Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6 qua một số bài tập tính tổng dãy số

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Như Bác Hồ đã nói: “Vì lợi ích mười năm phải trồng cây, vì lợi ích trăm
năm phải trồng người”. Câu nói đó thật có ý nghĩa.
Mọi người ai cũng biết chúng ta đã bước sang thời đại cách mạng khoa
học kỹ thuật phát triển không ngừng trong mọi lĩnh vực của đời sống, con người
ngày càng phụ thuộc và chi phối lẫn nhau, nhu cầu hợp tác ngày càng gia tăng.
Cùng với sự phát triển đó, đất nước ta ngày càng đổi mới và chuyển sang nền
kinh tế thị trường, mở cửa, giao lưu hội nhập cùng các quốc gia khác trên thế
giới. Để đáp ứng nhu cầu phát triển của đất nước, chúng ta cần phải có nhiều
những nhân tài, những nhà khoa học giỏi, những giáo sư trong mọi lĩnh vực
khoa học cũng như đời sống.
Hơn nữa, một trong những chủ trương lớn của Đảng và nhà nước ta đối với
giáo dục trong thời kỳ đổi mới là: Nâng cao nguồn nhân lực và bồi dưỡng nhân
tài cho đất nước. Muốn làm được việc này thật không dễ, nó đòi hỏi một sự nỗ
lực và sáng tạo không biết mệt mỏi của những người làm công tác giáo dục nói
chung và toàn thể đội ngũ giáo viên chúng ta nói riêng.
Nhằm tạo ra nguồn nhân tài trong tương lai cho đất nước thì ngay từ khi
các em còn ngồi trên ghế nhà trường chúng ta cần phải theo dõi, phát hiện và
tiến hành bồi dưỡng các em nhằm giúp các em phát huy hết khả năng tư duy
sáng tạo của mình.
Vì vậy, việc đào tạo một thế hệ trẻ có đầy đủ phẩm chất và năng lực để đáp
ứng nhu cầu phát triển của đất nước là một vấn đề cần thiết nhằm tạo động lực
góp phần đưa đất nước phát triển nhanh.
Trong những năm gần đây, số học sinh giỏi, học sinh đạt giải các kỳ thi trong
nước và Quốc tế ngày càng tăng. Bộ giáo dục và Đào tạo đã tổ chức những cuộc
thi Quốc gia chọn học sinh giỏi trong đó có học sinh giỏi môn Toán. Trong các
kỳ thi Ôlympic môn Toán nước ta đã đạt được những giải thưởng cao.
Để có được những học sinh giỏi Toán, những nhân tài trong ngành Toán học
thì việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học từ cấp THCS là một việc
làm hết sức quan trọng và cần thiết. Chính vì thế nhiệm vụ phát hiện và bồi

dưỡng các em học sinh giỏi ngay từ đầu cấp là nhiệm vụ hàng đầu.
Muốn vậy người giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong
nhiều tình huống khác nhau để tạo ra hứng thú học tập cho học sinh. Phải cung
cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó cung cấp cho học sinh
cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản đó, phân tích tìm ra
hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh
không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần tạo sự tự tin, gây hứng thú
say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu.
Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong một
dạng toán khác nhau đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức một cách sáng tạo
1

1


trong nhiều lĩnh vực, vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho
phù hợp.
Trong chương trình Toán THCS nói chung và phần Số học nói riêng có rất
nhiều dạng toán hay. Các dạng toán Số học ở chương trình THCS thật đa dạng
và phong phú như: Toán chia hết; phép chia có dư; số nguyên tố; số chính
phương; luỹ thừa; dãy số viết theo quy luật …
Bài tập về tính tổng dãy số có trong chương trình số học 6. Song khi gặp
các bài toán này không ít khó khăn phức tạp, học sinh hay bế tắc, lúng túng và
thường vướng mắc không giải quyết được. Khả năng tiếp thu của từng học sinh
trong quá trình học, làm các dạng toán luôn có sự khác nhau.Thông qua quá
trình giảng dạy phần bài tập tính tổng dãy số giáo viên có thể phát hiện ra các
học sinh có tố chất. Các em học sinh giỏi toán có tố chất nhanh nhạy về tính
toán, tư duy, suy luận logic…
Khi phát hiện ra các học sinh đó thì công việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
chính là xây dựng các hệ thống kiến thức cũng như bài tập thực hành phù hợp để

rèn luyện và phát triển khả năng của các em đó.
Sau đây tôi xin trình bày SKKN “Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi
môn Toán lớp 6 ở Trường THCS Nga Mỹ qua một số bài tập tính tổng dãy số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác rất khó khăn
và phức tạp. Vì vậy, tôi nghiên cứu đề tài này với mục đích tìm ra những giải
pháp, hình thức phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán nhằm đạt hiệu quả
cao. Đồng thời còn nâng cao chất lượng giảng dạy, trình độ chuyên môn nghiệp
vụ cho giáo viên. Làm tốt công tác này sẽ kích thích mạnh mẽ ý thức tự giác
lòng say mê và ý chí vươn lên trong học tập, tu dưỡng của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm cần thiết đối với tất cả các khối
lớp trong nhà trường THCS, ở đây tôi chỉ nghiên cứu trong phạm vi hẹp. Đó là
bàn về một số biện pháp, hình thức phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi. Cụ thể
là học sinh giỏi khối 6 qua một số bài tập tính tổng dãy số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp dạy học tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh.
Phương pháp quan sát, gợi mở, vấn đáp, truyền đạt khi hình thành kiến thức
mới.
Phương pháp luyện tập thực hành, kiểm tra phát hiện để củng cố kiến thức.
Phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề, điều tra, thảo luận khi hình
thành kỹ năng cho học sinh.

2

2


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận.

Chúng ta biết rằng lứa tuổi học sinh bậc THCS, nhất là các em mới chuyển
từ bậc Tiểu học lên lớp 6 đặc điểm tâm sinh lý hết sức điển hình đây là thời kỳ
chuyển giao từ trẻ con sang người lớn, do đó tạo cho các em một nhân cách đa
dạng phong phú thể hiện ở một số điểm cơ bản sau đây:
Hứng thú của các em phát triển ở mức độ cao, hứng thú về học tập đã xuất
hiện và ngày càng đậm nét. Đây là việc hết sức thuận lợi đối với việc giảng dạy
bộ môn Toán học. Từ việc tò mò thích thú dẫn tới say mê bộ môn không phải là
khoảng cách xa đối với các em.
Bên cạnh đó ý thức tự lập và khả năng tìm tòi đi sâu khám phá khoa học là
một ưu điểm điển hình của học sinh THCS. Tuy nhiên việc đi sâu vào bản chất
khái niệm, khả năng phân tích tổng hợp, so sánh của các em không phải lúc nào
cũng bộc lộ rõ nét.
Cùng song song với những ưu điểm trên các em cũng còn bộc lộ những
nhược điểm sau: có hứng thú say mê, có niềm khát khao khám phá chân lý, có
lòng yêu khoa học song các em còn rụt rè e ngại, đôi khi hay nản chí, mất lòng
tin khi gặp phải công việc quá khó khăn mà bản thân chưa thể giải quyết được.
Làm thế nào để khắc phục được những khó khăn đó. Điều quan trọng nhất mỗi
giáo viên nên thực sự quán triệt nguyên tắc tôn trọng nhân cách học sinh nên tin
tưởng vào các em, mạnh dạn giao phó công việc để các em ngày thêm vững
vàng lớn khôn hơn.
Đối với bài tập tính tổng, có bài là phép tính đơn thuần nhưng nhiều bài tập
lại có một quy luật riêng nào đó. Có những bài toán thiết lập bởi một quá trình
lặp đi lặp lại nhưng với kết quả là một bất biến theo nghĩa nào đó. Nhiệm vụ của
chúng ta là phải tìm bất biến trong quá trình đó. Chúng ta có thể gọi công việc
đó là tìm kiếm quy luật trong quá trình giải toán.Tìm kiếm một quy luật là một
con đường hiệu quả để học sinh tiếp cận, giải quyết một bài toán.Vậy chúng ta
tìm kiếm quy luật như thế nào? Việc làm đó đòi hỏi khả năng tư duy của học
sinh.
Quy luật là một lĩnh vực quan trọng trong toán học bởi chúng ta nhận biết
được những điểm giống nhau giữa những con số đưa ra và dự đoán.Tìm kiếm

