Rèn kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của chúng cho học sinh lớp 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN KĨ NĂNG TÌM HAI SỐ BIẾT MỐI QUAN HỆ GIỮA
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VỚI BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CỦA CHÚNG CHO HỌC SINH LỚP 6.

Người thực hiện: Phạm Thị Huê
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Lam Sơn – Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

`
THANH HOÁ NĂM 2016


I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là chương trình số học 6, sau khi
học các khái niệm, kiến thức về ước chung lớn nhất (ƯCLN), bội chung nhỏ
nhất (BCNN) chúng ta sẽ gặp dạng toán tìm hai số tự nhiên biết một số yếu tố có
liên quan đến ƯCLN, BCNN hoặc biết mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với
BCNN - đây là một dạng toán khó. Trong quá trình giảng dạy môn Toán 6 tôi
nhận thấy: Trong chương trình sách giáo khoa không đề cập đến dạng toán này,
có chăng chỉ ở một vài bài tập nhỏ trong sách bài tập. Còn sách tham khảo đã có
một số bài dạng này, tuy nhiên các sách này viết chưa lôgic, rời rạc riêng lẻ từng
bài. Trong giảng dạy chính khóa, giáo viên và học sinh cũng không có thời gian
đề cập đến. Do đó, khi gặp dạng toán này học sinh chưa định hướng được
phương pháp giải cụ thể và việc nhận dạng bài tập để phân tích đề bài “áp dụng

kiến thức lí thuyết đã biết” còn nhiều hạn chế. Trong khi đó dạng toán này lại
xuất hiện nhiều trong các kỳ thi, trong chương trình giải toán qua mạng internet
và đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.
Với thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo lại nhiều, làm sao để các em
có thể hiểu được, vận dụng được những kiến thức cơ bản nâng cao về ƯCLN,
BCNN, giải được những bài toán khó này? Điều đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổ
chức, hướng dẫn các em hệ thống những vấn đề lý thuyết, biết tổng hợp, phân
loại các dạng toán thường gặp, tìm ra các phương pháp giải sao cho hiệu quả
nhất; khi giải các bài toán học sinh phải vận dụng các kiến thức của môn học từ
đó khơi dậy tính hứng thú cho học sinh trong học tập. Đặc biệt hơn là dạng toán
mà tôi nói ở trên là một phương tiện giúp học sinh phát triển tư duy lôgíc, rèn
luyện các kỹ năng phân tích, tổng hợp… để phát triển và bồi dưỡng những em
có năng khiếu toán học là nhân tài tương lai cho đất nước.
Để giúp các em không gặp khó khăn, lúng túng khi đứng trước dạng toán
này và qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, thực hiện từng tiết dạy đặc biệt qua
quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tôi đã nghiên cứu và tìm ra một vài
biện pháp để tổ chức bồi dưỡng học sinh khối 6 đạt kết quả.
Vì vậy, tôi xin đưa ra kinh nghiệm của bản thân: “Rèn kĩ năng tìm hai số
biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của
chúng cho học sinh lớp 6” để trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp. Tuy nhiên
trong phạm vi bài viết này tôi không có tham vọng đề cập hết các khía cạnh của
dạng toán này mà chỉ đề cập đến một số dạng bài mà học sinh thường gặp.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đề xuất các biện pháp rèn kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước
chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của chúng cho học sinh lớp 6 nhằm nâng
cao chất lượng dạy học môn Toán 6 nói riêng, nâng cao chất lượng giáo dục học
sinh nói chung.
2

3. Đối tượng nghiên cứu
Biện pháp tổ chức rèn luyện kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước
chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của chúng cho học sinh lớp 6 đạt hiệu
quả cao.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và thực tiễn thực hiện từng tiết dạy bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 6 trong nhiều năm.
- Thu thập kết quả kiểm tra đánh giá việc thực hiện đề tài qua từng năm
học.
- Thảo luận nhóm chuyên môn.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận
Kỹ năng là năng lực hay khả năng của học sinh thực hiện thuần thục một
hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm)
nhằm tạo ra kết quả mong đợi. Kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một
hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Kỹ năng luôn có chủ đích và định
hướng rõ ràng.
Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh đã nhận được. Kĩ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với
kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn. Truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng
là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
Kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội
chung nhỏ nhất của học sinh được hình thành một cách có ý thức do quá trình
luyện tập giải các bài toán về ƯCLN, BCNN trên nền tảng kiến thức cơ bản mà
có.
Cũng như bất cứ một kỹ năng nào, kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ
giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của học sinh lớp 6 được hình
thành nhanh hay chậm, bền vững hay lỏng lẻo đều phụ thuộc vào khát khao,
quyết tâm, năng lực tiếp nhận của các em, cách luyện tập kỹ năng đó. Dù hình
thành nhanh hay chậm thì kỹ năng đó cũng đều trải qua những bước sau đây:

- Hình thành mục đích, động cơ học tập. Nếu học sinh mong muốn hoàn
thiện kỹ năng tính tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội
chung nhỏ nhất để phấn đấu trở thành học sinh khá, giỏi một cách quyết liệt, học
sinh sẽ nhanh có được kỹ năng đó.
- Lên kế hoạch chi tiết để hoàn thiện nhóm các kỹ năng cần thiết để phục
vụ cho mục đích trên.
- Cập nhật kiến thức liên quan đến kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ
giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất thông qua việc tự học trong
sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, các buổi học trên lớp, học bồi dưỡng, …
3


- Luyện tập kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất
với bội chung nhỏ nhất. Học sinh có thể luyện tập thường xuyên và liên tục ngay
trong các giờ học trên lớp hoặc ở nhà …
- Ứng dụng và hiệu chỉnh. Để có kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa
ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất học sinh phải ý thức giải tốt các bài
toán số học trong quá trình học tập ở lớp, ở nhà.
2. Thực trạng vấn đề
2.1. Đối với giáo viên
- Dạng toán phối hợp giữa ƯCLN của các số với BCNN của chúng là một
dạng toán khó dành bồi dưỡng học sinh giỏi nên trong chương trình sách giáo
khoa (SGK) rất ít, còn trong các sách tham khảo, sách nâng cao rất nhiều. Tuy
nhiên, các tài liệu trên chỉ là những tài liệu tham khảo, giúp giáo viên có thể
chuyển đổi một phần thành giáo án mang đi giảng dạy cho học sinh của mình,
song chưa có tài liệu nào hệ thống lô gic và phương pháp giải về dạng toán này
đủ để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao về kiến thức cho học sinh cũng như các
kinh nghiệm giải Toán về ƯCLN và BCNN nhằm nâng cao chất lượng dạy học
Toán 6.
- Với thời lượng 45 phút trên lớp không đủ để giáo viên hướng dẫn giải

quyết dạng bài tập này.
- Một bộ phận giáo viên nắm kiến thức phần này chưa được sâu nên cũng
ảnh hưởng đến việc đi sâu nghiên cứu dạng bài tập này.
- Qua tìm hiểu tôi nhận thấy khi dạy phần này một số giáo viên chỉ mới
hướng dẫn học sinh làm từng bài tập cụ thể một cách rời rạc chưa chú ý phân
loại có hệ thống dạng bài tập cho học sinh. Để từ đó hướng cho học sinh có cách
giải một dạng bài tập cụ thể.
2.2. Đối với học sinh
- Do thời lượng của chương trình và do đây là dạng toán nâng cao nên học
sinh chưa chú trọng, tìm tòi nếu không có hướng dẫn của giáo viên.
- Một bộ phận học sinh chưa ham học, chưa tự giác trong học tập, ngại học
dạng bài tập khó.
- Khả năng tư duy toán học của học sinh lớp 6 còn hạn chế.
- Học sinh chưa xác định rõ phương pháp giải các dạng bài toán này như
thế nào hoặc còn mắc sự sai lệch trong nhận dạng loại bài tập này.
2.3. Kết quả của thực trạng
Từ thực tế trên để đánh giá đúng khả năng hiểu biết và vận dụng kiến thức
đã học để làm bài tập dạng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ƯCLN và BCNN
của chúng, trước khi thực hiện đề tài tôi đã tiến hành khảo sát đối với đội tuyển
học sinh giỏi lớp 6 cấp trường từ năm học 2013–2014 đến năm học này và kết
quả thu được như sau:
4


