PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM NHIỀU LỚP DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC 3 BẰNG PHẦN TỬ MITC3+ ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN PHẦN TỬ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGUYỄN TRUNG QUANG

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM NHIỀU LỚP
DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC 3
BẰNG PHẦN TỬ MITC3+
ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN PHẦN TỬ

NGÀNH: XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
MÃ NGÀNH: 60.58.02.08

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGUYỄN TRUNG QUANG

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM NHIỀU LỚP
DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC 3
BẰNG PHẦN TỬ MITC3+
ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN PHẦN TỬ

NGÀNH: XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ NGÀNH: 60.58.02.08
Hướng dẫn khoa học:
TS. CHÂU ĐÌNH THÀNH

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do cá nhân tôi thực hiện, dưới
sự hướng dẫn của TS. Châu Đình Thành. Các kết quả trình bày trong cuốn luận văn
này chưa từng được sử dụng cho bất kỳ một khóa luận tốt nghiệp nào khác. Theo
hiểu biết cá nhân, từ trước tới nay chưa có một tài liệu khoa học nào tương tự được
công bố, trừ những thông tin tham khảo được trích dẫn trong luận văn này.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2016
Nguyễn Trung Quang

i


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy hướng dẫn
khoa học là Tiến sĩ Châu Đình Thành, người đã đã đưa ra những gợi ý đầu tiên để
hình thành nên ý tưởng của đề tài và chỉ bảo tôi rất nhiều về cách nhận định đúng
đắn trong những vấn đề nghiên cứu mà quan trọng nhất là sự trung thực trong làm
nghiên cứu khoa học. Thầy cũng đã hướng dẫn tôi cách tiếp cận nghiên cứu hiệu
quả cũng như những nguồn tài liệu quý báu. Và với sự hướng dẫn khoa học, nghiêm
túc, tận tình đó của thầy đã giúp Tôi đạt đến kết quả nghiên cứu cuối cùng.
Xin cảm ơn thầy Châu Đình Thành đã hộ trợ tôi chương trình Matlab cho
phần tử CS - MICT3+. Đồng thời tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa

xây dựng và cơ học ứng dụng trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Thành phố Hồ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy trong quá trình tôi học tập, nghiên cứu tại đây.
Và cuối cùng tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã
luôn bên cạnh động viên, hỗ trợ rất nhiều và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể
hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
TP.Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2016.
Nguyễn Trung Quang

ii


TÓM TẮT
Phân tích kết cấu tấm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 bằng phần
tử MITC3+ được làm trơn trên phần tử
Nguyễn Trung Quang

Trong đề tài luận văn thạc sĩ này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên
miền phần tử CS-FEM (the cell smoothed finite element method) được phát triển
cho phần tử MITC3+ dùng để phân tích tĩnh kết cấu tấm composite nhiều lớp theo
lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 của J.N. Reddy. Kết cấu được mô phỏng bằng các
phần tử tam giác ba nút với bảy bậc tự do cho mỗi nút. Nhờ vào kỹ thuật làm trơn
CS-FEM, ma trận độ cứng phần tử được tính toán dựa vào tích phân trên cạnh phần
tử hoặc miền con của phần tử.
Để giải quyết hiện tượng khóa cắt (shear locking) khi tấm có chiều dày mỏng
dần, kỹ thuật nội suy các thành phần ten xơ (mixed interpolation tensorial
components viết tắt là MITC) được sử dụng, công thức phần tử hữu hạn này được
gọi là phần tử CS-MITC3+. Tính hiệu quả và độ chính xác của phần tử CS-MITC3+
được kiểm chứng thông qua các ví dụ số phân tích cho bài toán tĩnh của kết cấu tấm
composite nhiều lớp.

