Chuyên đề lũy THỪA mũ LOGARIT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (400.97 KB, 41 trang )
CHUYÊN ĐỀ II:
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
Chủ đề 2.1:Lũy thừa, mũ, logarit
A. Kiến thức cơ bản
I. Lũy thừa
1. Định nghĩa lũy thừa
Số mũ α
Cơ số a
Lũy Thừa aα
α = n∈ N*
a∈R
aα = an = a.a......a (n thừa số a)
α =0
a≠0
aα = a 0 = 1
α = −n ( n ∈ N * )
a≠0
a α = a −n =
a>0
a α = a n = n a m ( n a = b ⇔ b n = a)
a>0
a α = lim a rn
α=
m
(m ∈ Z , n ∈ N * )
n
α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * )
1
an
m
2. Tính chất của lũy thừa
• với mọi a > 0, b > 0 ta có :
α
β
a .a = a
α +β
;
aα
= aα −β
β
a
α
β
; (a ) = a
α .β
α
α
; (ab) = a .b
α
α
aα
a
; = α
b
b
• a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có :
am < bm ⇔ m> 0 ;
am > bm ⇔ m< 0
Chú ý: + Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0
+ Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số a phải dương
3. Định nghĩa và tính chất của căn bậc n
• Căn bậc n (n ∈ N*, ) của a là số b sao cho bn = a .
• nếu n là số ngun dương lẻ thì
định ∀a ≥ 0
• n là số nguyên dương lẻ
n
a xác định ∀a , nếu n là số nguyên dương chẵn thì
n n
a = a ∀a , n là số nguyên dương chẵn
n
n
ab = a. b ;
n
a na
=
(b > 0) ;
b nb
n
ap = ( n a ) (a > 0) ;
p
a xác
a ∀a ≥ 0
a = a=
−a ∀a<0
n n
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có :
n
n
mn
a = mn a
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì
n
a < n b.
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì
n
a < n b.
II. LƠGARIT
1.Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có : loga b = α ⇔ aα = b
a > 0, a ≠ 1
chú ý : loga b có nghĩa khi
b > 0
• Loogarit thập phân :
lgb = logb = log10 b
• Loogarit tự nhiên (logarit Nepe):
lnb = loge b (với e = lim 1+ 1 2,718281)
ữ
n
n
2. Tớnh cht
ã loga 1= 0;
loga ab = b ;
loga a = 1;
loga b
a
= b (b > 0)
• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó :
+ Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c
+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có :
• loga(bc) = loga b + loga c
b
ã loga ữ = loga b − loga c • loga bα = α loga b
c
4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có :
• logb c =
• loga b =
loga c
loga b
hay loga b.logb c = loga c
1
logb a
• log α c =
a
B. Kĩ năng cơ bản:
- Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức
- Đưa biểu thức về dạng lũy thừa
- So sánh lũy thừa
1
loga c (α ≠ 0)
α
- Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho
- Chứng minh đẳng thức
C. Bài tập luyện tập
Bài 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa
a)
4 23
x
x , ( x > 0)
b)
5
b3 a
, ( a, b ≠ 0)
a b
c)
5 3
2 2 2
Bài 2 Tìm điều kiện và rút gọn các biểu thức sau
a1,5 + b1,5
0,5 0,5
−a b
a) a0,5 + b0,5
a− b
c)
3
a− 3b
6
a− 6b
+
1
1
1
3 1
1
2
2
2
2
2
x −y
x + y ÷ x y2
2y
+
.
−
b) 1
÷
1
1
1
2
÷ x+ y x− y
2
2
2
xy + x y xy − x y
2b0,5
a0,5 + b0,5
(a,b>0 , a ≠ b)
Bài 3 So sánh m và n
a)
(
2)
m
> ( 2)
n
m
n
b) 1 ÷ > 1 ÷
9
9
Bài 4 Tìm điều kiện của a và x biết
2
−0,2
b) 1 ÷
a
1
a) ( a − 1) − 3 < ( a − 1) − 3
x+1
5 2
÷
2 5
8
125
c) 4x = 5 1024
d)
e) 0,1x > 100
f) 1 ÷ > 3 0,04
5
=
> a2
x
Bài 5. Rút gọn biểu thức :
a) loga 3 a (a > 0)
b)
loga3 a.loga4 a1/3
log1 a7
( 0 < a ≠1)
a
Bài 6: Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho :
a) Cho log2 14 = a . Tính log49 32 theo a.
b) Cho log15 3 = a . Tính log2515 theo a.
a) Cho log25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log3
49
theo a, b.
5 8
b) Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b.
Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau (với giả thuyết các biểu thức đều có nghĩa ) :
b) logax(bx) =
a) bloga c = cloga b
c) logc
loga b + loga x
1+ loga x
a+ b 1
= (logc a + logc b) , với a2 + b2 = 7ab .