Năm học

Sĩ số

2013- 2014

Giỏi

Khá

Trung bình

SL

%

SL

%

SL

%

15

2

13

3

20

10

67

2014-2015

14

2

14

4

29

8

57

2015- 2016

14

3

21

4

29

7

50

Ghi
chú

Kết quả trên cho thấy rằng, hầu hết các em học sinh khá giỏi chưa chủ
động, tự giác, chưa có phương pháp tự học tốt nên chưa nắm được các dạng toán
và phương pháp giải các dạng toán về ƯCLN, BCNN đặc biệt dạng toán tìm hai
số. Do đó, để tiếp tục khẳng định giá trị thực tế của đề tài, trong năm học này
tôi đã đề xuất với Ban giám hiệu Nhà trường và tổ chuyên môn cho tôi tiếp tục
được phụ trách đội tuyển toán 6 để áp dụng đề tài. Sau khi học xong học kì I
năm học 2015 – 2016 tôi đã cho các em làm bài kiểm tra kiểm nghiệm lại đề tài,
hình thức khảo sát ra đề kiểm tra 45 phút để tổ chuyên môn duyệt. Báo cáo với
Ban giám hiệu Nhà trường tổ chức cho đội tuyển làm bài khảo sát vào thời gian
ngoài giờ học chính khóa (cụ thể vào buổi chiều học bồi dưỡng).
Sau ba năm nghiên cứu và thử nghiệm tôi thấy đề tài của mình đem lại
hiệu quả thiết thực, được đồng nghiệp đánh giá cao (kết quả tôi tổng hợp trong
mục kết luận của đề tài).
3. Giải pháp thực hiện
Qua thực tế giảng dạy môn toán 6 ở trường trung học cơ sở (THCS), tham
khảo, nghiên cứu tài liệu kết hợp với các tiết dự giờ thăm lớp của đồng nghiệp
tôi đã rút ra được kinh nghiệm để bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6.
Để hình thành kĩ năng giải các dạng bài tập cho học sinh tôi kết hợp giữa
việc dạy lí thuyết trên lớp với các bài tập điển hình liên quan trong sách giáo
khoa, sách bài tập. Dựa vào đặc điểm đề bài giáo viên phân loại các bài tập,
hướng dẫn HS giải mẫu và làm các bài tập cùng dạng.
Sau khi chọn, phân từng dạng bài, tôi thực hiện theo các giải pháp sau:
Giải pháp 1: Cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết

Giải pháp 2: Chọn bài tập điển hình của dạng đó có trong sách bài tập
hoặc sách tham khảo cho học sinh phân tích đề tìm phương pháp giải và cùng
học sinh (HS) giải mẫu những bài cơ bản để cho học sinh nắm được trình tự các
bước để làm bài tập (giáo viên chốt lại phương pháp giải chung)
Các dạng toán: - Tìm hai số biết ƯCLN và BCNN.
- Tìm hai số biết ƯCLN hoặc BCNN.
- Tìm hai số biết tổng (hoặc hiệu) và ƯCLN hoặc BCNN.
- Tìm hai số biết thương và ƯCLN hoặc BCNN.
- Toán tổng hợp.
5


Giải pháp 3: Giáo viên ra các bài tập tương tự hoặc với mức độ cao hơn
để học sinh luyện tập ngay tại lớp, giáo viên chuẩn lại kiến thức và phần trình
bày cho học sinh (giải pháp 2 và giải pháp 3 tôi lồng vào nhau khi thực hiện đề
tài).
Giải pháp 4: Giáo viên ra các bài tập của dạng cho học sinh làm ở nhà
(có thể thu vở của vài học sinh để chấm lấy điểm, tạo hưng phấn cho học sinh
luyện tâp, hình thành kĩ năng).
Sau đây tôi xin trình bày cụ thể việc tổ chức thực hiện các giải pháp trong
đề tài:
3.1. Cung cấp cho học sinh các kiến thức có liên quan.
a) Kiến thức ở sách giáo khoa toán 6 có liên quan.
- Bội – Ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a là bội
của b, còn b là ước của a.
* Ước chung (ƯC): Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các
số đó.
* Bội chung (BC): Bội chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số
đó.
* ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của các

số đó.
* Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
b) Kiến thức nâng cao:
* Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là
những số nguyên tố cùng nhau.
* Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của hai số a, b (kí hiệu (a,b)) và
BCNN của hai số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích của hai số a và b là:
(*)
a . b = (a, b) . [a, b].
Chứng minh: Đặt (a, b) = d ⇒ a = md và b = nd với m, n ∈ N * , (m, n) = 1
Từ (I) ⇒ ab = mnd2; [a, b] = mnd ⇒ (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab.
Vậy ab = (a, b) [a, b].
* BCNN(k.a, k.b) = k.BCNN(a; b) với mọi a, b, c ∈ N*.
* Nếu ab Mm mà (a, m) = 1 thì b Mm.
GV cần lưu ý cho học sinh:
- Muốn tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN
của các số đó.
- ƯCLN của n số a1, a2, ..., an ký hiệu là ƯCLN(a1, a2, ..., an) hay
(a1, a2, ..., an)