Ngôn ngữ lập trình MATLAB được sử dụng để xây dựng và tính toán trong
các ví dụ số. Kết quả tính toán của phần tử CS-MITC3+ được tác giả lập bảng so
sánh với lời giải giải tích và một số lời giải bằng phương pháp số khác đã được
công bố trước đây.

iii


ABSTRACT
Static analysis of laminate composite plates using third oder shear
deformation theory by MITC3+ elements having strains smoothed on
sub-domains of the elements
Quang Nguyen Trung
In this research, the cell-based smoothed finite element method (CS-FEM)
has been developed for MITC3+ elements to statically analyze laminate composite
plates using the Third order Shear Deformation Theory. The plates are modeled by 3
node-triangular elements with seven degrees of freedom per node.
The transverse shear strains are modified by the MITC3+ technique to
remove the “shear locking” phenomenon. The other strains are averaged over subdomains defined by two nodes of an element and the bubble node at the center of
the element.
The proposed elements, namely CS-MITC3+, are employed to analyze
several laminated composite plates and give numerical results that are similar to
other references.

iv


MỤC LỤC
Quyết định giao đề tài
Xác nhận của cán bộ hướng dẫn

Lý lịch khoa học
Lời cam đoan ......................................................................................................... i
Lời cảm ơn ............................................................................................................ ii
Tóm tắt

.............................................................................................................. iii

Mục lục

............................................................................................................. v

Danh sách các chữ viết tắt ...................................................................................... vii
Danh sách các hình ................................................................................................. viii
Danh sách các bảng ............................................................................................... x
Chương 1. Tổng quan ........................................................................................ 1
1.1. Giới thiệu ........................................................................................................ 1
1.2. Tổng quan tình hình nghiên cứu .................................................................... 2
1.2.1. Lý thuyết tính toán tấm composite .............................................................. 2
1.2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm ....................................................... 3
1.2.3. Phần tử hữu hạn trơn trên phần tử CS-MITC3+ ......................................... 4
1.3. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài ................................................................... 5
1.4. Phương pháp nghiên cứu và cách tiếp cận ..................................................... 6
1.5. Nét mới của đề tài .......................................................................................... 6
1.6. Nội dung nghiên cứu ...................................................................................... 6
Chương 2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho tấm nhiều lớp ...................... 7
2.1. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ..................................................................... 7
2.1.1. Trường chuyển vị ........................................................................................ 7
2.1.2. Trường biến dạng ........................................................................................ 10
2.1.3. Trường ứng suất .......................................................................................... 11
2.1.4. Nội lực trong tấm ........................................................................................ 13

Chương 3. Phần tử hữu hạn CS-MITC3+ ........................................................ 15

v


3.1. Rời rạc tấm bằng phần tử 3 nút MITC3+ ....................................................... 15
3.2. Công thức phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3+. ............................................... 18
Chương 4. Các ví dụ số ....................................................................................... 21
4.1. Tấm bốn lớp ª¬00 / 900 / 900 / 00 º¼ vuông cạnh a với tải hình sin
hoặc tải phân bố đều ....................................................................................... 21
4.2. Tấm composite 16 lớp (( 450 / 900 / 450 / 00 )2)sym chịu tải trọng hình sin....... 30
4.3. Tấm hai lớp vuông cạnh a [ 00 / 900 ] không đối xứng ................................... 33
4.4. Tấm composite không đối xứng [450 / 450 ]4 với gối tựa đơn
chịu tải trọng hình sin hoặc phân bố đều ....................................................... 36
Chương 5. Kết luận ............................................................................................. 43
Tài liệu tham khảo ................................................................................................. 44
Phụ lục: Chương trình tính toán bằng ngôn ngữ MATLAB ................................. 50

vi


DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT
PTHH

.......................................................................... Phần Tử hữu hạn

PPPTHH

......................................................Phương pháp phần tử hữu hạn

CPT

............................... Lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff – Love

CLPT

................................................... Lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển

FSDT

.................................................. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

HSDT

................................................... Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

MITC

................. Phương pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten-xơ

vii


DANH SÁCH CÁC HÌNH
Hình 1.1. Phần tử tam giác 3 nút MITC3 và MITC3+ .......................................... 4
Hình 1.2. Sơ đồ thuật toán tính toán ...................................................................... 6
Hình 2.1. Hình học ban đầu và hình học biến dạng trên một cạnh của tấm với các lý
thuyết tấm cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và biến dạng
cắt bậc ba ............................................................................................. 7
Hình 2.2. Các chuyển vị u, v, w và các góc xoay T x ,T y trong tấm ....................... 8

