Chuyên đề về lượng giác lớp 11

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC
CHỦ ĐỀ 1
CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
(3 Tiết)

cosα = x = OH
sinα = y = OK
sinα
tanα =
= AT
cosα
cosα
cotα =
= BS
sinα

sin

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA,OM ) = α . Giả sử M (x; y) .

tang

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

B
K



π
 α ≠ + kπ ÷

2


T
cotang

S
M
α

O

( α ≠ kπ )

H

A

cosin

Nhận xét:
• ∀α , − 1 ≤ cosα ≤ 1; − 1≤ sinα ≤ 1
• tanα xác định khi α ≠

π

+ kπ , k ∈ Z
2

• cotα xác định khi α ≠ kπ , k ∈ Z

• sin(α + k2π ) = sinα

• tan(α + kπ ) = tanα

cos(α + k2π ) = cosα

cot(α + kπ ) = cotα

2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
cosα
sinα
tanα
cotα

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

1

I

II

III

IV

+
+
+
+

–
+
–
–

–
–
+
+

+
–
–
–


0

π
6

π

4

π
3

π
2

2π
3

3π
4

π

3π
2

2π

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2

2

0

–1

0

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

–1

0

1

tan

0

3
3

1

3

3

1

3
3

cot

0

−

1
2

−

2
2

− 3

–1

3
3

–1

−

0

0
0

4. Hệ thức cơ bản:

sin2α + cos2α = 1;

tanα .cotα = 1;

1+ tan2 α =

1
cos2 α

; 1+ cot2 α =

1
sin2 α

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau

Góc bù nhau

Góc phụ nhau

cos(−α ) = cosα

sin(π − α ) = sinα

π

sin − α ÷ = cosα
2


sin(−α ) = − sinα

cos(π − α ) = − cosα

π

cos − α ÷ = sinα
2


tan(−α ) = − tanα

tan(π − α ) = − tanα

π

tan − α ÷ = cotα
2


cot(−α ) = − cotα

cot(π − α ) = − cotα

π

cot  − α ÷ = tanα
2


2


π
2

Góc hơn kém π

Góc hơn kém

sin(π + α ) = − sinα

π

sin + α ÷ = cosα
2


cos(π + α ) = − cosα

π

cos + α ÷ = − sinα
2


tan(π + α ) = tanα

π

tan + α ÷ = − cotα
2


cot(π + α ) = cotα

π

cot + α ÷ = − tanα

2


II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
sin(a + b) = sin a.cosb + sin b.cosa

tan(a + b) =

tana + tanb
1− tan a.tanb

tan(a − b) =

tana − tanb
1+ tan a.tan b

sin(a − b) = sin a.cosb − sin b.cosa
cos(a + b) = cosa.cosb − sin a.sin b
cos(a − b) = cosa.cosb+ sin a.sin b

2. Công thức nhân đôi
sin2α = 2sinα .cosα
cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1− 2sin2 α

tan2α =

2tanα
1− tan2 α

;

1− cos2α
2
1+ cos2α
2
cos α =
2
1
−
cos2
α
tan2 α =
1+ cos2α

cot2α =

cot2 α − 1
2cotα

sin3α = 3sinα − 4sin3 α
cos3α = 4cos3 α − 3cosα
3tanα − tan3 α
tan3α =
1− 3tan2 α

sin2 α =

3. Công thức biến đổi tổng thành tích

3


tana + tanb =

sin(a + b)
cosa.cosb

tana − tanb =

sin(a − b)
cosa.cosb

a+ b
a− b
.cos
2
2

cot a + cot b =

sin(a + b)
sina.sinb

a+ b
a− b
.sin
2
2

cot a − cot b =

sin(b − a)
sin a.sinb

cosa + cosb = 2cos

a+ b
a− b
.cos
2
2

cosa − cosb = − 2sin
sina + sinb = 2sin

sina − sin b = 2cos

a+ b
a− b
.sin
2
2



π
π
sinα + cosα = 2.sin α + ÷ = 2.cos α − ÷
4

4





π
π
sinα − cosα = 2sin α − ÷ = − 2cos α + ÷

4

4
4. Công thức biến đổi tích thành tổng

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung:
+ Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác
định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.
+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để
xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của
cung α và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục
nằm (Ox) là trục cosin; khi α thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm
trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó
xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào
dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+;
-/+= -

2. Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung:

+ Nếu biết trước sin α thì dùng công thức: sin 2 α + cos 2α = 1 để tìm cosα , lưu ý:xác

định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. tan α =
cot α =

1
tan α

4

sin α
cosα
; cot α =
hoặc
cosα
sin α


+ Nếu biết trước cosα thì tương tự như trên.
+ Nếu biết trước tan α thì dùng công thức: 1 + tan 2 α =

1
để tìm cosα , lưu ý:
cos 2α

xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. sin α = tan α .cosα , cot α =

