Phát triển bài toán dãy các phân số có quy luật thành bài toán bất đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

LỤCTẠO NÔNG CỐNG
PHÒNG GIÁO DỤCMỤC
VÀ ĐÀO
A. Mở đầu
I/

Lí do chọn đề tài.

II/

Mục đích nghiên cứu

III/ Đối tượng nghiên cứu
IV/ Phương pháp nghiên cứu
B. Nội dung

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I/ Cơ sở lý luận của SKKN
II/ Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
1. Thực trạng qua khảo sát thực tế.
PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN DÃY CÁC PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT
2. Thực trạng đối THÀNH
với nghiên
cứuTOÁN
khoa học
BÀI
BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG

III/ Giải quyết
vấn đề BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 6
1. Vấn đề đặt ra
2. Giải pháp đề xuất
IV/ Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục , với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường

Người thực hiện : Lê Thị Thạo

1. Quá trình thực hiện
2. Kết quả

C. Kết luận, kiến nghị
I/ Kết luận

Chức vụ : Giáo Viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Phú
SKKN thuộc lĩnh vực Toán học

II/ Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

NÔNG CỐNG, NĂM 2016


Mục lục
I/ Phần mở đầu
1, lí do chọn đề tài
2, Mục đích nghiên cứu

3, Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4, Phương pháp nghiên cứu
II/ Phần nội dung
1, Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2, Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3, Các giải pháp giải quyết vấn đề
4, Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
III/ Phần kết luận và kiến nghị
1, Kết luận
2, Kiến nghị

Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 4
Trang 4
Trang 5
Trang 18
Trang 19
Trang19

2


A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài :
a. Những vấn đề chung:
Trong sự nghiệp Công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước, đào tạo đội ngũ
những người chủ cho tương lai là một việc làm mang tính chiến lược của Đảng và

nhà nước ta . Do đó bồi dưỡng các thế hệ học sinh giỏi trong thời kì hiện nay càng
là vấn đề cấp thiết và mang tính lâu dài. Thông qua giáo dục chúng ta đào tạo thế
hệ trẻ có đầy đủ những phẩm chất và năng lực, trở thành những con người phát
triển toàn diện với tư duy sắc bén, lập luận chặt chẽ, linh hoạt và nhanh nhẹn. Và
không ai khác giáo dục giữ vai trò quyết định trong quá trình bền bĩ này , Thông
qua đó , Học sinh tiếp thu những kiến thức vững chắc, có hệ thống, có khả năng
vận dụng vào cuộc sống, tạo niềm tin, tính cách, thói quen, hứng thú, tình cảm…
cho học sinh, giúp học sinh phát triển trí tuệ, hoàn thiện nhân cách,
b. Thực tiễn giáo dục:
Qua thực tế giảng dạy, đặc biệt là trong năm học 2015-2016 này, tôi được giao
nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6, Trong rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng
của chương trình số học 6, chuyên đề về dãy các phân số viết theo quy luật và
chuyên đề bất đẳng thức là hai chuyên đề khó, mất rất nhiều thời gian và công
sức để có thể nắm bắt cũng như làm được bài tập một cách trọn vẹn, bản thân tôi
cũng đã rất cố gắng để truyền tải kiến thức đến học sinh một các chính xác nhất,
khoa học nhất, đơn giản nhất và cũng dễ hiểu nhất, về phần các em cũng rất chăm
chú trong quá trình tiếp thu, xây dựng bài và đã rất nhiệt tình khi giải bài tập, đặc
biệt là quá trình tìm tòi phát triển bài toán . Nhưng thực tế cho thấy, việc giải một
bài toán về bất đẳng thức mà một vế của nó được viết dưới dạng dãy các phân
số viết theo quy luật luôn khiến cho các em học sinh lúng túng, mất nhiều thời
gian để xác định dạng, mất nhiều công sức để giải và bài giải thì chưa trọn vẹn,
chưa lấy được điểm tối đa của bài
Một thực tế khác cho thấy là mặc dù các tài liệu biên soạn về các chuyên đề
dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức này thì có rất nhiều và rất
phổ biến, nhưng đa số đều viết rời rạc giữa hai chuyên đề, chưa đào sâu từng
chuyên đề và không kết nối được mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng, đặc biệt
không giúp học sinh thấy được từ bài toán dãy các phân số viết theo quy luật ta
dễ dàng phát triển thành bài toán bất đẳng thức từ dạng đơn giản cho đến phức
tạp.
Xuất phát từ thực tế đó, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài:

“ phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất
đẳng thức trong bồi dưỡng HSG lớp 6 “ nhằm giúp cho quá trình bồi dưỡng học
sinh của người giáo viên dễ dàng hơn và quá trình học tập, nghiên cứu của học sinh
đạt kết quả cao nhất, đồng thời cũng là tài liệu tham khảo, trao đổi, giao lưu với
các bạn bè, đồng nghiệp khác.