quy luật của một tổng là một vấn đề đòi hỏi năng lực tư duy của chúng ta, bởi
không có một quy luật duy nhất nào có thể áp dụng cho mọi trường hợp. Mỗi
tổng có một quy luật nhất định. Do đó học sinh cần phân tích các mối quan hệ
giữa các số hạng của tổng trong bài toán để từ đó phân tích, nghiên cứu, tìm tòi
nghiên cứu tìm ra lời giải tối ưu. Đặc biệt là kỹ năng trình bày lời giải, kỹ năng
tính toán đúng.
Để làm được bài toán tính tổng đòi hỏi các em cần có tư duy bao quát, dự
đoán, quy nạp, đặc biệt là khả năng phát hiện vấn đề. Thông qua dạng toán tính
tổng dãy số để bồi dưỡng đồng thời phát hiện nhân tài. Từ đó mà tìm ra những

3

3


học sinh giỏi có đầu óc tư duy tốt, có khả năng phát hiện vấn đề một cách nhanh
nhạy.
2.2.Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu.
Toán học là một môn khoa học tư duy. Mặc dù những kiến thức trong sách
giáo khoa viết cô đọng , nhưng lại gây hứng thú đối với học sinh đặc biệt là các
bài tập về tính toán làm tăng tính tò mò, ham hiểu biết của các em. Nhiều các bài
toán các em đều có thể vận dụng các kiến thức đã học hoặc sẽ học để giải quyết
đây chính là thuận lợi hết sức to lớn.
Điều thuận lợi cơ bản thứ hai cũng chính xuất phát từ khả năng tìm tòi
muốn khám phá khoa học, một đặc điểm nhân cách điển hình của các em. Với
bộ môn Toán học là môn khoa học tự nhiên, với chính xác cao của tri thức, tính
hợp lý của kiến thức, tính suy luận và logic chặt chẽ, càng gây tính tò mò, hứng
thú học tập của các em.
Điều thuận lợi thứ ba ứng dụng khoa học công nghệ thông tin ngày càng
được sử dụng rộng rãi phổ biến trong đời sống, trên mọi lĩnh vực, chính vì thế vị

trí của môn Toán ngày càng được đề cao. Đây là một trong những điều kiện
thuận lợi để các em thêm yêu thích bộ môn.
Trong thực tế các em học sinh lớp 6 vừa mới ở giai đoạn chuyển từ cấp Tiểu
học lên cấp học mới còn bỡ ngỡ. Việc tiếp thu kiến thức phần số học đặc biệt là
bài tập về tính tổng dãy số của học sinh còn chưa tốt, học sinh tiếp thu kiến thức
khó khăn học sinh còn thụ động , độ nhạy bén chưa cao, khó hiểu, dẫn đến
không có hứng thú và thấy sợ thiếu tự tin khi học phần này.
Nguyên nhân dẫn đến những vấn đề đó là: Nhiều dạng toán tính tổng mới
đối với học sinh lớp 6. Nhiều bài tâp các tổng dài và phức tạp. Một số tổng viết
dưới dạng cồng kềnh và sự biến đổi của chúng rất đa dạng nên học sinh thấy
ngợp ngay từ đầu.
Ví dụ: Tính tổng.
1
1
1
1
(1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + .... + (1 + 2 + 3 + ... + 20)
3
4
20
A = 1+ 2
phải sử

dụng một số phép biến đổi học sinh mới có thể đưa về dạng thường gặp.
1 
1  
1


1 −

÷. 1 −
÷... 1 −
÷
Hoặc Tổng B =  1 + 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + 2006  học sinh phải biết

phát hiện sự tương tự và đưa về dạng cơ bản.Việc tiếp cận các bài toán khó, dẫn
đến việc áp dụng để làm các bài tập càng khó hơn.
Trong những năm học trước số học sinh hiểu bài và làm được các bài tập
tính tổng dãy số ở trường tôi dạy chiếm tỉ lệ thấp. Năm học 2015-2016 khảo sát
với 20 em học sinh khối lớp 6 Trường THCS Nga Mỹ làm một đề toán với các
bài tập tính tổng dãy số, để tôi có thể đánh giá khả năng thực sự của các em với
dạng toán trên như thế nào.
Đề kiểm tra : ( Thời gian 120 phút )
Tính tổng các dãy số sau:
Bài 1. A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100
4

4


2
4
200
Bài 2. B = 1 + 5 + 5 + 5 + ... + 5

0

1

2

 1  1  1
 1
 −  +  −  +  −  + ... +  − 
 7
Bài 3. C =  7   7   7 
2
2
2
2
Bài 4. D = 2 + 4 + 6 + ... + 20

2007

Bài 5. E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9
Bài 6. G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
1
1
1
1
+
+
+ ... +
3.5 5.7 7.9
97.99

Bài 7. H =
Bài 8 . I =

−

1
1
1
1
1
1 1 1 1
−
− − − − − − −
90 27 56 42 30 20 12 6 2

1 
1  
1


1 −
÷.  1 −
÷... 1 −
÷
Bài 9. K=  1 + 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + 2006 
1
1
1
1
+
+
+ ... +
98.99.100
Bài 10. M = 1.2.3 2.3.4 3.4.5

Thang điểm
Bài 1 Bài 2 Bài 3

Bài 4

Bài 5 Bài 6 Bài 7

Bài 8

Bài 9

Bài
10

1đ
1đ
1đ
Kết quả khảo sát
Số lượng

1đ

1đ

1đ

1đ

1đ

1đ

Điểm 0- < 5

Điểm 5 - <7

Điểm >7

SL

SL

SL

%

%

1đ

%

20
17
85.0
3
15.0
0
0

Từ kết quả trên và đánh giá bài làm của các em học sinh tôi nhận thấy học
sinh chưa hiểu bài, chưa có kỹ năng trình bày bài, có em lời giải dài dòng không
chính xác đôi khi còn ngộ nhận và chưa hiểu đề bài, có em làm sai, có em không
làm được.
Qủa là khó đối với học sinh nếu như giáo viên không có biện pháp truyền
thụ để học sinh có một cách tiếp thu rõ ràng và chắc chắn kiến thức này là cơ sở
của kiến thức kia. Do đó việc truyền thụ kiến thức thôi chưa đủ mà giáo viên còn
phải giúp học sinh tìm tòi, phát hiện kiến thức và dựa trên những hiểu biết về
5