1
tan α

3. Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:
Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7 hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng
đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành vế kia.
biến đổi một vế thành vế kia)

( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2
3
( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
a 2 − b2 = ( a + b ) ( a − b )

sin 2 α + cos 2α = 1
π


tan α .cot α = 1  α ≠ k , k ∈ ¢ ÷
2


1
π


1 + tan 2 α =
 α ≠ + kπ , k ∈ ¢ ÷
2
cos α 
2


1
1 + cot 2 α =
( α ≠ kπ , k ∈ ¢ )
sin 2 α
sin α
cosα
tan α =
; cot α =
cosα
sin α

2

4. Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:
+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai π ”
+ Chú ý: Với k ∈ ¢ ta có:
sin ( α + k 2π ) = sin α

cos ( α + k 2π ) = cosα

tan ( α + kπ ) = tan α

cot ( α + kπ ) = cot α

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Dạng 1:
Bài tập 1.1: Cho

π

< α < π . Xác định dấu của các giá trị lượng giác:
2

 3π

−α ÷
 2


a) sin 




b) cos  α +

π
÷
2

c) tan ( α + π )

π

d) cot  α − ÷
2

Giải
a)

π
π
π 3π
 3π

− α ÷> 0
< α < π ⇒ −π < −α < − ⇒ <
− α < π vậy sin 
2
2
2
2
 2


5






Dạng 2:
Bài tập 2.1: Tính các giá trị lượng giác của góc α biết:
3
π
với < α < π
5
2
4

π
cosα = , 0 < α <
13
2
4 3π
tan α = − ,
< α < 2π
5 2
3π
cot α = −3,
< α < 2π
2
2
π
sin α = − , 0 < α <
5
2
3π
cosα = 0,8 với
< α < 2π
2

13
π
,0 < α <
8
2
19 π
cot α = − , < α < π
7 2

1
3π
cosα = − , π < α <
4
2
2 π
sin α = , < α < π
3 2
7
π
tan α = , 0 < α <
3
2
4 3π
cot α = − ,
< α < 2π
19 2

a) sin α =

g) tan α =

b)

h)

c)
d)
e)
f)

i)
j)
k)
l)
Giải

a) Do

π
< α < π nên cosα < 0, tan α < 0, cot α < 0
2

4

cosα = ( loai )

16
5
sin 2 α + cos 2α = 1 ⇒ cos 2α = 1 − sin 2 α =
⇔
25
cosα = − 4 ( nhan )

5
tan α =

c) Do

sin α

3
4
= − ; cot α = −
cosα
4
3

3π
< α < 2π nên sin α < 0, cosα > 0, cot α < 0
2

5

cosα =
( nhan )

1
25
41
2
2
1 + tan α =
⇒ cos α =
⇔
5
cos 2α
41

cosα = − 41 ( loai )
sin α = cosα .tan α = −

4
1
41
; cot α =
=−
41
tan α
4

Các bài tập còn lại làm tương tự.
Bài tập 2.2: Biết sin a =

1
π
α
và < a < π . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc: 2α ;
3
2
2

6


a) Do

π
2 2
< a < π nên cos a < 0 ⇒ cos a = −
2

3

sin 2a = 2sin a cos a = −

4 2
9

cos2a = cos 2 a − sin 2 a =

7
9

tan 2a =

b)

4 2
7
;cot a =
7
4 2

π
π α π
α
α
< a < π ⇒ < < ⇒ cos > 0,sin > 0
2
4 2 2
2

2

sin 2

a 1 − cos a
a
1 − cos a
3+ 2 2
=
⇒ sin =
=
2
2
2
2
6

cos

a
1 + cos a
3−2 2
=
=
2
2
6

t an

a
a
= 3 + 2 2; cot = 3 − 2 2
2
2

Bài tập 2.3: Tính cos2a,sin 2a, tan 2a biết:
a) cos a = −

5
3π
, π ;
13
2
3
5

b) sin a = − , π < a <
c) sin a + cos a =

cos a = −

5 π
, < a <π ;
13 2

4
π
cos a = , − < a < 0

5
2

3π
2

1
3π
< a <π
và
2
4

Hướng dẫn:
a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi.
sin a = −

12
120
119
2
2
; sin 2a =
; cos2a = cos a − sin a = −
hoặc cos2a = 2 cos 2 a −1 ;
13
169
169

