Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình học ở lớp 8 phần đa thức Sách giáo khoa đưa ra rất ít bài tập,
dạng toán việc học sinh tiếp cận kiến thức về đa thức còn ít, các đề thi học sinh giỏi cấp
Huyện, cấp Tỉnh gần đây lại thường có bài toán xác định đa thức, tìm đa thức dư hoặc
tính các giá trị của đa thức...Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức thường gây
lung túng cho học sinh. Nguyên nhân chính là học sinh chưa được trang bị đầy đủ các
kiến cần thiết, các dạng bài tập chưa nhiều.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi Môn: Giải
Toán trên máy tính cầm tay, tôi rất băn khoăn về vấn đề này. Vì vậy nhằm củng cố kiến
thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 8 đến lớp 9 và rèn kỹ năng giải một số
dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, để cho học sinh đại trà và đội tuyển học sinh giỏi
năm sau đạt kết quả tốt hơn năm trước mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ
THCS.
Tôi đã thực hiện nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này:
“NÂNG CAO TƯ DUY CHO HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN ĐA THỨC TRONG BỒI
DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT”

Trang 1


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

II.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
II.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong sách giáo khoa 8 (tập 1) tác giả đưa ra kiến thức cho học sinh biết cách
chia đa thức cho đa thức, chia đa thức cho đơn thức và rất ít bài tìm điều kiện của hệ số
để có phép chia hết đa thức cho đa thức
Trong cuốn sách “Nâng cao và phát triển Toán 8” dành cho học sinh khá giỏi của
tác giả Vũ Hữu Bình, Tôn Thân thì tác giả đề cập đến vấn đề này một cách khái quát

nên học sinh mới chỉ hiểu mà chưa biết vận dụng được nhiều.
II.2. CƠ SỞ LÝ THỰC TIỄN
Lên lớp 9 các em không được học thêm kiến thức phần đa thức này mà chỉ học
cách giải hệ phương trình, giải phương trình. Vì thế để giải được dạng toán này cần kết
hợp cả hai khối lớp
Để giải được các dạng bài tập đa thức trong các kì thi học sinh giỏi “Giải Toán
trên Máy tính cầm tay” trước hết học sinh phải nắm bắt được dạng toán và qui trình
thực hiện, qua các năm bồi dưỡng và rèn luyện bản thân cũng như học sinh, tôi đã cải
tiến phương pháp và đưa ra một số biện pháp thực hiện của phần đa thức như sau:
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
1.1 Một số kiến thức cơ bản:
a . Phương pháp dùng hệ quả Định lý Bê-du:
Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x – a) hay f(a) =0
b. Phương pháp đồng nhất hệ số:
Giả sử: f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Nếu f(x) = g(x) thì: a3 = b3 ; a2 = b2; a1 = b1 ; a0 = b0
c. Phương pháp dùng đa thức phụ để giải bài toán tìm đa thức hoặc tính giá trị của
đa thức.
Tìm qui luật của bài toán đã cho rồi suy ra đa thức dư
d. Phương pháp giải hệ phương trình.
Từ bài toán đã cho thiết lập hệ pt ( gồm 2,3 hoặc 4….phương trình ) rồi tìm hệ số của
đa thức
e. Phương pháp chia đa thức cho đa thức
Dùng phép chia đa thức cho đa thức
f. Dùng sơ đồ hoocner để tìm đa thức thương và đa thức dư
Lược đồ Hoocner dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa
thức x−α, khi đó ta thực hiện như sau:
Giả sử cho đa thức f(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+...+an−1.x1+an. Khi đó đa thức

thương g(x)=b0xn−1+b1xn−2+...bn−1 và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