3


2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích của viêc nghiên cứu đề tài này là làm sáng tỏ mối quan hệ giữa bài
toán dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức, phát triển bài toán
dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức, hình thành kĩ
năng nhận dạng và giải các bài toán về bất đẳng thức mà một vế của nó được viết
dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật một cách hiệu quả nhất.
3. Đối tượng nghiên cứu:
- Nghiên cứu quá trình làm bài của học sinh, bài làm của học sinh về bất đẳng
thức mà một vế của nó được viết dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật
- Nghiên cứu kỹ năng giải bài toán về bất đẳng thức mà một vế của nó được
viết dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật trong các đề thi học sinh giỏi
toán 6
- Nghiên cứu kĩ năng phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật
thành bài toán bất đẳng thức ở học sinh, khả năng xử lí bài toán bất đẳng thức
các dạng.
4. Phương pháp nghiên cứu:
a. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết:
Đọc các tài liệu tham khảo để thu thập các thông tin liên quan đến phương
pháp giải bài toán dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức
+ Sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 2 của tác giả Vũ Hữu Bình
+ Sách nâng cao và các chuyên đề toán 6 của tác giả Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ

Dương Thụy
+ Các chuyên đề về bài toán dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng
thức trên mạng Internet
b. Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin:
+ Nghiên cứu các bài giải của học sinh, đối chiếu kết quả, đáp án qua nhiều bài
làm khác nhau rồi phân tích tổng hợp
+ Thường xuyên trò chuyện với học sinh: Đặt câu hỏi có liên quan đến bài toán
dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức : các em có hứng thú khi
làm các bài toán dạng này không? Các em có nhận ra dạng bài này không, khi giải
dạng bài toán này em thường gặp rắc rối gì? Hoặc sau khi giải bài toán thấy kết
quả khác với đáp án, em có biết mình sai ở đâu không? Do đâu không?
c. Phương pháp thống kê, xử lí số liệu:
+ Thống kê các nguyên nhân dẫn đến sai sót trong quá trình làm bài của học sinh
+ Tìm hiểu bài toán bất đẳng thức này được phát triển từ bài toán dãy các phân
số viết theo quy luật nào? Giải quyết theo hướng nào?
+ Xử lí nguyên nhân dẫn đến không nhận dạng được bài toán, bài giải sai, hoàn
thiện bài và định hướng phát triển thành bài toán mới.

4


B . NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6, giải bài toán trong các
chuyên đề dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức là việc làm
không thể tránh khỏi, việc nhận ra mối quan hệ của chúng để phát triển bài toán
dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức là một tất yếu
để các em có thể giải quyết các bài tập về bất đẳng thức một cách dễ dàng, hiệu
quả.
“Phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất

đẳng thức là rất quan trọng đối với học sinh, có một số học sinh tự lực giải đúng
bài toán bất đẳng thức theo các yêu cầu đặt ra của bài toán. Tuy nhiên nhiều học
sinh chưa nắm bắt được các cách giải dạng bài toán này hoặc giải sai vì không
nhận ra dạng của nó được phát triển từ bài toán dãy các phân số viết theo quy
luật nào. Vì vậy việc đưa ra đề tài “ phát triển bài toán dãy các phân số viết
theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức” giúp học sinh nhận dạng bài toán
và rèn kĩ năng khi giải bài toán bất đẳng thức, để phát triển kỹ năng giải toán và
giải nó một cách thành thạo là vấn đề cần quan tâm để của học sinh hiện nay.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
a. Thực trạng qua khảo sát thực tế.
Từ học kì II năm học 2015-2016 tôi được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi
môn toán lớp 6, chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi cấp huyện vào tháng 4 năm 1016.
Thông qua khảo sát các bài kiểm tra về toán của các em trong đội dự tuyển tôi thu
được kết quả như sau:
Toàn đội có 11 em , Trong đó:
+ 1 em làm được bài hoàn chỉnh
+ 3 em tính được kết quả của phần biểu thức viết dưới dạng dãy các phân số viết
theo quy luật nhưng không biết dùng kết quả đó để lập luận chứng minh bài toán
bất đẳng thức mà đề bài yêu cầu
+ 4 em không biết rằng để chứng minh bài toán bất đẳng thức dạng này cần tính
được một vế của bất đẳng thức mà biểu thức được viết dưới dạng dãy các phân
số viết theo quy luật sau đó mới dùng kết quả để chứng minh
+ 3 em còn lại không xác định được yêu cầu bài toán
b. Thực trạng đối với nghiên cứu
Trong quá trình trao đổi, bồi dưỡng học sinh cũng như qua quá trình khảo sát
bài làm thực tế của các em tôi tìm ra được một số sai sót thường mắc phải khi HS
giải bài toán bất đẳng thức là:
- Không nhận dạng được bài toán
- Không phân tích được đề bài hoặc phân tích sai đề
- Nhận dạng và phân tích được đề bài nhưng thực hiện giải sai

- Viết sai dấu và chiều của bất đẳng thức trong khi làm.

5


3. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
a. Vấn đề đặt ra:
Chính từ thực trạng nói trên, nhằm nâng cao kỹ năng giải bài toán bất đẳng
thức mà một vế của nó là dãy các phân số viết theo quy luật, bản thân tôi thấy
rằng cần phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán
bất đẳng thức bằng những lý luận và bài tập cụ thể. Để rèn kỹ năng và nâng cao
chất lượng giải các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ các vấn
đề sau:
- Bất đẳng thức đã cho có một vế là dãy các phân số viết theo quy luật nào?
- Tính giá trị của dãy các phân số viết theo quy luật như thế nào?
- Dùng kết quả của dãy các phân số viết theo quy luật đã tính ở trên để lập luận
chứng minh bất đẳng thức theo yêu cầu như thế nào?
- Từ dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức vừa chứng minh trên ta
có thể phát triển thành bài toán bất đẳng thức nào khác nữa?
b. Giải pháp :
Qua quá trình tham khảo tài liệu về các chuyên đề này và thực tế bồi dưỡng
học sinh giỏi, tôi đã hướng dẫn học sinh “ phát triển bài toán dãy các phân số
viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức” cụ thể như sau :
Dạng 1) Với các bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là
các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên.
(*) Xuất phát từ dạng cơ bản nhất là bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử
là 1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 1