5


kiến thức vận dụng vào giải các dạng bài tập. Đặc biệt là giáo viên phát hiện
được khả năng tiềm ẩn của từng học sinh để có biện pháp giảng dạy phù hợp.
Trên đây là thực trạng trong việc giảng dạy bộ môn Toán học và việc phát
hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6. Theo tôi có nhiều những khó khăn
nhưng luôn xác định: ”Tất cả vì học sinh thân yêu”. Học sinh phải được hưởng
thụ những khoa học tiến bộ của xã hội thông qua con đường học tập.Trước sự
phát triển như vũ bão của thời đại khoa học kỹ thuật, giáo viên phải biết tranh
thủ sự ủng hộ của gia đình, nhà trường tăng cho các em sự say mê, nhiệt tình
hứng thú tìm tòi khoa học Toán học thì những khó khăn trên nhất định sẽ khắc
phục được.
2.3. Các giải phápthực hiện.
2.3.1. Phát hiện học sinh giỏi Toán 6.
Do đặc thù của bộ môn Toán học đòi hỏi các em học sinh nói chung cũng như
các em học sinh giỏi Toán nói riêng, muốn học giỏi bộ môn Toán, cụ thể là môn
Toán lớp 6 cần phải có một năng lực tiếp thu kiến thức tốt, có năng lực sáng tạo,
có khả năng suy luận tốt, khả năng tư duy độc lập trong tình huống khó khăn.
Ngoài ra đòi hỏi các em có niềm say mê bộ môn ham học, ham hiểu biết, có sức

khỏe, đó cũng là một trong các điều kiện không thể thiếu được. Nhưng không
phải lúc nào các em học sinh cũng có thể có đầy đủ phẩm chất năng lực đó và
nếu có thì làm thế nào có thể phát hiện được.
Để tìm được học sinh giỏi Toán thì cần đưa các em vào các hoạt động, các
tình huống có vần đề.Trong mỗi người chúng ta người nào cũng có một sở
trường nhất định nào đó, nó đang ngủ trong người mình. Cũng như các mỏ vàng
nếu người ta không đào thì không khi nào tìm thấy. Chính phương pháp dạy học
nêu vấn đề, các tình huống có vấn đề để kích thích, khêu gợi đòi hỏi con người
suy nghĩ, tìm tòi và phát huy tư duy đến mức độ cao nhất, thậm chí trong tiềm
thức của mình cái gì có thể giải quyết vấn đề đặt ra. Chính nhờ tình huống có
vấn đề người giáo viên đưa ra làm nảy sinh nhu cầu cần thiết phải học hỏi, phải
suy nghĩ để giải quyết tình huống một cách khoa học, hợp lý. Trên cơ sở đó giúp
người giáo viên phát hiện ra các em có năng khiếu bộ môn, có năng lực tiếp thu
bài tốt, có khả năng tư duy và sáng tạo.
Vậy làm thế nào để phát hiện những học sinh có được năng lực và phẩm
chất đó? Trước hết giáo viên nắm được một số biểu hiện của học sinh năng
khiếu về các mặt nhận thức và năng lực sáng tạo đó là: tò mò, ham hiểu biết, tự
giác học tập, ham thích học toán và giải bài tập toán. Các em có trí nhớ tốt, hiểu
bài nhanh tương đối đầy đủ và chắc chắn, có thể vận dụng ngay để giải bài tập,
biết liên hệ bài toán mới và các kiến thức có trước. Trong hoạt động giải toán
các em có xu hướng tìm tòi lời giải gọn hơn, hay hơn, khái quát hơn.
Bên cạnh đó giáo viên phải thực hiện tốt phương châm “ Thầy chủ đạo, trò
chủ động ”, phát huy vai trò chủ thể của học sinh.Các giờ dạy trên lớp phải là
những giờ học tốt nghĩa là trò học tôt, thầy dạy tốt. Học sinh phải nắm được kiến
thức cơ bản một cách chắc chắn.
6

6

Ngoài ra, giáo viên còn có những câu hỏi nâng cao hơn, đòi hỏi sự phát triển
tư duy, trí tuệ và suy luận tốt của học sinh. Ngoài bài tập trong sách giáo khoa,
giáo viên cần cho thêm nột số bài tập nâng cao hơn nhằm phát hiện những học
sinh có năng khiếu bộ môn, bồi dưỡng thành những học sinh giỏi sau này.
Thông qua một số bài tập tính tổng dạng đơn giản để phát hiện những học
sinh có khả năng tư duy phán đoán, sau đó nâng dần độ khó của bài tập để xác
định học sinh giỏi một cách chính xác hơn.
Những em học sinh hợp đủ các phẩm chất trên thì chúng ta có thể tuyển
chọn vào đội tuyển học sinh giỏi của trường.
2.3.2. Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 6 qua một số bài tập tính tổng dãy
số .
2.3.2.1. Phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi
Sau khi đã tìm được những em có khả năng học giỏi môn Toán, giáo viên
cần động viên khuyến khích, quan tâm chăm sóc ân cần đối với học sinh, luôn
tạo không khí thoải mái để các em tự phát biểu.
Trước hết người thầy phải biết xuất phát điểm về kiến thức của từng em để
có biện pháp giảng dạy phù hợp. Để chuẩn bị nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi,
giáo viên phải nắm chắc chương trình Toán 6, thấy được tính hệ thống, logic của
chương trình. Đồng thời giáo viên phải nghiên cứu thêm sách hướng dẫn, sách
tham khảo để nắm được phương pháp giảng dạy từng phần từng dạng, những nội
dung cơ bản cần đạt được cũng như những kiến thức mở rộng và nâng cao. Giáo
viên cần đầu tư suy nghĩ soạn được những giáo án thật tốt, giáo án này phải đầy
đủ về nội dung, tổng hợp được tất cả các kiển thức cần thiết.Tất cả các bài tập
phải đi từ bài dễ đến bài khó, theo từng dạng bài, từng phương pháp cụ thể theo
từng dạng bài.
Trong các giờ học giáo viên tập cho học sinh thói quen dự đoán, mò mẫm,
phân tích tổng hợp bằng cách đặt câu hỏi gợi mở cho học sinh, dẫn dắt học sinh
xây dựng được các bước trong bài, biết áp dụng lý thuyết vào các bài toán. Đứng
trước một bài toán, học sinh đọc hiểu nội dung yêu cầu bài từ đó nắm được đặc
điểm của dạng toán và phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài. Học

sinh có thể chưa biết thuật giải nhưng có thể đưa ra các dự đoán giải bài toán
dựa vào các kiến thức hay thuật giải của bài toán đã biết.
Bên cạnh đó,việc hướng dẫn và chấm bài cho học sinh phải thường xuyên.
Nên chấm bài tay đôi với học sinh để học sinh dễ tiếp thu bài hơn. Các em sẽ
thấy ngay được điểm sai, điểm đúng mà giáo viên cũng biết rõ được mặt mạnh
mặt yếu của học sinh bổ sung kịp thời cho các em. Ngoài việc chấm bài tay đôi
với học sinh, giáo viên cần có kế hoạch kiểm tra định kỳ cho học sinh bằng các
bài kiểm tra 120 phút, 150 phút. Nội dung bài kiểm tra phải có đầy đủ kiến thức
từ cơ bản đến nâng cao nhằm phát hiện học sinh có tư duy sáng tạo tốt. Qua
mỗi bài kiểm tra sẽ đánh giá tình hình học tập của từng em giúp các em cố gắng
vươn lên. Giáo viên cũng hướng dẫn cho học sinh có thói quen tự đọc thêm sách
hướng dẫn ở nhà để bổ sung và nắm chắc kiến thức hơn.
7

