Chuyên đề về Đạo hàm lớp 11

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM
BUỔI 1:
ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa đạo hàm:
'
'
Đạo hàm của f (x ) tại x0 , kí hiệu f ( x0 ) hay y ( x0 )
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
f (x) − f (x 0 )
f ' (x 0 ) = lim
= lim
∆x →0
x→x0
∆x
x − x0
2. Quy tắc tính đạo hàm và cơng thức tính đạo hàm
*Các quy tắc :
Cho u = u ( x ) ; v = v ( x ) ; C : là hằng số .
•

( u ± v ) ' = u '± v '

•

( u.v ) ' = u '.v + v '.u

⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′

C.u ′
 u  u '.v v '.u

C
,
v

0

(
)
ữ=
ữ = 2
2
v
u
v
u
ã Nếu y = f ( u ) , u = u ( x ) ⇒ y′x = yu′ .u′x .
*Các cơng thức :
• ( C )′ = 0 ; ( x)′ = 1
•

•

( x ) ′ = n.x

•

( x )′ = 21x

n

( ) ′ = n.u

n −1

⇒ un
, ( x > 0) ⇒

.u ′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 )

n −1

( u ) ′ = 2u′u

, ( u > 0)

B. KĨ NĂNG CƠ BẢN
* Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:
+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo.
Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo).
∆y
+ Bước 2: Tính lim
suy ra f′(xo)
x → x o ∆x
*Cơng thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :

(ab'− a' b) x 2 + 2(ac '− a' c ) x + (bc '−b' c)
ax 2 + bx + c
 Dạng : y =
⇒ y’ =
( a ' x 2 + b' x + c ' ) 2

a ' x 2 + b' x + c '
ad .x 2 + 2ae.x + (be − dc)
ax 2 + bx + c
 Dạng : y =
⇒ y’ =
(dx + e) 2
dx + e
ad − cb
ax + b
 Dạng : y =
⇒ y’ =
(cx + d ) 2
cx + d

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tốn 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bài tập 1: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y = x2 + x
tại x0 = 1
x +1
b) y =
tại x 0 = 0
x −1
Lời giải


a) y = x2 + x
tại x0 = 1
Gọi ∆x là gia số của x tại x0 = 1
∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )

Ta có
= f (1 + ∆x) − f (1) = (1 + ∆x) 2 + (1 + ∆x) − 2 = 1 + 2∆x + ∆x 2 + 1 + ∆x − 2 = ∆x 2 + 3∆x
∆y
∆x 2 + 3∆x
∆x (∆x + 3)
lim
= lim
= lim
= lim (∆x + 3) = 3
∆x →0 ∆x
∆x → 0
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x
f ' (1) = 3
x +1
b) y =
tại x 0 = 0
x −1
Gọi ∆x là gia số của x tại x0 = 0
∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
Ta có
( 0 + ∆x ) + 1
∆x + 1
2 ∆x
= f (0 + ∆x) − f (0) =
− (−1) =
+1 =
( 0 + ∆x ) − 1

∆x − 1
∆x − 1
∆y
2∆x 1
2∆x
2
= lim
.
= lim
= lim
= −2
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆x − 1 ∆x
∆x →0 ∆x ( ∆x − 1)
∆x →0 ∆x − 1
f ' (0) = −2
 Nhận xét: Để tính hàm số y = f (x) trên khoảng (a;b) và x 0 ∈ (a; b) bằng định nghĩa ta chỉ
cần tính
∆y
∆y
∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ) sau đó lập tỉ số
rồi tìm giới hạn của
khi ∆x tiến dần về 0.
∆x
∆x
Bài tốn 2: Tính đạo hàm của hàm số theo quy tắc
Dạng 1: Tính đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương.
Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
2x − 3

5
a) y = 2 x + + 3 b) y = x 5 − 5 x 3 − 2 x 2 + 1 c) y =
d) y = (9 − 2 x)(3 x 2 − 3 x + 1)
x
x+4
Lời giải:
1
5
a) y = 2 x + + 3
x
lim

'

(

'

)

'
1


1
 1
'
y ' =  2 x 5 + + 3  = 2 x 5 +   + ( 3) = 10 x 4 +  − 2
x



 x
 x
5
3
2
b) y = x − 5 x − 2 x + 1

(

) ( ) ( ) (
'

'

1

4
 = 10 x − 2
x


)

y ' = x 5 − 5 x 3 − 2 x 2 + 1 = x 5 '−5 x 3 − 2 x 2 '+(1) ' = 5 x 4 − 15 x 2 − 4 x
2x − 3
c) y =
x+4
'

'
'
11
 2 x − 3  (2 x − 3) ( x + 4) − ( x + 4) (2 x − 3) 2( x + 4) − (2 x − 3) 2 x + 8 − 2 x + 3
y' = 
=
=
=
=

2
2
2
( x + 4)
( x + 4)
( x + 4)
( x + 4) 2
 x+4 
d) y = (9 − 2 x)(3 x 2 − 3 x + 1)
'

2


y ' = (9 − 2 x)(3 x − 3 x +1) = (9 − 2 x) ' (3 x 2 − 3 x + 1) + (3 x 2 − 3 x + 1) ' (9 − 2 x)
= −2(3 x 2 − 3 x + 1) + (6 x − 3)(9 − 2 x)


= −6 x 2 + 6 x − 2 + 54 x − 12 x 2 − 27 + 6 x
= −18 x 2 + 66 x − 29

 Nhận xét: Để tìm đạo hàm của hàm số y = f (x) ta chỉ cần xác định dạng của hàm số rồi
áp dụng các cơng thức và phép tốn của đạo hạm để tính đạo hàm của hàm số.
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm hợp
Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (2 x 4 + 4 x − 3)1994 ;

(

2
x5

; c) y =

b) y = 2 2 x 2 −1

d) y = x 5 − 2 x 2 − 2

)