tan 2a = −

120
169

c) sin a + cos a =

1
1
1
3
2
⇔ ( sin a + cos a ) = ⇔ 1 + sin 2 a = ⇒ sin 2a = −
2
4
4
4

7


3π
3π
< a <π ⇒
< 2a < 2π ⇒ cos2a > 0 ;
4
2

tan 2a = −

+

7
4

3
7

Bài tập 2.4: Cho sin 2a = −
+ Vì

cos2a = 1 − sin 2 2a =

5
π
và < a < π . Tính sina, cosa
9
2

π
< a < π nên sin a > 0, cos a < 0
2

π
< a < π ⇒ π < 2a < 2π nên cos2a có thể dương và có thể âm
2

cos2a = ± 1 − sin 2 2a = ±

TH1: cos2a =
cos a = −

2 14
9

1 + cos2a
2 + 14
=−
2
6

TH2: cos2a = −
cos a = −

2 14
9

; sin a =

1 − cos2a
14 − 2
=
2
6

; sin a =

1 − cos2a 2 + 14
=
2
6

2 14
9

1 + cos2a
14 − 2
=
2
2

Dạng 3:
Bài tập 3.1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:
a)

sin 3 a + cos3a
= 1 − sin a cos a Biến đổi:
sin a + cos a

sin 3 a + cos3a = ( sin a + cos a ) ( sin 2a − sin a cos a + cos 2a )
sin 2 a − cos 2 a tan a − 1
2
2
=
Biến đổi: sin a − cos a = ( sin a + cos a ) ( sin a − cos a ) , chia tử và
1 + 2sin a cos a t ana + 1
mẫu cho cos a

b)

c) sin 4 a + cos 4 a − sin 6 a − cos 6 a = sin 2 a cos 2 a Biến đổi:

sin 6 a + cos 6 a = ( sin 2 a + cos 2 a ) ( sin 4 a − sin 2 a cos 2 a + cos 4 a )

8


d)

t ana − tan b
1
1
= tan a tan b Biến đổi: cot b − cot a =
−
cot b − cot a
t anb t ana

6
6
4
4
e) 2 ( sin a + cos a ) + 1 = 3 ( sin a + cos a )

VT = sin 6 a + cos 6 a = 2 ( sin 2 a + cos 2 a ) ( sin 4 a − sin 2 a cos 2 a + cos 4a ) + 1
= 2 ( sin 4 a + cos 4 a ) + 1 − 2sin 2 a cos 2 a = 2 ( sin 4 a + cos 4 a ) + ( sin 2 a + cos 2 a ) − 2sin 2 a cos 2 a = VP
2

4
4
6
6

f) 3 ( sin x + cos x ) − 2 ( sin x + cos x ) = 1

Sử dụng a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab và a 3 + b3
2

g) tan 2 a − sin 2 a = tan 2 a.sin 2 a
sin 2 a
VT =
− sin 2 a = sin 2 a ( 1 + tan 2 a − 1) = VP
2
cos a

h)

sin a
1 + cos a
2
+
=
1 + cos a
sin a
sin a

sin 2 a + ( 1 + cos a )
sin 2 a + 1 + 2 cos a + cos 2 a
VT =
=
= VP
sin a ( 1 + cos a )
sin a ( 1 + cos a )

2

i) cos 4 a − sin 4 a = 2 cos 2 a − 1
Sử dụng a 2 − b 2
j) 1 + 2 tan 2 a =
VP =

k)

1 + sin 2 a
( nếu sin a ≠ ±1 )
1 − sin 2 a

1 + sin 2 a
1
sin 2 a
=
+
= ... = VT
cos 2 a
cos 2 a cos 2 a

sin 2 a − cos 2 a 1 − cot a
=
1 + 2sin a cos a 1 + cot a

VT =

( sin a − cos a ) ( sin a + cos a )
( sin a + cos a )

2

sin a − cos a
sin a
=
= VP
sin a + cos a
sin a

l) cot 2 a − cos 2 a = cot 2 a cos 2 a
cos 2 a ( 1 − sin 2 a )
cos 2 a
2
VT =
− cos a =
= VP
sin 2 a
sin 2 a

9


m) tan 2 a − sin 2 a = tan 2 a sin 2 a
n)

t ana sin a
−
= cos a
sin a cot a

1 + sin 2 a
= 1 + 2 tan 2 a
o)
2
1 − sin a

p)

cos 2 a − sin 2 a
= sin 2 a.cos 2 a
cot 2 a − tan 2 a

Bài tập 3.2: Chứng minh các đẳng thức sau:
1
2

3
4

1
4

a) sin 4 a + cos 4 a = 1 − sin 2 2a = + cos4a
2
1
2
sin 4 a + cos 4 a = ( sin 2 a + cos 2 a ) − 2sin 2 a cos 2 a = 1 − 2. ( sin a cos a ) = 1 − sin 2 2a
2

1
1  1 − cos4a 
1 1
3 1
= 1 − sin 2 2a = 1 − 
÷ = 1 − + cos4a = + cos4a
2
2
2
4 4
4 4


( 1)

( 2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm
5 3
8 8

b) sin 6 a + cos 6 a = + cos4a
2
3
3
2
2
Hướng dẫn: x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) sau đó áp dụng x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy

1

4

c) sin a cos5 a − cos a sin 5 a = sin 4a
sin a cos5 a − cos a sin 5 a = sin a cos a ( cos 4 a − sin 4 a ) = sin a cos a ( cos 2 a − sin 2 a ) ( cos 2 a + sin 2 a ) = ...
1
4

d) cos8 a − sin 8 a = cos2a − sin 4a sin 2a
2
2
2
Sử dụng a − b = ( a − b ) ( a + b ) sau đó sử dụng a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab

e)

cos2a
cos a − sin a
=
1 + sin 2a cos a + sin a

VT =

cos 2 a − sin 2 a
cos 2 a − sin 2 a
=
= ...
1 + 2sin a cos a ( sin a + cos a ) 2

f) cot x + t anx =

2
sin 2 x

10


Hướng dẫn:

cos x s inx cos 2 x + sin 2 x
+
=
= ...
s inx cos x
sin x cos x

g) cot x − t anx = 2 cot 2 x phân tích như trên
h)

sin 2 x
= t anx
1 + cos2 x

i)

1 − cos2 x
2sin 2 x
= tan 2 x Hướng dẫn: VT =
= ...
1 + cos2 x
2 cos 2 x

Hướng dẫn: VT =

2sin x cos x
= ...
cos 2 x

1
4

3
3
j) cos a sin a − sin a cos a = sin 4a

Hướng dẫn: Tương tự như câu c
sin 3 a − cos3 a
sin 2a
= 1+
k)
sin a − cos a
2

l)

Sử dụng hằng đẳng thức a 3 − b3

cos a + sin a cos a − sin a
−
= 2 tan 2a
cos a − sin a cos a + sin a

Hướng dẫn: Quy đồng mẫu
m)

sin 2a − 2sin a
a
= − tan 2
sin 2a + 2sin a
2

2
Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng 1 − cos a = 2 sin

n)

1 + sin a
π a 
= cot 2  − ÷
1 − sin a
 4 2

π

π a 
1 + cos  − a ÷ 2 cos 2  − ÷
2
=
 4 2  = VP
VT =
π


π a
1 − cos  − a ÷ 2sin 2  − ÷
2

 4 2

0)

sin 2a + sin a
= t ana
1 + cos2a + cos a

Hướng dẫn: VT =

2 sin a cos a
= ...
2 cos 2 a + cos a

4sin 2 a
p)
a
a
1 − cos 2 = 16 cos 2
2
2

11

a

2


a
a
4.4sin cos
2
2 = VP
Hướng dẫn: VT =
2 a
sin
2

q)

tan 2a
= cos4a
tan 4a − tan 2a

VT =

r)

tan 2a
1 − tan 2 2a
=
= ...
2
2 tan 2a
1

+
tan
2
a
− tan 2a
1 − tan 2 2a

3 − 4 cos 2a + cos4a
= tan 4 a
3 + 4 cos 2a + cos4a

HD: cos4a = 2 cos 2 2a − 1 sau đó sử dụng cos2a − 1 = −2 sin 2 a
s)

sin a + sin 3a + sin 5a
= tan 3a
cos a + cos3a + cos5a

VT =

t)

( sin 5a + sin a ) + sin 3a = ...
( cos5a + cosa ) +cos3a

1 + cos a
a
tan 2 − cos 2 a = sin 2 a
1 − cos a
2

Sử dụng công thức hạ bậc 1 + cos a = 2 cos

2

a
2

Bài tập 3.3: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a
6
6
4
4
a) A = 2 ( sin a + cos a ) − 3 ( sin a + cos a )

Sử dụng a 3 + b3

A = −1

4
4
b) B = 4 ( sin a + cos a ) − cos4a

Sử dụng a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab và cos2a = 1 − 2sin 2 a
2

1
2

4

c) 4 cos a − 2 cos 2a − cos4a

Sử dụng cos2a=2cos 2 a − 1

C=

3
2

Dạng 4:

12

B=3


Bài tập 4.1: Đơn giản các biểu thức sau:
2
2
2
a) A = ( 1 − sin a ) cot a + 1 − cot a

A = cot 2 a − sin 2 a.cot 2 a + 1 − cot 2 a = 1 − sin 2 a

cos 2 a
= sin 2 a
2
sin a

2 cos 2 a − 1

b) B =
sin a + cos a
B=

cos 2 a − sin 2 a
= cos a − sin a
sin a + cos a

3
3
c) C = ( 1 + cot a ) sin a + ( 1 + t ana ) cos a

 cos a  3
 sin a  3
2
2
C = 1 +
÷sin a +  1 +
÷cos a = ( sin a + cos a ) sin a + ( cos a + sin a ) cos a = sin a + cos a
sin
a
cos
a