Trang 2


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

1.2 Quy trình giải bài toán đa thức:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức.
Để giải được bài toán đa thức điều quan trọng nhất là học sinh cần xác định được dạng
toán để sử dụng phương pháp phù hợp nhằm giải bài toán nhanh và chính xác. Sau đây
tôi xin đưa ra một số dấu hiệu nhận dạng bài toán.
Học sinh dùng phương pháp giải hệ phương trình đối với những bài toán:
- Cho giá trị đa thức tại x= 1,2,3…yêu cầu xác định đa thức khi đã biết bậc đa thức.
- Xác định đa thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)
- Xác định các hệ số của đa thức
Nhược điểm: Chỉ sử dụng phương pháp này khi giải hệ gồm từ 3 đến 4 phương trình.
Khi hệ phương trình có từ 5 hoặc 6 phương trình trở lên thì việc giải sẽ gặp khó khăn,
phức tạp  ta nên dùng Phương pháp đa thức phụ
Học sinh dùng phương pháp dùng đa thức phụ để giải bài toán đối với những dạng
toán:
- Cho giá trị đa thức tại x= 1,2,3…yêu cầu xác định đa thức khi đã biết bậc đa thức.
- Xác định các hệ số của đa thức
- Tính giá trị của đa thức thỏa hệ thức
Nhược điểm: Học sinh khó khăn khi tư duy để tìm quy luật giải bài toán. Do đó học
sinh cần rèn luyện nhiều.
Học sinh dùng phương pháp đồng nhất hệ số khi gặp các dạng toán: Xác định đa
thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)
Nhược điểm: Việc biến đổi dùng hằng đẳng thức để khai triển dài, mất thời gian.
Học sinh dùng sơ đồ hoocner đối với những bài toán:

- Tìm đa thức thương và đa thức dư trong phép chia.
- Tìm hệ số ( a, b, c, … ) để đa thức này chia hết cho đa thức kia.
Tuy nhiên phương pháp này có nhược điểm: Chỉ sử dụng cho đa thức chia có bậc là 1.
Còn đối với những đa thức có bậc cao hơn thì không áp dụng được.
Học sinh dùng phương pháp chia đa thức cho đa thức đối với những bài toán:
- Tìm đa thức thương và đa thức dư trong phép chia.
- Tìm hệ số ( a, b, c, … ) để đa thức này chia hết cho đa thức kia.
Ưu điểm: Sử dụng cho tất cả các đa thức với các bậc khác nhau.
Nhược điểm: Phép chia dài, mất thời gian.
Học sinh dùng phương pháp sử dụng hệ quả Định lý Bê-du khi gặp những dạng
toán:Tính giá trị đa thức
Tuy nhiên phương pháp này khi sử dụng thường kết hợp với phương pháp giải hệ
phương trình.
Bước 2: Xác định bậc của đa thức hoặc phân tích tìm đa thức phụ, tìm nghiệm đa
thức…
Dựa vào dữ kiện bài toán học sinh phân tích đề bài , điều kiện đã cho
Việc xác định bậc đa thức giúp ta biết được đa thức đó gồm bao nhiêu hệ số. Ví dụ đa
thức bậc 4 thì gồm 5 hệ số đặt tên lần lượt là: a, b, c, d,e. Hay đa thức bậc 5 thì gồm 6

Trang 3


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

hệ số với tên lần lượt là: a, b, c, d, e, f. Sau đó chúng ta có thể dựa vào đó để thiết lập
phương trình, hệ phương trình hay biểu thức ...
Đối với những bài toán đã cho bậc đa thức thì ta cần phân tích tìm đa thức phụ hoặc tìm
đa thức thương, đa thức dư, nghiệm của đa thức...
Bước 3: Tìm đa thức, tính giá trị…
Đây là bước cuối cùng cũng là bước giúp học sinh tìm ra kết quả của bài toán. Với mỗi

dạng toán khác nhau học sinh cần sử dụng những phương pháp giải phù hợp.
Như vậy, ta có thể khái quát quy trình thông qua sơ đồ sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức

Bước 2: Xác định bậc của đa thức hoặc phân tích tìm đa thức phụ, tìm nghiệm đa thức…

Bước 3: Tìm đa thức, tính giá trị

2. Vận dụng quy trình để giải bài toán đa thức
 Dạng 1:Xác định đa thức bậc n (n = 2,3,4...)
Bài toán 1:
Xác định đa thức bậc 3 biết
f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán này cho từ 4 giá trị của đa thức trở xuống, ta đi tìm đa thức ta sử dụng
phương pháp giải hệ phương trình.
Bước 2: Xác định bậc của đa thức, phân tích dạng tổng quát của đa thức bậc 3
Bước 3: Tìm hệ số đa thức bằng cách giải hệ phương trình
Giải
Gọi đa thức cần tìm là:
f(x) = ax3 + bx2 + cx +d
Theo bài ra ta có:
f(0) = 1 ⇒ d = 1
f(1) = 0 ⇒ a + b + c = -1
(1)
⇒
f(2) = 5 4a + 2b + c = 2
(2)
⇒

f(3) = 22 9a + 3b + c = 7
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
 a +b+c =1