Hình 2.3. Tấm composite gia cường sợi một phương với hệ tọa độ tổng thể (x,y,z)
và hệ tọa độ địa phương ( x1, x2 , x3 ) ..................................................... 12
Hình 3.1. Điểm buộc của phần tử MITC3+ ......................................................... 17
Hình 3.2. Tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) được tạo ra từ 2 nút 1,2,3 và điểm trung tâm
của tam giác ......................................................................................... 18
Hình 4.1. Tấm liên kết tựa đơn và chia lưới cho tấm............................................. 22
Hình 4.2. Độ võng chuẩn hóa tại tâm của tấm tựa đơn chịu tải phân bố .............. 23
Hình 4.3. Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng hình sin ............ 23
Hình 4.4. Biểu đồ ứng suất tiếp V xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2) (Trường hợp tải
hình sin) ............................................................................................... 25
Hình 4.5. Biểu đồ ứng suất cắt W xz theo tọa độ z tại vị tri (0,b/2) (Trường hợp tải
hình sin) ............................................................................................... 26
Hình 4.6. Biểu đồ ứng suất cắt W yz theo tọa độ tại vị trí (a/2,0) (Trường hợp tải hình
sin) ....................................................................................................... 26
Hình 4.7. Tấm Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng phân bố .... 27
Hình 4.8. Biểu đồ ứng suất tiếp V xx khi chiều dày tấm thay đổi (Trường hợp tải
phân bố đều) ........................................................................................ 28
Hình 4.9. Biểu đồ ứng suất tiếp V yy khi chiều dày tấm thay đổi (Trường hợp tải
phân bố đều) ......................................................................................... 29

viii


Hình 4.10. Biểu đồ ứng suất cắt W xz khi chiều dày tấm thay đổi (Trường hợp tải
phân bố đều) ........................................................................................................... 29
Hình 4.11. Biểu đồ ứng suất cắt W yz khi chiều dày tấm thay đổi (Trường hợp tải
phân bố đều) ......................................................................................... 30
Hình 4.12. Biểu đồ ứng suất tiếp V xx tấm 16 lớp .................................................. 31
Hình 4.13. Biểu đồ ứng suất tiếp V yy tấm 16 lớp .................................................. 31
Hình 4.14. Biểu đồ ứng suất cắt W xz tấm 16 lớp .................................................... 32

Hình 4.15. Biểu đồ ứng suất cắt W yz tấm 16 lớp .................................................... 32
Hình 4.16. Độ võng chuẩn hóa của tấm 2 lớp dưới tải hình sin ........................... 34
Hình 4.17. Phân bố ứng suất V x theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+ ... 35
Hình 4.18. Phân bố ứng suất W yz theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+ ... 35
Hình 4.19. Phân bố ứng suất W yz theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+ ... 36
Hình 4.20. Phân bố ứng suất V x dưới tải hình sin của tấm 8 lớp lớp [450 / 450 ]4 với
tỉ lệ a/h = 10 ........................................................................................ 38
Hình 4.21. Phân bố ứng suất W xz dưới tải hình sin của tấm 8 lớp lớp [450 / 450 ]4 với
tỉ lệ a/h = 10 ........................................................................................ 38
Hình 4.22. Phân bố ứng suất V x theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+
(NxN=16) ............................................................................................. 40
Hình 4.23. Phân bố ứng suất W yz theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+
(NxN=16) ............................................................................................. 41
Hình 4.24. Phân bố ứng suất V x theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+
(NxN=24) ............................................................................................. 41
Hình 4.25. Phân bố ứng suất W yz theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+
(NxN=24) ............................................................................................. 42

ix


DANH SÁCH CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d=1/10000 ................ 17
Bảng 4.1. Độ võng chuẩn hóa tại tâm của tấm với a/h = 0,1 ................................. 22
Bảng 4.2. Sự phân bố ứng suất dưới tải trọng hình sin với a/h = 4, 10, 20, 100 .. 24
Bảng 4.3. Sự phân bố ứng suất dưới tải phân bố đều với a/h = 20, 10, 5 .............. 27
Bảng 4.4. Độ võng chuẩn hóa tại tâm tấm 2 lớp ở tỉ lệ a/h = 0,01 ........................ 34
Bảng 4.5. Độ võng và các ứng suất của tấm composite hai lớp với gối tựa đơn chịu
tải trọng hình sin .................................................................................. 34
Bảng 4.6. Độ võng và các ứng suất của tấm composite tám lớp [450 / 450 ]4 với gối

tựa đơn chịu tải trọng hình sin ............................................................. 37
Bảng 4.7. Độ võng của tấm composite tám lớp [450 / 450 ]4 với gối tựa đơn chịu tải
phân bố ................................................................................................. 39