3
2
D. Bài tập TNKQ
Câu 1: Cho a > 0 và a ≠ 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :
A. loga x có nghĩa ∀x
B. loga1 = a và logaa = 0
C. logaxy = logax.logay
n
D. loga x = nloga x (x > 0,n ≠ 0)
Câu 2: Cho a > 0 và a ≠ 1, x và y là hai số dương . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :
A. loga
x loga x
=
y loga y
B. loga
C. loga ( x + y) = loga x + loga y
1
1
=
x loga x
D. logb x = logb a.loga x
3 7
Câu 3: log1 a (a > 0, a ≠ 1) bằng :
a
A. -
7
3
B.
2
3
C.
5
3
D. 4
a2 3 a2 5 a4
÷ bằng :
câu 4 : loga 15 7
÷
a
A. 3
B.
12
5
9
5
D. 2
C. a2b3
D. ab2
C.
Câu 5: a3−2loga b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) bằng :
A. a3b−2
Câu 6 : Nếu loga x =
A.
2
5
B. a3b
1
loga 9 − loga 5 + loga 2 (a > 0, a ≠ 1) thì x bằng :
2
B.
3
5
C.
6
5
D. 3
Câu 7: Nếu log2 x = 5log2 a + 4log2 b (a, b > 0) thì x bằng :
A. a5b4
B. a4b5
C. 5a + 4b
D. 4a + 5b
2
3
Câu 8 : nếu log7 x = 8log7 ab − 2log7 a b (a, b > 0) thì x bằng :
A. a4b6
B. a2b14
C. a6b12
D. a8b14
Câu 9: Cho log2 = a. Tính log25 theo a?
A. 2 + a
B. 2(2 + 3a)
C. 2(1 - a)
D. 3(5 - 2a)
Câu 10 : Cho log 2 5 = a; log3 5 = b . Khi đó log6 5 tính theo a và b là :
A.
1
a+ b
B.
ab
a+ b
D. a2 + b2
C. a + b
Câu 11 : Cho hai số thực dương a và b, với a ≠ 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
1
A. log a2 ( ab ) = log a b.
2
1
B. log a2 ( ab ) = log a b.
4
C. log a2 ( ab ) = 2 + 2log a b.
D. log a2 ( ab ) =
1 1
+ log a b.
2 2
32
Câu 12. Cho log2 = a . Tớnh log4
theo a, ta c:
5
A.
1ổ
ỗa6 4ỗố
ử
ứ
1ữ
ữ
ữ.
B.
1
( 5a- 1) .
4
C.
1
( 6a- 1) .
4
D.
1
( 6a+1) .
4
2log a
3 - log a2.log 25 (0< a ¹ 1) , ta được:
Câu 13. Rút gọn biểu thức P = 3
a
5
A. P = a2 + 4 .
B. P = a2 - 2 .
C. P = a2 - 4 .
D. P = a2 + 2 .
2
Câu 14: Cho a là một số dương, biểu thức a3 a viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:
7
5
A. a6
6
B. a6
11
C. a5
D. a 6
4
Câu 15: Biểu thức a 3 : 3 a2 viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:
5
A. a3
Câu 16: Biểu thức
7
A. x3
2
B. a3
5
C. a8
7
D. a3
x.3 x.6 x5 (x > 0) viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:
5
B. x2
2
C. x3
5
D. x3
Câu17: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm?
1
A. x6 + 1 = 0
2
1
1
Câu18: Cho K = x2 − y2 ÷
A. x
A. 9a2b
1
1
D. x4 − 1 = 0
−1
C. x + 1
D. x - 1
81a4b2 , ta được:
2
C. 9a b
B. -9a2b
Câu20: Rút gọn biểu thức:
1
C. x5 + ( x − 1) 6 = 0
y y
1− 2 + ÷
÷ . biểu thức rút gọn của K là:
x
x
B. 2x
Câu19: Rút gọn biểu thức:
4
D. Kết quả khác
x8 ( x + 1) , ta được:
4
C. - x4 ( x + 1)
2
B. x x + 1
A. x4(x + 1)
Câu21: Nếu
x− 4 + 5= 0
B.
2
D. x ( x + 1)
1 α
a + a−α = 1 thì giá trị của α là:
2
(
A. 3
)
B. 2
C. 1
D. 0
Câu22: Cho 3α < 27 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. -3 < α < 3
B. α > 3
1
Câu23: Rút gọn biểu thức a ÷
a
B. 2a
Câu24: Rút gọn biểu thức b(
)
2
: b−2
B. b2
A. b
(a > 0), ta được:
C. 3a
3−1
3
5
2
B.
C. b3
1
2
Chuyên đề 2:
C.
D. 4a
(b > 0), ta được:
Câu25: Cho 9x + 9− x = 23. Khi đo biểu thức K =
A. −
D. α ∈ R
2−1
2
A. a
C. α < 3
3
2
D. b4
5+ 3x + 3− x
có giá trị bằng:
1− 3x − 3− x
D. 2
HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ
Chủ đề 2.2: Hàm số lũy thừa, mũ, logarit
A. Kiến thức cơ bản
I.
HÀM SỐ LŨY THỪA
a) ĐN: Hàm số có dạng y = x α với α ∈ R
b) Tập xác định:
• D = R với α nguyên dương
• D = R \{ 0} với α nguyên âm hoặc bằng 0
• D = ( 0;+∞ ) với
c) Đạo hàm
α không nguyên
( )
α
α−1
Hàm số y = x α ( α∈R ) có đạo hàm với mọi x > 0 và x '=αx
d) Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng ( 0;+∞ )
Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)
Khi α > 0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số ln nghịch Biến
Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận khi
tiệm cận đứng là trục Oy.