3

Lời giải:
a) y = (2 x 4 + 4 x − 3)1994

y' = 1994(2x 4 + 4x − 3)1993 (2x 4 + 4x − 3) '
= 1994(2x + 4x − 3)
4

c) y =

1993

(8x + 4)
3

2
x5

b) y = 2 2 x 2 −1
y =2

(2 x 2 − 1) '

'

2 2 x − 1)
2

4x

=

2 x 2 − 1)

)
(
y = ( x − 2 x − 2 ) 


= 3( x − 2 x − 2 ) ( x − 2 x − 2 )

= 3( x − 2 x − 2 ) ( x ) − 2( x − 2 )
( x − 2)
= 15( x − 2 x − 2 ) x − 2
2 x −2
2x
= 15( x − 2 x − 2 ) x −
x −2

d) y = x 5 − 2 x 2 − 2
'

5

4

( x )'
5x
10
 1 
y ' = 2 5  = −2
= −2 10 = − 6
2
x
x
x 
x5

( )

'

5

2

5

2

5

2

5

2

2

'

3

2

5

3

5 '

2

'

2

2

2

4

'

'

2

5

2

2

4

2

Bài tốn 3: Giải bất phương trình.

 Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f (x ) và g (x) (nếu có)
Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay f ' ( x) và g ' ( x) (nếu có) vào điều kiện tìm
nghiệm x 0
Bước 3: Lập bảng xét dấu rồi kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau:
1 3 5 2
a) f ' ( x) < 0
,với f ( x) = x − x + 6 x
3
2
2
x + 3x − 9
b) g ' ( x) ≤ 0
,với g ( x) =
x−2
1
2 3 1 2
3
2
c) f ' ( x) < g ' ( x) ,với f ( x) = x + x − ; g ( x) = x + x + 2 x
2
3
2
Lời giải:
1
5
3
2
a) f ' ( x) < 0, với f ( x) = x − x + 6 x

3
2
Ta có f ' ( x) = x 2 − 5 x + 6
2
Mà f ' ( x) < 0 ⇔ x − 5 x + 6 < 0
⇔2< x <3
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(2 ; 3)


x 2 + 3x − 9
x−2
2
x − 4x + 3
'
Ta có g ( x) =
( x − 2) 2

b) g ' ( x) ≤ 0

,với g ( x) =

Mà g ' ( x) ≤ 0

 x 2 − 4x + 3 ≤ 0
1 ≤ x ≤ 3
⇔
⇔
⇔ x ∈ [ 1;3] \ { 2}
x
≠

2
x
−
2
≠
0


Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=[1 ; 3]\2
1
2 3 1 2
3
2
c) f ' ( x) < g ' ( x) , với f ( x) = x + x − ; g ( x) = x + x + 2 x
2
3
2
'
2
2
Ta có f ( x) = 3 x + 2 x , g ' ( x) = 2 x + x + 2
Mà f ' ( x) < g ' ( x)
⇔ 3x 2 + 2 x < 2 x 2 + x + 2 ⇔ 3 x 2 + 2 x − 2 x 2 − x − 2 < 0 ⇔ x 2 + x − 2 < 0 ⇔ −2 < x < 1
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(-2 ; 1)
 Nhận xét: Tùy thuộc vào đề bài ta tính được đạo hàm của f (x) và g (x) (nếu có) sau đó
đem thế vào điều kiện có được từ đề bài để tìm nghiệm của bất phương trình.
Luyện tập củng cố:
Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
x3 x2
1) y =

ĐS: y ′ = x 2 − x + 1
− + x− 5
3 2
x
1
5
4
2) y = 2 x − + 3
ĐS: y ′ = 10 x −
2
2
2 4 5
6
2 8 15 24
3) y = − 2 + 3 − 4
ĐS: y ′ = − 2 + 3 − 4 + 5
x x x 7x
x
x
x 7x
2
3
2
2
4) y = 5 x (3 x − 1) = 15 x − 5 x
ĐS: y ′ = 45 x − 10 x
Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1
1) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)
9) y = 2

2
3
2) y = ( x + 5)
2 x + 3x − 5
2
2
10) y = x 2 + 6 x + 7
3) y = ( x + 1)(5 − 3x )

(

)

2

4) y =  + 3x÷ x − 1
x

5) y = 2 x 3
6) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5
7) y = 3 x 4 + x 2

2x2 − 5
8) y =
x+2

11) y = x − 1 + x + 2
12) y = ( x + 1) x 2 + x + 1
13) y =
14) y =

x 2 − 2x + 3
2x + 1
1+ x

1− x


D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN.
Câu 1: Số gia của hàm số
, ứng với:
A. 19
B. -7
C. 7
Câu 2: Số gia của hàm số
theo và
A.

B.

là:
D.
của đối số tại

C.

của hàm số

A. 2

D. 0

ứng với số gia

B.

Câu 4: Tỉ số

là:

C.

Câu 3: Số gia của hàm số
A.

và

D.

theo x và

B. 2

là:

C.

D. −

Câu 5: Đạo hàm của hàm số

tại
là:
A. 0
B. 2
C. 1
2x + 1
Câu 6: Hàm số y =
có đạo hàm là:
x −1
1
3
/
/
A. y/ = 2
B. y = −
C. y = −
2
( x − 1)
( x − 1) 2
Câu 7: Hàm số y =
/
A. y =

( x − 2)

− x 2 + 2x
(1 − x ) 2

là:

D. 3

/
D. y =

1
( x − 1) 2

2

1− x

có đạo hàm là:

/
B. y =

x 2 − 2x
(1 − x ) 2

/
D. y =

C. y/ = –2(x – 2)

x 2 + 2x
(1 − x ) 2

2

1− x 
 . Đạo hàm của hàm số f(x) là:
Câu 8: Cho hàm số f(x) = 

1+ x 
/
A. f ( x ) =

− 2(1 − x )
(1 + x ) 3

/
B. f ( x ) =

− 2(1 − x )
x (1 + x ) 3

Câu 9: Đạo hàm của hàm số
A.