x


Chương 1

TỔNG QUAN
1.1 Giới thiệu.
Thế kỷ 19, 20 ghi nhận sự phát triển vượt bậc của khoa học kỹ thuật, tác
động mạnh mẽ đến mọi lĩnh vực, trong đó có ngành kỹ thuật xây dựng. Điều này
tạo ra những đột phá trong công nghệ xây dựng, nhưng mặt khác, nguồn vật liệu tự
nhiên như cát, đá…bị khai thác quá mức và có khả năng cạn kiệt. Và việc tạo ra vật
liệu mới có khả năng thay thế vật liệu tự nhiên trở thành một yêu cầu cấp thiết.
Từ xa xưa, con người đã tạo ra nhiều loại vật liệu bằng thủ công để xây nên
những công trình dân dụng như nhà ở, hay những công trình mang tính tín ngưỡng
như đền đài…từ những vật liệu tự nhiên thô sơ như bùn kết hợp với rơm, nhựa cây
kết hợp với đá thiên nhiên…Mặc dù vậy, khái niệm vật liệu tổng hợp vẫn chưa
được hình thành và phát triển.
Sự phát triển của vật liệu composite đã được khẳng định và mang tính đột
phá vào những năm 1930 khi Stayer [1] đã nghiên cứu và ứng dụng thành công sợi
thuỷ tinh. Những năm gần đây, vật liệu composite đã được sử dụng rộng rãi trong
các ngành kỹ thuật nói chung và ngành xây dựng nói riêng.
Trong ngành xây dựng, vật liệu nhiều lớp mang lại những hiệu quả cả về kỹ
thuật lẫn kinh tế bởi độ bền cao, trọng lượng giảm, thi công dễ, giá thành cạnh tranh
với vật liệu truyền thống … do đó việc chế tạo vật liệu này ngày càng được phát
triển và hoàn thiện. Tuy nhiên, việc tính toán để có được một kết cấu tấm hay vỏ
bằng vật liệu composite tối ưu khá phức tạp, đòi hỏi phải phát triển các lý thuyết

phân tích thích hợp nhằm đưa ra những kết quả từ đó dự đoán chính xác các ứng xử
của kết cấu làm từ vật liệu này dưới tác dụng của các tải trọng khác nhau.
Từ những buổi đầu phát triển vật liệu nhiều lớp, phương pháp tính toán được
sử dụng nhiều nhất và ưu thế nhất là phương pháp phần tử hữu hạn. PP PTHH được
bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân

1


tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Alexander Hrennikoff và
Richard Courant [2,3] là những người khởi đầu sự phát triển của PP PTHH.
Sự phát triển chính thức của PPPTHH được bắt đầu vào nửa sau những năm
1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng và đã thu
được nhiều kết quả ở Berkeley [4] trong những năm 1960 trong ngành xây dựng.
Tuy nhiên, hiệu quả tính toán kết cấu làm từ vật liệu nhiều lớp bằng PP
PTHH còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mô hình toán học, lưới phần tử, … Do
đó, việc tìm ra phương pháp tính toán hiệu quả, mang lại kết quả sát thực tế và có
độ tin cậy cao luôn là yêu cầu cần thiết.
1.2. Tổng quan tình hình nghiên cứu.
1.2.1. Lý thuyết tính toán tấm composite.
Những thập kỷ qua, để giải quyết các ứng xử của tấm composite, nhiều lý
thuyết được nghiên cứu và giới thiệu. Các lý thuyết này có thể chia thành lý thuyết
lớp tương đương và lý thuyết 3 chiều. Lý thuyết lớp tương đương gồm lý thuyết lớp
zic-zac (ZZ) [5]; lý thuyết lớp thông minh (LW) [6] hay lý thuyết lớp tương đương
(ELS) [7]. Lý thuyết đàn hồi 3 chiều (3D) của Noor [8, 9] cải thiện tính chính xác
của ứng suất cắt ngang. Trong lý thyết của Noor, các lớp được mô phỏng như vật
thể đồng nhất và độ chính xác của ứng suất cắt ngang được cải thiện đáng kể. Tuy
vậy, chi phí tính toán quá cao là một trở ngại cho việc sử dụng lý thuyết này.
Trên cơ sở lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff – Love (CPT), lý thuyết tấm
cổ điển nhiều lớp (CLPT – Classic Laminate Plate Theory ) cho ra những kết quả

