  −  (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(−α ) = − sin α )
2
3
 3


π
 x = − 3 + k 2π
 π
Phương trình đã cho tương đương: ⇔ sin x = sin  −  ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = 4π + k 2π
 3

3
2
2
2
c) Vì < 1 nên có số α để sin α = ⇒ α = arcsin . Do đó:
3
3
3

2
x = arcsin + k 2π


 x = α + k 2π
2
3
sin x = ⇔ sin x = sin α ⇔ 
hay 
,k ∈ℤ
3
 x = π − arcsin 2 + k 2π
 x = π − α + k 2π

3

π π

2π
2 x − = + x + k 2π

 x = 5 + k 2π

π

5
5
π
d) sin  2 x −  = sin  + x  ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ
π

π

5

π k 2π


5

2 x − 5 = π −  5 + x  + k 2π
 x = 3 + 3



e) x = −800 + k 7200 và x = 400 0 + k 720 0 ; k ∈ ℤ
f) x = −

π
6

+ kπ và x =

π
2

+ kπ ; k ∈ ℤ

k 3π
;k ∈ℤ
2
2
π k 2π

7π k 2π
h) x = +
;x =
+
,k ∈ℤ
18
9
54
9
Bài 2.2. Giải các phương trình sau:
2
1
a) cos x =
b) cos x = −
2
2
g) x =

π

+

c) cos x =

4
5


π


π
d) cos  3 x −  = cos  + x 
6

3


 3x π 
3
1
f) cos  −  = −
2
2
 2 4

 3x π 
π 3

g) cos  −  = −1 h) cos  2 x −  =
3 2

 2 6
HD Giải
π

x = + k 2π

2
π
π

4
a) Ta có:
= cos . Phương trình đã cho tương đương với: cos x = cos ⇔ 
,k ∈ℤ
2
4
4
 x = − π + k 2π

4

(

)

e) cos 3 x − 450 =

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±
b) Ta có: −

π

4

+ k 2π , k ∈ ℤ

1
π
π
2π


(Áp dụng cung bù_ cos(π − α ) = − cos α )
= − cos = cos  π −  = cos
2
3
3
3


2π
2π
⇔x=±
+ k 2π , k ∈ ℤ
3
3
4
4
4
c) Vì < 1 nên có số α để cos α = ⇒ α = arccos . Do đó:
5
5
5

Phương trình đã cho tương đương với: cos x = cos

Đại số và giải tích 11

13

Chương I. HSLG & PTLG

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp


4
x = arccos + k 2π

 x = α + k 2π
4
5
cos x = ⇔ cos x = cos α ⇔ 
hay 
,k ∈ℤ
5
 x = − arc c os 4 + k 2π
 x = −α + k 2π

5

π π

π
3x − = + x + k 2π

 x = 12 + kπ

π


6
3
π
d) cos  3 x −  = cos  + x  ⇔ 
⇔
,k ∈ ℤ
π

π
6

π


3

x = − + kπ
3x − 6 = −  3 + x  + k 2π

24



3 x − 450 = 300 + k 3600
 x = 250 + k1200
3
⇔ cos 3 x − 450 = cos30 0 ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ


0
0
0
0
0
2
 x = 5 + k120
3 x − 45 = −30 + k 360
 3 x π 2π

11π k 4π
 2 − 4 = 3 + k 2π
 x = 18 + 3
 3x π 
 3x π 
1
2π
f) cos  −  = − ⇔ cos  −  = cos
⇔
⇔
,k ∈ℤ
2
3
 3 x − π = − 2π + k 2π
 x = − 5π + k 4π
 2 4
 2 4
 2 4


3
18
3
 3x π 
3x π
7π
g) cos  −  = −1 ⇔
− = π + k 2π ⇔ x =
+ k 4π , k ∈ ℤ
2 6
9
 2 6
3
h) Vì > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
2
Bài 2.3. Giải các phương trình sau:
3
3
1
π

a) tan x = 3
b) tan x = −
c) tan  − x  = tan 2 x
d) tan ( x − 150 ) =
e) tan 2 x =
3
3
2
4