α > 0. khi α < 0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox,
II. HÀM SỐ MŨ
a) ĐN: Hàm số có dạng y =a x (0
b) Tập xác định: D = R, tập giá trị ( 0;+∞ )
c) Đạo hàm: Hàm số y =a x (0
( a x ) '=a x ln a , Đặc biệt: ( ex ) '=ex
d) Sự biến thiên:
Khi a > 1: Hàm số đồng biến
Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến
e) Đồ thị: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm về
phía trên trục hồnh
f) Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi khơng rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho
kì hạn sau.
Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /kì hạn thì số tiền khách
hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ * ) là:
Sn = A ( 1 + r )
n
(2)
Chú ý: Từ cơng thức (2) ta có thể tính được:
S
n = log ( 1+ r ) n ÷
A
(3)
r% =
A=
Sn
−1
A
n
(4)
Sn
(1+ r )
(5)
n
III. HÀM SỐ LÔGARIT
a) ĐN: Hàm số có dạng y =log a x (0b) Tập xác định: D =
( 0;+∞ ) , tập giá trị R
c) Đạo hàm: Hàm số y =log a x (0<a ≠1) có đạo hàm với mọi x > 0 và
( loga x ) '=
1
1
, Đặc biệt: ( ln x ) '=
x ln a
x
d) Sự biến thiên:
Khi a > 1: Hàm số đồng biến
Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến
e) Đồ thị: thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và nằm về phía
phải trục tung.
B. Kĩ năng cơ bản
-
Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa ,hàm số logarit
Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa , hàm số mũ , hàm số logarit
Tính tiền lãi , thời gian giửi tiết kiệm và tăng trưởng … , lãi suất hay % tăng trưởng
trong bài toán lãi suất
Khảo sát hàm số lũy thừa , hàm số mũ , hàm số logarit
C. Bài tập luyện tập
Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a, y= e3x
b, y=2x
c, y= 31− x
2
HD:
a,(e3x)’ = e3x.(3x)’ = 3e3x
b, (2x)’ = 2x.ln2;
2
2
2
c,( 31− x )’ = 31− x .(ln3). (1-x2)’ = -2x. 31− x .ln3
Bài 2: Tìm TXĐ của các hàm số sau:
a, y = x3
2
b, y = x -3
d, y = x −
c, y = x 3
2
HD:
a, y = x3
(vì α = 3 nguyên dương)
có D = R
b, y = x -3 có D = R\{0} (vì α = - 3 nguyên âm)
2
c, y = x 3 ( α hữu tỉ);
d, y = x −
2
( α vơ tỉ) nên có D = R+ = (0;+ ∞ )
Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
3
b, y= 3 1 − x 2 ( −1 < x < 1 )
a, y= x 4 (x>0)
HD:
3
3
3
3 4 −1 3 − 4
1 =
x = x =
4
4
4
4x 4 4 x
3
+ ( x 4 )' =
1
2
− 2x
1
−
1
+( 3 1 − x 2 )’=[ (1 − x 2 ) 3 ]’= (1 − x 2 ) 3 .(-2x) = 3
3 (1 − x 2 ) 2
3
Bài 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
(
)
2
x
b, y = x − 2x + 2 e
a, y = 22x+3
HD
a , y’ = 2.22 x+3.ln 2
b, y ' = x 2e x
Bài 5: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm.
a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.
b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép
5
% /tháng thì sau 10 năm chú Việt
12
nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?
HD
a) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5%/năm là
10
5
S10 = 10. 1 +
÷ ≈ 16, 28894627 triệu đồng.
100
b) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép
5
% /tháng là
12
120
5
S120 = 10. 1 +
ữ 16, 47009498 triu ng.
12 ì100
Vậy số tiền nhận được với lãi suất
5
% /tháng nhiều hơn.
12
Bài 6: Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ
hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ?
HD
1300000
Ta có n = log1,0058
÷ ≈ 45,3662737 nên để nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt
1000000
quá 1300000 đồng thì bạn An phải gửi ít nhất là 46 tháng.
Bài 7: Một người có 58 000 000đ gửi tiết kiệm ngân hàng (theo hình thức lãi kép ) trong 8 tháng thì
lĩnh về được 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng?
HD lãi suất hàng tháng là r % =
8
61329 000
− 1 ≈ 0.7%
58000 000
Bài 8: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a, y = log 3( x + 1);
1
;
2 2x + 3
b, y = log 1
c, y = log
3
b, D= (− ; +∞)
2
HD: a, D=(-1; +∞ )
5
c, D=( −∞ ;1)
Bài 9: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b, y=log2(3x2 - 5)
a, y= ln x
HD:
a, (ln x )’ =
1
( x )'
=
2x
x
b, [log2(3x2 - 5)]’ =
(vì ( x )' =
1
2 x
6x
(3x 2 − 5)'
=
2
2
(3x − 5). ln 2 (3 x − 5). ln 2
D. Bài tập TNKQ
1 − x;
)
d , y = ln(1 − x 2 );
d, D=(-1;1)
Câu 1: Đạo hàm của hàm số y = ( 3 x − 1)
A. 3 2 ( 3x − 1)
2 −1
2
là:
B. −3 2 ( 3 x − 1)
2 −1
C. 3 2 ( 3x − 1) 1−
2
D.