7


Thông qua các bài tập bồi dưỡng cho các em hiếu sâu kiến thức, phát triển
tư duy sáng tạo, cách trình bày cẩn thận khoa học đồng thời phát hiện các em
học sinh giỏi.
2.3.2.2. Nội dung kiến thức bồi dưỡng học sinh giỏi.
Các bài toán tính tổng theo quy luật là một bước nâng cao hơn của dạng
toán tính tổng các số hạng của dãy số có quy luât đã được các em học ở Tiểu
học. Bài tập tính tổng dãy số xuyên suốt trong quá trình toán 6. Khi dạy về bài
tập này thì ngoài việc cung cấp cho các em một số phương pháp tính tổng thì
người giáo viên phải rèn luyên thêm cho học sinh kỹ năng phân tích, dự đoán,
tính toán. Việc cung cấp các kiến thức này cho học sinh không nên gò bó, ồ ạt
mà giúp học sinh nắm được bản chất, thấy được phải cần thiết vận dụng. Sau
đây là những dạng bài tập sử dụng các phương pháp phù hợp.
2.3.2.2.1. Bài tập sử dụng phương pháp :Dự đoán và quy nạp.

Nhận xét:
Bài tập sử dụng phương pháp này giúp các em nhận biết, dự đoán từ những
trường hợp riêng cụ thể để dẫn đến kết quả trong trường hợp tổng quát. Rèn
luyện kỹ năng nắm vững kiến thức cơ bản, khả năng suy luận, tính logic chặt
chẽ của từng bài, biết vận dụng linh hoạt.
Quy nạp là một quá trình nhận thức những quy luật chung bằng cách quan
sát và so sánh những trường hợp riêng. Học sinh cần khám phá ra các quy luật
tổng quát và khẳng định bằng chứng minh chặt chẽ. Giáo viên cần cung cấp
phương pháp giải dạng toán cho học sinh
Muốn tính hay chứng minh một mệnh đề S k (k=1;2;3…) nào đó mà ta thấy
mệnh đề đó đúng với 1; 2; 3 giá trị đầu tiên của k thì ta có thể dùng phương
pháp quy nạp toán học để tính hoặc chứng minh mệnh đề đó.
Các bước giải bài toán này như sau:
Bước 1: Thử một vài giá trị đầu tiên xem tính đúng đắn của mệnh đề
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k. Nghĩa là Sk đúng .
Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề đó đúng với n=k+1, tức là Sk+1 đúng
Bước 4: Kết luận bài toán.
Bài tập 1
Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 ) n∈N* (1)
Hướng dẫn học sinh
Đây là bài toán tính tổng các số hạng,với học sinh bình thường thì chỉ nhận thấy
được đây là tổng của các số lẻ liên tiếp. Nhưng nếu học sinh khá thì sẽ phát hiện
được, sẽ tìm mối quan hệ giữa các số hạng trong tổng và thấy rằng các số hạng
trong tổng có thể biểu thị dưới dạng như sau:
Nhận thấy : S1 = 1 =12
S2 = 1 + 3 =22
S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
Từ các kết quả thu được trên ta tìm ra quy luật với các trường hợp riêng
1,2,3 đó là : Tổng của bao nhiêu số hạng trong dãy sẽ bằng bình phương của số
8

8


hạng đó. Kết quả vừa tìm được không thể là ngẫu nhiên, như vậy từ các nhận
xét từ các trường hợp riêng chúng ta suy ra được một quy luât tổng quát đó
chính là dựa trên sự tương tự. Dự đoán kết quả: Sn=n2.
Chính nhờ quan sát, quy nạp mà ta đã có được quy luật tổng quát trên.Và bây
giờ ta sẽ chứng minh điều vừa dự đoán.
Giải
Với n=1 thì S1 = 1 =12 (đúng)
Với n=2 thì S2 = 1 + 3 =22 (đúng)
Vơi n=2 thì S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 (đúng)
Giả sử kết quả trên đúng với n=k tức là
Sk=1+3+5+…+(2k-1)=k2
Ta phải chứng minh kết quả trên đúng với n=k+1
Tức là phải chứng minh Sk+1=(k+1)2
Thật vậy Sk+1= 1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)
= 1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)
= k2+(2k+1) =(k+1)2
Suy ra dự đoán trên là đúng. Vậy tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 ) =n2.
Kết luận:
Qua bài tập này củng cố cho học sinh nắm vững các bước làm một bài toán
theo phương pháp quy nạp và khả năng suy tư duy toán học. Với bài toán tính
một tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + .... an
Làm thế nào để biết được kết quả ( ta có thể dự đoán,hoặc bài toán chứng minh
khi đã cho biết kết quả). Lúc đó ta sẽ sử dụng phương pháp dự đoán và quy nạp
Từ những kiến thức cơ bản vững vàng và khả năng tư duy tốt người giáo viên
có thể đưa thêm các bài tập ở mức độ tương tự học sinh sẽ quan sát, phát hiện và
tìm ra quy luật của một số tổng, có thể chứng minh một số kết quả sau đây bằng

phương pháp quy nạp toán học.
n(n + 1)
2
1 + 2+3 + .... + n =
n( n + 1)( 2n + 1)
6
12 + 2 2 + ..... + n 2 =
 n(n + 1) 


13+23 + ..... + n3 =  2 

2

Qua phương pháp này sẽ phát hiện ra các học sinh có khả năng tư duy phán
đoán để giáo viên lựa chọn. Khi học sinh đã nắm chắc được bài tập làm bằng
phương pháp quy nạp giáo viên đưa ra bài tập ở mức độ cao hơn.
Trong một số trường hợp tính tổng của một dãy số, ta chỉ thông qua một số
phép tính một vài số hạng đầu tiên ta có thể dự đoán kết quả. Phương pháp này
dễ dàng thực hiện được phép tính tổng, tuy nhiên việc vân dụng phương pháp
này chỉ giải quyết một số ít bài toán ở dạng tính tổng của dãy số. Lí do là một số
bài toán việc tìm ra giả thiết quy nạp còn gặp nhiều khó khăn.
9

9


Với các kết quả vừa quy nạp được các em có thể áp dụng để tính một số tổng
thông qua phương pháp 2.
2.3.2.2.2. Bài tập sử dụng phương pháp tính tổng thông qua tổng đã biết.