Bài 1) Cho A =

1
1
1
1
1
+ 2 + 3 +…+ 19 + 20
2
2
2
2
2

a,
Tính giá trị của biểu thức A :
Ta có:
1
1
1
+ 2 + 3+
2
2
2

A=
⇒ 2A = 1 +

1
1
+ 2 +
2

2

… +

... +

1
1
( 1)
19 +
2
2 20

1
1
18 +
2
219

(2)

Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức ( 1) ta được:
A= 1 Vậy A = 1 b,

1
2

20

1

2 20

Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức :

Chứng minh rằng A =

1
1
1
1
1
+ 2 + 3 +…+ 19 + 20 < 1
2
2
2
2
2

Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy :

1
1
< 1
20 > 0 nên 1 2
2 20

Vậy A < 1

6

(*) Phát triển bài toán trên thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử khác
1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 2.
3
3
3
3
3
2 + 3 + 4 +…+ 99 + 100
4
4
4
4
4

Bài 2)

Cho C =

a,

Tính giá trị của biểu thức C :

Ta có: C =
=
⇒ 4C =

3
3
3

3
3
2 + 3 + 4 + … + 99 + 100
4
4
4
4
4
1
1
1
1
1
3( 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 )
4
4
4
4
4
1
1
1
1
1
3( + 2 + 3 +… + 98 + 99 )
4
4
4
4
4

(1)
(2)

Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được:
3
3
1
1
- 100 ⇒ C = - 100
4
4
4 4
1
1
Vậy C = - 100 Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức:
4 4
3
3
3
3
3
1
b , Chứng minh rằng : C = 2 + 3 + 4 +…+ 99 + 100 <
4
4
4
4
4
4

1
1
1
1
1
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : 100 > 0 ⇒
- 100 < . Vậy C <
4
4 4
4
4

3C =

(*) Phát triển thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là các
lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên chẵn liên tiếp.

Bài 3)

Cho D =

1
1
1
1
1
2 +
4 +
6 +…+
98 +

100
3
3
3
3
3

a,
Tính giá trị của biểu thức D :
Ta có:
1
1
1
1
1
1
2 +
4 +
6 + … +
96 +
98 +
100
3
3
3
3
3
3
1
1

1
1
1
⇒ 3 2 D = 1+ 2 + 4 + 6 + … + 96 + 98
3
3
3
3
3

D =

(1)
(2)

Trừ vế với vế của đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được:
8D = 1-

1
3

100

⇒ D = (1-

1
) :8
3
100

1
) : 8 Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức
3
1
1
1
1
1
1
b, Chứng minh rằng: D =
2 +
4 +
6 +…+
98 +
100 <
8
3
3
3
3
3
1
1
1
1
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : 100 > 0 nên 1- 100 < 1 ⇒ (1- 100 ) :8 <
8
3
3
3

1
Vậy D <
8

Vậy D = (1-

100

(*) Ta phát triển thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử khác 1, mẫu là
các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên chẵn liên tiếp được bài toán 4

7


Bài 4)

Cho E =

4
4
4
4
4
2 +
4 +
6 + … +
48 +
5
5
5

5
550

a,
Tính giá trị của biểu thức E :
Ta có:
1
1
1
1
1
)
2 +
4 +
6 + … +
48 +
5
5
5
5
550
1
1
1
1
⇒ 5 2 E = 4(1 + 2 + 4 + … + 46 + 48 )
5
5
5
5

E =

4(

(1)
(2)

Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được
1
1
1
4(1 − 50 )
(1 − 50 )
⇒
24E = 4(1- 50 )
E =
=
5
5
5
24
6
1
1 − 50
Vậy E =
Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức :
5
6
1

1
1
1
1
1
b, Chứng minh rằng: E = 2 + 4 + 6 +…+ 48 + 50 <
6
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1 − 50
⇒
⇒
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : 50 > 0
1- 50 < 1
5 <
6
5
5
6
1
Vậy E <
6

(*) Phát triển thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là các
lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên lẻ liên tiếp ta có bài toán 5.

Bài 5) Cho G =

1
1
1
1
1
3 +
5 + 7 +…+ 197 + 199
5
5
5
5
5

a,
Tính giá trị của biểu thức G :
Ta có:
1
1
1
1
1
3 +
5 +
7 + … +
197 +

199
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1
⇒ 52 G =
+ 3 + 5 + … + 195 + 197
5
5
5
5
5

G =

(1)
(2)

Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được:
1
1
1
1
− 199

⇒
24G = - 199
G= 5 5
5 5
24
1
1
−
Vậy G = 5 5199 Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức
24
1
1
1
1
1
1
b, Chứng minh rằng: G = 3 + 5 + 7 +…+ 197 + 199 <
120
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1
1
1

− 199
⇒
⇒
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : 199 > 0
- 199 <
<
5 5
5 5
5
120
5
24

8


Vậy G <

1
120

(*) Ta phát triển thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là
các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên liên tiếp nhưng đan xen dấu của
phép tính để được bài toán 6.
1
1
1
1
1
1