4a + 2b + c = 2
9a + 3b + c = 7


Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x2 - 2x + 1
Lưu ý: nếu bài toán đặt ra giải hệ nhiều phương trình quá thì việc giải hệ pt trở nên khó
khăn, cho nên dùng Phương pháp đa thức phụ để tìm qui luật của bài toán đã cho rồi suy
ra đa thức
Trang 4


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

Bài toán 2: Đa thức P(x) = x6 +ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex +f có giá trị là 3;0;3;12;27;48 khi
x nhận lần lượt các giá trị tương ứng là 1;2;3;4;5;6
Xác định hệ số a,b,c,d,e,f của P(x)
(Trích: Đề thi HSG Giải toán trên MTCT THCS của Bộ GD năm 2008-2009)
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán này cho nhiều giá trị của đa thức ( từ 5 giá trị ) ta sử dụng phương
pháp sử dụng đa thức phụ
Bước 2: Phân tích tìm qui luật của bài toán để đưa ra đa thức phụ
Bước 3: Nhân đa thức với đa thức suy ra hệ số của đa thức
Giải:

Ta có nhận xét P(x) = (x–1).(x–2).(x–3).(x–4).(x–5).(x–6)+r(x) là đa thức bậc 6, hệ số
cao nhất là 1
Phân tích bài toán tìm qui luật để suy ra đa thức phụ
Khi lần lượt chia các giá trị 3;0;3;12;27;48 cho 3 ta có 1;0;1;4;9;36 là các số chính
phương và là giá trị của (x – 2 )2 khi x lần lượt lấy giá trị 1;2;3;4;5;6
Vậy P(x) = (x –1).(x–2).(x–3).(x–4).(x–5).(x–6) + 3.(x–2)2
Suy ra: P(x)= x6 - 21x5 +175x4 -735x3 +1627x2 -1776x +732
Lưu ý: Việc tìm qui luật để suy ra đa thức phụ không phải đơn giản chính vì vậy cần
đưa ra nhiều bài toán tìm qui luật cho học sinh
Vd: Viết công thức số hạng tổng quát của nó:
3 4 5 6 
n +1
, ,... kết quả: 2 với n ∈ N và n ≥ 2
n
 4 9 16 25 
2n
2 4 6 8 
b)  , , , ,... kết quả:
với n ∈ N và n ≥ 1
3n + 2
 5 8 11 14 
1
1 1 1 1 1 1 
c)  , , , , , ... kết quả: n(n + 1) với n ∈ N và n ≥ 1
 2 6 12 20 30 42 
1
d) { 2,12,36,80,150...} kết quả: n(n + 1) với n ∈ N và n ≥ 1

a)  , ,

Bài toán 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 +bx3 +cx2 + dx +e và cho biết
P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51
Tính P(6), P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11)
(Trích Đề thi khu vực của Bộ GD – ĐT lớp 9 năm 2003)
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán này cho nhiều giá trị của đa thức ta sử dụng phương pháp sử dụng đa
thức phụ
Bước 2: Phân tích tìm qui luật của bài toán để đưa ra đa thức phụ
Bước 3: Tính giá trị của đa thức tại x
Trang 5


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

Giải:
Phân tích bài toán tìm qui luật để suy ra đa thức phụ
P(1) = 3= 2.12 +1, P(2) = 9=2.22 +1, P(3) = 19=2.32 +1,
P(4) = 33=2.42 +1, P(5) = 51=2.52 +1 nên đa thức dư là: 2x2 +1
Vậy P(x) = (x – 1).(x – 2 ).(x – 3 )(x – 4 ) + 2x2 +1
Từ đó tính được: Tính P(6), P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11)
 Dạng 2: Xác định đa thức dư, tìm số dư trong phép chia đa thức
Bài toán 4:
Tìm đa thức dư của phép chia: x7 + x5 +x3 +1 cho x2 –1
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán chỉ Tìm đa thức dư của phép chia cho đa thức có nghiệm nguyên
ta sử dụng Dùng Phương pháp hệ quả Định lý Bedu kết hợp giải hệ pt
Bước 2: Phân tích đa thức chia và dạng tổng quát đa thức dư
Bước 3: Giải hệ phương trình, tìm hệ số của đa thức dư

Giải:
Ta thấy đa thức chia x –1 có bậc là 2 nên đa thức dư phải có bậc là 1 nên có dạng
ax + b
Gọi thương của phép chia là Q(x)
Suy ra: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b
Áp dụng hệ quả định lí Bedu
2