HD Giải

(

)

(

e) cos 3 x − 450 =

a) tan x = 3 ⇔ tan x = tan

π

3

⇔x=

)

π

3

+ kπ , k ∈ ℤ

3
π
 π

⇔ tan x = tan  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
3
6
 6
π
π kπ
π

c) tan  − x  = tan 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = −
,k ∈ℤ
4
12 3
4

3
d) tan ( x − 150 ) =
⇔ tan ( x − 150 ) = tan 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ
3
1
1
1
1 kπ
e) tan 2 x = ⇔ 2 x = arctan + kπ ⇔ x = arctan +
,k ∈ℤ
2
2
2
2 2
Bài 2.4. Giải các phương trình sau:
3

3
π

a) cot x =
b) cot x = − 3 c) cot  − x  = cot 2 x
d) cot ( x − 150 ) = 3
e) cot 3 x =
3
5
4

HD Giải
3
π
π
a) cot x =
⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ , k ∈ ℤ
3
3
3
π
 π
b) cot x = − 3 ⇔ cot x = cot  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
6
 6
π
π kπ
π

c) cot  − x  = cot 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = −

,k ∈ℤ
4
12 3
4

b) tan x = −

d) cot ( x − 150 ) = 3 ⇔ cot ( x − 150 ) = cot 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ

e) cot 3 x =

3
3
1
3 kπ
⇔ 3 x = arc cot + kπ ⇔ x = arc cot +
,k ∈ℤ
5
5
3
5 3

Đại số và giải tích 11

14

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 2.5. Giải các phương trình sau:
sin 3 x
2π
a)
=0
b) cot 3 x = tan
cos3 x − 1
5
π


2π 
d) tan  + 12 x  = − 3
e) sin  x +
 = cos3 x
3 
 12



(

)

c) ( sin x + 1) 2 cos 2 x − 2 = 0

x

f) tan 2 x + 450 tan  1800 −  = 1
2


(

)

HD Giải
a) Điều kiện : cos3 x ≠ 1 . Ta có sin 3 x = 0 ⇔ 3 x = kπ .

π

Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ ℤ bị loại, nên 3 x = (2m + 1)π ⇔ x = (2m + 1) , m ∈ ℤ
3

π

Vậy nghiệm của phương trình là x = (2m + 1) , m ∈ ℤ
3
b) Nghiệm của phương trình là: x =

π
30

π

+k

π

3

,k ∈ℤ

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
8
5π kπ
d) Nghiệm của phương trình là: x = −
+
,k ∈ℤ
144 12


2π 
π
e) sin  x +
 = cos3 x ⇔ cos3 x − cos  x +  = 0 . Vậy nghiệm của phương trình:
3 
6



c) Nghiệm của phương trình là: x = −

x=−

π

24

+

+ k 2π và x = ±

kπ
π
;x =
+ kπ , k ∈ ℤ
2
12


 x
x
f) Với ĐKXĐ của phương trình, ta có tan 2 x + 450 = cot 450 − x và tan  180 0 −  = tan  −  nên
2

 2

 x
x
tan 2 x + 450 tan  180 0 −  = 1 ⇔ cot 450 − 2 x .tan  −  = 1
2

 2

(

(

)

(

)

(

)

)

 x
⇔ tan  −  = tan 450 − 2 x ⇔ x = 30 0 + k120 0 , k ∈ ℤ
 2

(

)

Dạng 2. Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn.
- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho.
Bài 2.6. Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:
a) sin 2 x = −

1
với 0 < x < π
2

c) tan ( 2 x − 150 ) = 1 với −1800 < x < 900

3
với −π < x < π
2

b) cos( x − 5) =
d) cot 3 x = −

1
3

với −

π
2


HD Giải


π
π
2 x = − + k 2π
x = − + kπ


1

6
12
a) sin 2 x = − ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ
2
2 x = 7π + k 2π
 x = 7π + kπ


6
12
Xét điều kiện 0 < x < π , ta có
π
1
1
11π
• 0 < − + kπ < π ⇔
< k < + 1 ⇒ k = 1 ( Do k ∈ ℤ ). Vì vậy : x =
12
12
12
12
7π
7π
+ kπ < π ⇒ k = 0 . Vì vậy: x =
• 0<
12
12