- 2 + 3 - 4 + … + 49 - 50
3 3
3
3
3
3

Bài 6) Cho K =

a,
Tính giá trị của biểu thức K :
Ta có:
1
1
1
1
- 2 + 3 - 4 +…+
3
3
3
3
1
1
1
1
⇒ 3K = 1 + 2 - 3 + … + 48 3
3
3
3

K =

1
1
49 3
350
1
3 49

(1)
(2)

Cộng vế với vế đẳng thức (2) và đẳng thức ( 1) ta có:
1
⇒ 4K = 1 - 50
3

Vậy K =

1−

⇒K =

1
350
4

1−

1

350
4

Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức :

b, Chứng minh rằng: K =

1
1
1
1
1
1
1
- 2 + 3 - 4 +…+ 49 - 50 <
3 3
3
4
3
3
3

1
1
1
1
1 − 50
⇒
⇒
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : 50 > 0

1 - 50 < 1
3 <
4
3
3
4
1
Vậy K <
4

Dạng 2 : Với các bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là
tích các số tự nhiên.
(*) Với các phân số có tử là 1, mẫu là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 1.

Bài 1 ) Cho A =
a,

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2
2.3
3.4
19.20

Tính giá trị của biểu thức A :

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2
2.3
3.4
19.20
1
1 1
1 1
1
1
1
1
= (1- ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) + ( )
2
2 3
3 4
18 19
19 20
1
1
1
1
1

1
1
= 1 + (- + ) + ( - + ) + … + (+ )2
2
3
3
19
19
20
1
=1Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức:
20
1
1
1
1
b, Chứng minh rằng: A =
+
+
+ ... +
< 1
1.2
2.3
3.4
19.20

Ta có : A =

9

Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy :

1
1
> 0 nên 1 < 1 . Vậy A < 1
20
20

(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng A ta có bài toán bất đẳng thức mới:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
<
2.3
3.4
5.6
19.20
1
1
1
1
1
Ta có: A1 =
+
+

+... +
+
2.3
3.4
5.6
18.19
19.20
1 1
1 1
1 1
1
1
1
= - + - + - +…+ ( - ) + ( 2 3
3 4
5 6
18 19
19
1
1
1
1
1
1
= + ( - + ) + ( - + ) + … + (+
2
3
3
4
4

19
1
1
= 2 20
1
1
1
1
1
Ta thấy :
>0 ⇒ <
. Vậy A1 <
20
2
20
2
2

Chứng minh rằng: A1 =

1
2

1
)]
20
1
1
)19
20

(+) Bỏ hai số hạng đầu của tổng A ta có bài toán bất đẳng thức:
1
1
1
1
1
1
+
+
+…+
+
<
3.4
4.5
5.6
18.19
19.20
3
1
1
1
<
3 20
3

Chứng minh rằng: A2 =
Ta có :

A2 =

(*) Với các phân số có tử khác 1, mẫu là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 2

Bài 2) Cho B =
a,

2
2
2
2
2
+
+
+…+
+
1.2 2.3
3.4
18.19 19.20

Tính giá trị của biểu thức B :

1
1
1
1
1
+
+
+…+
+

)
1.2 2.3
3.4
18.19 19.20
1
1 1
1 1
1
1
1
1
= 2[(1- ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) + ( )]
2
2 3
3 4
18 19
19 20
1
1
1
1
1
1
1
= 2[1 + (- + ) + ( - + ) + … + (+ )]
2
2
3
3
19

19
20
1
1
= 2(1- ) = 220
10
1
Vậy B = 2 Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức :
10
2
2
2
2
2
b, Chứng minh rằng B =
+
+
+…+
+
< 2
1.2 2.3
3.4
18.19 19.20
1
1
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy :
>0 ⇒ 2< 2 . Vậy B < 2
10
10

Ta có: B = 2(

(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng B ta có bài toán bất đẳng thức:
2
2
2
2
+
+…+
+
< 1
2.3
3.4
18.19 19.20
2
2
2
2
B1 =
+
+…+
+
2.3
3.4
18.19 19.20

Chứng minh rằng:
Ta có :

B1 =

10


1
1
1
1
+
+…+
+
)
2.3
3.4
18.19 19.20
1 1
1 1
1
1
1
1
= 2[( - ) + ( - ) +…+ ( - ) + ( )]
2 3
3 4
18 19
19 20
1
1
1
1

1
1
= 2[ + ( - + ) +…+ (+ )]
2
3
3
19
19
20
1 1
1
= 2( - ) = 1 2 20
10
1
1
> 0 nên 1 < 1 .Vậy B1 < 1
10
10

= 2(

Ta thấy :

(+) Bỏ hai số hạng đầu tiên của tổng B ta có bài toán bất đẳng thức:
Chứng minh rằng:

B2 =

2
2

2
2
2
+
+…+
+
<
3.4
18.19 19.20
3
4.5

(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử là 1, mẫu là tích các
số tự nhiên chẵn liên tiếp ta có bài toán 3.