hợp lý đối với tấm mỏng, nhưng lý thuyết CLPT bỏ qua hiệu ứng cắt ngang (biến
dạng cắt thẳng góc Jxz ,Jyz ) nên khi mô phỏng tính toán cho tấm dày mà sự ảnh
hưởng cắt ngang không thể bỏ qua thì lý thuyết này không phù hợp [10].
Trong nhiều năm qua, nhiều giả thuyết biến dạng cắt được đưa ra và phát
triển để khắc phục những hạn chế của lý thuyết tấm cổ điển nhiều lớp như Reissner
và Mindlin [11] với đề xuất về lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT - First order

2


Shear Deformation Theories). Tuy nhiên, lý thuyết FSDT lại giả định ứng suất cắt
ngang bất biến, vì vậy cần những hệ số điều chỉnh (hệ số chỉnh cắt) để thỏa mãn các
điều kiện biên tự do tại bề mặt trên và dưới của tấm.
Mặt dù vẫn còn những hạn chế nhưng lý thuyết FSDT vẫn có ưu thế hơn
những lý thuyết trước đó nên việc cải thiện lý thuyết FSDT là cần thiết. Từ đó, lý
thuyết cắt biến dạng bậc cao (HSDT) được hình thành và phát triển bởi các tác giả
như J.N. Reddy [12], Matsunaga [13], Kant và Swaminathan [14], Liu và cộng sự
[15], Chiến và cộng sự [16], Nguyễn Xuân Hùng và cộng sự [17],…Theo các lý
thuyết này, yếu tố điều chỉnh biến dạng có thể bỏ qua nhưng vẫn cho ra kết quả tính
toán ứng suất cắt ngang ổn định, chính xác hơn. Đến nay, HSDT vẫn được điều
chỉnh và phát triển không ngừng, một số nghiên cứu gần đây đã được giới thiệu, có
thể được kể đến như [18-21].
1.2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm.
Đầu những năm 70 đến cuối những năm 80 của thế kỷ 19, Ahmad, Irons,
Zienkiewicz và Taylor [22, 23] đã đưa ra phần tử đẳng tham số C 0 nội suy trường
chuyển vị và góc xoay độc lập. Phần tử này kể đến ảnh hưởng của biến dạng cắt và
được dùng để phân tích kết cấu tấm, vỏ dày theo lý thuyết Reissner - Mindlin [24,
25]. Thời gian này, việc nghiên cứu tấm, vỏ nhiều lớp hầu hết đều dựa trên phương
pháp mà Ahmad, Irons và Zienkiewicz đưa ra. Tuy nhiên hạn phương pháp này dẫn
đến hiện tượng “khóa cắt” khi chiều dày của tấm trở nên mỏng và dẫn đến sự

chuyển vị của tấm/vỏ giảm khi bề dày giảm do năng lượng biến dạng cắt không
được loại bỏ. Mặc dù các nghiên cứu sau đó cố gắng giải quyết hiện tượng “khóa
cắt” nhưng kết quả thu được chưa thỏa đúng như kỳ vọng.
Năm 1985, Bathe và Dvorkin [26] đã tìm ra phương pháp nội suy hỗn hợp
các thành phần ten-xơ (MITC - mixed interpolation tensorial components) và
phương pháp MITC nhanh chóng giải quyết được vấn đề “khoá cắt”. Từ đây, MITC
là phương pháp ưu việt trong phân tích hay tính toán kết cấu tấm/vỏ nhiều lớp với
kết quả đạt được có độ tin cậy cao. Ngay khi ra đời MITC rất thành công với phần

3


tử tứ giác (MITC4) [27] cho kết cấu tấm/vỏ nhiều lớp và kỹ thuật này tiếp tục được
Bathe và Dvorkin phát triển với phần tử 8 nút (MITC8) [28]. Tiếp đó là phần tử 9
nút (MITC9) [29] và phần tử 16 nút (MITC16) của Bathe và Bucalem [30].
Song song với thành công của các phần tử tứ giác 4 nút và trên 4 nút, phần tử
tam giác 3 nút (MITC3 và MITC3+) cũng được quan tâm và phát triển bởi vì so với
các loại phần tử MITC khác phần tử MITC3 và MITC3+ có ưu thế hơn hẳn trong
việc rời rạc hóa hình dạng hình học phức tạp của kết cấu tấm nhiều lớp. Đây là ưu
thế rất lớn của MITC3 và MITC3+ trong việc mô hình hóa kỹ thuật nói chung.
Sự khác nhau giữa MITC3 và MITC3+:
2