6


- BCNN của n số a1, a2, ..., an ký hiệu là BCNN(a1, a2, ..., an) hay
[a1, a2, ..., an]
- Muốn tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN
của các số đó.
- Nếu ta nhân hay chia (trường hợp chia hết) cả hai số với cùng một số tự
nhiên khác 0 thì ƯCLN của chúng cũng nhân hay chia với số đó.
- Khi chia BCNN của nhiều số cho mỗi số đó ta được các thương là những

số nguyên tố cùng nhau.
- Nếu a Mm và a Mn thì a MBCNN(m, n). Từ đó suy ra:
- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó cũng chia hết
cho tích của chúng.
- Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia
hết cho tích của chúng.
3.2. Hướng dẫn giải một số bài toán mẫu:
Dạng 1: Biết (a, b) và [a, b] tìm a và b.
Bài 1: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300
GV Hướng dẫn sử dụng công thức: a.b = (a, b) . [a, b] và sử dụng định
nghĩa ước chung của hai số cùng tính chất về ƯCLN của chúng: Cho ƯCLN (a,
b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng
nhau. Từ đó lập mối quan hệ giữa hai thương rồi suy ra a và b.
Giải: Áp dụng công thức: a.b = (a, b).[a, b] ⇒ ab = 300.15 = 4500 (1)
* Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b.
Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n, với m, n ∈ N* và (m, n) = 1, m < n (2)
Từ (1) suy ra: 15m . 15n = 4500 nên m . n = 20 (3)
Đến đây, để tính được a, b thì phải tính được m, n. Vậy HS phải biết kết
hợp (2) và (3) tìm ra m, n (nghĩa là m, n là ước của 20 và là cặp số nguyên tố
cùng nhau). Từ đó tính được a và b.
Kết hợp (1), (2) và (3) ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa a, b, m và n
như sau:
m

n

a

b

1

20

15

300

4

5

60

75

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 15 và 300; 60 và 75
Nhận xét: Ta thấy: ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,a); BCNN(a, b) = BCNN(b, a)
nên ta có thể hoán đổi vị trí của a, b cho nhau. Nói cách khác a và b có vai trò
như nhau trong bài toán.
7


GV chú ý hướng dẫn HS kết hợp điều kiện để lập bảng biểu thị mối quan
hệ giữa hai thương m, n rồi tìm a, b để gọn và không nhầm.
GV thay đổi một điều kiện của đề bài, tương tự cách suy nghĩ và hướng
giải bài tập trên, HS làm tiếp dạng biết tích của hai số a, b và [a, b] hoặc (a,
b).
Dạng 2: Biết tích của 2 số a và b và [a, b] hoặc (a, b).
Bài 2: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 216 và (a, b) = 6

Tương tự như bài toán trên HS lập luận để lập bảng biểu thị mối quan hệ
giữa m, n, a và b
Giải
Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a ≤ b.
Vì (a, b) = 6 ⇒ a = 6m; b = 6n với m, n ∈ N*, (m, n) = 1 và m < n (1)
Khi đó ab = 6m.6n = 36mn.
Theo đề ra: ab = 216 nên 216 = 36mn ⇒ mn = 6 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta lập bảng xét các giá trị tương ứng giữa m, n, a và b
như sau:
m

n

a

b

1

6

6

36

2

3

12

18

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 6 và 36; 12 và 18
Nhận xét: - Do vai trò của a, b như nhau nên ta có thể kết luận bài toán
như sau: Cặp số (a, b) cần tìm: (6; 36) ; (36; 6) ; (12; 18) ; (18; 12)
- Ta có thể áp dụng phương pháp giải này cho bài toán tìm hai số biết
tích và BCNN của chúng.
Bài 3: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 180; [a, b] = 60
Tương tự dạng trên: bài toán có 3 yếu tố a.b, (a, b), [a, b], trong bài này
biết hai yếu tố a.b, [a, b], HS thường lúng túng khi đề bài cho BCNN, GV gợi
cho các em là lúc cần sử dụng công thức a.b = (a, b) . [a, b] để tìm ƯCLN(a, b),
đưa bài toán về dạng ban đầu.
Giải:
ab

180

Từ a.b = (a,b) . [a, b] ⇒ (a, b) = [a, b] = 60 = 3
Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a ≤ b, vì
(a, b) = 3 nên a = 3m, b = 3n với m, n ∈ N*(m, n) = 1 và m < n.(1)
Suy ra a.b = 3m . 3n = 9mn vì ab = 180 nên 180 = 9mn ⇒ mn = 20.(2)
8