Bài 3) Cho C =
a,

1
1
1
1
+
+…+
+
2.4
4.6
16.18
18.20

Tính giá trị của biểu thức C :

1
1
1
1
+
+…+
+
2.4
4.6
16.18
18.20
1
1
1
1
⇒ 2C = 2(
+
+…+
+
)
2.4
4.6
16.18
18.20
1 1
1 1
1
1

1
1
= ( - )+( - )+…+( - )+( )
2 4
4 6
16 18
18 20
1 1
= 2 20
1 1
1
1
⇒ C =( ):2 = 2 20
4 40
1
1
Vậy C = . Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức:
4 40
1
1
1
1
1
b, Chứng minh rằng: C =
+
+…+
+
<
2.4
4.6

16.18
18.20
4
1
1
1
1
1
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy :
>0 ⇒ <
.Vậy C <
40
4
40
4
4

C =

(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng C ta có bài toán bất đẳng thức sau:
Chứng minh rằng : C1 =

1
1
1
1
1
+
+
+…+

+
<
4.6
16.18
18.20
6.8
8.10

1
8

Ta có :
1
1
1
1
1
+
+
+…+
+
4.6
16.18
18.20
6.8
8.10
1
1
1
1

1
⇒ 2C1 = 2(
+
+
+… +
+
)
4.6
16.18
18.20
6.8
8.10
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
= ( - )+( - )+( - )+ …+ ( - )+( )
4 6
6 8
16 18
18 20
8 10

C1 =

11

1 1
⇒ C1 = (
4 20
1
1
Ta thấy :
> 0 nên
40
8

=

1 1
1
1
):2 =
4 20
8 40
1
1
1
<
.Vậy C1 <
40
8
8

(+) Bỏ hai số hạng đầu tiên của tổng C ta có bài toán bất đẳng thức

Chứng minh rằng: C2 =

1
1
1
1
1
+
+…+
+
<
6.8
8.10
16.18
18.20
12

(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử khác 1, mẫu là tích
các số tự nhiên lẻ liên tiếp ta có bài toán 4.

Bài 4) Cho D =

2
2
2
2
2
+
+
+…+

+
1.3 3.5
5.7
17.19
19.21

a,
Tính giá trị của biểu thức D :
Ta có :
2
2
2
2
2
+
+
+…+
+
1.3 3.5
5.7
17.19
19.21
1 1 1
1
1
1
1
=1- + - +…+ +
3 3 5
17 19

19 21
1
=121
1
Vậy D = 1 - . Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức:
21
2
2
2
2
2
b, Chứng minh rằng: D =
+
+
+…+
+
<1
1.3 3.5
5.7
17.19
19.21

D =

Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy :

1
>0 ⇒ 121

1

< 1 . Vậy D < 1
21

(*) Phát triển dấu các phân số trong dãy cơ bản ta có bài toán 5

Bài 5 ) Cho E = a,

1
1
1
1
1
-…1.2 2.3 3.4
18.19 19.20

Tính giá trị của biểu thức E :

1
1
1
1
1
-…1.2 2.3 3.4
18.19 19.20
1
1
1
1
1
E = (-1)(

+
+
+…+
+
)
1.2 2.3
3.4
18.19 19.20
1
1 1
1 1
1
1
1
1
= (-1) [(1- ) + ( - ) + ( - ) +…+ ( - ) + ( )
2
2 3
3 4
18 19
19 20
1
1
1
1
1
1
1
= (-1)[1+(- + ) + ( - + ) +…+ (+ )]
2

2
3
3
19
19
20
1
1
= (-1)(1- ) = -1+
20
20
1
Vậy E = -1 +
. Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức:
20
1
1
1
1
1
1
b, Chứng minh rằng: E = -…<
1.2 2.3 3.4
18.19 19.20
20

E =-

12

Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy :

-1+

1
=
20

1
1
-1<
.
20
20

Vậy E <

1
20

(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy với tử là 1, mẫu là tích ba số tự nhiên liên
tiếp ta có bài toán 6.
1
1
1
1
+
+…+
+

1.2.3
2.3.4
97.98.99
98.99.100

Bài 6)

Cho F =

a,
Ta có :

Tính giá trị của biểu thức F :
1
1
1
1
+
+…+
+
1.2.3
2.3.4
97.98.99
98.99.100
1 1
1
1
1
1
1

= (
+
+…+
)
2 1.2 2.3
2.3 3.4
98.99 99.100
1 1
1
1
1
= ( )= 2 1.2 99.100
4 2.99.100

F =

Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức:
1
1
1
1
1
+
+…+
+
<
1.2.3
2.3.4
97.98.99
98.99.100

4
1
1
1
1
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy :
>0 ⇒
<
2.99.100
4 2.99.100
4
1
Vậy F <
4

b, Chứng minh rằng: F =

Dạng 3) Đây là các bài toán chứng minh bất đẳng thức trên cơ sở dãy có quy
luật
(*) Với các phân số trong dãy có tử là 1, mẫu là lũy thừa bậc hai của các số tự
nhiên liên tiếp ta có bài toán 1.

Bài 1) Chứng minh rằng: A =

1
1
1
1
1
1

2 +
2 + 2 …+
2 +
2 <
5
6
7
4
99
100

Ta có:
1
1
1
1
<
=
2 =
5
5.5
4.5
4
1
1
1
1
<
=
2 =

6
6.6
5.6
5
1
1
1
1
<
=
2 =
7
7.7 6.7 6

1
5
1
6
1
7

-

……………………….
1
1
1
1
1
<

=
2 =
99
99.99
99
98.99
98.
1
1
1
1
1
<
=
2 =
100.100
99 100
100
99.100`

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được
A=

1
1
1
1
1
1 1 1 1
1

1
1
1
- + - +…+
+
2 +
2 + 2 …+
2 +
2 <
5
6
7
99
99 100
99
100
4 5 5 6
98.
1
1
1
1
= <
. Vậy A <
4 100
4
4