2

3

3

4

1

1

Hình 1.1. Phần tử tam giác 3 nút MITC3 và MITC3+
Các phần tử trong MITC3 sử dụng hàm xấp xỉ là hàm bậc nhất, do đó khi
xấp xỉ (đạo hàm) sẽ ra hằng số, dẫn đến sự chênh lệch giữa các phần tử, khi đó các
phần tử sẽ không liên tục và kết quả tuy tốt nhưng vẫn chưa tối ưu.
Nhờ vào “nút bong bóng” nên phần tử trong MITC3+ có hàm xấp xỉ là hàm
bậc 2, do đó, khi xấp xỉ lên thì các đạo hàm bậc nhất của chuyển vị là tuyến tính và
không co sự chênh lệch về biến dạng nhiều giữa các phần tử, vì vậy kết quả sẽ ưu
việt hơn so với phần tử MITC3.
1.2.3. Phần tử hữu hạn trơn trên phần tử CS-MITC3+.
Tuy lợi thế của các phương pháp PTHH nêu trên là rất rõ, nhưng để phát
triển xa hơn, nhiều nhà khoa học đã đề xuất thêm nhiều phương pháp mới, nhiều kỹ
thuật mới, điển hình là các phương pháp PTHH làm trơn trên nút (NS: Node-Based

4


smoothing strain), trên cạnh (ES: Edge-Based smoothing strain) hay trên phần tử
(CS: Cell-Based smoothing strain).
Năm 2007, nhóm tác giả Liu, G.R., Dai, K.Y., Nguyen-Thoi T., đã đề xuất
kỹ thuật làm trơn các biến dạng dựa trên các phần tử con (cell) [31], phương pháp
này còn được biết đến với tên gọi SFEM hay CS-FEM và nó được dùng để phân
tích, tính toán các bài toán 2D và sau này được phát triển cho bài toán tấm và vỏ.
Với việc sử dụng phần tử con trên mỗi phần tử, CS-FEM trở nên vượt trội so với PP
PTHH truyền thống về độ chính xác của lời giải.
Phương pháp PTHH làm trơn phần tử (CS-FEM) với sự ổn định khoảng cách

cắt rời rạc (DSG) bằng lưới tam giác (CS-DSG) gần đây được đề xuất để nâng cao
độ chính xác của PP PTHH trong việc phân tích tấm đẳng hướng Reissner/Mindlin.
Có thể kể đến tác giả Trung và cộng sự [33] đã đề xuất phần tử CS-DSG3 nhằm
phân tích dao động và phân tích tĩnh cho kết cấu vỏ. Tác giả Phúc và cộng sự [32]
đã phân tích tấm composite phi tuyến nhiều lớp bằng các sử dụng lý thuyết biến
dạng cắt bậc cao sử dụng phương pháp PTHH được làm trơn trên phần tử 3 nút
(CS-FEM-MIN3) vào năm 2015. Kết quả tính toán cho thấy phương pháp này hiệu
quả hơn, chính xác hơn so với các PP PTHH thông thường.
Với những ưu thế vượt trội, PP PTHH làm trơn đã được nghiên cứu và áp
dụng trong nhiều bài toán như phân tích kết cấu tấm/vỏ nhiều lớp trong điều kiện
môi trường khác nhau, phân tích kết cấu tấm/vỏ hình học phi tuyến, phân tích các
vết nứt trong kết cấu…[34-39].
1.3. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài.
Mục đích của đề tài là phân tích kết cấu tấm nhiều lớp dùng lý thuyết biến
dạng cắt bậc 3 bằng phần tử MITC3+ được làm trơn trên phần tử.
Nhiệm vụ của đề tài là xây dựng cơ sở lý thuyết công thức PTHH trơn cho
phần tử MITC3+, gọi là phần tử CS-MITC3+, dùng để phân tích tấm nhiều lớp dựa
trên lý thuyết biến dạng cắt bậc 3. So sánh và đánh giá hiệu quả của phần tử đề xuất
với các công thức PTHH khác.