Từ (1) và (2) ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa m, n, a và b như sau:
m

n

a

b

1

20

3

60

4

5

12

15

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 3 và 60; 12 và 15.
Nhận xét: Ta có thể áp dụng phương pháp giải này cho bài toán tìm hai số
biết tổng, hiệu, thương và BCNN hoặc ƯCLN của chúng.
Dạng 3: Biết tổng hoặc hiệu của 2 số a, b và [a, b] hoặc (a, b)
Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16
Đề bài đã thay điều kiện tích của hai số bằng tổng của hai số, HS thường
gặp khó khăn vì các em đang quen sử dụng công thức a.b = (a, b).[a, b]. GV chỉ
rõ cho HS điều kiện tích đã thay thành tổng, hãy viết công thức tổng quát của a,
b rồi thay vào điều kiện tổng, thực hiện bình thường như các bài tập trên.
Giải:

Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b khi
đó a = 16m; b = 16n với m, n ∈ N*, (m, n) = 1 và m < n. (1)
Vì a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 ⇒ 16 (m + n) = 128 ⇒ m + n = 8 (2)
Từ (1) và (2) ta lập bảng xét các giá trị tương ứng của m, n, a và b như
sau:
m

n

a

b

1

7

16

112

3

5

48

80

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 16 và 112; 48 và 80

Bài 5: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.
Giải
Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m, n ∈ N*; (m, n) = 1.
Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b, khi
đó m < n.
Ta có: a + b = d(m + n) = 42
(1)
[a, b] = dmn = 72
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ d ∈ ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = 6 ⇒ d ∈ Ư(6)
nên d ∈ {1; 2; 3; 6}.

9


Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có
d = 6 là thoả mãn.
Suy ra: m + n = 7 và m . n = 12
Chỉ có m = 3 và n = 4 là thoả mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy 2 số tự
nhiên a và b cần tìm là: 18 và 24.
Nhận xét: Ta có thể không cần lập bảng xét các giá trị của m, n, a và b mà
chỉ cần lập luận, thay và tìm giá trị thỏa mãn. Tuy nhiên, việc lập bảng xét các
giả trị tương ứng cho ta thấy gọn và không bị nhầm lẫn.
Bài 6: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết:
a, b < 200 và a - b = 90; (a, b) = 15.
Giải: Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = 1 và m > n
Ta lại có a – b = 90 ⇒ 15 (m – n) = 90 ⇒ m – n = 6
Đến đây HS thường gặp khó khăn vì nghĩ rằng không thể tìm hết giá trị
của m, n thỏa mãn điều kiện đề cho, do các em quên mất điều kiện a, b < 200.
Giải quyết tiếp như sau:

Do a = 15m < 200 nên m < 14.
Lập bảng:
m

n

a

b

13

7

195

105

11

5

165

75

7

1

105

15

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195
a = 165
a = 105
b = 105
b = 75
b = 15
Nhận xét: Trong dạng bài này a và b có vai trò khác nhau vì a – b = 90,
nếu hoán đổi vị trí a và b cho nhau thì b – a ≠ 90. Do đó, ta cần xét hết các giá
trị của n, m, a, b (HS thường nhầm lẫn vì kết luận a và b như các bài tập trên).
Bài 7: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a – b = 7 và [a, b] = 140
Giải:
Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m, n ∈ N*; (m, n) = 1
Do đó:

a – b = d (m – n) = 7 (1)

(a > b ⇒ m > n)
a.b

Áp dụng công thức: a.b = (a,b) . [a, b] suy ra [a, b] = (a, b) =

m.d .n.d
d

⇒ [a, b] = mnd = 140 (2)

HS thường vướng mắc trong việc kết hợp được hai điều kiện trên để tìm
ra mối quan hệ của m, n và d, do đó trong quá trình giảng dạy GV cần cho học
10


sinh phân tích kết hợp các điều kiện tìm mối quan hệ đó. GV hướng dẫn HS tiếp
tục như sau:
Từ (1) và (2) ⇒ d ∈ ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7
⇒ d ∈ Ư(7) = {1, 7}.

Thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất:
d = 7 và m – n = 1 ;

m = 5
m = 5
⇒

nm = 20 n = 4

a = 35
b = 28

khi đó 

Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28
Dạng 4: Biết thương của a, b và ƯCLN hoặc BCNN
Bài 8: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết

a
= 2,6 và (a, b) = 5

b

Tương tự bài toán ở dạng 2, HS làm được bài toán biết thương của hai
số.
Hướng dẫn:
Do (a, b) = 5 ⇒ a = 5m, b = 5n với m, n ∈ N*, (m, n) = 1
nên

a m
13
= = 2,6 =
⇒
b n
5

m 13
= .
n 5

Vì (m,n) = 1 nên m = 13, n = 5. Khi đó a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25.
Vậy 2 số cần tìm là: a = 65; b = 25
Nhận xét: Ta có thể áp dụng phương pháp giải này cho bài toán tìm hai số
biết thương và BCNN của chúng.
Bài 9: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết:

a
= 0,8 và [a, b] = 140
b

Giải:

Đặt (a, b) = d ⇒ a = m.d, b = nd với (m, n) = 1 và m, n ∈ N*
a md m
4
=
= = 0,8 =
b nd n
5
Vì (m,n) = 1 ⇒ m = 4; n = 5
⇒

a.b

Áp dụng công thức: a.b = (a,b) . [a, b] suy ra [a, b] = (a, b) =

m.d .n.d
d

⇒ [a, b] = mnd = 140 (2)
⇒ 140 = 4.5.d
⇒ 140 = 20.d
⇒ d=7

Khi đó a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35
Vậy 2 số cần tìm là a = 28; b = 35
11


Nhận xét: Từ cách giải các dạng toán trên, ta có thể giải bài toán tổng
hợp tìm hai số biết thêm một hoặc nhiều điều kiện liên quan.
Dạng 5: Toán tổng hợp.

Bài 10: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + 2b = 48 và (a, b) + 3 [a, b] = 114.
Đối với dạng bài tập này nhiều HS mới nhìn vào đề bài thì không biết bắt
đầu từ đâu vì đây là dạng tổng hợp, đề bài không cho BCNN hoặc ƯCLN của
hai số. GV cần gợi mở cho HS: Giả sử ƯCLN(a, b) = d, viết công thức tổng
quát của a, b; sử dụng công thức a.b = (a, b) . [a, b] để tính [a, b]; thế a, b, (a,
b) = d, [a, b] vào hai điều kiện trên, kết hợp lập bảng các giá trị cần tìm.
Giải:
Đặt (a, b) = d ⇒ a = dm; b = dn (*) với (m, n) = 1 và m, n ∈ N*
a.b

Áp dụng công thức: a.b = (a,b) . [a, b] suy ra [a, b] = (a, b) =

m.d .n.d
d

⇒ [a, b] = mnd

Mặt khác: a + 2b = 48 ⇒ d (m + 2n) = 48
(1)
(a, b) + 3 [a, b] ⇒ d (1 + 3mn) = 114
(2)
⇒ Từ (1) và (2) ⇒ d ∈ ƯC (48, 114) mà ƯCLN (48, 114) = 6
⇒ d ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) ta

thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.
Thay d = 6 vào (1) và (2), ta được: m + 2n = 8 ; 1 + 3mn = 19
Từ (*) và (3) ta lập bảng xét các giá trị tương ứng của m, n, a và b như
sau:
m

n

a

b

2

3

12

18

6

1

36

6

Vậy 2 số cần tìm là: a = 12 và b = 18 hoặc a = 36 và b = 6
Bài 11: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: [a, b] + (a, b) = 55
Giải:
Đặt (a, b) = d khi đó: a = dm, b = dn ; (m, n) = 1(1) và m, n ∈ N*
Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a ≤ b ⇒
mÁp dụng công thức: ab = (a, b) [a, b] ⇒ [a, b] =

ab
ab d 2 mn
=
=
= dmn
( a, b) d
d

Theo bài ra: [a, b] + (a, b) = 55 hay dmn + d = 55 ⇒ d(mn + 1) = 55

12


⇒ mn + 1 ∈ Ư(55)
⇒ mn+1 ∈ { 1;5;11;55} (2)

Mặt khác mn + 1 > 2 (vì m, n ∈ N*) (3)
Kết hợp (1), (2), (3) ta có bảng xét giá trị tương ứng m, n, a và b như sau:
mn + 1