3 2
( 3x − 1)
2 −1
3
Câu 2: Tập xác định của hàm số y = ( x + 3) 2 − 4 5 − x là:
A. D = ( −3; +∞ ) .
B. D = ( −3;5 ) .
(
)
C.
D. D = ( −3;5] .
D = ( −3; +∞ ) \ { 5}
4
Câu 3. Hàm số y = 4x2 − 1 có tập xác định là:
A. R
B. (0; +∞)
1 1
C. R\ − ;
2 2
Câu 4 Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số
A.
B.
1 1
D. − ; ÷
2 2
?
C.
D.
2
Câu 5: Hàm số y = 2ln x + x có đạo hàm y ' là:
1
ln x + x2
.
A. + 2 x ÷2
x
1
ln x + x2
ln 2.
B. + 2 x ÷2
x
ln x + x 2
2
2ln x + x
C.
.
ln 2
1
2
.
D. + 2 x ÷
x
ln 2
Câu 6: Đạo hàm của hàm số y = e x s inx là:
s inx
+ cos x ÷e x .
A. y ' =
2 x
B. y ' = ( s inx + cos x ) e x .
s inx
- cos x ÷e x .
C. y ' =
2 x
D. y ' = ( s inx - cos x ) e x .
Câu 7: Đạo hàm của hàm số y = 22 x+3 là:
A. 22 x+3.ln 2 .
2 x+2
B. ( 2 x + 3) 2
ln2.
C. 2.22 x+3 .
D. 2.2 2 x+ 3.ln 2 .
Câu 8: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,8% năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn, hỏi sau bao
nhiêu năm người đó thu được gấp đơi số tiền ban đầu?
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
Câu 9: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng
đó là 4% mỗi năm. Tìm khối lượng gỗ của khu rừng đó sau 5 năm.
A. 4,8666.105 (m3). B. 4,0806.105 (m3 ).
C. 4,6666.105 (m3).
(
D. 4,6888.105 (m3 ).
)
2
Câu 10: Tập xác định của hàm số y = log 2 2 x − x − 3 là:
3
2
3
2
A. −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ )
3
2
3
2
C. −1; ÷
D. − ;1÷
Câu11: Tập xác định của hàm số y = ln
A. ( 0;1) ∪ (3; +∞)
C.
B. ( −∞; −1) ∪ ; +∞ ÷
1− x
là:
x 2 − 3x
B. ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ )
( −∞;0 ) ∪ ( 1;3)
D. ( 0;1)
3
2
Câu 12. Đạo hàm của hàm số y = ( x + x) ln ( x + 1) là:
2
2
2
A. y' = ( 3x + 1) ln ( x + 1) + 2x .
2
2
2
B. y' = ( 3x + 1) ln ( x + 1) − 2x .
2
2
C. y' = ( 3x + 1) ln ( x + 1) + 2x.
2
2
D. y' = ( 3x + 1) ln ( x + 1) − 2x.
(
)
Câu 13: Đạo hàm của hàm số y = log3 1+ x là :
A. y' =
1
(1+ x)ln3
C. y' =
1
2 x ln3
B. y' =
.
D. y' =
.
Câu 14: Hàm số y =
3
1
x(1+ x)ln3
1
.
2( x + x)ln3
2x2 − x + 1 có đạo hàm f’(0) là:
.
A. −
1
3
B.
Câu 15: Cho hàm số y =
A. R
3
C. 2
D. 4
2x − x2 . Đạo hàm f’(x) có tập xác định là:
C. (-∞;0) ∪ (2; +∞)
B. (0; 2)
Câu 16: Hàm số y =
A. y’ =
4
1
3
D. R\{0; 2}
a+ bx3 có đạo hàm là:
bx2
bx
B. y’ =
33 a + bx3
3
( a+ bx )
3
C. y’ = 3bx2 3 a + bx3
2
D. y’ =
3bx2
23 a + bx3
Câu 17: Cho f(x) = x2 3 x2 . Đạo hàm f’(1) bằng:
A.
3
8
B.
Câu18: Cho f(x) =
A. 1
3
8
3
C. 2
D. 4
x− 2
. Đạo hàm f’(0) bằng:
x+1
B.
1
3
C.
4
3
D. 4
2
Câu19: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng nó xác định?
A. y = x-4
3
C. y = x4
B. y = x− 4
D. y =
3
x
Câu20: Cho hàm số y = ( x + 2) . Hệ thức giữa y và y” không phụ thuộc vào x là:
−2
A. y” + 2y = 0
B. y” - 6y2 = 0
C. 2y” - 3y = 0
D. (y”)2 - 4y = 0
Câu21: Cho hàm số y = x-4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Đồ thị hàm số có một trục đối xứng.
B. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1)
C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận
D. Đồ thị hàm số có một tâm đối xứng
π
Câu 22: Trên đồ thị (C) của hàm số y = x2 lấy điểm M0 có hồnh độ x0 = 1. Tiếp tuyến của (C) tại
điểm M0 có phương trình là:
A. y =
π
π
π
x + 1 B. y = x − + 1
2
2
2
π
C. y = πx − π + 1
π
π
D. y = − x + + 1
2
2
2
Câu23: Trên đồ thị của hàm số y = x2+1 lấy điểm M0 có hồnh độ x0 = 2π . Tiếp tuyến của (C) tại điểm
M0 có hệ số góc bằng:
A. π + 2
B. 2π
C. 2π - 1
D. 3
x
Câu 24: Trong các hình sau hình nào là dạng đồ thị của hàm số y = a , a > 1
Câu 25: Cho đồ thị hai hàm số y = a x và y = log b x như hình
vẽ: Nhận xét nào đúng?
A. a > 1, b > 1
B. a > 1, 0 < b < 1
C. 0 < a < 1, 0 < b < 1
D. 0 < a < 1, b > 1
Chủ đề 2.3: Phương trình mũ , bất phương trình mũ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Một số tính chất đối với hàm số mũ.
a) Luỹ thừa:
* Các công thức cần nhớ:
a 0 = 1;
m
a−n =
1
;
an
a n = n am
(a )
=a ;
an
a
;
=
÷
bn
b
* Tính chất của lũy thừa:
a .a = a
m
n
m+ n
;
m n
am
= a m−n ;
an
n
mn
( ab )
n
= a n .b n
* Quy tắc so sánh:
+ Với a > 1 thì a m > a n ⇔ m > n
+ Với 0 < a < 1 thì a m > a n ⇔ m < n
b) Căn bậc n
n
a.b = a . b ;
n
n
n
a na
=
b nb
n
am =
( a)
n
(a x ) y = (a y ) x = a x. y
x
ax a
x
= ÷ , a x .b x = ( a.b )
x
b
b
x
y
y
1
y
y
a = a ;a = a
x
2. Phương trình mũ cơ bản:
Là phương trình dạng: ax = b (*) với a, b cho trước và 0 < a ≠ 1
+ b ≤ 0: (*) VN
+ b > 0:
a x = b ⇔ x = log a b (0<a≠ 1 và b>0)
Minh họa bằng đồ thị
Phương trình ax = b (a > 0, a≠ 1)
b>0
Có nghiệm duy nhất x = logab
b≤0
Vơ nghiệm
B. KĨ NĂNG CƠ BẢN
I. Phương trình mũ
m
m n
a = mn a
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số
2. Phương pháp dùng ẩn phụ.
Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:
B1: Đưa pt, bpt về dạng ẩn phụ quen thuộc.
B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ.
B3: Giải pt, bpt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện.
B4: Thay giá trị t tìm được vào ⇒ giải PT, bpt mũ cơ bản
B5: Kết luận.
Sau đây là một số dấu hiệu.
Loại 1: Các số hạng trong pt, bpt có thể biểu diễn qua a f ( x ) ⇒ đặt t = a f ( x )
Hay gặp một số dạng sau:
+ Dạng 1: A.a 2 f ( x ) + B.a f ( x ) + C = 0
⇒ bậc 2 ẩn t.
+ Dạng 2: A.a 3 f ( x ) + B.a 2 f ( x ) + C.a f ( x ) + D = 0
+ Dạng 3: A.a 4 f ( x ) + B.a 2 f ( x ) + C = 0
⇒ bậc 3 ẩn t.
⇒ trùng phương ẩn t.
Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt
vẫn chứa x ta gọi đó là các bài tốn đặt ẩn phụ khơng hồn tồn.
Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với a f ( x ) và b f ( x ) .
Hay gặp một số dạng sau:
+ Dạng 1: A.a 2 f ( x ) + B.( a.b) f ( x ) + C.b 2 f ( x ) = 0
⇒ Chia 2 vế cho a 2 f ( x )
⇒ loại 1(dạng 1)
+ Dạng 2: A.a 3 f ( x ) + B.( a 2 .b) f ( x ) + C ( a.b 2 ) f ( x ) + D.b3 f ( x ) = 0
⇒ Chia 2 vế cho a 3 f ( x )
⇒ loại 1(dạng 2)
Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho a nf ( x ) hoặc b nf ( x ) với n là số tự nhiên lớn nhất có
trong pt Sau khi chia ta sẽ đưa được pt về loại 1.
Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo
+ Dạng 1: A.a f ( x ) + B..b f ( x ) + C = 0
với a.b = 1
+ Dạng 2: A.a f ( x ) + B..b f ( x ) + C.c f ( x ) = 0 , với a.b = c2
Với dạng 1 ta đặt ẩn phụ t = a f ( x ) ⇒ b f ( x ) = 1/t ; còn với dạng 2 ta chia cả 2 vế của pt cho c f ( x ) để đưa
về dạng 1.
3. Phương pháp logarit hóa
Đơi khi ta khơng thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được,
khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó ⇒ PT, BPT mũ cơ bản (phương
pháp này gọi là logarit hóa)
Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng a f ( x ) .b g ( x ) .c h ( x ) = d ( nói chung là trong phương trình
có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) ⇒ khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số
a (hoặc b, hoặc c).