Đại số và giải tích 11

15

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

11π
7π
và x =
12
12


π
π
x − 5 = + k 2π
x = + 5 + k 2π


3
6
6
b) cos( x − 5) =
⇔
⇔

,k ∈ℤ
2
 x − 5 = − π + k 2π
 x = − π + 5 + k 2π


6
6
Xét điều kiện −π < x < π , ta có:
π
11π
• −π < + 5 + k 2π < π ⇒ k = −1 . Do vậy, có x = 5 −
6
6
π
13π
• −π < − + 5 + k 2π < π ⇒ k = −1 . Do vậy, có x = 5 −
6
6
11π
13π
Vậy: x = 5 −
và x = 5 −
6
6
0
c) tan 2 x − 15 = 1 ⇔ 2 x = 150 + 450 + k180 0 ⇔ x = 30 0 + k 90 0 , k ∈ ℤ

Vậy: x =

(

)

Xét điều kiện −1800 < x < 900 , ta có
1
−180 0 < 30 0 + k 90 0 < 900 ⇔ −2 < + k < 1 ⇔ k ∈ {−2, −1, 0}
3
Vậy các nghiệm của phương trình là: x = −150 0 , x = −60 0 và x = 300
1
π kπ
π
d) cot 3 x = −
⇔x=− +
, k ∈ ℤ . Xét điều kiện − < x < 0 , ta có:
9 3
2
3

•

•

−

π
2

<−

π
9

+

kπ
< 0 ⇔ k ∈ {−1; 0}
3

Vậy các nghiệm của phương trình là: x = −

4π
π
và x = −
9
9

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.7. Giải các phương trình sau:
π

2
2. sin  3 x +  = −1
1. sin ( 2 x − 300 ) = −
6

2
2
π


 2π

4. sin 3 x =
5. sin  2 x −  = sin 
− 3x 
3
4

 3

1
1
x

7. cos ( 600 − 3 x ) = −
8. cos  + 100  = −
2
2
2

3
3π 
π


10. cos ( 2 x − 5 ) =
11. cos  3 x −
= cos  x + 

4

4 
3



(

)




π

13. tan 2 x + 60 0 = − 3
16. cot  2 x −

 = −2
3


π
3
14. cot  5x −  = −
9
3

o
17. sin(9 − 9 x) = 0

Bài 2.8. Giải các phương trình sau:
3
3
1. sin x =
với 0 ≤ x ≤ 2π 2. cos x =
với 0 ≤ x ≤ 2π
2
2

Đại số và giải tích 11

16

 2x π  1
3. sin  −  =
 3 4 2

π
3

6. sin  2 x −  = −
6
2

2π 

9. cos  2 x −
 =1
3 


12. cos ( 4 x + 1250 ) = −1

(

)

15. cos 3 x − 1350 =

3
2

π
2

18. sin  3 x −  = −
3
2


π
3
π
π

3. cos  x +  =
v ới − ≤ x ≤
3 2
2
2


Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

π

4. −2 cos  x +  + 3 = 0
3

vớ i −

π
2

≤x≤

π

2

37π 
7. 3+3cos −x =0, x∈ ;30
4 
4 

π

(

)

5. 2 cos 450 − x + 2 = 0
với x ∈ 1800 ;3400 

8.

3 sin 5x + 3 = 0 với

x ∈ ( −90°;180°]

Bài 2.9. Giải các phương trình sau:
1. sin 3 x − cos 5 x = 0
2. tan 3 x.tan x = 1

π

2 sin  3 x +  + 1 = 0 trên đoạn
6

[ −2π ; π ]

9.

cos3 x
=0
sin 3 x − 1


π
6. sin 2 x.tan  x −  = 0
4

9. sin 5 x + cos x = 0
3.