Nhận xét:
Đây là dạng toán phát triển năng lực trí tuệ và các thao tác tư duy cơ bản
như khả năng phân tích, so sánh, tổng hợp, trìu tượng hóa, khái quát hóa. Do đó
đòi hỏi học sinh có năng lực tiếp thu tốt, có khả năng suy luận để tìm ra được lời
giải. Đây là một loại bài toán khó, không chỉ đòi hỏi các em có đầy đủ kiến thức
cơ bản về toán mà đòi hỏi các em khả năng tư duy sáng tạo và kỹ năng giải toán
thì các em mới có thể làm đúng được.
Việc tính tổng của các biểu thức thông thường ( hữu hạn số hạng) ta chỉ áp
dụng đúng thứ tự và quy tắc phép toán là có thể giải được bài toán. Trong một số
trường hợp tính tổng của một dãy số trong các trường hợp khác học sinh cần tư
duy mới có thể thực hiện.
Đối với một số bài toán ta gặp những tổng của dãy số cần tính có thể biểu
diễn qua tổng hữu hạn của tổng khác mà ta đã biết khi đó ta có thể biến đổi tổng
cần tính làm xuất hiện các tổng mà ta đã biết kết quả. Việc làm như vậy có thể
tính được tổng phức tạp thông qua tổng đã biết.
Bài tập 2
Tính tổng sau Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với n∈N*
Hướng dẫn học sinh
Học sinh đã biết tính các tổng quen thuộc đó là S 1= 1+ 2+3+4+…+n
và S2= 12+22+32+42+… +n2
Hãy quan sát tổng Sn=1.2+2.3+3.4+… +n.(n+1) tìm mối quan hệ của các số
hạng trong các tổng .
S1= 1+ 2+ 3+ 4+…
+n
b

S2= 12+
b

b

b

b

22+

32 +

42+…

b

b

b

b

+n2.
b

Sn=1.2+ 2.3+ 3.4+…
+n.(n+1)
Đây tổng của một dãy số tự nhiên trong đó mỗi hạng tử là tích của hai tự
nhiên liên tiếp. Quy luật trong tổng trên là các thừa số trong mỗi hạng tử hơn
kém nhau một đơn vị hay cách nhau một đơn vị. Đây là một bài toán phải thực
hiện các phép biết đổi để đưa về tổng đã biết,vì vậy học sinh phải có kiến thức
tổng hợp, khả năng tư duy lập luận lôgic khoa học thì mới giải được.
Học sinh sẽ tìm cách tách tổng đã cho thành các tổng đã biết.

Ta thấy 1.2=1.(1+1)=1+12
2.3=2.(1+2)=2+22
…………………
n.(n+1)=
n+n2
Như vậy sẽ xuất hiện hai tổng đã tính được là
10

10


n(n + 1)
2
1 + 2+3 + .... + n =
n( n + 1)( 2n + 1)
6
12 + 2 2 + ..... + n 2 =

Giải
Ta có Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)
=1(1+1)+2(1+2)+3(1+3)+…+n(n+1)
=(1+2+3+…+n)+( 12+22+32+…+n2 )
n( n + 1)( 2n + 1) n( n + 1)
+
6
2
n.( n + 1)( n + 2 )
=
3
=

Bài tập 3: Tính tổng sau Sn=13+33+53+…+(2n+1)3
Giải
Ta cã : Sn = 13+ +33 +53 +... + (2n +1 )3
S n = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....
+(2n)3]
= [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33
+43 +......+ n3 )
 n(n + 1) 


Ta sử dụng tổng đã tính được 13+23 + ..... + n3 =  2 
(2n + 1) 2 (2n + 2) 2 8n 2 (n + 1) 2
−
4
4
Sn =

2

=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2
= (n +1 )2 (2n2 +4n +1)
Kết luận:
Để tính được các tổng trên ta thông qua việc lập các hiệu hoặc các tổng
trung gian. Qua dạng bài tập này tìm được các em học sinh có kỹ năng tư duy,
biến đổi hợp lý. Giáo viên tiến hành bồi dưỡng để học sinh có sự quan sát tinh tế
nhanh chóng phát hiện ra các mối quan hệ chung và riêng của các hạng tử để có
hướng giải quyết được bài toán. Học sinh trí tưởng tượng , có khả năng suy luận
có căn cứ rõ ràng , có óc tò mò không muốn dừng lại ở các bài làm chỉ theo mẫu
có sẵn. Ở dạng bài tập này sẽ tìm được các em có sự ham tìm tòi, thích khám

phá, có khả năng tư duy cao.
2.3.2.2.3.Bài tập sử dụng phương pháp:Khử liên tiếp.
Nhận xét:

11

11


Phương pháp này giúp học sinh hình thành một cách có hệ thống các dạng
bài tập, cũng như các phương pháp trên thì phương pháp này cũng phải được bồi
dưỡng thường xuyên trong suốt quá trình dạy.
Dạng toán này phải dưa trên quy luật tăng giảm của các hạng tử. Tuy nhiên
trong suốt quá trình giảng dạy loại toán này cần giúp học sinh nắm được bản
chất của bài toán bằng cách đưa ra nhiều các dạng bài toán để học sinh thực
hiện.
Để giải các bài toán dạng này. Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo
quy luật, trong đó thường có các phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau
cùng cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng toán này ta cần nhận xét so sánh giữa
tử và mẫu, các tử hay các mẫu với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát, thông
thường ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đối nhau. Sau khi thu gọn ta
được một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính được.
Dạng 1: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử số là 1, mẫu là tích hai thừa số
hơn kém nhau “m” đơn vị.
Giả sử ta cần tính tổng Sn = a1 + a2 + .... an mà ta có thể biểu diễn
ai: i= 1,2,3,…,n qua hiệu hai số hạng liên tiếp của một dãy số khác như
a1 = b1 - b2
a2 = b2 - b3
.... .... .....
an = bn – bn+ 1

Khi đó
Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1
Bài tập 4
1
1
1
1
+
+
+ ... +
n(n + 1)
Tính 1.2 2.3 3.4

n∈N*

Hướng dẫn học sinh
Học sinh quan sát và có sự phát hiện các hạng tử trong tổng đó là
- Tử giống nhau : các hạng tử là 1
-Mẫu là tích của hai số tự nhiên liên tiếp ( hơn kém nhau một đơn vị và thừa số
thứ hai của mẫu của hạng tử trước bằng thừa số thứ nhất của mẫu của hạng tử k.
Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số,
biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ.
1
1 1 1
1 1 1
1 1
= − ;
= −
= −
Ta có thể biểu diễn 1.2 1 2 2.3 2 3 ; 3.4 3 4 .Mục đích là ta đi triệt tiêu

các số hạng đối nhau. Từ đó ta tìm ra quy luật với một hạng tử tổng quát của
dãy số có dạng tử là 1 và mẫu là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
1
có dạng n( n + 1) (n∈N* )
1
1
1
= −
Thì ta tách như sau: n( n + 1) n n + 1

12

12


Giải
1
1 1
= −
Ta có 1.2 1 2
1
1 1
= −
2 .3 2 3
1
1 1
= −
3.4 3 4

…….
1
1
1
= −
n( n + 1) n n + 1

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được.
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
1 1 1 1 1 1
1
1
− + − + − + ... + −
n n +1
=1 2 2 3 3 4
1
1
n
−
=
= 1 n +1 n +1

Qua bài toán này học sinh phát hiện được đặc điểm chung của tổng các hạng
tử đó là : tử giống nhau và khác 1, mẫu hơn kém nhau cùng một lượng .Từ đó có
trí tưởng tượng, suy luậnvà làm bài toán khi khoảng cách ở mẫu thay đổi nhưng
vẫn giữ cùng một lượng.
Lúc đó các em tìm được quy luật chung trong trường hợp tổng quát là
b
b 1
1
= ( −
)
a( a + m) m. a a + m
b
b
b
Sn =
+
+ ... +
a (a + m) (a + m)( a + 2m)
{ a + ( n − 1) m} { a + nm}