B.

/
C. f ( x ) =

x (1 + x ) 2

trên khoảng
C.
là:

A.

B.

C.

D.

Câu 11: Đạo hàm của hàm số

là:
B.

/
D. f ( x ) =

là:
D.

Câu 10: Đạo hàm của hàm số

A.

2(1 − x )

2(1 − x )
(1 + x )

C.

D.

Câu 12: Đạo hàm của hàm số
A.

là:

B.

C.

D.

Câu 13: Đạo hàm của hàm số
A.

là:

B.

C.

Câu 14: Cho hàm số

D.

. Giá trị của x để y’ > 0 là:

A.

B.

C.

D.

Câu 15: Đạo hàm của hàm số

bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 16: Phương trình
biết
A. S={1}
B. S = {2}

có tập nghiệm là:
C. S = {3}
D.S = ∅

Câu 17: Đạo hàm của hàm số

là:

A.

B.

C.

D. Không tồn tại đạo hàm

Câu 18: Đạo hàm của hàm số
A.

tại điểm

B.

C.

D.

Câu 19: Đạo hàm của hàm số
A. y ' =

2x2 + 2x +1
x2 + 1

là:

B. y ' =

là:
2x2 − 2x + 1
x2 + 1

1
là:
x2
3( x 2 + x)
B. y =
x3

C. y ' =

2x2 − 2x −1
x2 + 1

; D. y ' =

2x2 − 2x + 1
x2 − 1

Câu 20: Hàm số có y ' = 2 x +
A. y =

x3 + 1
x

C. y =

Câu 21: Tìm nghiệm của phương trình
A.

và

B.

Câu 22: Cho hàm số
A. 0
B. 1

và 4

x3 + 5 x − 1
x

D. y =

2x2 + x − 1
x

biết
C.

và 4

.
D.

. Giá trị biểu thức f(3) – 8f’(3) là:
C. 2
D. 3

và


Câu 23: Giả sử
A.

. Tập nghiệm phương trình
B.

Câu 24: Cho hai hàm số

C.
và

là:

D.
. Tính

.

A. 2
B. 0
Câu 25: Cho hàm số

C. Khơng tồn tại

D. -2
. Tìm m để
có hai nghiệm trái dấu.

A.

C.

B.

D.

__________________________________


BUỔI 2
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tiết 4
A. Kiến thức cơ bản
sin x
sin x
Giới hạn của
là
lim
=1
x
→
0
x

x
Bảng đạo hàm hàm số lượng giác
Đạo hàm của hàm số lượng giác:

( sin x ) ' = cos x

( sin u ) ' = u ' cos u

(sin n u ) ' = n sin n −1 u.( sin u )

( cos x ) ' = − sin x

( cos u ) ' = −u ' sin u

(cos n u )' = n cos n −1 u.(cos u )'

1
cos 2 x
( cot x ) ' = − 12
sin x

( tan u ) ' =

u'
cos 2 u
'
( cot ) ' = − u2
sin u

(tan n u )' = n tan n −1 u.(tan u )'

( tan x ) ' =

'

(cot n u )' = n cot n −1 u.(cot u )'

'
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u ' x và hàm số y = f (u ) có đạo hàm tại u là y( u ( x )) thì hàm hợp
y = f ( g ( x)) có đạo hàm tại x là:

'
y(' x ) =y(u(x))
.u(' x )

B. Kỹ năng cơ bản
sin x
0
= 1 trong một số giới hạn dạng
đơn giản.
x
0
- Tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác.
- Tính đạo hàm của một số hàm số hợp.
C. Bài tập luyện tập
Bài toán 1: Đạo hàm của hàm số lượng giác.
Dạng 1: Đạo hàm của hàm số y = sin x , y = cos x , y = tan x và y = cot x
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

- Biết vận dụng lim

x→0

b) y = tan x + cot x

a) y = sin x + cos x :

Lời giải:
y = tan x + cot x

y = sin x + cos x
y = (sin x + cos x)
'

a)

'

y ' = (sin x) ' + (cos x) '
y ' = cos x − sin x

c) y =

sin x + cos x
sin x − cos x

y ' = (tan x + cot x )'
b) y ' = (tan x)' + (cot x)'
1
1
y' =

− 2
2
cos x sin x


c) y =

sin x + cos x
sin x − cos x
'

 sin x + cos x 
y' = 
÷
 sin x − cos x 
(sin x + cos x)' (sin x − cos x) − (sin x − cos) ' (sin x + cos x)
=
(sin x − cos x) 2
(cos x − sin x )(sin x − cos x) − (cos x + sin x)(sin x + cos x)
=
(sin 2 x + cos 2 x = 1)
(sin x − cos x) 2
=

=

−(cos x − sin x)(− sin x + cos x) − (sin x + cos x)(sin x + cos x)
(sin x − cos x )2

−(cos x − sin x ) 2 − (sin x + cos x) 2

(sin x − cos x) 2

−(cos 2 x − 2 cos x sin x + sin 2 x) − (sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 x)
(sin x − cos x) 2
−(1 − 2 cos x sin x) − (1 + 2sin x cos x)
=
(sin x − cos x) 2
−2
=
(sin x − cos x) 2
Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp:
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
a) y = sin 2 ; b) y = 3 tan 2 2 x + cot 2 2 x
c) y = x 2 + 1. cot 2 x
x
Lời giải:
1
a) y = sin 2
x
'
'
1   1 
1
2
1

y ' =  sin 2  =  2  cos 2 = − 3 cos 2
x  x 
x

x
x

2
2
b) y = 3 tan 2 x + cot 2 x
y ' = (3 tan 2 2 x + cot 2 2 x)' = 6 tan 2 x(tan 2 x)' + 2 cot 2 x(cot 2 x) '
=

 (2 x)' 
(2 x) '
= 6 tan 2 x.
+ 2 cot 2 x − 2 
cos 2 2 x
 sin 2 x 
= 12 tan 2 x.