13

(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng A ta có bài toán chứng minh bất đẳng thức:
Chứng minh rằng: A1 =

1
1
1
1
1
2 + 2 …+
2 +
2 <
6
7
5
99
100

Ta thấy:
1
1
2 =
6
6.6
1
1
2 =
7
7.7

1
1 1
= 5.6
5 6
1
1 1
<
= 6 7
6.7

<

………………………………
1
1
1
1
1
<
=
2 =
98 99
99
99.99
98.99
1
1
1
1
1

<
=
2 =
100
100.100
99.100
99 100

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
A1 =

1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
- + - +…+
+
2 + 2 …+
2 +
2 <
6
7
5 6
6 7

98 99
99
100
99 100
1
1
1
1
= <
. Vậy A1 <
5 100
5
5

(+) Bỏ hai số hạng đầu tiên của tổng A ta có bài toán bất đẳng thức mới:
1
1
1
1
1
1
2 + 2 + 2 +…+
2 +
2 <
7
8
6
9
99
100

1
1
1
A2 =
<
6 100
6

Chứng minh rằng: B2 =
Ta thấy:
Vậy A2 <

1
6

(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử khác 1, mẫu là lũy
thừa bậc hai của các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 2.
2
2
2
2
2
2 + 2 +…+
2 <
2 +
6
7
100
5
99

2
2
+…+ 2 +
100 2
99
1
1
+…+ 2 +
)
100 2
99

Bài 2) Chứng minh rằng: B =
Ta có:

2
2
2 + 2
6
7
1
1
= 2( 2 + 2
6
7

B =

Ta thấy:
1

1
1
1 1
<
= 2 =
6
6.6
5.6
5 6
1
1
1
1 1
<
= 2 =
7
7.7
6 7
6.7

…………………………
1
1
1
1
1
<
=
2 =
98 99

99
99.99
98.99
1
1
1
1
1
<
=
2 =
100
100.100
99.100
99 100

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
14


B = 2(

1
1
1
1
1 1
1 1
1
1

1
1
- + - +…+
+
)
2 + 2 +…+
2 ) < 2(
2 +
6
7
100
5 6
6 7
98 99
99
99 100
1
1
2 1
2
2
= 2( )= <
. Vậy B <
5 100
5 50
5
5

(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử là 1, mẫu là lũy thừa
bậc hai của các số tự nhiên liên tiếp, các phân số mang dấu trừ ta có bài toán 3.

1
1
1
1
1
> -1
2 2 2 - … 2 212
2
3
4
20
1
1
1
- 2- … - 2 - 2
21
4
20
1
1
1
+ 2 +…+ 2 + 2 ) = - K
21
4
20

Bài 3) Chứng minh rằng:
1
1
2 2

32
1
1
⇒ G = -( 2 + 2
2
3

Ta có: G = -

G = -

Ta thấy :
1
1
1
1
< = 12 =
2
2.2 1.2
2
1
1
1
1 1
=
< = 32
3.3 2.3 2 3

.................................
1

1
1
1 1
<
=
2 =
20.20
19.20
19 20
20
1
1
1
1
1
<
=
2 =
21
21.21
20.21
20 21

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
1
1
1
1
1
1

1 1
1 1
1
1
)+( - )+… +( )+ (
)
2 ) < (12 + 2 + 2 +…+
2 +
21
2
2 3
19 20
20 21
2
3
4
20
1
= 121
1
1
⇒ -K >
Hay K < 1 - 1( nhân hai vế bất đẳng thức với -1)
21
21
1
⇒ G = -K >
- 1 > -1 . Vậy G > -1
21

K=(

(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử là 1, mẫu là lũy thừa
bậc ba của các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 4

Bài 4) Chứng minh rằng : C =

1
1
1
1
1
1
3 +
3 +
3 +…+
3 +
3 <
4
2
3
4
99
100

Ta thấy:
1
1
1
1 1

1
<
= (
- )
3 =
2.2.2
1.2.3
2 1.2 2.3
2
1 1
1
1
1
1
<
= ( - )
3 =
3.3.3
2.3.4
3
2 2.3 3.4
1
1
1
1 1
1
<
= ( - )
3 =
4.4.4

3.4.5
2 3.4 4.5
4

……………………………….

15


1
1
1
1
1
1
<
= (
)
3 =
99.99.99 98.99.100
2 98.99 99.100
99
1
1
1
1
1
1
<
= (

)
3 =
2 99.100 100.101
100
100.100.100 99.100.101

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
1
1
1
1
1
3 +
3 +
3 +…+
3 +
2
3
4
99
100 3
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1

1
< (
- ) + ( - ) +...+ (
)+ (
)
2 1.2 2.3
2 98.99 99.100
2 99.100 100.101
2 2.3 3.4
1 1
1
1
1
1
1
⇒ C< (
+
+…+
)
2 1.2 2.3
2.3 3.4
99.100 100.101
1 1
1
1
1
1
1
⇒C < (
)= < . Vậy C <

2 1.2 100.101
4 100.101.2
4
4

C =

(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng C ta có bài toán bất đẳng thức.
Chứng minh rằng : C1 =

1
1
1
1
1
3 <
3 +
3 +…+
3 +
100
12
3
4
99

Ta thấy:
1 1
1
1
1

1
<
= ( - )
3 =
3.3.3 2.3.4
3
2 2.3 3.4
1
1
1
1 1
1
<
= ( - )
3 =
4.4.4
3.4.5
2 3.4 4.5
4