4. sin 3x + sin 5 x = 0

5. cot 2 x.cot 3 x = 1

π

7. cot 9 x = − tan  + 9 x 
9


8. cos(50° + 4 x ) + sin 3 x = 0

Đại số và giải tích 11

π 1

6. sin  x +  = với −π ≤ x ≤ π
2 2


17

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

§3. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
THƯỜNG GẶP
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Phương trình

Cách giải
Đặt ẩn phụ t = f ( x ) và đặt điều kiện cho ẩn phụ
(nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này
và từ đó suy ngược lại nghiệm x.
Khi đặt t = sinx hay t = cosx, điều kiện là t ≤ 1

1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một
hàm số lượng giác, trong đó f ( x ) là một biểu
thức lượng giác nào đó.

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có
dạng: a sin x + b cos x = c,(a2 + b 2 ≠ 0) ( 2 )

Khi đặt t = tanx, t = cotx, cần lưu ý điều kiện xác
định của tanx và cotx.
Thực hiện các bước sau:
B1: Kiểm tra
• Nếu a2 + b2 < c 2 thì phương trình (2) vô

nghiệm
• Nếu a2 + b2 ≥ c 2 , ta thực hiện tiếp B2
B2. Chia hai vế phương trình (2) cho a2 + b2 .
Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình
(2) về phương trình lượng giác cơ bản dạng:
sin u = sin v hay cos u = cos v .

B. BÀI TẬP
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình dạng at + b = 0, a ≠ 0
- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc nhất
- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải
Bài 3.1. Giải các phương trình sau:

π
a) 2 cos 3 x − 60 0 + 1 = 0
b) 2 sin  2 x −  + 3 = 0
6


(

)


π
3 cot  x −  + 3 = 0
3

HD Giải

1
a) 2 cos 3 x − 60 0 + 1 = 0 ⇔ cos 3 x − 60 0 = − ⇔ cos 3 x − 60 0 = cos120 0
2
0
0
3 x − 60 = 120 + k 3600
 x = 900 + k1200
⇔
⇔
,k ∈ℤ
0
0
0
0
0
3 x − 60 = −120 + k 360
 x = 20 + k120
c)

(

x

3 tan  + 20 0  + 1 = 0
4


)

(

d)

)

(

)




 π
π
π
3
π
b) 2sin  2 x −  + 3 = 0 ⇔ sin  2 x −  = −
⇔ sin  2 x −  = sin  − 
6
6
2
6



 3
π
π
π



 2 x − 6 = − 3 + k 2π
 x = − 12 + kπ
⇔
⇔
,k ∈ℤ
π
π
π
3
 2 x − = π + + k 2π
x =
+ kπ


6
3
4
x

x

x

1
⇔ tan  + 20 0  = tan −30 0
c) 3 tan  + 20 0  + 1 = 0 ⇔ tan  + 20 0  = −
3
4


4

4


(

Đại số và giải tích 11

18

)

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

x
+ 20 0 = −30 0 + k180 0 ⇔ x = −200 0 + k 720 0 , k ∈ ℤ
4



 π
π
π

π
3 cot  x −  + 3 = 0 ⇔ cot  x −  = − 3 ⇔ cot  x −  = cot  − 
3
3
3



 6

⇔

d)

⇔ x−

π

=−

3
Bài 3.2. Giải các phương trình sau:

a)

π
6

+ kπ ⇔ x =

π
6

(

3 tan 2 x + 3 = 0

+ kπ , k ∈ ℤ

)

b) cos x + 30 0 + 2 cos2 150 = 1

c) 2 cos x − 3 = 0

a)

d) 8 cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2
HD Giải
 π
π kπ
3 tan 2 x + 3 = 0 ⇔ tan 2 x = − 3 ⇔ tan 2 x = tan  −  ⇔ x = − +
6 2
 3
kπ
,k ∈ℤ
6 2
= 1 − 2 cos2 150 ⇔ cos x + 30 0 = − cos30 0

(lưu ý ĐK: cos 2 x ≠ 0 ). Vậy, nghiệm của phương trình là: x = −

(

)

(

b) cos x + 30 0 + 2 cos2 150 = 1 ⇔ cos x + 30 0

)