II. Bất phương trình mũ
1. Bất phương trình mũ cơ bản
Xét bất phương trình ax > b
- Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 ≥ b, ∀x ∈ R
- Nếu b > 0 thì BPT tương đương với a x > a loga b
Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab
Nếu 0 2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số
3. Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
C. Bài tập luyện tập
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1) 2− x = 28
2
3) 3−2− x = 33 x
2) 2 x
2
−3 x + 2
= 2 x+2
4) 2− x = 8
LG
1) Pt ⇔ − x = 8 ⇔ x = −8
x = 0
2
2
2) PT ⇔ x − 3 x + 2 = x + 2 ⇔ x − 4 x = 0 ⇔
x = 4
x = −1
2
2
3) PT ⇔ −2 − x = 3 x ⇔ x + 3 x + 2 = 0 ⇔
x = −2
4) Pt ⇔ 2− x = 23 ⇔ x = −3
Ví dụ: Giải các phương trình sau :
2x
2
+3 x − 2
=
1
4
HD:
2x
2
+3 x − 2
=
2
x = 0
1
⇔ 2 x +3 x − 2 = 2−2 ⇔ x 2 + 3x − 2 = −2 ⇔ x 2 + 3 x = 0 ⇔
4
x = −3
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0, x = −3
x 2 −3 x +1
Ví dụ: Giải các phương trình sau :
x 2 −3 x +1
HD:
1
÷
3
= 3 ⇔ 3− ( x
2
− 3 x +1)
1
÷
3
=3
x = 1
2
2
= 31 ⇔ −( x − 3 x + 1) = 1 ⇔ x − 3 x + 2 = 0 ⇔
x = 2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1, x = 2
Ví dụ: Giải phương trình sau :
HD:
⇔
2 x +1 + 2 x − 2 = 36 ⇔ 2.2 x +
2 x +1 + 2 x − 2 = 36
2x
= 36
4
8.2 x + 2 x
= 36 ⇔ 9.2 x = 36.4 ⇔ 2 x = 16 ⇔ 2 x = 24 ⇔ x = 4
4
2. Dùng ẩn phụ.
Ví dụ: Giải các phương trình
1) 9 x − 4.3x + 3 = 0
2) 9 x − 3.6 x + 2.4 x = 0
3) 5 x − 6 + 51− x = 0
LG
1) 9 x − 4.3x + 3 = 0 ⇔ 32 x − 4.3x + 3 = 0
t = 1
Đặt t = 3x với t>0 ta được phương trình: t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔
t = 3
Với t=1 ta có x=0
Với t=3 ta có x=1
2x
x
3
3
2) 9 x − 3.6 x + 2.4 x = 0 ⇔ ÷ − 3 ÷ + 2 = 0
2
2
x
t =1
2
3
Đặt t = ÷ > 0 ta được phương trình: t − 3t + 2 = 0 ⇔
t = 2
2
x
3
Với t=1 ta có ÷ = 1 ⇔ x = 0
2
x
3
Với t=2 ta có ÷ = 2 ⇔ x = log 3 2
2
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau :
HD:
32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0
x
x
38.32 x − 4.35.3x + 27 = 0 ⇔ 6561. ( 3 ) − 972.3 + 27 = 0 (*)
2
1
t = 9
2
x
Đặt t = 3 > 0 Phương trình (*) ⇔ 6561t − 972t + 27 = 0 ⇔
t = 1
27
Với
t=
1
⇔ 3x = 3−2 ⇔ x = −2
9
Với
t=
1
⇔ 3x = 3−3 ⇔ x = −3
27
Vậy phương trình có nghiệm: x = −2, x = −3
Ví dụ: Giải các phương trình sau :
HD:
25 x − 2.5 x − 15 = 0
25 x − 2.5 x − 15 = 0 ⇔ ( 5 x ) − 2.5x − 15 = 0 (*)
2
t = 5
2
Đặt t = 5 x > 0 Phương trình (*) ⇔ t − 2t − 15 = 0 ⇔
t = −3 (loai)
Với
t = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Ví dụ: Giải các phương trình sau :
HD:
3x + 2 − 32− x = 24 ⇔ 9.3x −
3x + 2 − 32− x = 24
2
9
− 24 = 0 ⇔ 9. ( 3x ) − 24.3x − 9 = 0 (*)
x
3
t = 3
Đặt t = 3 > 0 Pt (*) ⇔ 9t − 24t − 9 = 0 ⇔
t = − 1 ( loai)
3
x
Với
2
t = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
3. Phương pháp logarit hóa
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1) 3x = 2
2) 2 x.3x = 1
LG
x
1) Pt ⇔ log 3 3 = log 3 2 ⇔ x = log 3 2
2) log 2 ( 2 x.3x ) = log 2 1 ⇔ log 2 2 x + log 2 3x = 0 ⇔ x + x.log 2 3 = 0
⇔ x(1 + log 2 3) = 0 ⇔ x = 0
4. Bất phương trình
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
b) 0,3x+ 2 > 7
a) 2 x−1 < 5
Lời giải:
x −1
a) Ta có: 2 < 5 ⇔ x − 1 < log 2 5 ⇔ x < 1 + log 2 5 .
- Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: S = ( −∞;1 + log 2 5 )
x+2
b) Ta có: 0,3 > 7 ⇔ x + 2 < log 0,3 7 ⇔ x < −2 + log 0,3 7
- Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = ( −∞; −2 + log 0,3 7 ) .
Bài 2: Giải bất phương trình : 2 x
2
+3 x − 4
> 4 x −1
Lời giải:
Ta có:
2x
2
+3 x − 4
> 4 x −1 ⇔ 2 x
2
+3x −4
> 22( x −1) ⇔ x 2 + 3 x − 4 > 2( x − 1) ⇔ x 2 + x − 2 > 0 ⇔ x ∈ ( −2;1)
Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: S = ( −2;1)
1− 2 x
<
Bài 3: Giải bất phương trình: 27
1
3
Lời giải:
1− 2 x
<
Ta có 27
1
2
⇔ 33(1−2 x ) < 3−1 ⇔ 3(1 − 2 x) < −1 ⇔ −6 x < −4 ⇔ x >
3
3
2
Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: S = ; +∞ ÷
3
Bài 4: Giải bất phương trình:
( 3)
x
2
1
>
9
2− x
Lời giải:
Ta có:
( 3)
x
2
1
>
9
2− x
x
4
⇔ 3 > 32 x −4 ⇔
x
16
> 2 x − 4 ⇔ x > 8 x − 16 ⇔ x <
4
7
16
Bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: S = −∞; ÷
7
Bài 5: Giải bất phương trình:
(
5+2
)
x −1
≥
(
5 −2
)
− x2 +3
Lời giải:
Ta có:
(
Khi đó
5+2
(
)(
5+2
)
)
5 − 2 =1⇔ 5 − 2 =
x −1
≥
(
5 −2
)
− x2 +3
⇔
(
1
=
5+2
(
)
≥
5+2
x −1
5+2
(
)
−1
5+2
)
x2 − 3
⇔ x −1 ≥ x2 − 3
Bài 6: Giải bất phương trình: 5 x + 52− x < 26
Lời giải:
x
2− x
x
- Ta có: 5 + 5 < 26 ⇔ 5 +
2
25
− 26 < 0 ⇔ ( 5 x ) − 26.5 x + 25 < 0
x
5
- Đặt t = 5 x > 0 . Điều kiện: t > 0.
- Ta có: t 2 − 26t + 25 < 0 ⇔ 1 < t < 25
- Khi đó: 1 < 5 x < 25 ⇔ 50 < 5x < 52 ⇔ 0 < x < 2
- Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S = ( 0; 2 )
Bài 7: Giải bất phương trình:
32x+1 − 10.3x + 3 ≤ 0
Lời giải:
- Ta có:
x
x
32x+1 − 10.3x + 3 ≤ 0 ⇔ 3. ( 3 ) − 10.3 + 3 ≤ 0 (1)
2
- Đặt t = 3x > 0 . Điều kiện: t > 0.
2
- Ta có: 3t − 10t + 3 ≤ 0 ⇔
1
1
≤ t ≤ 3 ⇔ ≤ 3x ≤ 3 ⇔ 3−1 ≤ 3x ≤ 31 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
3
3
- Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S = [ −1;1]
Bài 8: Giải bất phương trình: 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x > 0 (1)
Lời giải:
- Ta có: 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x > 0 (1)
2
x
5 x
5
x
Chia hai vế của (1) đã cho 4 > 0 ta được: (1) ⇔ 5 + 2. ÷ − 7. ÷ > 0 (2)
2
2
x
5
- Đặt t = ÷ > 0 . Điều kiện: t > 0.
2
0 < t < 1
- Khi đó (2) có dạng 2t − 7t + 5 > 0 ⇔ 5
t >
2
2
x
5
- Với 0 < t < 1 ta có: ÷ < 1 ⇔ x < 0 .
2
5
- Với t > ta có:
2
x
5 5
÷ > ⇔ x >1.
2
2
- Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm: S = ( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ )
* Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình:
1) 2− x = 28
2) 2 x
2
−3 x + 2
= 2x+2
2
3) 3−2 − x = 33 x
4) 2− x = 8
5) 32 x−3 = 9
6) 23 x
x
7) 3
2
2
−2 x
−3 x
= 32
=
1
9
8) 9 x − 4.3x + 3 = 0
9) 9 x − 3.6 x + 2.4 x = 0
10) 5 x − 6 + 51− x = 0
11) 25 x − 6.5 x + 5 = 0
12) 36 x − 3.30 x + 2.25x = 0
13) 6.5 x − 51− x − 1 = 0
14) 2x - 2 = 3
15) 3x + 1 = 5x – 2
16) 3x – 3 = 5 x
17) 2 x − 2 = 5 x
18) 5 x.8
x −1
x
2
2
− 7 x +12
−5 x + 6
= 500
19) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
Bài 2: Giải các bất phương trình:
1) 2− x > 28
2) 2 x
2
−3 x + 2
> 2x+2
2
3) 3−2 − x > 33 x
4) 2− x > 8
5) 32 x−3 > 9
6) 23 x
x
7) 3
2
2
−2 x
−3 x
> 32
>
1
9
8) 9 x − 4.3x + 3 > 0
9) 9 x − 3.6 x + 2.4 x > 0
10) 5 x − 6 + 51− x > 0
11) 25 x − 6.5 x + 5 > 0
12) 36 x − 3.30 x + 2.25x > 0
13) 6.5 x − 51− x − 1 > 0
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1: Phương trình 43 x−2 = 16 có nghiệm là:
A. x =
3
4
B. x =
4
3
x
Câu 2: Tập nghiệm của phương trình: 2
C. 3
2
− x −4
=
1
là:
16
D. 5
A. Φ
C. { 0; 1}
B. {2; 4}
D. { −2; 2}
Câu 3: Phương trình 42 x +3 = 84 − x có nghiệm là:
A.