1
1
12 tan 2 x 4 cot 2 x
− 4 cot 2 x. 2
=
−
2
cos 2 x
sin 2 x cos 2 2 x sin 2 2 x

c) y = x 2 + 1. cot 2 x

d) y =

cos x
sin 3 x


) ( cot 2x ) + ( cot 2 x ) (
( x + 1)
(2 x)
=
( cot 2 x ) −
( x + 1)
sin 2 x
2 x +1
y' =

) (

(

'

x 2 + 1.cot 2 x =

2

'

'

x cot 2 x

x2 + 1
cos x
d) y =
sin 3 x

'

'

x2 +1

)

2

2

2

=

x2 +1

−

2 x2 + 1
sin 2 2 x

3

2
'
'
'
3
3
'
 cos x  (cos x) sin x − (sin x) cos x − sin x.sin x − 3sin x(sin x)  cos x
y = 3 ÷ =
=
(sin 3 x) 2
(sin 3 x) 2
 sin x 
− sin 4 x − 3sin 2 x.cos 2 x
=
sin 6 x
D. Bài tập TNKQ
(Làm tổng hợp cuối)
'


Tiết 5
VI PHÂN
A. Kiến thức cơ bản
Vi phân: y = f ( x ) ⇒ dy = f ′ ( x ) dx
Phép tính gần đúng: f(x0 + ∆ x) ≈ f(x0) + f’(x) ∆ x
B. Kỹ năng cơ bản
- Vi phân của một hàm số
- Giá trị gần đúng của một hàm số tại một điểm.
- Nắm chắc các quy tắc tính đạo hàm, vận dụng vào trong BT.

C. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Phép tính gần đúng
Ví dụ 1: Xác định giá trị của 3,99 với 4 chữ số thập phân.
Giải
Đặt f(x) = x , ta có
1
f’(x) =
.
2 x
Theo cơng thức tính gần đúng, với x0 = 4, ∆ x = -0,01 ta có f(3,99) =f(4 – 0,01) ≈ f(4) +f’(4)(-0,01), tức
là 3,99= 4 − 0,01 ≈
1
(-0,01)=1,9975
4+
2 4
Ví dụ 2: Tính giá trị của sin 30030′

π
π
+
nên ta xét hàm số
6 3600
π
π
f(x)=sinx tại điểm x0 = với số gia ∆x =
. Áp dụng ct
6
3600
f(x0 + ∆ x) ≈ f(x0) + f’(x) ∆ x
π 

π 
π π
π
sin  +
≈ sin +  cos ÷
0 ÷
6 
6  3600
 6 360 
Ta có:
1
3 π
= +
≈ 0,5076
2 2 3600
Do 30030’=

π 
π
+
≈ 0,5076
0 ÷
 6 360 

0
Vậy sin 30 30′ = sin 

Dạng 2: Vi phân
Ví dụ : Tìm vi phân của các hàm số sau:
1

x+2
tan x
a) y = 2
b) y =
c) y =
x
x −1
x
Lời giải
a) dy = −

2
dx
x3

D. Bài tập TNKQ
(Làm tổng hợp cuối)

b)

dy = −

3
dx
( x − 1) 2

c) dy =

(

2 x − sin 2 x
4 x xcos 2 x

) dx


Tiết 6
A. Kiến thức cơ bản
• f ( n ) ( x) = (f ( n ) (x)) '

ĐẠO HÀM CẤP HAI

• ( x n ) ' = n.x n −1
B. Kỹ năng cơ bản
Tính đạo hàm cấp hai của HS
Tính đạo hàm cấp cao của HS luọng giác, phân thức
Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lượng giác.
C. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Tính đạo hàm cấp hai
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x
a) y = sin3xcos2x
b) y = 2
x −1
2
c) y = x sin x
d) y = (1 − x 2 )cosx

y = sin 5 xcos2 x =

1
( sin 7 x + sin 3x )
2

1
( 7 cos 7 x + 3cos 3x )
2
1
y '' = − ( 49sin 7 x + 9sin 3 x )
2
x
1 1
1 
1  −1
−1 
y= 2
= 
+
⇒ y'= 
+
2

x − 1 2  x + 1 x − 1
2  ( x + 1) ( x − 1) 2 

a) y ′ =

b)

c)

d)

 1
1 
y '' = 
+
3
3
 ( x + 1) ( x − 1) 
y ' = 2 x.sin x − x 2 .cos x
y '' = (2 − x 2 )sin x + 4 x.cos x

y ' = −2 x.cos x + ( 1 − x 2 ) sin x
y '' = ( x 2 − 3) cos x + 4 x sin x

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng
a) y’ – y2 -1 = 0 với y = tanx.
b) y’ + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x.
c) y’2 + 4y2 = 4 với y = sin2x.
Giải
a) Ta có y =
'

Khi đó

1
cos 2 x

1
sin 2 x
1 − sin 2 x − cos 2 x
y − y −1 =
−
−1 =
cos 2 x cos 2 x
cos 2 x
1 − ( sin 2 x + cos 2 x )
1−1
=
=
=0
cos 2 x
cos 2 x
'

2

Vậy ta có điều cần chứng minh.
b) Ta có y = −
'

2
sin 2 2 x

Khi đó

−2 + 2 ( sin 2 2 x + cos 2 2 x )

2
2cos 2 2 x
y + 2y + 2 = − 2 +
+2=
=0
sin 2 x sin 2 2 x
sin 2 2 x
'

2

Vậy ta có điều cần chứng minh.
c) Ta có
y’ = 2cos2x

( )

Khi đó y '