 P (1) = 4
 a+b = 4
a = 3
⇔
⇔

 P (−1) = −2
 − a + b = −2
b = 1

Vậy dư của phép chia là: 3x + 1
Bài toán 5: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán chỉ tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho đa thức bậc nhất ta
sử dụng Dùng Phương pháp sử dụng sơ đồ hoocner
Bước 2: Phân tích nghiệm của đa thức chia
Bước 3: Sử dụng sơ đồ hoocner, tìm hệ số của đa thức thương
1

Giải:- Thực hiện sơ đồ hoocner P(x) chia cho  x −  , ta được:


1
2

1

2

-3

1

1

5
2

−7
4

1
8

Trang 6

2


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT
1  2 5

7 1

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 =  x −   x + x −  + . Từ đó ta phân tích:


2 

2

4 8



 2

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2.  x −  . .  x + x −  +
2 2 
2
4 8

1

5

1

7

1

 2

= (2x - 1).  x + x −  +
4
8 8
2
1

Vậy: thương là

5

7

1

1 2 5
7
1
x + x − và dư là
2
4
8
8

 Dạng 3: Xác định các hệ số trong phép chia đa thức
Bài toán 6: Tìm a,b sao cho f(x) = x4 + x3 +3x2 +ax + 4 chia hết cho x2 – x + b
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán chỉ tìm hệ số của đa thức chia và đa thức bị chia ta sử dụng Dùng

Phương pháp chia đa thức cho đa thức kết hợp giải hệ pt
Bước 2: thực hiện chia đa thức cho đa thức
Bước 3: giải hệ pt, tìm hệ số của đa thức bị chia và đa thức chia
Giải:
x4 + x3 + 3x2 + ax + 4
x4 – x3 + bx2
2x3 + (3 – b)x2 + ax + 4
2x3
- 2x2 +2bx
(5 – b)x2 + (a – 2b)x +4
(5 – b)x2 + (b – 5)x +5b – b2

x2 – x + b
x2 +2x + 5 – b

( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + 4
Thực hiện phép chia ta được thương là: x2 +2x + 5 – b và dư là
( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + 4
Để f(x) = x4 + x3 +3x2 +ax + 4 chia hết cho x2 – x + b thì
( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + 4 = 0
  a = −2
a = 3b − 5


 a − 3b + 5 = 0
b = 1 Vậy: (a;b) = (-2;1) hoặc (7;4)
 b = 1
⇔ 2
⇔
⇔ 

 a = 7
b − 5b + 4 = 0
 b = 4
 b = 4


 Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)
Bài toán 7: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 thoả mãn hệ thức sau :
3.f(x) – f(1 – x) = x2 + 1
(1)
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Trang 7


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

Đối với bài toán tìm đa thức bậc n thỏa mãn hệ thức ta sử dụng Dùng Phương pháp
đồng nhất hệ số kết hợp giải hệ pt
Bước 2: thực hiện việc khai triển hằng đẳng thức, trừ đa thức
Bước 3: giải hệ pt, đồng nhất hệ số tìm hệ số của đa thức
Giải:
Đa thức f(x) có dạng f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
3.f(x) = 3ax3 + 3bx2 + 3cx + 3d
f(1 – x) = a(1 – x)3 + b(1 – x)2 + c(1 – x) + d
= -ax3 +(3a + b)x2 + (-3a -2b - c)x + a + b + c + d
3.f(x) – f(1 – x) = x2 + 1
⇔ 4ax3 +(-3a + 2b)x2 + (3a +2b +4c)x - a - b - c + 2d= x2 + 1
Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có:
 a=0