6
7
B.
2
3
C.
4
5
D. 2
−x
Câu 4: Phương trình 0,125.4
A. 3
2 x −3
2
=
÷
÷ có nghiệm là:
8
B. 4
C. 5
D. 6
Câu 5: Phương trình: 2 x + 2 x −1 + 2 x −2 = 3x − 3x −1 + 3x −2 có nghiệm là:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Câu 6: Phương trình: 22 x +6 + 2 x +7 = 17 có nghiệm là:
A. -3
B. 2
C. 3
D. 5
Câu 7: Tập nghiệm của phương trình: 5 x −1 + 53− x = 26 là:
A. { 2; 4}
B. { 3; 5}
C. { 1; 3}
D. Φ
Câu 8: Phương trình: 3x + 4 x = 5 x có nghiệm là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 9: Phương trình: 9 x + 6 x = 2.4 x có nghiệm là:
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Câu 10: Phương trình: 2 x = − x + 6 có nghiệm là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 11: Xác định m để phương trình: 4 x − 2m.2 x + m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt? Đáp án là:
A. m < 2
B. -2 < m < 2
C. m > 2
1
4
x−1
Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình: 1 ÷ < 1 ÷ là:
2
2
A. ( 0; 1)
5
B. 1; ÷
4
Câu 13: Bất phương trình:
A. ( 2;5 )
(
2)
B. [ −2;1]
C. ( 2; +∞ )
x2 − 2 x
D. ( −∞;0 )
3
≤ 2 2 có tập nghiệm là:
C. [ −1; 3]
D. Kết quả khác
D. m ∈ R
2− x
3
Câu 14: Bất phương trình: ÷
4
A. [ 1; 2]
x
3
≥ ÷ có tập nghiệm là:
4
B. [ −∞; 2]
D. Φ
C. (0; 1)
Câu 15: Bất phương trình: 4 x < 2 x+1 + 3 có tập nghiệm là:
A. ( 1; 3)
C. ( log 2 3; 5 )
B. ( 2; 4 )
D. ( −∞;log 2 3)
Câu 16: Bất phương trình: 9 x − 3x − 6 < 0 có tập nghiệm là:
A. ( 1; +∞ )
B. ( −∞;1)
C. ( −1;1)
D. Kết quả khác
Câu 17: Bất phương trình: 2x > 3x có tập nghiệm là:
A. ( −∞;0 )
B. ( 1; +∞ )
C. ( 0;1)
D. ( −1;1)
Câu 18: Nghiệm của bất phương trình 9 x −1 − 36.3x −3 + 3 ≤ 0 là:
A. 1 ≤ x ≤ 3
B. 1 ≤ x ≤ 2
C. x ≥ 1
1
x−1
Câu19: Tập nghiệm của bất phương trình: 1 ÷
2
A. ( 0; 1)
5
B. 1; ÷
4
Câu20: Bất phương trình:
A. ( 2;5 )
(
2)
B. [ −2;1]
3
Câu21: Bất phương trình: ÷
4
A. [ 1; 2]
C. ( 2; +∞ )
x2 − 2 x
B. [ −∞; 2]
D. ( −∞;0 )
≤ ( 2 ) có tập nghiệm là:
3
C. [ −1; 3]
2− x
4
1
< ÷ là:
2
D. ( 1;5 )
x
3
≥ ÷ có tập nghiệm là:
4
C. (0; 1)
D. Φ
Câu22: Bất phương trình: 4 x < 2 x+1 + 3 có tập nghiệm là:
A. ( 1; 3)
B. ( 2; 4 )
C. ( log 2 3; 5 )
D. ( −∞;log 2 3)
Câu23: Bất phương trình: 9 x − 3x − 6 < 0 có tập nghiệm là:
A. ( 1; +∞ )
B. ( −∞;1)
C. ( −1;1)
D. ( 2;5 )
Câu 24: Bất phương trình: 2x > 3x có tập nghiệm là:
A. ( −∞;0)
B. ( 1;+∞ )
C. ( 0;1)
D. ( −1;1)
Câu 25: Nghiệm của bất phương trỡnh 9 x −1 − 36.3x −3 + 3 ≤ 0 là:
D. x ≤ 3