π

+

(

)

 x = 120 0 + k 360 0
⇔ cos x + 30 0 = cos1500 ⇔ 
;k ∈ℤ
0
0
 x = −180 + k 360
Vậy, nghiệm của phương trình là: x = 1200 + k 3600 và x = −1800 + k 3600 , k ∈ ℤ

(

)

3
π
⇔ x = ± + k 2π
2
6

π kπ
x=
+

2
32
4 ,k ∈ℤ
d) 8 cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2 ⇔ sin 8 x =
⇔
2
 x = 3π + kπ

32 4
π kπ
3π kπ
Vậy, nghiệm của phương trình là x =
+
và x =
+
, k ∈ℤ
32 4
32 4
Bài 3.3. Giải các phương trình sau:

a) cos2x – sinx – 1 = 0
b) cosx.cos2x = 1 + sin2x.sinx
c) 4 sin x cos x cos 2 x = −1
d) tanx = 3cotx
HD Giải
2
a) cos 2 x − sin x − 1 = 0 ⇔ 1 − 2sin x − sin x − 1 = 0

 x = kπ
sin x = 0

π

⇔ sin x (2 sin x + 1) = 0 ⇔
⇔  x = − + k 2π , k ∈ ℤ
1
sin x =

6

2

7π
x =
+ k 2π
6

π
7π
Vậy, phương trình có các nghiệm là x = kπ , x = − + k 2π và x =

+ k 2π với k ∈ ℤ
6
6
b) cos x cos 2 x = 1 + sin x sin 2 x ⇔ cos x cos 2 x − sin x sin 2 x = 1
k 2π
k 2π
⇔ cos3 x = 1 ⇔ x =
, k ∈ ℤ . Vậy, phương trình có nghiệm là x =
,k ∈ℤ
3
3
π kπ
,k ∈ℤ
c) 4 sin x cos x cos 2 x = −1 ⇔ sin 4 x = −1 ⇔ x = − +
8 2
c) 2 cos x − 3 = 0 ⇔ cos x =

Đại số và giải tích 11

19

Chương I. HSLG & PTLG


Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

d) tan x = 3 cot x . Điều kiện sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
Ta có tan x =

kπ
,k ∈ℤ
2

3
π
⇔ tan 2 x = 3 ⇔ tan x = ± 3 ⇔ x = ± + kπ , k ∈ ℤ
tan x
3

So với điều kiện, phương trình có nghiệm là x = ±

π
3

+ kπ , k ∈ ℤ

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình dạng at 2 + bt + c = 0, a ≠ 0
- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc hai
- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải
- Lưu ý điều kiện của bài toán (nếu có)
Bài 3.4. Giải các phương trình sau:
a) 2sin2 x + 5sin x − 3 = 0
b) cot 2 3 x − cot 3 x − 2 = 0

(

)

c) 4 cos2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 = 0

d) 5 tan x − 2 cot x − 3 = 0
HD Giải

1
a) Đặt sinx = t ( với t ≤ 1 (*)), ta được phương trình 2t 2 + 5t − 3 = 0 ⇔ t1 = , t2 = −3 (không thỏa (*))
2

π
x = + k 2π

1
1
6
,k ∈ℤ .
Với: t = ⇒ sin x = ⇔ 
2
2
 x = 5π + k 2π

6
π
5π
Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là: x = + k 2π và x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
6
6
b) Điều kiện: sin 3 x ≠ 0(*) Đặt t = cot3x, ta được phương trình t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1, t = 2

kπ
,k ∈ℤ
4 3
1
kπ
Với t = 2 ⇒ cot 3 x = 2 ⇔ x = arc cot 2 +
,k ∈ℤ , k ∈ℤ
3
3
Với t = −1 ⇒ cot 3 x = −1 ⇔ x =

π

+

So với (*),vậy phương trình đã cho cáo các nghiệm x =

π
4

+

(

kπ
1
kπ
và x = arc cot 2 +
,k ∈ℤ
3

3
3

)

1
2
c) Đặt t = cosx, ( với t ≤ 1 ), ta được phương trình 4t 2 − 2 1 + 2 t + 2 = 0 ⇔ t1 = , t2 =
2
2