2

+ 4 y 2 = 4cos 2 2 x + 4sin 2 2 x = 4

Vậy ta có điều cần chứng minh.
D. Bài tập TNKQ
(Làm tổng hợp cuối)


D. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. (NB) Hàm số y = sinx có đạo hàm là:

A. y/ = cosx
B. y/ = – cosx
1
/
C. y/ = – sinx
D. y =
cos x
Câu 2. (NB) Hàm số y = tanx có đạo hàm là:
1
A. y/ = cotx
B. y/ =
cos 2 x
1
C. y/ =
D. y/ = 1 – tan2x
2
sin x
Câu 3. (NB)Hàm số y = cotx có đạo hàm là:
1
A. y/ = – tanx
B. y/ = –
cos 2 x
1
C. y/ = – 2
D. y/ = 1 + cot2x
sin x
1
Câu 4. (TH) Hàm số y = (1+ tanx)2 có đạo hàm là:
2
/

A. y = 1+ tanx
B. y/ = (1+tanx)2
C. y/ = (1+tanx)(1+tanx)2
D. y/ = 1+tan2x
Câu 5. (TH) Hàm số y = sin2x.cosx có đạo hàm là:
A. y/ = sinx(2cos2x – 1) B. y/ = sinx(3cos2x + 1)
C. y/ = sinx(cos2x + 1) D. y/ = sinx(cos2x – 1)
Câu 6.

(TH) Hàm số y =

/
A. y =

/
C. y =

1 + cot 2 x
2

cot 2 x
1 + tan 2 2x
cot 2 x

cot 2 x có đạo hàm là:
/
B. y =

/
D. y =

− (1 + cot 2 2 x )
cot 2 x
− (1 + tan 2 2 x )
cot 2 x

π
 
Câu 7. (VDT) Cho hàm số y = cos3x.sin2x. Khi đó y/  3  bằng:
π
π
 
 
/ 3 
/ 3 
A. y
= –1
B. y
=1
π
1
 
C. y/  3  = – 2
Câu 8.

π 1
 
/ 3 
D. y
= 2

(VDT) Cho hàm số y = f ( x ) = 2 sin x . Đạo hàm của hàm số y là:
/
B. y =

A. y / = 2 cos x
/
C. y = 2 x cos

Câu 9.

1
x

1
x

/
D. y =

(VDC)Đạo hàm của hàm số

cos x
1
x cos x
là:


A.

B.

C.

Câu 10. (VDT) Cho các hàm số
hàm tại
A.

,

D.
,

. Hàm số nào có đạo

bằng 2.
B.

C.

Câu 11. (VDT) Cho hai hàm số
A. 0
B. 2
Câu 12. (VDC) Cho hàm số
A.

D.
và

C. 3

và

. Khi đó
D. -1
. Giá trị của x để
B.

bằng
là:

C.
D.
(k là số nguyên)
2
Câu 13. (NB) Cho hàm số y = f(x) = (x – 1) . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)?
A. dy = 2(x – 1)dx
B. dy = (x–1)2dx
C. dy = 2(x–1)
D. dy = (x–1)dx
Câu 14. (TH) Một hàm số y = f(x) = 1 + cos 2 2 x . Chọn câu đúng:
− sin 4 x
− sin 4 x
dx
df
(
x
)
=
dx

A. df ( x ) =
B.
2 1 + cos 2 2 x
1 + cos 2 2 x
cos 2 x
− sin 2 x
dx
dx
C. df ( x ) =
D. df ( x ) =
2
1 + cos 2 x
2 1 + cos 2 2 x
Câu 15. (NB) Cho hàm số y = x3 – 5x + 6. Vi phân của hàm số là:
A. dy = (3x2 – 5)dx
B. dy = –(3x2 – 5)dx
2
C. dy = (3x + 5)dx
D. dy = (–3x2 + 5)dx
1
Câu 16. (TH) Cho hàm số y = 3 . Vi phân của hàm số là:
3x
1
1
1
A. dy = dx
B. dy = 4 dx
C. dy = − 4 dx
4
x

x
x+2
Câu 17. (NB) Cho hàm số y =
. Vi phân của hàm số là:
x −1
dx
3dx
A. dy =
B. dy =
2
( x − 1)
( x − 1) 2
− 3dx
dx
C. dy =
D. dy = −
2
( x − 1)
( x − 1) 2
Câu 18. (TH) Cho hàm số y =
x 2 − 2x − 2
dx
A. dy = −
( x − 1) 2
2x + 1
dx
C. dy = −
( x − 1) 2

x2 + x +1

. Vi phân của hàm số là:
x −1
2x + 1
dx
B. dy =
( x − 1) 2
x 2 − 2x − 2
dx
D. dy =
( x − 1) 2

4
D. dy = x dx


Câu 19. (VDC) Vi phân của hàm số y =
A. dy =
C. dy =

2 x
2

dx

4x x cos x
2 x − sin( 2 x )
4x x cos 2 x

dx

tan x
x

là:
B. dy =

sin( 2 x )

dx
4x x cos 2 x
2 x − sin( 2 x )
dx
D. dy = −
4 x x cos 2 x

Câu 20. (VDT)Hàm số y = xsinx + cosx có vi phân là:
A. dy = (xcosx – sinx)dx
B. dy = (xcosx)dx
C. dy = (cosx – sinx)dx
D. dy = (xsinx)dx
x
Câu 21. (TH) Hàm số y =
có đạo hàm cấp hai là:
x−2
1
//
A. y// = 0
B. y =
( x − 2) 2
4

4
//
//
C. y = −
D. y =
2
( x − 2)
( x − 2) 2
Câu 22. (NB) Hàm số y = (x2 + 1)3 có đạo hàm cấp ba là:
A. y/// = 12(x2 + 1)
B. y/// = 24(x2 + 1)
///
2
C. y = 24(5x + 3)
D. y/// = –12(x2 + 1)
Câu 23. (NB) Đạo hàm cấp 2 của hàm số y = tanx bằng:
2 sin x
1
1
//
//
//
A. y = −
B. y =
C. y = −
3
2
cos x
cos x
cos 2 x