d) D =

sin 2 a − tan 2 a
cos 2 a − cot 2 a

2
1 

2 1 − cos a
sin 2 a  1 −
2
sin
a
÷
2
sin 4 a ( − sin a )
cos 2 a 

c
os
a
D=
=
=
.
= tan 6 a
2
4
2
1
1
−

sin
a
c
os
a


−
c
os
a
(
)
cos 2 a 1 − 2 ÷ cos 2 a
2
sin
a
sin
a



e) E = (

sin a + cos a ) − 1
2

cot a − sin a cos a

E=

sin 2 a + 2sin a cos a + cos 2 a − 1 2sin a cos a.sin a
=
= 2 tan 2 a
cos a.cos 2 a
 1

cos a 
− sin a ÷
 sin a


f) F =

1 − sin 2 a cos 2 a
− sin 2 a
2
sin a

1
 1

F =  2 − cos 2 a ÷− sin 2 a =
− ( cos 2 a + sin 2 a ) = 1 + cot 2 a − 1 = cot 2 a
2
sin a
 sin a

2 cos 2 a − 1
g) G =

sin a + cos a

G=

2 cos 2 a − ( sin 2 a + cos 2 a )
sin a + cos a

cos 2 a − sin 2 a
=
= cos a − sin a
sin a + cos a

2
2
h) H = sin a ( 1 + cot a ) + cos a ( 1 + t ana )

13


H = sin 2 a ( 1 + cot a ) + cos 2 a ( 1 + t ana ) = sin 2 a + sin 2 a

= sin 2 a + 2sin a cos a + cos 2 a = ( sin a + cos a )

2

i) I = cos 2 a + cos 2 a.cot 2 a

I= cot 2 a

j) J = sin 2 a + sin 2 a.tan 2 a

J= tan 2 a

k) K =

2 cos 2 a − 1
sin a + cos a

cos a
sin a
+ cos 2a + cos 2a.
sin a
cos a

K= cos a − sin a

Bài tập 4.2: Đơn giản các biểu thức:
π
π


− α ÷+ cos  α − ÷+ sin ( α − π )
2
2



2
2
a) A = sin α + sin 

b) B = sin 2

A=1

π
3π
+ sin 2
− cos 2α
8
8

Hướng dẫn: sin

3π
 π 3π
= cos  −
8
2 8

B= sin 2 α
π

÷ = cos
8


π
π


 5π


c) C = sin  x − ÷+ cos ( π − x ) + tan  − x ÷+ tan  x − ÷
2
2
2












C=-2cosx

π
 π


π

Hướng dẫn: sin  x − ÷ = sin  −  − x ÷ = − sin  − x ÷ = − cos x ;
2
2

2




 







cos ( π − x ) = − cos x

π
 5π



π

tan 
− x ÷ = tan  2π + − x ÷ = tan  − x ÷ = cot x
2
 2



2


π

tan  x − ÷ = − cot x
2

9π 
 17π


+ x ÷+ tan ( 5π − x ) − cot  x −
÷
2 
 2



d) D = sin ( π + x ) + cos 

D=-2sinx

 17π

π

+ x ÷ = cos  + x + 8 x ÷ = − s inx
 2

2


Hướng dẫn: cos 

9π 
  9π


 9π

π

π

cot  x −
− x ÷ = − cot 
− x ÷ = − cot  − x + 4π ÷ = − cot  − x ÷ = − t anx
÷ = cot  − 
2 


 2

2

2

  2
π

 3π


− a ÷+ cot ( 2π − a ) + tan 
−a÷
2

 2


e) E = sin ( π + a ) − có 

14

E=-2sina



 3π

π

π

Hướng dẫn: tan  − a ÷ = tan π +  − x ÷ = tan  − x ÷ = cot a
 2

2

2



Bài tập 4.3: Tính:
a) A = sin 2 100 + sin 2 200 + sin 2 300 + ... + sin 2 800 ( 8 số hạng)
A = ( sin 2 100 + sin 2 800 ) + ( sin 2 200 + sin 2 700 ) + ( sin 2 300 + sin 2 60 0 ) + ( sin 2 40 0 + sin 2 50 0 )
= ( sin 2 100 + cos 2100 ) + ( sin 2 200 + cos 2 200 ) + ( sin 2 30 0 + cos 2 30 0 ) + ( sin 2 40 0 + cos 2 40 0 ) = 4

b) B = cos100 + cos200 + cos300 + ... + cos1800 (18 số hạng)
B = ( cos100 + cos1700 ) + ( cos200 + cos1600 ) + ... + ( cos900 + cos1800 )
= ( cos100 − cos100 ) + ( cos200 − cos200 ) + ... + ( 0 + ( −1) ) = −1

c) C = sin

25π
9π
4π
19π
+ cos
+ tan
− cot
4
4
3
6

π
π
π
π
π


π

π

π

C = sin  + 6π ÷+ cos  + 2π ÷+ tan  + π ÷− cot  + 3π ÷ = sin + cos + tan − cot = 2
4
4
3
6
4

4

3

6


d) D = tan100.tan 200...tan 700 , tan 800
D = ( t an100.tan 800 ) ( tan 200.tan 700 ) ( t an 300.tan 600 ) ( tan 40 0.tan 500 ) = ( tan100.cot100 ) ..... = 1

e) E = cos200 + cos400 + cos600 + ... + cos1800
E = ( cos200 + cos1600 ) + ( cos400 + cos1400 ) + ... + cos1800 = −1
0
0
0
0
( cos160 = cos ( 180 − 20 ) = −cos20 ; tương tự những phần còn lại nên cos200 + cos1600 = 0 )

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
1. Nhận biết:
Câu 1: Góc có số đo 1200 được đổi sang số đo rad là :
A. 120π

B.