1

4
a
=
0

b= 2
 − 3a + 2b = 1


−1
⇔
⇔
c=
 3a + 2b + 4c = 0

4
− a − b − c + 2d = 1

5
d =
8

1
1
5
Vậy : f(x) = x 2 − x +
2
4

8

Bài toán 8: Tìm đa thức f(x) có bậc 4 sao cho:
f(-1) = 0 và f(x) – f(x – 1) = x(x + 1)(2x + 2)
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán này ta sử dụng Dùng Phương pháp đồng nhất hệ số kết hợp giải hệ
pt
Bước 2: thực hiện việc khai triển hằng đẳng thức, trừ đa thức
Bước 3: giải hệ pt, đồng nhất hệ số tìm hệ số của đa thức
Giải:
Đa thức f(x) có bậc 4 có dạng:
f(x) = ax4 + bx3 + cx2 +dx +e
Ta có : f(-1) = 0 suy ra a – b + c – d + e = 0 (1)
f(x - 1) = a(x –1)4 + b(x –1)3 + c(x –1)2 +d(x –1) +e
= ax4 + (-4a + b)x3 +(6a – 3b + c)x2 + (-4a +3b – 2c +d)x +(a+b+c–d+e)
f(x) – f(x – 1) =4ax3 + (-6a + 3b)x2 + (4a – 3b + 2c)x + (-a – b – c + d)
x(x + 1)(2x + 2) =2x3 + 4x2 + 2x
theo đề bài: f(x) – f(x – 1) = x(x + 1)(2x + 2)
Suy ra: 4ax3 + (-6a + 3b)x2 + (4a – 3b + 2c)x + (-a – b – c + d)= 2x3 + 4x2 + 2x
Dùng Phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

Trang 8


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT
1

a=2
4a = 2



7
 − 6a + 3b = 4
b=


3
(2)
⇔

7
4
a
−
3
b
+
2
c
=
2

c=
2
− a − b − c + d = 0

d = 19

3

14
Từ (1) và (2) suy ra: e =
3
1
7
7
19
14
Vậy đa thức f(x) = x4 + x3 + x2 + x +
2
3
2
3
3

Bài tập: Tìm đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau:
x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)
 Dạng 5: Tính giá trị của đa thức thỏa hệ thức
Bài toán 9: Cho đa thức bậc bốn f(x) với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn
f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30
Tính:

f (12) + f (−8)
+ 15
10

Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán cho những giá trị của đa thức, tính giá trị biểu thức ta sử dụng Dùng
phương pháp dùng đa thức phụ kết hợp định lí bedu

Bước 2: thực hiện tìm qui luật để tìm đa thức phụ
Bước 3: Tính giá trị đa thức
Giải:
Từ bài toán đã cho f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30
Suy ra đa thức phụ là: 10x với x = 1, 2, 3
Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x ⇒ g(1) = g(2) = g(3) = 0
do bậc f(x) là bậc 4 nên của g(x) là từ g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3 suy ra:
g(x) =(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) +10x
Ta tính được:

f (12) + f (−8)
+ 15 = 1984 + 15 = 1999
10

Bài toán 10: Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27
Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6)
Để giải bài toán này học sinh thực hiện các bước theo quy trình như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán đa thức
Đối với bài toán này ta sử dụng Dùng phương pháp dùng đa thức phụ, giải hệ pt kết
hợp định lí bedu
Bước 2: thực hiện giải pt, tìm đa thức phụ
Bước 3: Tính giá trị đa thức
Giải:
Tìm đa thức phụ:
Trang 9


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx +c. Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(4) = 0
⇔ a, b, c là nghiệm của hệ phương trình
 0 = 3+ a +b+c

 0 = 11 + 9a + 3b + c
0 = 27 + 25a + 5b + c


Giải hệ ta được: a= - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2
* Tính giá trị f(x):
Bậc f(x) là bậc 4 nên bậc g(x)là bậc 4 và g(x) chia hết
cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0)
⇒ f ( x) = ( x − 1)( x − 3)( x − 5)( x − x0 ) + x 2 + 2

Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112
IV. HIỆU QUẢ ĐỀ TÀI
Với việc hướng dẫn, bồi dưỡng học sinh giỏi ở chuyên đề đa thức trên tôi thấy:
- Bước đầu học sinh đã biết cách áp dụng các bài tập dạng này vào kì thi và đã giải
được các bài tập nằm trong các đề thi học sinh giỏi ở các năm qua
- Các em không còn lúng túng trong việc xác định các đa thức mà yêu cầu bài toán
đặt ra mà còn sáng tạo làm các bài tập về dạng này
- Ngoài dạng này, các em còn biết thêm dạng bài tập tìm số dư của phép chia số A
cho B trong các phần chuyên đề tiếp theo
- Giáo viên hướng dẫn phần đa thức này còn khai thác thêm một số dạng toán mới
phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
- Khi thực hiện xong phần đề tài này tôi đã cho học sinh thử sức vào kỳ thi của
Huyện, Tỉnh tổ chức
Cụ thể : Tôi đã thực hiện đề tài này trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tại
trường từ năm học 2013 - 2014. Sau khi hướng dẫn học sinh tôi đã đưa ra các dạng bài
tập đa thức và 100% học sinh đã làm được, cho kết quả đúng.