…………………………………
1
1
1
1
1
1
<
= (
)

3 =
99.99.99
98.99.100
2 98.99 99.100
99
1
1
1
1
1
1
<
= (
)
3 =
99.100.101
2 99.100 100.101
100
100.100.100

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
1
1
1
1
1 1
1
1
1
( +…+

)
3 <
3 +
3 +…+
3 +
100
2 2.3 3.4
99.100 100.101
3
4
99
1 1
1
1
1
1
= ( )= <
2 2.3 100.101
12 100.101.2
12
1
Vậy C1 <
12

C1 =

(+) Bỏ hai số hạng đầu tiên của tổng C ta có bài toán bất đẳng thức
1
1
1

1
1
3 <
3 + 3 …+
3 +
100
24
4
5
99
1 1
1
1
1
1
1
= ( )= <
. Vậy C2 <
2 3.4 100.101
24 100.101.2
24
24

Chứng minh rằng : C2 =
Ta thấy: C2

(*) Phát triển các phân số trong dãy với tử là 1, mẫu là lũy thừa bậc bốn của các số
tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 5.

Bài 5) Chứng minh rằng : D =

1
1
1
1
1
1
4 + 4 + 4 +…+
4 +
4 <
4
6
199
200
18
5

Ta thấy :

16


1
1
1
1
1
1
<
= (

)
4 =
4
1.2.3.4
3 1.2.3 2.3.4
4.4.4.4
1
1
1
1
1
1
<
= (
)
4 =
5.5.5.5
2.3.4.5
3 2.3.4 3.4.5
5

..............................
1
1
1
1
1
1
<
= (

4 =
200
200.200.200.200 197.198.199.200
3 197.198.199
198.199.200

)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
1
1
1
1
1
4 + 4 + 4 + … +
4 +
4
6
199
200 4
5
1
1
1
1
1
1
1
< (
+

+...+
)
3 1.2.3 2.3.4
197.198.199
2.3.4 3.4.5
198.199.200
1
1
1
1
1
1
1
= (
)= <
. Vậy D <
3 1.2.3 198.199.200
18 198.199.200.3
18
18

D =

(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng D ta có bài toán bất đẳng thức
Chứng minh rằng :

D1 =

1
1

1
1
1
4 +
4 <
4 + 4 +…+
6
199
200
72
5

Ta thấy:
1
1
1
1
1
1
<
= (
)
4 =
5.5.5.5
2.3.4.5
3 2.3.4 3.4.5
5
1
1
1

1
1
1
<
= (
)
4 =
6
6.6.6.6
3 3.4.5 4.5.6
3.4.5.6

…………………………….
1
1
1
1
1
<
= (
200.200.200.200 197.198.199.200
3 197.198.199
198.199.200

)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
1
1
1

1
4 +
4 + 4 +…+
6
199
200 4
5
1
1
1
1
1
1
1
< (
+
+...+
)
3 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6
197.198.199
198.199.200
1
1
1
1
1
1
= (
)=
<

3 2.3.4 198.199.200
72 198.199.200.3
72
1
Vậy D1 <
72

D1 =

(+) Bỏ hai số hạng đầu tiên của tổng D ta có bài toán bất đẳng thức
1
1
1
1
4 + 4 +…+
4 +
6
7
199
200 4
1
1
1
+ 4 +…+ 4 +
7
199
200 4
1
1
1

1
1
1
1
(
+
+...+
)
3 3.4.5 4.5.6
4.5.6 5.6.7
197.198.199
198.199.200
1
1
1
1
1
1
1
(
)=
- .
<
3 3.4.5 198.199.200
180 3 198.199.200
180

Chứng minh rằng : D2 =
Ta thấy: D2 =

1
64

<
=

17


Vậy D2 <

1
180

(*) Phát triển các phân số trong dãy với tử khác 1, mẫu là lũy thừa bậc bốn của các
số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 6.

Bài 6)

Chứng minh rằng : S =

3
3
3
3
3
1
4 + 4 + 4 +…+
4 +
4 <

4
5
6
99
100
6

Ta thấy:
3
3
3
1
1
<
=
4 =
4
4.4.4.4
1.2.3.4
1.2.3 2.3.4
3
3
3
1
1
<
=
4 =
5
5.5.5.5

2.3.4.5
2.3.4 3.4.5

…………………………………..
3
3
4 =
100
100.100.100.100

<

3
97.98.99.100

=

1
1
97.98.99
98.99.100

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được
3
3
3
3
3
4 +
4 + 4 + … +

4 +
4
5
6
99
100 4
1
1
1
1
1
1
<
+
+...+
1.2.3 2.3.4
2.3.4 3.4.5
97.98.99
98.99.100
1
1
1
=
<
1.2.3 98.99.100
6
1
Vậy S <
6

S =

(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của S ta có bài toán bất đẳng thức mới :
Chứng minh rằng : S 1 =

3
3
3
3
1
4 + 4 +…+
4 +
4 <
5
6
99
100
24

Ta thấy:
3
3
3
1
1
<
=
4 =
5
5.5.5.5

2.3.4.5
2.3.4 3.4.5
3
3
1
1
1
<
=
4 =
6
6.6.6.6
3.4.5.6
3.4.5 4.5.6

..........................................
3
3
4 =
100
100.100.100.100

<

3
97.98.99.100

=

1

1
97.98.99
98.99.100

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
3
3
3
3
4 + 4 + … +
4 +
5
6
99
100 4
1
1
1
1
1
1
<
+
+...+
2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6
97.98.99
98.99.100
1
1
1