3π
2

C. 12π

D.

2π
3

Câu 2: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. cos 45o = sin135o.

B. cos120o = sin 60o. C. cos 45o = sin 45o. D. cos30o = sin120o.

Câu 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi α ; β ta có:
15


A. cos(α +β )=cosα +cosβ

C. tan(α + β ) = tan α + tan β

D. tan ( α - β ) =

B. cos(α -β )=cosα cosβ -sinα sinβ .

tan α − tan β
1 + tan α . tan β

Câu 4: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi α ; β ta có:
A.

sin 4α
= tan 2α
cos 2α

C.

B. cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ
Câu 5: sin

1 + tan α
π

= tan  α + 
1 − tan α
4


D. sin(α + β ) = sin α cosβ -cosα sinβ

3π

là:
10

cos

4π
5

B.

A.
2. Thông hiểu:

− cos

π
C. 1 − cos 5

π
cos
5

π
2

Câu 6: Biểu thức A = sin(π + x) − cos( − x ) + cot(− x + π ) + tan(

π
5

D.

3π
− x) có biểu thức rút gọn
2

là:
A.

A = 2sin x .

B. A = −2sin x

C. A = 0 .

D.

A = −2cot x .

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx

B. (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx

C. sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x

D. sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x

Câu 8: Tính giá trị của biểu thức P = tan α − tan α sin 2 α nếu cho
cos α = −

A.

4
5

(π 〈α 〈

12
15

Câu 9: Cho cos x =
A.

3
.
5

Câu 10: Biết sin a =

3π
)
2

B. − 3

C.

1
3

D. 1

2  π

 − < x < 0 ÷ thì sin x có giá trị bằng :
5  2


B.

−3
.
5

C.

−1
.
5

D.

5
3 π
π
; cos b = ( < a < π ; 0 < b < ) Hãy tính sin(a + b) .
13
5 2
2

16

1
.
5


A. 0

B.

63
65

56
65

C.

D.

−33
65

Câu 11: Với mọi số nguyên k, khẳng định nào sau đây là sai?
A.

π
4

cos( kπ ) = (−1) k

π
4

C. sin( +

B. tan( +

kπ
) = (−1) k
2

π
2

kπ
2
) = (−1) k
2
2

D. sin( + kπ ) = (−1) k

π
3

Câu 12: Giá trị cos[ + (2k + 1)π ] bằng :
A. −

3
2

B.

1
2

C. −

1
2

D.

3
2

Câu 13: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài
quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe
gắn máy bằng 6,5cm (lấy π = 3,1416 )
A. 22054cm

B. 22043cm

C. 22055cm

D. 22042cm

Câu 14: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm .Trong
30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:
A. 2,77cm .

B. 2, 78cm .

C. 2, 76cm .

D. 2,8cm .

5
4

Câu 15: Cho sin a + cos a = . Khi đó sin a.cos a có giá trị bằng :
A. 1

B.

9
32

C.

3
16

D.

5
4

D.

1
cos x

D.

a
4

3. Vận dụng thấp:
Câu 16: Đơn giản biểu thức E = cot x +
A.

1
sin x

Câu 17: Cho cot
A. a

sin x
ta được
1 + cos x

B. cosx

C. sinx

π

2π
4π
6π
= a .Tính K = sin
+ sin
+ sin
14
7
7
7

B. −

a
2

C.

17

a
2


Câu 18: Đơn giản biểu thức F =
A.

1
sin x

B.

cos x tan x
− cot x cos x
sin 2 x

1
cos x

C.cosx

D. sinx

Câu 19: Đơn giản biểu thức G = (1 − sin 2 x) cot 2 x + 1 − cot 2 x
A.

1
sin x

B.

1
cos x

D. sin2x

C.cosx

Câu 20: Tính M = tan10 tan 20 tan 30....tan 890
A. 1

C. −1

B. 2

D.