//
D. y =

2 sin x
cos 3 x

π

 π
Câu 24. (VDT)Xét hàm số y = f(x) = cos 2 x −  . Phương trình f(4)(x) = –8 có nghiệm x ∈ 0;  là:
3

 2
π
π
π
π
A. x =
B. x = 0 và x =
C. x = 0 và x =
D. x = 0 và x =
2
6
3
2
Câu 25. (VDC) Cho hàm số y = sin2x. Hãy chọn câu đúng:
A. 4y – y// = 0
B. 4y + y// = 0
C. y = y/tan2x

D. y2 = (y/)2 = 4


BUỔI 3:
Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại điểm x0 ∈ ( a;b) . Gọi (C) là đồ thị của hàm
số đó.
Định lí: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm
M0(x0;f(x0)).
*Phương trình tiếp tuyến
Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)) là:
y - y0 = f'(x0)(x - x0) trong đó y0 = f(x0).
2)Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a) Vận tốc tức thời: v(t0) = s'(t0)
b) Cường độ tức thời: I(t0) = Q'(t0)

B. KĨ NĂNG CƠ BẢN

1) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x)
Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y 0 )
Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.
2) Ứng dụng đạo hàm vào giải các bài tốn có nội dung vật lý

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x)
Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y 0 )
 Phương pháp giải:

Bước1: Xác định tọa độ x0 ; y 0
Bước 2: Tính đạo hàm của f ' ( x) tại x 0
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y 0 ), có dạng:
y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x 0 )

1 3
x + x 2 + 2 có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C):
3
a) Tại điểm (1 ; -1).
b) Tại điểm có hồnh độ bằng -3.
Lời giải:

Bài tập 1: Cho hàm số y =

Tại điểm (1;-1). Ta có x0 = 1 và y 0 = −1
f ' ( x ) = x 2 + 2 x ⇒ f ' (1) = 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
(1 ; -1), có dạng
y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x 0 )
⇔ y + 1 = 3( x − 1)
⇔ y = 3x − 4

Tại điểm có hồnh độ bằng -3
Gọi x 0 và y 0 là tọa độ tiếp điểm, khi đó Ta có x0 = −3
⇒ y0 = 2
f ' ( x ) = x 2 + 2 x ⇒ f ' (−3) = 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-3 ; 2), có dạng
y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 )
⇔ y − 2 = 3( x + 3)
⇔ y = 3 x + 11

Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.
 Phương pháp giải:
'
Bước 1:Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm, khi đó ta có f ( x0 ) = k
'
Bước 2: Giải f ( x0 ) = k để tìm x0 sau đó thế x0 vào hàm số y = f (x) để tìm y 0
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), có dạng :
y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x 0 )
1 3 1 2
Bài tập 2: Cho hàm số y = x − x + 1 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc bằng 2.
3
2
Lời giải:
Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 2
Ta có f ' ( x) = x 2 − x
Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm
x =2
f ' ( x0 ) = 2 ⇔ x02 − x0 = 2 ⇔ x02 − x0 − 2 = 0 ⇔  0
 x 0 = −1
5
1
* Với x0 = 2 ⇒ y 0 =
* Với x0 = −1 ⇒ y 0 =
3
6
'
⇒ f (2) = 2
⇒ f ' (−1) = 2

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1 ; ), có
5
6
(2 ; ), có dạng:
3
dạng:
y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 )
'
y − y0 = f ( x0 )( x − x0 )

1
= 2( x + 1)
6
13
⇔ y = 2x +
6

5
= 2( x − 2)
3
7
⇔ y = 2x −
3

⇔ y−

⇔ y−

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại hệ số góc tiếp tuyến bằng 3 là
7
13
y = 2x − ;
y = 2x +
3
6
Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 , khi đó:
− Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a.
1
a

− Nếu d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − .
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hồnh góc α khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan α sau
đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương
ứng.
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b một góc α khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn

k −a
= tan α hoặc chúng ta dùng tích vơ hướng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó
1 + ka

tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương
ứng.


Bài tập 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 2 . Viết pt tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
a) Song song với đường thẳng y = −3x + 1
1
b) Vng góc với đường thẳng y = x − 4

7
Lời giải
a) Vì phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −3x + 1 nên nó có hệ số góc là -3
1

x=
2
2

3
Do đó f ′ ( x ) = 3x − 10 x = −3 ⇔ 3 x − 10 x + 3 = 0 ⇔

x = 3
1
40
67
Với x = thì y0 =
Vậy pt tt là: y = −3x +
3
27
40
Với x=3thì y0 = −16 Vậy pt ttlà: y = −3x − 7
b) Gọi k là hệ số góc của pt tt .
1
1
Phương trình tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x − 4 khi k . = −1 ⇒ k = −7
7
7
x = 1
2

2
Với k=-7 ta có f ′ ( x ) = 3 x − 10 x = −7 ⇔ 3 x − 10 x + 7 = 0 ⇔ 
x = 7
3

Với x=1thì y0 = −2 Vậy pt ttlà: y = −7 x + 5
7
338
103
Với x = thì y0 = −
Vậy pt ttlà: y = −7 x +
3
27
27
3
Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x) = x − m( x + 1) + 1 (Cm). Viết phương trình tiếp tuyến của (C m) tại giao
điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích bằng 8.
Giải
TXĐ: D = ¡
Ta có (Cm) giao với Oy tại điểm A(0; 1 -m)
y / = f / ( x) = 3 x 2 − m . Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m
1− m
; 0) (m ≠ 0) suy ra
Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm B (
m
1
1
1− m
S ∆OAB = | y A | . | xB |= |1 − m | . |
|= 8 ⇔ 16 | m |= m 2 − 2m + 1