Ngoài ra, tôi còn thống kê tỉ lệ làm được bài toán đa thức trong 3 năm bồi dưỡng
học sinh giỏi môn: Giải Toán trên máy tính cầm tay gần đây như sau:
Năm học

Tổng số hs
tham dự

Tỉ lệ Số học sinh giải được bài toán đa thức
Số lượng

%

2013 - 2014

3

1

33.3%

2013 - 2014

5

3

60%

Trang 10

Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

2014 - 2015

4

4

100%

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:
- Trên đây là phương pháp tôi đã hướng dẫn cho học sinh khi giải một số dạng toán về
đa thức. Để thực hiện tốt nhiệm vụ người giáo viên cần rèn luyện nhiều dạng toán này
đồng thời cập nhật những bài thi cấp Huyện Tỉnh gần nhất để mở rộng cho học sinh.
- Kiến thức về phần đa thức là một phần quan trọng trong chương trình, giúp các em
hiểu sâu kiến thức mà còn giúp học sinh nâng cao điểm trong các kỳ thi học sinh giỏi.
- Ngoài ra, trong đề thi học sinh giỏi còn nhiều dạng toán khác như: Toán ngân hàng, số
học, lũy thừa, hình học …. . Do đó người giáo viên cần nghiên cứu, tìm hiểu nhiều dạng
toán khác để bồi dưỡng nhằm giúp các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
- Cùng với việc hỗ trợ của máy tính Casio việc giải các bài toán đa thức thuận tiện hơn
rất nhiều vì vậy giáo viên cần nghiên cứu những tính năng khác của máy tính Casio áp
dụng vào giải toán.
Qua đây bản thân tôi cũng đề xin đề xuất
- Đối với nhà trường cần tạo điều kiện sắp xếp thời khóa biểu thuận lợi cho giáo
viên để phục vụ tốt cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi
- Đối với phòng giáo dục cần có các buổi chuyên đề về công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi để giáo viên học tập, rèn luyện giúp cho đội tuyển của Huyện đi thi Tỉnh
đạt kết quả cao
- Đối với Sở giáo dục hàng năm cần có các buổi tập huấn MTCT để giáo viên, học

sinh hiểu thêm tính năng của máy tính hỗ trợ cho việc tính toán

Trang 11


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1- TS Tạ Duy Phượng – Phạm Thị Hồng Lý (2005), Một số dạng toán thi học sinh giỏi:
giải toán trên máy tính điện tử, Nhà xuất bản giáo dục.
2- TS Tạ Duy Phượng – Nguyễn Thế Thạch (2004) Các đề thi học sinh giỏi:
giải toán trên máy tính casio từ năm 1996 – 2004, Nhà xuất bản giáo dục
3- TS Tạ Duy Phượng (2003), Giải toán trên máy tính điện tử
Nhà xuất bản giáo dục
4- Nguyễn Hải Châu (2008), Hướng dẫn thực hành: Toán – Lí – Hóa – Sinh trên máy
tính cầm tay. Nhà xuất bản Hà Nội
5- TS Nguyễn Thái Sơn (2013), Giải toán: Toán, Lý, Hóa và Sinh học với máy tính
casio fx-570vn plus. Nhà xuất bản TPHCM
6- TS Nguyễn Thái Sơn (2013) Giải toán trên máy tính casio fx – 570vn plus
Nhà xuất bản TPHCM
7- PGS-TS Tôn Thân (2011), Bài Tập Nâng Cao Toán 8 (Tập hai). Nhà xuất bản giáo
dục Việt Nam
8- Bùi Văn Tuyên (2013), Bài Tập Nâng Cao Toán 8 (Tập hai). Nhà xuất bản giáo dục
Việt Nam