1
2

4. Vận dụng cao:
1
2

Câu 21:Cho sin x + cos x = và gọi M = sin 3 x + cos3 x. Giá trị của M là:
1
8

A. M = .
Câu 22: Cho
A.

7
.
9

B. M =
tan α = 3 .

Khi đó

11
.
16

C. M = −

7
.
16

D. M = −

11
.
16

2 sin α + 3cos α
có giá trị bằng :
4 sin α − 5cos α

7
9

9
7

B. − .

C. .

9
7

D. − .

Câu 23: Cho tan α + cot α = m Tính giá trị biểu thức cot 3 α + tan 3 α .
A. m3 + 3m

B. m3 − 3m

C. 3m3 + m

D. 3m3 − m

Câu 24: Với giá trị nào của n thì đẳng thức sau luôn đúng
1 1 1 1 1 1
x
π
+
+
+ cos x = cos , 0 < x < .
2 2 2 2 2 2
n
2

A. 4.
Câu 25: Biết
A. −2 .

B. 2.

C. 8.

D. 6.

1
1
1
1
+
+ 2 + 2 = 6 . Khi đó giá trị của cos2x bằng
2
2
sin x cos x tan x cot x

C. −1 .

B. 2 .

18

D. 0 .


CH 2:
HM S LNG GIC
( 2 tit)
A. KIN THC C BN
1. Hàm số y = sin x.

*/ Tập xác định: D = Ă ;
*/ x Ă ta luôn có: 1 sin x 1 ;
*/ Hàm số y = sin x là một hàm số lẻ trên Ă và là một hàm tuần
hoàn với chu kỳ 2 .
*/ Đồ thị:
y
1

x
-2

-3/2

-

0

-/2

/2



3/2

2

-1

2. Hàm số y = cos x.

*/ Tập xác định: D = Ă ;
*/ x Ă ta luôn có: 1 cos x 1 ;
*/ Hàm số y = cos x là một hàm số chẵn trên Ă và là một hàm
tuần hoàn với chu kỳ 2 .
*/ Đồ thị:
y
1

x
-2

-3/2

-

0

-/2
-1

19

/2



3/2

2

3. Hàm số y = tan x.


*/ Tập xác định: D = Ă \ + k , k  ;
2

*/ Hàm số y = tan x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với
chu kỳ ;
*/ Đồ thị:
y
1

x
-3/2

-

-/2

-/4

/4

/2



3/2

-1

4. Hàm số y = cot x.
*/ Tập xác định: D = Ă \ { k , k Â} ;
*/ Hàm số y = cot x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với
chu kỳ ;
*/ Đồ thị:
y
1

x
-2

-3/2

-

0

-/2 -/4

/4

/2



3/2

-1

B. CC DNG THNG GP

Dng 1. Tỡm tp xỏc nh ca hm s lng giỏc

1.1 K nng c bn
a. D c gi l TX ca hs y = f ( x ) D = { x Ă | f ( x) cú ngha}

20

2


b.

A
cú ngha khi B 0 ;
B

A cú ngha khi A 0 ;

c. 1 s inx 1 ; -1 cosx 1

A
cú ngha khi B > 0
B

1 s inx 0 &1 cos x 0

d. Cỏc giỏ tr c bit :

sin x 0 x k , k Â
s inx 1 x

cosx 0 x


+ k 2 , k Â
2

s inx -1 x

cosx 1 x k 2 , k Â


+ k 2 , k Â
2

e. Hm s y = tanx xỏc nh khi x


+ k , k Â
2

cosx -1 x + k 2 , k Â


+ k , k Â
2

f. Hm s y = cotx xỏc nh khi x k , k Â

1.2 Bi tp luyn tp

Bi 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
1/ y = cos 2 x
3/ y = sin

2/ y = sin 3x

1
x

4/ y = cos x 2 4

Giải.
1/ Do 2 x Ă , x Ă nên hàm số đã cho có tập xác định là D = Ă .
2/ Hàm số y = sin 3x xác định khi và chỉ khi 3 x 0 x 0 . Vậy
tập xác định của hàm số đã cho là D = [ 0; + ) .

1
1
xác định khi và chỉ khi Ă x 0. Vậy tập
x
x
xác định của hàm số đã cho là D = Ă \ { 0} .
3/ Hàm số y = sin

21


4/ Hàm số y = cos x 2 4 xác định khi và chỉ khi

x 2
x2 4 0
. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
x 2
D = ( ; 2] [ 2; + ) .
Bi 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
1/ y =

1 cos x
sin x

2/ y = 2 cos3 x ;

;



3/ y = cot x + ữ;
3




4/ y = tan 2 x ữ.
6


Giải.

1 cos x

xác định khi và chỉ khi
sin x
sin x 0 x k , k  . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
1/ Hàm số y =

D = Ă \ { k , k Â} .

2/ Hàm số y = 2 cos3 x xác định khi và chỉ khi 2 cos3 x 0 . Mà
2 cos3 x 0 x Ă . Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D = Ă .