2
2
m
m = 9 ± 4 5
 −16m = m2 − 2m + 1  m 2 + 14m + 1 = 0
⇔
⇔
⇔


2
2
16
m
=
m
−
2
m
+
1
m
−
18
m
+
1
=
0
 m = 7 ± 4 3



Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho khơng cắt trục hồnh suy ra không tồn tại tam giác OAB. Vậy với
m = 9 ± 4 5

thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8.
 m = 7 ± 4 3
Bài tập 5: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x − 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các
trường hợp sau
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4.


b) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = −

1
x + 5 một góc 450.
2
Giải

TXĐ: D = ¡ . Ta có y = 6 x − 6 x − 12
a) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6.
Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó ta có

1 − 13
 x0 =
2
y / ( x0 ) = 6 ⇔ 6 x02 − 6 x0 − 12 = 6 ⇔ x02 − x0 − 3 = 0 ⇔ 

1 + 13
 x0 =


2
1 − 13
20 13 − 23
Với x0 =
ta có y0 =
khi đó tiếp tuyến cần tìm là
2
2
1 − 13 20 13 − 23
26 13 − 29
y = 6( x −
)+
⇔ y = 6x +
2
2
2
1 + 13
7 13 + 23
Với x0 =
ta có y0 = −
khi đó tiếp tuyến cần tìm là
2
2
1 + 13 7 13 + 23
13 13 + 29
y = 6( x −
)−
⇔ y = 6x −
2

2
2
/

2

b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đường thẳng y = −

1
x + 5 một góc 450 suy ra hệ số góc của tiếp
2

tuyến là k thoả mãn
1
1

k+
2 = tan 450 ⇔ 2k + 1 = 1 ⇔ 2k + 1 =| 2 − k |⇔  2k + 1 = 2 − k ⇔  k = 3
 2k + 1 = k − 2
k

2−k

1−
 k = −3
2
sau đó làm tương tự như phần a (Tìm tiếp điểm).

 19 
Bài tập 6: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y = 2 x 3 − 3x 2 + 5 đi qua điểm A  ; 4 ÷.

 12 
Giải
 19 
Giả sử đường thẳng đi qua A  ; 4 ÷ có hệ số góc k, khi đó nó có dạng
 12 
19
y = kx + 4 − k (d)
12
Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghịêm
19
 3
2
2 x − 3 x + 5 = kx + 4 − k (1)
12

6 x 2 − 6 x = k (2)

Thay (2) vào (1) ta có


2 x 3 − 3x 2 + 5 = (6 x 2 − 6 x) x + 4 −

19
(6 x 2 − 6 x) ⇔ 8 x3 − 25 x 2 + 19 x − 2 = 0
12


x = 1

2

( x − 1)(8 x − 17 x + 2) = 0 ⇔  x = 4

1
x =
8


 19 
Vậy có ba tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A  ; 4 ÷ ( Tự viết phương trình tiếp tuyến).
 12 
 Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến (C) của hàm số y = f (x) ta cần phải biết tọa độ x0
và y 0 hay hệ số tiếp tuyến k để tìm x0 và y 0 , sau đó tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x0
rồi áp dụng vào phương trình tiếp tuyến.
1 2
Bài tập 7: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động s = gt , trong đó g=9,8m/s2 và t tính
2
bằng giây. Vận tốc của vật tại thời điểm t=5s bằng:
A. 49m/s.
B. 25m/s.
C. 10m/s.
D. 18m/s.
Hướng dẫn giải
1 2
Ta có s = gt => s '(t) = g.t = v (t )
2
v
(5)
= 9,8.5 = 49 m/s
Khi đó
Chọn đáp án A

1 4
2
Bài tập 8: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t − 3t , trong đó t tính bằng giây
2
s và S được tính bằng mét m. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t=4s bằng:
A. 80m/s.
B. 32m/s.
C. 90m/s.
D.116m/s.
Hướng dẫn giải:
S '(t ) = 2t 3 − 6t = v(t )
Ta có
a (t ) = 6t 2 − 6
Vậy gia tốc tại t=4s là a(t)=90
Bài tập 9: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện ( đơn vị mA ) là một hàm số theo thời gian t :
I(t ) = 0,3 − 0, 2t . Hỏi tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong 0,05s là bao nhiêu ?
A. 0,29975mC
B. 0,29mC
C. 0,01525mC
D. 0,0145mC
Hướng dẫn giải
Tổng điện tích qua trong mạch trong là: (0,3-0,2.0,05).0,05=0,0145
Chọn đáp án C.
* Bài tập củng cố
Bài tập 1:
Cho (P) có phương trình: y = x2
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P):
a) Tại điểm (-2;4)
b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng y = 3x - 2.
Bài giải:

a)Hệsố góc của tiếp tuyến cần tì
m là:
f'( 2) = 4
b)Ph ơng trì
nh hoành đ
ộ giao đ
iểm:
x = 1
x2 = 3x − 2 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2

f '( 1) = 2

f '( 2) = 4

Bài tập 2:
Gọi (C) là đồ thị hàm số: y = x3 - 5x2 + 2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng y = -3x + 1
b) Vuông góc với đường thẳng y =

1
x− 4
7

c) tại điểm A(0; 2)
Đáp số:
a) y = -3x - 7 và y = -3x + 67/27

b) y = -7x + 5 và y = -7x + 103/27
c) y = 2

và y = −

25
x+ 2
4

Bài tập 3 : Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :
1.
Tại điểm có hồnh độ bằng -1.
2.
Tại điểm có tung độ bằng 2.
3.
Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3.
4.
Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+1
5.
Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=−124x+2
6.
Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C).
7.
Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1;−2)
Bài tập 4: Cho đường cong (C): y = x 3 − 3 x 2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
1.
2.
3.
Bài
1.