Trang 12


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

VII. PHỤ LỤC:
Phụ lục : ĐỀ KIỂM TRA
Đề kiểm tra thứ nhất: Trước thực nghiệm
Bài 1 : ( 5đ) Cho đa thức P(x) = x 5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e . Biết P(1) = 3; P(2) = 9;
P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51;
a) Tính các hệ số a, b, c, d, e
b) Tính chính xác P(2010)
a=
B=
c=
d=
e =
P(2010) =
Bài 2: ( 2,5đ) Cho đa thức P( x) = x5 + ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e có giá trị là:
−14; − 9; 0; 13; 30 khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5.
a) Tìm biểu thức hàm của đa thức P( x) .
b) Tính giá trị chính xác của P(17), P(25), P(59), P(157).
Bài 3: ( 2,5đ)
a) Tìm các giá trị của a và b nếu đa thức 5 x5 − 4 x 4 + 3x3 − 2 x 2 + ax + b
chia hết cho tam thức 3x 2 + 2 x − 1 .
b) Cho đa thức f ( x) = x5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e .
c)Biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1; 2; 3; 4; 5
thì f ( x) có giá trị tương ứng là: 5; 17; 37; 65; 101.
Tính f (16)

Câu
Cách giải Đáp án
2
1
Đặt Q(x)= 2x +1; h(x)= P(x) – (2x2+1). Từ giả thiết ta súy ra h(1)

= h(2) = h(3) = h(4) =h(5) = 0;
Do hệ số x5 bằng 1 nên h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
Suy ra p(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + (2x2+1)
P(x)= x5 –15x4 +85x3 – 223x2 +274x – 119
a= –15; b = 85; c = –223 ;
d= 274; e = –119
P(2010)=2009.2008.2007.2006.2005+2(2010)2+1
2
a) Đa thức P( x) có thể viết dưới dạng:

Điểm

2,5đ
2,5đ

P ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) + ( x − 3) ( ax + b )

 P (1) = −14
 a+b = 7
a = 2
⇔
⇔

 P (2) = −9
2a + b = 9
b = 5

Với giá trị a và b vừa tìm, thử lại P(4) = 13; P(5) = 30 đúng giả thiết
bài toán cho.
Vậy: P( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) + ( x − 3) ( 2 x + 5 )

b) P(17) = 524706; P(25) = 5101690; P(59) = 549860808;
P(157) ≈ 8,659888145×1010 ⇒ P(157) = 86598881446

Trang 13

1,5đ

1đ


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

3

a) a=

−842
292
; b=
81
81

1,5đ

b) 361385

1đ

Đề kiểm tra thứ 2: Sau thực nghiệm
Bài 1:(2,5đ) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4;

P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
Bài 2: (2,5đ) Cho đa thức g ( x) = 8 x3 − 18 x 2 + x + 6 .
a. Tìm các nghiệm của đa thức g ( x) .
b. Tìm các hệ số a, b, c của đa thức bậc ba f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c , biết rằng khi
chia đa thức f ( x) cho đa thức g ( x) thì được đa thức dư là r ( x) = 8 x 2 + 4 x + 5 .
c. Tính chính xác giá trị của f (2008) .
Bài 3: (2,5đ) Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ?
Bài 4: (2,5đ) Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được
thương q2(x) dư r2. Tìm r2 ?
Câu
1

Cách giải Đáp án
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài
bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) =
Q(5) = 0, tức là:
 a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + 1 = 0
16a + 8b + 4c + 2d + e + 4 = 0
1
1
1
1
 1
81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + 9 = 0
 256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 0

1
1
1
1
1

625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = 0

⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc
của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5 bằng 1 nên:
Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x 2. Từ đó tính
Trang 14

Điểm
2,5đ


Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

được: P(6) =
2

3

; P(7) =

; P(8) =

; P(9) =
2,5đ

1
3
2
4
23
33
23
b. a = ; b = ; c =
4
8
4
f
(2008)
=
8119577168.75
c.

a. x1 = − ; x2 = 2; x3 =

- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) =

2,5đ

 d = 10
 a + b + c + d = 12


12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên: 
8a + 4b + 2c + d = 4
 27a + 9b + 3c + d = 1

lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ
gồm 3 phương trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả:
5
25
a = ; b = − ; c = 12; d = 10
2
2
5
2

3
⇒ f ( x) = x −

4

25 2
x + 12 x + 10 ⇒ f (10) =
2

x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức
q1(x), q2(x) và các số dư r1, r2:
- Ta phân tích:

1

0

0

0

0

0

0

0

−

1
2

1

−

1
2

1
4

−

1
8

1
16

−

1
32

1
64

−

−

1
2

1

-1

3
4

−

1
2

5
16

−

3
16

7
64

−

Vậy: r2 = −

1
16

Trang 15

1
128
1
16

0
1
256

2,5đ