Do đó
với m=1;2;3..
Sn =

n=1;2;3.

b 1
1 
 −
÷

m  a a + nm 

Lúc đó
Dạng 2: Khi học sinh nắm vững dạng toán trên giáo viên đưa ra bài tập ở mức
độ tương tự và khó hơn. Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử số là 1. Mẫu là
tích các số tự nhiên liên tiếp.
Bài tập 5
Sn =

1
1
1
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4
n( n + 1)( n + 2 ) n∈N*

Tính tổng sau:
Hướng dẫn học sinh
Tổng trên có sự tương tự như dạng 1. Tử của các hạng tử đều là 1. Mẫu các
hạng tử đều là tích 3 số tự nhiên liên tiếp ( hơn kém nhau một đơn vị). Trong
đó tích thừa số thứ hai và thứ 3 của mẫu hạng tử trước bằng tích thừa số thứ một
và hai của mẫu hạng tử kế tiếp. Lúc đó học sinh so sánh mỗi hạng tử tương ứng
13

13


trong tổng của dạng 1 với mỗi hạng tử trong tổng của tổng ở dạng 2 và tìm ra
mối liên hệ và sự phụ thuộc với nhau.

Nhận thấy
1
1 1
1
= (
−
)
1.2.3 2 1.2 2.3
1
1 1
1
= .(
−
)
2.3.4 2 2.3 3.4

Từ đó ta tìm ra quy luật với một hạng tử tổng quát của dãy số có dạng tử là 1 và
mẫu là tích của ba số tự nhiên liên tiếp( cách nhau một đơn vị)
1
1
1
1
(
−
)
2
n
(
n
+

1
)
(
n
+
1
)(
n
+
2
)
n
(
n
+
1
)(
n
+
2
)
Số hạng tổng quát có dạng
=

Giải
Ta có
1
1 1
1 
= 

−

1.2.3 2  1.2 2.3 
1
1 1
1 
= 
−

2.3.4 2  2.3 3.4 
.......... .......... .......

1
1 1
1

= 
−
n( n + 1)( n + 2) 2  n( n + 1) ( n + 1)( n + 2 ) 

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được.
1
1
1
+
+ ... +
1 .2 .3 2 .3 .4
n( n + 1)( n + 2 )

1 1

1
1
1
1
1

S n = 
−
+
−
+ ... +
−
2  1 .2 2 .3 2 .3 3 .4
n( n + 1) ( n + 1)( n + 2 ) 
Sn =

Sn =


1 1
1


−
2  1.2 ( n + 1)( n + 2) 

Để củng cố và khắc sâu kiến thức giáo viên cho học sinh làm một số bài tâp mở
rộng tương tự.
Qua bài tập 4,5 ta tổng quát lên trong trường hợp tính tổng của dãy số mà
các hạng tử có dạng.

Tử số của các hạng tử đó là a
Mẫu là tích của “m” số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau một đơn vị,trong
đó tích của “m-1” thừa số cuối của mẫu ở hạng tử trước bằng tích “m-1” thừa
số thứ trước của mẫu ở hạng tử kế tiếp
Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử là và mẫu là tích của các số tự nhiên
liên tiếp.
a
Nếu số hạng tổng quát có dạng: 1.2.3...m

Quy luật chung trong trường hợp tổng quát là
14

14


a
a
1
1
=
(
−
)
1.2.3...m m − 1 1.2.3...(m − 1) 2.3.4...m

.

Ta có ngay
Sn =

a
a
a
+
+ ... +
1.2.3...m 2.3.4... ( m + 1)
n ( n + 1) ( n + 2 ) ... ( n + m − 1)

Sn =

a 
1
1
−

m − 1  1.2.3... ( m − 1) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ... ( n + m − 1)


÷
÷


với m=2;3;4...
n=1; 2; 3……
Nhận xét:
Phương pháp trên bài tập được đưa ra theo mức độ từ dễ đến khó, mở
rộng dần dần, đòi hỏi học sinh vận dụng sâu các khái niệm đã học hoặc vận
dụng các cách giải một cách linh hoạt, sáng tạo. Qua dạng bài tập này củng cố
kiến thức cho học sinh, đồng thời phát hiện ra được học sinh có khả năng tư duy,
vận dụng kiến thức vào bài học cụ thể. Học sinh phải xác định được đúng dạng

sẽ có cách giải đúng.
2.3.2.2.4. Bài tập sử dụng phương pháp: Làm trội.
Nhận xét:
Loại toán này giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản, khả năng suy luận,
tính lôgic chặt chẽ, vận dụng vào các bài tập một cách linh hoạt. Rèn luyện kỹ
năng tính toán, kỹ năng giải toán đặc biệt khả năng vận dụng linh hoạt các kiến
thức toán học để giải quyết bài toán có tính phức tạp hơn.
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng của một dãy số viết theo
thứ tự tăng (giảm) mà các số hạng của tổng quan hệ với nhau là:
Mỗi số hạng liền trước( liền sau) đều hơn (kém) nhau “q” lần thì ta có thể nhân
hoặc chia từng số hạng của tổng cho “q” để xuất hiện một tổng dãy số có quan
hệ tường minh với tổng ban đầu.
Bài tập 6
Tính tổng sau S= 71+72+ 73+74… +7n
(1)
Hướng dẫn học sinh
Học sinh quan sát và phát hiện thấy quy luật mỗi số hạng liền sau của tổng
đều hơn số hạng liền trước của nó 7 lần thì ta có thể nhân từng số hạng của
tổng cho 7 để xuất hiện một tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng ban
đầu.
Giải
Ta có S= 71+72+ 73+74… +7n
(1)
7S=72+ 73+74 +75+… 7n+1
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được
7S-S = 7n+1 -7

⇒S=

(2)

7 n +1 − 7
6

15

15


Qua bài tập này học sinh nắm được cách làm và suy nghĩ từ đó tìm được
hướng giải bài toán tổng quát Tính tổng:S n=1+a+a2+a3+a4+…+an .Ta thấy quy
luật mỗi số hạng liền sau của tổng đều gấp số hạng liền trước của nó “a” lần.
a n +1 − 1
S n = 1 + a + a + ... + a =
a − 1 với n∈N ; 12

n

Kết luận:
Đối với dạng bài tập này sẽ phát hiện được học sinh nắm kiến thức vững, có
khả năng tư duy tốt, có kỹ năng biến đổi biểu thức một cách linh hoạt.
Các bài tập dạng này cũng được năng dần từ đơn giản đến phức tạp. Khi học
sinh đã nắm được các phương pháp trên giáo viên sẽ đưa ra các bài tập ở dạng
nâng cao đòi hỏi học sinh phải có tư duy tổng hợp, khả năng nhận biết nhanh,
nhạy bén bằng cách kết hợp các phương pháp. Ví dụ:
Bài tập7
3 4 5
100
+ 4 + 5 + ... + 100