5


1.4. Phương pháp nghiên cứu và cách tiếp cận.
Đề tài sử dụng phương pháp phần tử
hữu hạn được làm trơn trên phần tử kết
hợp với kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+
để tiếp cận và phân tích bài toán kết cấu
tấm composite nhiều lớp theo lý thuyết
biến dạng cắt bậc 3. Lý thuyết này được

lập trình bằng ngôn ngữ Matlab nhằm
đánh giá hiệu quả của phần tử khi được
so sánh với kết quả của các phần tử
khác. Từ đó rút ra nhận xét và kết luận
cho phần tử CS-MITC3+ trong việc
phân tích kết cấu tấm composite nhiều

Hình 1.2. Sơ đồ thuật toán tính toán

lớp.
1.5. Nét mới của đề tài.
Đề tài này sẽ xây dựng công thức PTHH trơn trên phần tử cho phần tử
MITC3+ và áp dụng phần tử này để phân tích kết cấu của tấm composite nhiều lớp
theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.
1.6. Nội dung nghiên cứu.
Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
+ Cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc cao;
+ Cơ sở lý thuyết phần tử MITC3+ để rời rạc tấm;
+ Cơ sở lý thuyết phần tử hữu hạn trơn CS-FEM;
+ Phát triển phần tử CS-MITC3+ sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao;
+ Sử dụng phần mềm Matlab để phân tích, tính toán các chuyển vị và ứng
suất bằng phần tử CS-MITC3+ cho tấm composite nhiều lớp; so sánh kết quả của
phương pháp này với các kết quả của các phương pháp khác đã được công bố trước
đây.

6


Chương 2

LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO
CHO TẤM NHIỀU LỚP
2.1. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao:

Hình 2.1: Hình học ban đầu và hình học biến dạng trên một cạnh của tấm
với các lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và biến dạng
cắt bậc 3 (TSDT) [48].
2.1.1. Trường chuyển vị:
J.N. Reddy [10,12] đã xây dựng trường chuyển vị của lý thuyết tấm biến dạng cắt
bậc cao dựa trên hàm xấp xỉ bậc 3 của chuyển vị như sau:

7


u

u0  zT x  z 2[ x ( x, y )  z 3] x ( x, y ).

v

v0  zT y  z 2[ y ( x, y )  z 3] y ( x, y ).

w

w0 ( x, y )

(2.1)

Trong đó:
u, v, w: là các chuyển vị theo phương x, y, z.

u0, v0, w0 :là các chuyển vị theo phương x, y, z tại mặt trung bình của tấm.

T

x

,T y
: lần lượt là các góc xoay quanh trục y và trục x có chiều dương qui

ước như hình 2.2.

Hình
2.2:
Các

chuyển vị u, v, w và các góc xoay T x ,T y trong tấm.

[ x,[ y,9 x và 9 y là các hàm được xác định từ điều kiện ứng suất tiếp thẳng góc bằng
không ở mặt trên và mặt dưới tấm, tức là :

W xz

z r h/ 2

0 ; W yz

z r h/ 2

0

(2.2)

Từ quan hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng trượt ta có:

W xz GJ xz ;W yz GJ yz
Với

(2.3)

J xz

wu ww
ww
T x  2 z[ x  3z 29 x 

wz wx
wx

J yz

wv ww
ww
T y  2 z[ y  3z 29 y 

wz wy
wy

8

(2.4)

Các ứng suất (2.2) tương đương với:
2

J xz

h/ 2

h
ww
§h·
T x  2 [ x  3¨ ¸ 9 x 
wx
2
©2¹

0

(2.5)

2

J xz

 h/ 2

h
ww
§ h ·

T x  2 [ x  3¨ ¸ 9 x 
wx
2
© 2 ¹

0

(2.6)

2

J yxz

h
ww
§h·
T x  2 [ y  3¨ ¸ 9 y 
wy
2
©2¹

h/ 2

0

(2.7)

2

J yz

 h/ 2

h
ww
§ h ·
T x  2 [ y  3¨ ¸ 9 y 
wy
2
© 2 ¹

Lấy (2.5) trừ (2.6) ta được:
Thay

[x 0

0

(2.8)

4
ww
 h2 (T x  )
3
wx

(2.9)

[x 0

vào (2.5) và (2.6) suy ra ] x

Thực hiện tương tự với phương trình (2.7) và (2.8) ta có:

4
3

[ y 0 và ] y  h2 (T y 
Thay

ww
)
wy

[ x , [ y , ] x , ] y vừa tìm được vào (2.1) ta có:
u( x, y, z ) u0 ( x, y)  zT x ( x, y) 
v( x, y, z )

v0 ( x, y)  zT y ( x, y) 

ww ·
4 3§
z ¨T x  0 ¸
2
wx ¹
3h
©

ww ·
4 3§

z ¨T y  0 ¸
2
3h
wy ¹
©

w( x, y, z) w0 ( x, y)
Đặt

(2.10)

ww0
wx

Ex ;

ww0
wy

Ey

Ta có trường chuyển vị (2.1) được viết lại như sau:

9

(2.11)


§
4z3 ·

4z3
u( x, y, z ) u0  ¨ z  2 ¸T x  2 E x
3h
© 3h ¹
§
4z3 ·
4z3
v( x, y, z ) v0  ¨ z  2 ¸T y  2 E y ;
3h
© 3h ¹

(2.12)

w( x, y) w0
Trường chuyển vị (2.11) chứa 7 ẩn số độc lập ^u0 v0 w0 T x T y E x E y

^

Trong đó: ^u0 v0 ` là các chuyển vị màng, w0 là độ võng, T x T y
T

quanh trục y, và trục x, E

^E , E `

T

x

y

`

`

T

cần xác định.
là các góc xoay

là các hàm độ cong.

2.1.2. Trường biến dạng:
Từ trường chuyển vị (2.4) các biến dạng được xác định như sau:
+ Biến dạng trong mặt phẳng

εp

­Hx ½
° °
3
® H y ¾ ε0  zκ1  z κ 2
°J °
¯ xy ¿

(2.13)

Trong đó:

ε0

­ wu0 ½
°
°
w
x
°
°
° wv0 °
®
¾
w
y
°
°
° wu0 wv0 °

°
°
w
wx ¿
y
¯

(2.14)

10


Vi

c 

1

ư wT x ẵ


x
w


wT y
đ
ắ
w
y


wT wT y
x

wx
wy

(2.15)

2

ư

ẵ
wT x wE x



wx
wx




wT y wE y



cđ
ắ
wy
wy


Đ wT
wT ã Đ wE
wE ã
ă x  y á  ă x  y á
wx ạ â wy
wx ạ
â wy

(2.16)

4
3h 2

+Bin dng ngoi mt phng (bin dng trt)

ưJ xz ẵ
đ ắ s  z 2 s
J yz

Vi

(2.17)

ê ww

T

x
ô wx
ằ
ô
ằ
ô ww  T ằ
y
ôơ wy
ằẳ

(2.18)

ê Ex  Tx
s c ô
ằ
ơE y  T y ẳ

(2.19)

s

2.1.3. Trng ng sut:
Quan h ng sut bin dng trong mt lp composite ca vt liu trc hng.

11


+ Ứng suất trong mặt phẳng:
­V 1 ½
° °
®V 2 ¾
°W °
¯ 12 ¿

ª Q11 Q12
«Q
« 21 Q22
«¬Q61 Q62

Q16 º ­ H1 ½

° °
Q26 »» ® H 2 ¾
°
Q66 »¼ °
¯J 12 ¿

(2.20)

+ Ứng suất ngoài mặt phẳng:

­°W 23 ½ ªQ44 Q45 º ­°J 23 ½
® ¾ «
»® ¾
¯°W13 ¿ ¬Q54 Q55 ¼ °¯J 13 ¿
Trong đó:

Q11

E1

1 Q 12Q 21

;

Q66 G12 ;

Q12

(2.21)

Q 12 E2
;
1 Q 12Q 21

Q44 G23 ;

Q22

E2

1 Q 12Q 21

;

Q55 G13 .

(2.22)

Với E1, E2 là các mô đun đàn hồi theo phương dọc và phương ngang sợi.

Xij : là các hệ số Poisson.
Gij : là các mô đun đàn hồi trượt

Hình 2.3: Tấm composite gia cường sợi một phương
với hệ tọa độ tổng thể (x,y,z) và hệ tọa độ địa phương (x1,x2,x3) [48].
Nếu lớp thứ k của tấm có trục 1 (trục theo phương hướng sợi) tạo với phương x một
góc

D

(xem hình 2.3) thì mối quan hệ giữa ứng suất biến dạng của lớp thứ k trong

hệ trục xOy như sau:

12