d

mn

m

n

a

b

5

11

4

1

4

11

44

11

5

10

1

10

5

50

2

5

10

25

55

1

54

1

54

1

54

2

27

2

27

Vậy các cặp số tự nhiên a và b cần tìm là:
(11, 44), (5, 50); (10, 25), (1, 54), (2, 27)
Bài 12: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b)
Giải: Đặt (a, b) = d thì a = dm, b = dn với (m, n) = 1. Do đó ab = d2mn(*)
Theo đề bài: [a, b] = 6(a, b) = 6d.
Áp dụng công thức: ab = (a, b) [a, b] ⇒ ab = 6dd (*’)
Kết hợp (*) và (*’) suy ra: d.6.d = d2mn ⇒ m.n = 6
Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a ≤ b ⇒
mTa lập bảng xét các giá trị tương ứng của m và n:
m
n
1
6
2
3
Mặt khác: a + b = d(m + n) nên: 30 = d(m + n) do đó m + n là ước của 30.
Nên chỉ có m = 2, n = 3 khi đó 30 = d (2 + 3) ⇒ d = 6
Do đó a = 6 . 2 = 12; b = 6 . 3 = 18
Vậy 2 số cần tìm là 12 và 18.
Tóm lại: Để giải được các bài toán dạng này HS cần phải thực hiện
theo các bước sau:
Bước 1: Viết công thức tổng quát của hai số thông qua ước chung lớn
nhất (thương của hai số khi chia cho ƯCLN là hai số nguyên tố cùng nhau m
và n).
Bước 2: Thay công thức vừa viết được vào các biểu thức điều kiện đề
bài cho.
13

Bước 3: Tìm mối quan hệ giữa m và n.
Bước 4: Lập bảng tính giá trị của m, n rồi suy ra a, b.
Bước 5: Kết luận.
3.3 Một số bài toán tự giải.
(1) Tìm 2 số tự nhiên a và b, biết.
a) a.b = 360, [a, b] = 60
b) (a, b) = 12, [a, b] = 72
c) (a, b) = 6, [a, b] = 180
d) a + b = 72, (a, b) = 8
e) (a – b) = 90, (a, b) = 15
g) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b)
h) ab = 180, [a, b] = 20 (a, b)
i) a.b = 24300 và (a, b) = 45
(2). Tìm phân số

a
có giá trị bằng
b

36
, biết BCNN (a,b) = 300.
45
21
b) , biết ƯCLN (a, b) = 30.
35
15
c) , biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549
35

a)

(3). Tìm 2 số tự nhiên a và b biết:
a) [a, b] – (a, b) = 5
b) [a, b] – (a, b) = 35
c) [a, b] + (a, b) = 19
d) 2a – 3b = 100 và 15.[a, b] + 8.(a, b) = 1990
4. Hiệu quả của đề tài.
Đề tài : “Rèn kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ƯCLN với BCNN
của chúng cho học sinh lớp 6” là kinh nghiệm được rút ra trong quá trình ôn tập
và bồi dưỡng học sinh giỏi của tôi. Với đề tài tôi đã phân loại và rèn cho học
sinh cách giải được dạng bài tập khó trong chương trình và hình thành cho các
em phương pháp giải chung đi từ những bài tập cụ thể. Phương pháp dạy bài tập
theo phân loại dạng như trên đó rèn cho học sinh khả năng tư duy, khả năng định
hướng bài tập, giúp cho học sinh phân loại bài tập nhanh và áp dụng các phương
pháp giải một cách thành thạo. Từ đó mở rộng được nhiều dạng bài tập và thấy
chất lượng học tập của học ngày một nâng lên. Từ đó các em học sinh hứng thú,
ham học bộ môn hơn.
Với việc áp dụng kinh nghiệm này vào dạy nâng cao và bồi dưỡng học
sinh giỏi, trong ba năm học qua tôi thấy thực sự có hiệu quả. Từ các bài toán
mẫu học sinh đã giải được thành thạo các bài toán dạng tương tự thường gặp qua
đó nâng cao được kỷ năng giải dạng toán này, hơn nữa cũng từ thành công của
đề tài này nên đề tài được chuyên môn nhà trường nhân rộng. Do đó, việc phân
chia, hệ thống các dạng toán nói chung trong bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường

14


chúng tôi được áp dụng rộng rãi. Kết quả được thể hiện qua các kì thi Học sinh
giỏi cấp huyện những năm qua trường luôn luôn đứng tốp đầu của huyện.
Kết quả thu được sau khi thực hiện đề tài :

Năm học

Sĩ
số

Giỏi
SL

%

Khá
SL

%

Trung
bình
SL

%

2013- 2014

15

12

80

3

20

0

0

2014-2015

14

12

86

2

14

0

0

2015-2016

14

11

79

3

21

0

0

Số giải cấp trường
14
5 giải nhất, 5 giải nhì, 2 giải
ba, 2 giải khuyến khích

13
4 giải nhất, 5 giải nhì, 2 giải
ba, 2 giải khuyến khích

14
5 giải nhất, 4 giải nhì, 3 giải
ba, 2 giải khuyến khích

(Kết quả trên đã được Chuyên môn Nhà trường thẩm định, kiểm tra và lưu hồ
sơ)
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
Qua đề tài “Rèn kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ƯCLN với
BCNN của chúng cho học sinh lớp 6” tôi đã hệ thống các kiến thức cơ bản, nâng
cao; hệ thống dạng toán và phương pháp giải. Đây là một trong những tài liệu
phù hợp để giáo viên dạy lớp 6, đặc biệt những giáo viên dạy đội tuyển nâng cao