3
2
Tính tổng: A = 1 + 2 2 2

Hướng dẫn học sinh
Trước hết học sinh quan sát tổng đề bài cho các hạng tử ở phần mẫu hạng tử
sau hơn hạng tử trước 2 lần, nhưng ở tử đối với các bài đã làm thường giống
nhau, nhưng trong bài 7 tử lại khác nhau. Vậy làm thế nào để chuyển bài toán
này thành dạng đã làm. Học sinh phải suy nghĩ tìm cách biến đổi.
Giải
3 4 5
100
+ 4 + 5 + ... + 100
3
2
A= 1 + 2 2 2
3 4 5
100
2 + 2 + 3 + 4 + .... + 99
2
2A= 2 2 2
3
1 1 1
1
100
1 + 2 + ( 3 + 4 + 5 + ... + 99 ) − 100
2 2
2
2
2

2A-A= 2
1 1 1
1
( 3 + 4 + 5 + ... + 99 )
2
Như vậy đã xuất hiện tổng B= 2 2 2

Học sinh quan sát và phát hiện thấy quy luật ở mẫu mỗi số hạng liền sau của
tổng B đều hơn số hạng liền trước của nó 2 lần thì ta có thể nhân từng số hạng
của tổng cho 2 để xuất hiện một tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng
ban đầu từ đó tính được tổng B=

1−

1
299

1 100
102
− 100 = 2 − 100
99
2
Vậy A = 2 - 2 2

Bài tập 8
Tính tổng sau Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với n∈N*
Hướng dẫn học sinh
Trong toán học một bài toán có thể được giải theo nhiều cách khác nhau,
việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp .
16

16


Đây là dạng toán tính tổng của một dãy số tự nhiên trong đó mỗi hạng tử là
tích của hai tự nhiên liên tiếp ở bài tập 2, học sinh đã sử dụng phép biến đổi
để đưa về các tổng đã biết.nhưng sau khi đã được cung cấp thêm các phương
pháp các em còn có thể phát hiện ra cách làm khác của bài toán này khi biến
đổi theo cách sau.
Quy luật trong tổng trên làtổng các hạng tử trong đó cứ mỗi hạng tử gồm
2 thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau một đơn vị hay cách nhau một đơn
vị. Để tính Sn ta biến đổi Sn để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Vậy ta cần
tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu. Để tách mỗi số hạng
thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp 2 số ta nhân mỗi số hạng của tổng
với 3.
Thừa số 3 này được viết dưới dạng:
3-0 ở số hạng thứ nhất
4-1 ở số hạng thứ hai
5-2 ở số hạng thứ ba
(n+2)-(n-1) ở số hạng thứ cuối cùng
Giải
Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với n∈N* .Ta có
3Sn=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)}
=(1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1))
=n(n+1)(n+2)
n( n + 1)( n + 2 )
3
=>Sn=

Tương tự giáo viên mở rộng bài toán

Tính tổng của dãy số: A = 1.2.3 + 2.3.4 +3.4.5+….+n(n+1).(n+2)
Quy luật trong tổng trên là tổng các hạng tử trong đó cứ mỗi hạng tử gồm
3thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau một đơn vị hay cách nhau một đơn vị.
Để tính Sn ta biến đổi Sn để xuất hiện các hạng tử đối nhau . Vậy ta cần tách một
thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu. Để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2
số nhằm triệt tiêu từng cặp 2 số ta nhân mỗi số hạng của tổng với 4.
Học sinh sẽ tính được Công thức tổng quát:
n(n + 1).(n + 2).(n + 3)
4
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n.(n + 1).(n+2)=

Kết luận:
Qua các bài tập trên phát hiện được các học sinh hiểu sâu kiến thức, phát
hiện ra các học sinh có tư duy sáng tạo tốt, biết vận dụng kiến thức vào giải bài
tập, trình bày khoa học và tính cẩn thận, biết kết hợp đồng thời các cách trong
một bài, đó chính là các em học sinh giỏi. Các em biết phát hiện và giải quyết
vấn đề theo con đường nhanh và hợp lý nhất.
2.4. Hiệu quả của SKKN.
17

17


Qua một thời gian phát hiện và bồi dưỡng giỏi lớp 6 qua một số bài tập tính
tổng dãy số, tôi đã cho các em học sinh của tôi làm bài kiểm tra đánh giá kết quả
tiếp thu như sau:
Đề kiểm tra : (Thời gian 120 phút )
Tính tổng các dãy số sau
Bài 1. A = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101
Bài 2. B = 12 + 32 + 52 + 72 + ... + 992

1 1 1
1
1
− + 2 − 3 + ... + 50 − 51
3
3
Bài 3. C = 3 3 3

Bài 4. D =1.32+3.52+5.72+…+97.992.
Bài 5. E = 1.3+5.7+9.11+……+97.101
Bài 6. G = 1.3.5- 3.5.7+ 5.7.9- 7.9.11+ …- 97.99.101
1
1
1
1
(1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + .... + (1 + 2 + 3 + ... + 20)
3
4
20
Bài 7. H = 1+ 2
1 
1  
1


1 −
÷. 1 −
÷... 1 −
÷
Bài 8. I =  1 + 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + 2006 

1
1
1
+
+ ...... +
n( n + 1)( n + 2)( n + 3)
Bài 9. K = 1.2.3.4 2.3.4.5
3 4 5
100
1 + 3 + 4 + 5 + ... + 100
2
Bài 10. M = 2 2 2

Thang điểm
Bài 1 Bài 2 Bài 3

Bài 4

1đ
1đ
1đ
1đ
Kết quả khảo sát ban đầu
Số lượng
20

Bài 5

Bài 6 Bài 7

1đ

1đ

Bài 8

Bài 9

Bài 10

1đ

1đ

1đ

1đ

Điểm 0- < 5

Điểm 5 - <7

Điểm >7

SL

SL

SL

%
17

85.0

%
3

15.0

%
0

0

Kết quả : Sau khi thực hiện SKKN
Số lượng
20

Điểm 0- < 5

Điểm 5 - <7

Điểm >7

SL

%

SL

%

SL

%

11

55.0

7

35.0

2

10.0

18

18


Với kết quả kiểm tra đánh giá trên, cùng với quá trình học tập và tiếp thu
sáng kiến tôi nhận thấy học sinh của tôi đã có nhiều tiến bộ trong nhận thức
cũng như trong tư duy, sáng tạo, trong giải các bài toán liên quan mà không lúng
túng và đa số các em đều tiến bộ và đạt kết quả tốt trong học tập. So sánh kết
quả sau khi thực hiện đề tài và kết quả khảo sát ban đầu ta thấy lượng học sinh
yếu kém giảm đi 6 học sinh bằng 30%. Lượng học sinh khá, giỏi tăng 2 học