3/ Hàm số y = cot x + ữ xác định khi và chỉ khi
3






sin x + ữ 0 x + k x + k , k  . Vậy tập xác định
3
3
3



của hàm số đã cho là D = Ă \ + k , k  .
3

4/ Hàm số y = tan 2 x ữ xác định khi và chỉ khi
6



2



cos 2 x ữ 0 2 x + k 2 x
+ k x + k , k Â. Vậy
6
6 2
3
3
2





tập xác định của hàm số đã cho là D = Ă \ + k , k  .
2
3


22

Dng 2: Xỏc nh tớnh chn l ca hm s lng giỏc
2.1. K nng c bn
Chỳ ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
Phng phỏp: Bc 1 : Tỡm TX: D ; Kim tra x D xD, x
Bc 2 : Tớnh f(-x) ; so sỏnh vi f(x) . Cú 3 kh nng
+) Nu f(-x) = f(x) thỡ f(x) l hm s chn.
+) Nu f(-x) = - f(x) thỡ f(x) l hm s l.
+) Nu f(-x) - f(x) f(x) thỡ f(x) l hm s khụng chn khụng l.
Lu ý: Mt s nhn xet nhanh xet tớnh chn l ca hm s lng giỏc
+ Tng hoc hiu ca hai hm chn l hm chn
+ Tớch ca hai hm chn l hm chn, tớch ca hai hm l l hm chn
+ Tớch ca mt hm chn v hm l l hm l
+ Bỡnh phng hoc tr tuyt i ca hm l l hm chn (p dng iu ny chỳng ta
cú th xet tớnh chn l ca hm s lng giỏc mt cỏch nhanh chúng lm trc
nghim nhanh chúng hn nhiu).
2.2 Bi tp luyn tp
Bi tp: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:
1/ y = x2sin 3x

2/ y = cosx + sin2x

3/ y = tanx.cos2x

4/ y = 2cosx 3sinx.

Giải.
1/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = x2sin 3x là D = Ă .
x D ta có:

*/ x D ;
*/ f(-x) = (-x)2sin(-3x) = - x2sin3x = - f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên Ă .

23


2/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = cosx + sin2x là D = Ă .
x D ta có:

*/ x D ;
*/ f(-x) = cos(- x) + sin2(- x) = cosx + sin2x = f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên Ă .
3/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = tanx.cos2x là



D = à \ + k , k  .
2

x D ta có:

*/ x D ;
*/ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên D.
4/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = 2cosx 3sinx là D = Ă .


2

5 2

Ta có f ữ =
, mặt khác f ữ =
nên f ữ ữ.
2
2
4
4
4
4

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn và cũng không phải
là hàm số lẻ.

Dng 3: Tỡm tp giỏ tr, giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht

3.1 K nng c bn
S dng cỏc t/c sau :




1 s inx 1 ; -1 cosx 1 ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B
1 s inx 1, 1 cosx 1;0 cos 2 x 1
Hm s y = f(x) luụn ng bin trờn on [ a ; b ] thỡ max f ( x) = f (b) ; min f ( x) = f (a )
[ a ; b]

Hm s y = f(x) luụn nghch bin trờn on [ a ; b ] thỡ
max f ( x) = f (a ) ; min f ( x ) = f (b)

[ a ; b]



[ a ; b]

a 2 + b 2 a sin x + b cos x a 2 + b 2

24

[ a ; b]


3.2 Bi tp luyn tp

Bi tp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:



1/ y = 2cos x ữ 1
3


2/ y = 1+ sin x 3

Giải:

1/ Ta có x Ă : 1 cos x ữ 1 2 2cos x ữ 2 3 y 1.
3
3


Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, xảy ra khi




cos x ữ = 1 x = k2 x = + k2 , k Â.
3
3
3

Giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt đợc khi



4

cos x ữ = 1 x = + k2 x =
+ k2 , k Â.
3
3
3

2/ Ta có x Ă ,0 1+ sin x 2 0 1+ sin x 2 3 y 2 3.
Vậy, giá trị lớn nhất của y là

2 3, khi sin x = 1 x =

giá trị nhỏ nhất của y là -3, khi sin x = -1 x =


+ k2 , k ;
2


+ k2 , kÂ.
2

Dng 4.Tỡm chu ky ca hm slng giỏc
Phng phỏp gii: Khi tỡm chu kỡ ca hm s lng giỏc, ta cn bin i biu thc
ca hm s ó cho v mt biu thc ti gin v lu ý rng:
1) Hm s y = sinx , y = cosx cú chu ky T = 2 .
2) Hm s y = tanx , y = cotx cú chu ky T = .
2

3) Hm s y = sin(ax+b) , y = cos(ax+b), vi a 0 cú chu ky T = a .


4) Hm s y = tan(ax+b) , y = cot(ax+b), vi a 0 cú chu ky T = a .
5) Hm s f1 cú chu ky l T1 , hm s f 2 cú chu ky l T2 thỡ hm s f1 f 2 cú chu ky
T = BCNN (T1 , T2 ) .

25