1
1
=
=
<
24 98.99.100
24
2.3.4
98.99.100
1
Vậy S 1 <
24

S1 =

18


Từ đây ta còn có thể phát triển thành rất nhiều bài toán về bất đẳng thức mà
một vế của nó là dãy các phân số viết theo quy luật, trong giới hạn của đề tài chưa
thể trình bày hết được.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
a. Hiệu quả của đề tài đến chất lượng giáo dục:
Qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 phát triển bài toán dãy các phân
số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức và vận dụng để giải các bài
toán bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi toán 6 tôi nhận thấy:
- Từng học sinh đều phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật
thành bài toán bất đẳng thức một cách thành thục, thực hiện giải bài tập về bất
đẳng thức một cách dễ dàng với thái độ hứng thú và rất có hiệu quả.
- Học sinh đã biết phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành

bài toán bất đẳng thức một cách rất linh hoạt. Hệ thống bài tập các em đưa ra rất
đa dạng, phong phú và đầy sáng tạo. Tham khảo hệ thống bài tập mà các em phát
triển khiến tôi có nhiều trải nghiệm bất ngờ và thú vị.
- Ngoài ra tôi còn tạo cơ hội để học sinh giải bài tập đã được phát triển của các
thành viên trong đội, từ đó đưa ra nhận xét về tính chính xác, khả năng phát triển
bài, ưu và nhược trong mỗi cách phát triển, từ đó thấy sự sáng tạo trong mỗi bài
của mỗi thành viên, tăng cường khả năng rèn luyện cho bản thân cũng như tinh
thần học hỏi lẫn nhau trong học tập.
b. Kết quả thực tế:
Qua thực tế bồi dưỡng chuyên đề phát triển bài toán dãy các phân số viết
theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức tôi thấy các em đều giải được các bài
toán về bất đẳng thức mà một vế của nó là bài toán dãy các phân số viết theo
quy luật một cách thành thạo và đặc biệt là qua kì thi học sinh giỏi huyện vừa rồi
tất cả các em đều giải tốt bài toán này, góp phần nâng điểm bài thi rõ rệt và mang
lại kết quả tốt.

19


C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1/ Kết luận:
Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy việc phát triển bài toán dãy các
phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức có một vị trí quan trọng
trong bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong quá vận dụng đề tài, học sinh sẽ phải huy
động các thao tác tư duy khác nhau như: Phân tích, So sánh, tổng hợp, khái quát
hóa,… để giải quyết vấn đề. Vì vậy học sinh có cơ hội rèn luyện, phát triển về tư
duy lo gic toán học. Nên có thể nói việc phát triển bài toán dãy các phân số viết
theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức là một đề tài rất có hiệu quả để rèn
luyện và phát triển tư duy, khả năng độc lập trong suy nghĩ và giải quyết vấn đề đặt
ra, cũng như rèn tính kiên trì, cẩn thận của học sinh.

Phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất
đẳng thức là một chuyên đề khó, nên khi bồi dưỡng cho học sinh người giáo viên
cần lưu ý:
- Lựa chọn hệ thống bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thật cơ bản sao
cho nội dung thể hiện đơn giản. Bài tập lựa chọn phải là những bài tập điển hình,
có nội dung rõ ràng và có mục đích cụ thể. Giúp học sinh có thể dễ dàng phát
triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức
và học sinh có khả năng giải các bài toán có nội dung tương tự khác.
- GV trong quá trình bồi dưỡng cần rèn cho học sinh thói quen phân tích tỉ mỉ bài
toán dãy các phân số viết theo quy luật tránh cho học sinh phát triển bài toán
theo kiểu áp dụng máy móc, theo kiểu dò tìm mà không hiểu bản chất, không có
lập luận chặt chẽ.
- Khi bồi dưỡng học sinh mới ban đầu tiếp cận chuyên đề này, để học sinh tránh
được sai sót tối đa thì người giáo viên cần trình bày bài giải một cách bài bản và
nên yêu cầu học sinh giảm bớt làm tắt quá trình tính toán các số hạng trong dãy
hay tính nhẩm gây sai sót.
Đề tài áp dụng có hiệu quả cho bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 môn toán. Trong
thời gian tiếp theo, tôi sẽ tiếp tục áp dụng đề tài giảng dạy trong các năm học tới và
nghiên cứu chỉnh sửa thêm
Đề tài có thể áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7, 8, 9
2/ Kiến nghị

Đề tài ”phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài
toán bất đẳng thức ”là một đề tài áp dụng cho bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp 6
nói riêng và cho học sinh giỏi THCS nói chung, tôi mong muốn được chia sẻ cho
bạn bè đồng nghiệp gần xa làm tài liệu bồi dưỡng. Đồng thời cũng là dịp giao lưu
học hỏi nâng cao trình độ bản thân, rút kinh nghiệm trong bồi dưỡng học sinh giỏi
các năm tiếp theo để đạt kết quả cao hơn.

20

Trong quá trình viết không tránh khỏi sai sót tôi mong được tiếp thu ý kiến
đóng góp của mọi người. Tôi xin chân thành cảm ơn !
Tôi xin cam đoan SKKN này là do tôi tự viết, không sao chép của người
khác, nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm!
Nông cống, Ngày 6 / 4 / 2016
Người thực hiện :

Lê Thị Thạo

21