sinh bằng 10%.
Với khảo sát đầu nhiều em không tự mình tìm ra lời giải của bài toán (phải
có gợi ý của giáo viên). Nhưng thông qua bài kiểm tra trên các em học sinh khá
giỏi đã trình bày bài làm chính xác hơn, có thể đánh giá được nhóm học sinh,
học sinh nào có thể giải được bài toán nhanh gọn dễ hiểu, học sinh nào hiểu đề
bài nhưng cách giải còn rườm rà, học sinh không thể hiểu bài và không giải
được. Các em đã áp dụng bài toán một cách sáng tạo, có em đã đưa ra được lời
giải hay, phương pháp giải mới, bước đầu đã phát huy trí tuệ say mê sáng tạo.
Đó là bước quan trọng để chọn ra học sinh khá, giỏi, chon học sinh có năng lực
nhận thức về bộ môn toán khi đi thi đạt kết quả cao.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Để nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán và việc phát hiện, bồi dưỡng
học sinh giỏi môn Toán cần phải có một số yếu tố sau:
Giáo viên thật sự phải có năng lực, năng khiếu sư phạm,đồng thời phải có
tâm huyết với nghề nghiệp, biết tôn trọng tài năng . Tư duy của học sinh vốn rất
tốt,tuy nhiên các em chưa thật tích cực học tập,chịu khó tìm tòi và suy nghĩ.
Người giáo viên phải biết khơi dậy đức tính tò mò khi nghiên cứu, phát triển cho
các em có tư duy sáng tạo “ Từ đơn giản đến phức tạp” Phát triển tư duy “tổng
hợp hoá, khái quát hoá” có như vậy người giáo viên chúng ta mới thực sự thành
công trong giảng dạy.
Mặt khác muốn đạt kết quả cao trong giảng dạy, người giáo viên phải tự
trang bị cho mình vốn kiến thức hoàn chỉnh, khoa học, những kĩ năng, kinh
nghiệm vào trong giảng dạy bộ môn toán. Người giáo viên phải có kĩ năng khai
thác và phân loại, cụ thể hoá trừu tượng hoá và không ngừng đổi mới phương
pháp giảng dạy sao cho phù hợp với kiến thức và từng đối tượng học sinh để
phát huy tính độc lập chủ động sáng tạo của học sinh trong học tập, không chỉ
riêng môn toán mà còn trong các môn khoa học khác.
3.2. Kiến nghị.
Về phía giáo viên:

Giáo viên được phân công bồi dưỡng phải có kế hoạch, chương trình cụ
thể, tránh dạy chay, thích gì dạy nấy. Giáo viên phải thật sự nhiệt tình, say mê,
tận tụy với học sinh.
Không được ép buộc học sinh, phải để cho học sinh lựa chọn môn học mà
mình yêu thích, và có năng khiếu về môn đó.
19

19


Về phía nhà trường:
Thường xuyên kiểm tra việc bồi dưỡng của giáo viên. Quan tâm nhiều
hơn đến công tác này, động viên kịp thời những giáo viên trực tiếp dạy bồi
dưỡng về cả vật chất lẫn tinh thần.
Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, của đồng nghiệp để
chúng ta đi đến mục đích chung cuối cùng là: góp phần đào tạo ra cho xã hội
những con người đáp ứng nhu cầu “công nghiệp hoá –hiện đại hoá” đất nước.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 3 năm2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Thịnh Thị Thu Huyền

20

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Tài liệu chuyên toán THCS Toán 6- Tập 1.
Tác giả: Vũ Hữu Bình (Chủ biên) – Nguyễn Tam Sơn.
2. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6
Tác giả : Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều
3. Nâng cao và phát triển toán 6 - Tập 1
Tác giả : Vũ Hữu Bình
4. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6
Tác giả : Bùi văn Tuyên
5. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS - Số học
Tác giả : Nguyễn Vũ Thanh
6. Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6
Tác giả : Vũ Dương Thuỵ - Nguyễn Ngọc Đạm

21

21


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:
Thịnh Thị Thu Huyền
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Nga Mỹ, huyện Nga Sơn,
tỉnh Thanh Hóa
T
T

Kết quả
đánh giá
xếp loại( A,
B hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

1

Phương pháp hướng dẫn
dạy toán về chứng minh Phòng GD&ĐT
chia hết ở lớp 7.

B

2006-2007

2

Hướng dẫn học sinh lớp 9
giải một số bài tập bằng Phòng GD&ĐT
cách sử dụng hệ thức vi-ét.

B

2007-2008

C

2008-2009

C

2009-2010

C

2012-2013

B

2013-2014

3

4

5

6

Tên đề tài SKKN

Một số phương pháp
hướng dẫn giải dạng toán
phân tích đa thức thành
nhân tử.

Một số phương pháp
hướng dẫn học sinh lớp 9
giải Phương trình nghiệm
nguyên.
Hướng dẫn học sinh lớp 9
có kỹ năng tốt khi giải bài
toán bằng cách lập hệ
phương trình.
Hướng dẫn học sinh lớp 8
có kỹ năng tốt khi giải một
số bài toán tính tổng theo
quy luật.

Cấp đánh giá
xếp loại
( Phòng, Sở,
Tỉnh)

Phòng GD&ĐT

Phòng GD&ĐT

Phòng GD&ĐT

Phòng GD&ĐT

22

22

PHỤ LỤC 1
PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH
Họ và tên: ……………………………………….. ; Học sinh lớp ….
Trường THCS Nga Mỹ, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa
Nội dung
( Thời gian làm bài 120 phút )
Tính tổng các dãy số sau:
Bài 1. A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100
2
4
200
Bài 2. B = 1 + 5 + 5 + 5 + ... + 5
0

1

2

 1  1  1
 1
 −  +  −  +  −  + ... +  − 
 7
Bài 3. C =  7   7   7 
2
2
2
2
Bài 4. D = 2 + 4 + 6 + ... + 20

2007

Bài 5. E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9
Bài 6. G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
Bài 7. H =
Bài 8 . I =

−

1
1
1
1
+
+
+ ... +
3.5 5.7 7.9
97.99

1
1
1
1
1
1 1 1 1
−
− − − − − − −
90 27 56 42 30 20 12 6 2

1 

1  
1


1 −
÷.  1 −
÷... 1 −
÷
Bài 9. K=  1 + 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + 2006 
1
1
1
1
+
+
+ ... +
98.99.100
Bài 10. M = 1.2.3 2.3.4 3.4.5

Thang điểm
Bài 1 Bài 2 Bài 3

Bài 4

Bài 5 Bài 6 Bài 7

Bài 8

Bài 9

Bài
10

1đ

1đ

1đ

1đ

1đ

1đ

23

1đ

1đ

1đ

1đ

23


PHỤ LỤC 2
PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH

Họ và tên: ……………………………………….. ; Học sinh lớp ….
Trường THCS Nga Mỹ, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa
Nội dung
(Thời gian làm bài 120 phút )
Tính tổng các dãy số sau
Bài 1. A = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101
Bài 2. B = 12 + 32 + 52 + 72 + ... + 992
1 1 1
1
1
− + 2 − 3 + ... + 50 − 51
3
3
Bài 3. C = 3 3 3

Bài 4. D =1.32+3.52+5.72+…+97.992.
Bài 5. E = 1.3+5.7+9.11+……+97.101
Bài 6. G = 1.3.5- 3.5.7+ 5.7.9- 7.9.11+ …- 97.99.101
1
1
1
1
(1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + .... + (1 + 2 + 3 + ... + 20)
3
4
20
Bài 7. H = 1+ 2
1 
1  
1



1 −
÷. 1 −
÷... 1 −
÷
Bài 8. I =  1 + 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + 2006 
1
1
1
+
+ ...... +
n( n + 1)( n + 2)( n + 3)
Bài 9. K = 1.2.3.4 2.3.4.5
3 4 5
100
1 + 3 + 4 + 5 + ... + 100
2
Bài 10. M = 2 2 2

Thang điểm
Bài 1 Bài 2 Bài 3

Bài 4

Bài 5

Bài 6 Bài 7

Bài 8

Bài 9

Bài
10

1đ

1đ

1đ

1đ

1đ

1đ

24

1đ

1đ

1đ

1đ

24