1

π
x = ± + k 2π
 cos x = 2

3
,k ∈ℤ
Do đó: 4 cos2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 = 0 ⇔ 
⇔
π

2
 x = ± + k 2π
 cos x =

4

2

(

)

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là x = ±

π
3

+ k 2π và x = ±

π
4

+ k 2π , k ∈ ℤ

d) Điều kiện sin 2 x ≠ 0 , khi đó ta có tan x ≠ 0
1
5 tan x − 2 cot x − 3 = 0 ⇔ 5tan x − 2
− 3 = 0 ⇔ 5 tan 2 x − 3 tan x − 2 = 0
tan x

Đại số và giải tích 11

20

Chương I. HSLG & PTLG

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

π
 tan x = 1
 x = 4 + kπ
,k ∈ℤ
⇔
⇔
 tan x = − 2
 2

5

 x = arctan  − 5  + kπ




So với ĐK, phương trình đã cho có các nghiệm x =
Bài 3.5. Giải các phương trình sau:
a) 2 cos2 x − 3cos x + 1 = 0
c)

(

 2
+ kπ và x = arctan  −  + kπ , k ∈ ℤ
4

 5

π

b) cos2 x + sin x + 1 = 0

)

(

3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0

)

(

)

d) cos 4 x + 60 0 − 5 cos 2 x + 300 + 4 = 0
HD Giải

a) Phương trình đã cho có các nghiệm là x = k 2π và x = ±
b) Phương trình đã cho có nghiệm là x = −

π
2

π

+ k 2π , k ∈ ℤ

3

+ k 2π , k ∈ ℤ

π

(

)

(

)

(
(

+ kπ và x =

π

+ kπ , k ∈ ℤ
4
6
d) cos 4 x + 60 0 − 5 cos 2 x + 30 0 + 4 = 0 ⇔ 2 cos2 2 x + 30 0 − 5 cos 2 x + 30 0 + 3 = 0

c) Phương trình đã cho có các nghiệm là x =

)

)

(

)

(

)

 cos 2 x + 30 0 = 1

0
0
0
0
⇔
3 ⇔ 2 x + 30 = k 360 ⇔ x = −15 + k180 , k ∈ ℤ
0
 cos 2 x + 30 =

2

Dạng 3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
- Phương trình có dạng a sin x + b cos x = c,(a2 + b 2 ≠ 0)
- B1: Kiểm tra
• Nếu a2 + b2 < c 2 thì phương trình vô nghiệm
• Nếu a2 + b2 ≥ c 2 , ta thực hiện tiếp B2
- B2. Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 . Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình về phương
trình lượng giác cơ bản dạng: sin u = sin v hay cos u = cos v .

Bài 3.6. Giải các phương trình sau:

3 sin x − cos x = 1

b) 2sin 3 x + 5 cos3 x = −3

d) 5sin 2 x − 6 cos2 x = 13

e) 2 sin 2 x − 2 cos 2 x = 2

a)

c) 3 cos x + 4 sin x = −5
1
f) sin 2 x + sin 2 x =
2

HD Giải

π


x = + k 2π
π
π 1

a) 3 sin x − cos x = 1 ⇔ 2 sin  x −  = 1 ⇔ sin  x −  = ⇔
, k ∈ℤ
3


6
6 2


 x = π + k 2π
2

5
b) 2 sin 3 x + 5 cos3 x = −3 ⇔ 3  sin 3 x +
cos3 x  = −3 ⇔ 3 ( sin α sin 3 x + cos α cos3x ) = −3 . Trong
3

3



2
5
α + π kπ
đó sin α = ; cos α =
. Dó đó: cos ( 3 x − α ) = −1 ⇔ x =
+
, k ∈ℤ
3
3
3
3
3
4
c) x = π + α + k 2π , k ∈ ℤ trong đó α là số thoả mãn cos α = và sin α =

5
5
2
d) 5sin 2 x − 6 cos x = 13 ⇔ 5sin 2 x − 3cos 2 x = 16 , phương trình vô nghiệm.
Đại số và giải tích 11

21

Chương I. HSLG & PTLG