hiệu quả dạy học Toán lớp 6 nói riêng và dạy học Toán trong nhà trường nói
chung. Đề tài này còn rất phù hợp các đội tuyển học sinh giỏi lớp 7, 8, 9. Việc áp
dụng đề tài đã mang lại hiệu quả cao trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Học sinh có thể dùng làm tài liệu học tập; giáo viên có thể dùng làm tài liệu
giảng dạy, đồng thời nâng cao trình độ chuyên môn, đúc rút kinh nghiệm.
Từ quá trình áp dụng đề tài, tôi rút ra một số bài học kinh nghiệm sau:
*Về phía học sinh:
- Đọc kĩ đề bài toán, phân tích các yếu tố, điều kiện đã cho, xác định dạng
bài tập, các bước giải từng dạng.
- Sử dụng các kiến thức cơ bản và nâng cao có liên quan một cách linh
hoạt.
- Cần chú ý những lưu ý như trong đề tài đã trình bày để tránh những sai
lầm khi giải.
15


- Có những bài toán cần phải kết hợp nhiều đơn vị kiến thức nâng cao.
*Về phía giáo viên:
- Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung được tốt trước
hết giáo viên phải phân loại được dạng bài tập cho học sinh và phương pháp giải
dạng đó rồi hướng dẫn học sinh phân tích đề bài để nhận dạng bài toán từ đó có
cách giải chính xác và ngắn gọn.
- GV rèn cho học sinh khả năng làm việc độc lập, vận dụng kiến thức vào
giải các bài tập bằng cách đưa ra và phân loại các dạng bài tập. Ở mỗi dạng, bài
tập được đưa ra từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó và mang tính lôgic.
- Đây là đề tài dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi nên giáo viên cần lựa
chọn đối tượng học sinh có lực học khá trở lên, vì dạng bài tập này đòi hỏi các
em phải có tư duy logic toán học cao, linh hoạt trong cách nhìn nhận.
2. Kiến nghị.
- Các bản SKKN đạt giải kính mong Phòng giáo dục đóng thành tập san

phổ biến xuống các trường để giáo viên được học hỏi.
- Bộ GD&ĐT nên điều chỉnh lượng bài tập để có thêm một số bài tập
nâng cao cần thiết cho việc rèn kĩ năng giải toán cho học sinh có lực học khá
giỏi.
Do trong khoảng thời gian không nhiều và phạm vi đề tài dưới góc độ một
sáng kiến kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong Ban
giám khảo cùng đồng nghiệp góp ý để đề tài hoàn chỉnh hơn và đi vào ứng dụng
có hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép của người
khác.
Người viết

Phạm Thị Huê

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT
1

Tên tài liệu

Tác giả, Nhà xuất bản

- Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu
Sách giáo khoa toán 6 tập 1 Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận.
- Nhà Xuất bản Giáo dục Việt nam

2

Sách bài tập toán 6 tập 1

- Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia
Đức, Trần Luận, Phạm Đức Quang.
- Nhà Xuất bản Giáo dục Việt nam.

3

Toán Bồi dưỡng học sinh
lớp 6

-Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang
Thiều.
- Nhà Xuất bản Giáo dục Việt nam.

4

Nâng cao và phát triển toán - Vũ Hữu Bình.
6 – tập 1
- Nhà Xuất bản Giáo dục Việt nam.

5

Tài liệu chuyên toán trung

học cơ sở Toán 6 – tập 1

- Vũ Hữu Bình, Nguyễn Tam Sơn.
- Nhà Xuất bản Giáo dục Việt nam.

17


MỤC LỤC
Trang
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.

1

2. Mục đích nghiên cứu.

1

3. Đối tượng nghiên cứu.

2

4. Phương pháp nghiên cứu.

2

II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận.

2

2. Thực trạng của vấn đề.

3

2.1. Đối với giáo viên.

3

2.2. Đối với học sinh.

3

2.3. Kết quả thực trạng.

3

3. Giải pháp thực hiện.

4

3.1. Cung cấp cho học sinh các kiến thức có liên quan.

5

3.2. Hướng dẫn giải một số bài toán mẫu.

6

3.3. Một số bài toán tự giải.

13

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

13

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
1. Kết luận.

14

2. Kiến nghị.

15

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO

16

18