2.
3.
Bài

Tiếp điểm có hồnh độ là 2.
Tiếp tuyến có hệ số góc k = 9.
Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3).
x2 + x + 1
tập 5: Cho đường cong (C): y =
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
x
Tiếp điểm có tung độ bằng -1
Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x – 3y + 10 = 0.
Tiếp tuyến đi qua điểm M(2;3).
tập 6: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x( x − 3) 2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

(d): y = 24x – 2.


Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =

x−2
biết tiếp tuyến đó vng góc với đường
x +1

thẳng (d): x + 3y – 4 = 0.
Bài tập 8: Cho đường cong (C): y = x 4 + x 2 + 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
1.
2.
3.

Bài
1.
2.
Bài
1.
2.
3.
Bài

Tại điểm có tung độ là 1.
Biết hệ số góc của tiếp tuyến là 6.
Biết tuyến tuyến song song với đường thẳng y + 1 = 0.
1 4
2
tập 9: Cho đường cong (C): y = x − x + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
4
Tiếp tuyến có hệ số góc k = 3.
Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d):x−4y+12=0.
x +1
tập 10: Cho đường cong (C): y =
Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
x−2
Biết hồnh độ tiếp điểm bằng 1.
Tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + 3y – 1 = 0.
tập 11: Cho đường cong (C): y = 2 x 3 − 3x 2 + 9 x − 4 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao

điểm của nó với:
1.
Đường thẳng (d):y=7x+4.

2.
Parabol (P): y = − x 2 + 8 x − 3
3.
Đường cong (C′): y = x 3 − 4 x 2 + 6 x − 7
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN.
Câu 1: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
A. 12
B. -12
C. 192
Câu 2: Một chất điểm chuyển động có phương trình
của chất điểm tại thời điểm
A.

(giây) bằng:

B.

C.

Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của Parabol
A.

tại điểm M(-2; 8) là:
D. -192
(t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc

B.

D.
tại điểm M(1; 1) là:

C.

D.

Câu 4: Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình
tại điểm
A. 15(A)

bằng:
B. 8(A)

C. 3(A)

Câu 5: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động
tốc tại thời điểm

bằng:

A.

B.

Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
A.

thì cường độ dịng điện tức thời

B.

D. 5(A)
,

C.

và t tính bằng s. Vận

D.

tại điểm có hồnh độ
C.

có phương trình là:
D.


Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trục tung là:

tại giao điểm của đồ thị hàm số với

A.

D.

B.

C.

Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

A.
C.

và
và

có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 là:

B.

và

D.

và

Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
là:
A.
và
B.

và

C.

và

và

D.

Câu 10: Cho hàm số
đó là:
A.
B.
Câu 11: Biết tiếp tuyến của Parabol
tuyến đó là:
A.
B.

có tung độ của tiếp điểm bằng 2

có tiếp tuyến song song với trục hồnh. Phương trình tiếp tuyến
C.

D.

vng góc với đường thẳng
C.

. Phương trình tiếp

D.

Câu 12: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
, trong đó t được tính
bằng giây và S được tính bằng mét. Thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là:
1
A. 3s

B. 1s
C. s
D. 2s
3
1
Câu 13: Tìm trên đồ thị y =
điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành
x −1
một tam giác có diện tích bằng 2.
3 
3

 3

 3 
A.  ; 4 ÷
B.  ; −4 ÷
C.  − ; −4 ÷
D.  − ; 4 ÷
4 
4

 4

 4 
Câu 14: Một viên đá được ném lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với phương trình chuyển động
là s = t3 – t2 + t (m) (bỏ qua sức cản của khơng khí). Thời điểm tại đó tốc độ của viên đá bằng 0 là:
A. 1s
B.
C. 5s

D.
Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = cotx tại điểm có hồnh độ
A. -2
B. 3
C. 1
Câu 16: Một vật chuyển động với phương trình
tính bằng
A.

D. 0
, trong đó

là:

, tính bằng ,

. Tìm gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc của vật bằng 11.
B.

C.

D.

Câu 17:Điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong
tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là:
A. M(1; –3), k = –3
B. M(1; 3), k = –3
C. M(1; –3), k = 3
D. M(–1; –3), k = –3

Câu 18 : Cho hàm số y =

ax + b
có đồ thị cắt trục tung tại A(0; –1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = –
x −1

3. Các giá trị của a, b là:
A. a = 1; b=1

B. a = 2; b=1

C. a = 1; b=2

Câu 19 : Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – mx2 +
x = –1 vng góc với đường thẳng 2x – y – 3 = 0
3
3
A.
B. −
4
4

C.

D. a = 2; b=2
5
tại điểm có hoành độ
4

1
4

D.

3x + 4
là:
x −1
C. y = 3

5
6

Câu 20: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số y =
A. y = -28x + 59

B. y = 28x - 53
3

D. y = 3; y = x+1

2

Câu 21:Cho hàm số y = x – 6x + 7x + 5 (C), trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm
nào bằng 2?
A. (–1; –9); (3; –1)
B. (1; 7); (3; –1)
C. (1; 7); (–3; –97)
D. (1; 7); (–1; –9)
Câu 22:Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hồnh độ x =

A. k = 1

B. k =

1
2

C. k =

2
2

π
:
4

D. 2

Câu 23:Gọi (P) là đồ thị hàm số y = 2x 2 – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà (P) cắt
trục tung là:
A. y = –x + 3
B. y = –x – 3
C. y = 4x – 1
D. y = 11x + 3
Câu 24:Đồ thị (C) của hàm số y =
trình là:
A. y = –4x – 1

3x + 1
cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại A có phương

x −1

B. y = 4x – 1

C. y = 5x –1

D. y = – 5x –1

4

Câu 25:Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x + x. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d:
x + 5y = 0 có phương trình là:
A. y = 5x – 3
B. y = 3x – 5

C. y = 2x – 3

D. y = x + 4