Hướng dẫn vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp 8 trường THCS công liêm

MỤC LỤC

TT

Tên mục
I. PHẦN MỞ ĐẦU

Trang
2

1

1. Lí do chọn đề tài

3

2

2. Mục đích nghiên cứu

3

3

3. Đối tượng nghiên cứu

3

4

4. Phương pháp nghiên cứu

3

II. PHẦN NỘI DUNG

4

5

1. Cơ sở lí luận

4

6

2. Thực trạng của vấn đề

4

7

3. Các sáng kiến kinh nghiệm và giải pháp thực hiện

5

8

3.1. Các phương pháp thông thường

5

9

3.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

6

khác
10

3.3. Vận dụng vào các dạng bài tập

7

11

4. Hiệu quả

18

III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

19

12

1. Kết luận

19

13

2. Kiến nghị

19

1


I. PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Mỗi người chúng ta ngay từ khi còn chưa bước chân vào trường Mầm Non
đã được làm quen với Toán qua các hoạt động nhận biết. Bởi Toán học là một
môn khoa học Tự nhiên gắn liền với thực tiễn cuộc sống, được coi là môn học
công cụ, nó vô cùng quan trọng, đóng vai trò then chốt trong lĩnh vực khoa học
Tự nhiên. Học sinh học tốt môn Toán không chỉ giúp các em tính toán giỏi, tư
duy nhanh, phát triển khả năng tìm tòi sáng tạo, suy luận, lập luận lô gic mà là
nền tảng, là cơ sở vững chắc cho các em học tập tốt các môn học khác, đặc biệt
là các môn khoa học Tự nhiên. Vì vậy trong quá trình dạy học môn Toán ở
trường phổ thông, giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính chăm chỉ, cần cù, cẩn
thận, chính xác, phân tích tìm và phát hiện vấn đề, … Bên cạnh đó dạy cho học
sinh nắm vững chắc được các phương pháp, cách tính, các quy luật tính đối với
từng dạng toán là một điều hết sức cần thiết với bất cứ đối tượng học sinh nào.
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc học
sinh vận dụng các phương pháp đã học trong lý thuyết vào giải các bài toán thực
tế còn nhiều khó khăn, lúng túng. Nhiều em trước những yêu cầu của bài toán
đặt ra không biết sử dụng phương pháp nào, kiến thức nào đã học để vận dụng
vào giải quyết bài toán một cách triệt để; làm ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả
học tập và chất lượng giáo dục bộ môn cũng như chất lượng giáo dục chung.

Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc
nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong
việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các
dạng toán khác như: tính nhanh, tính giá trị của biểu thức, rút gọn, tìm x (giải
phương trình), chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm
các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức cho trước, … Vì thế tôi đưa ra một số
kinh nghiệm “Hướng dẫn vận dụng các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử để làm một số dạng bài tập nhằm gây hứng thú học tập cho
học sinh lớp 8 Trường THCS Công Liêm”. Việc làm này không những giúp

2


các em học sinh trung bình, yếu cũng biết giải các bài toán tạo niềm vui, hứng
thú cho các em vươn lên trong học tập mà còn giúp các em học sinh khá, giỏi
tìm ra lời giải hay cho bài toán nhanh nhất và triệt để.
2. Mục đích nghiên cứu
- Chỉ ra các cách hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử vào giải các dạng bài tập.
- Giúp cho các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của
một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi sáng tạo, khám phá
những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ môn
toán.
- Giúp học sinh biết vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử để giải các dạng bài tập như:
+ Tính nhanh.
+ Tính giá trị của biểu thức.
+ Rút gọn.
+ Tìm x (giải phương trình).

+ Chứng minh chia hết.
+ Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
+ Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức cho trước, …
- Đổi mới phương pháp dạy học.
- Nâng cao chất lượng dạy học.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh biết vận dụng các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử vào giải các dạng bài tập.
- Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 8 trường THCS Công Liêm.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp đọc sách và tài liệu.
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề.

3


II. PHẦN NỘI DUNG

1. Cơ sở lí luận
Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một
vị trí quan trọng trong chương trình phổ thông cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi
với các dạng toán như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy
đồng mẫu phân thức, tìm GTLN, GTNN của biểu thức, tìm nghiệm nguyên của
phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức,
tính nhanh, tính giá trị của biểu thức… Do đó việc lựa chọn các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử thích hợp để sử dụng trong từng bài toán cụ thể
một cách linh hoạt, nhanh chóng, chính xác là một việc rất cần thiết đối với mọi

đối tượng học sinh. Vì thế tôi chọn đề tài này để nghiên cứu nhằm giúp các em
học sinh nắm vững chắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và
biết vận dụng linh hoạt vào giải quyết thành thạo các dạng toán trên.
2. Thực trạng của vấn đề
Qua thực tế giảng dạy bộ môn Toán 8 trong những năm trước và năm học
2015-2016 tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán lớp 8A, bồi dưỡng HSG
Toán 8 của trường THCS Công Liêm. Tôi thấy rằng mảng kiến thức phân tích
đa thức thành nhân tử tương đối rộng và khó, nhưng lại có rất nhiều ứng dụng
và lợi ích khi vận dụng nó vào giải các dạng toán khác. Dạy cho các em nắm
vững và hiểu sâu sắc bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm
được các phương pháp thông thường cũng như một số phương pháp khác để
phân tích được đa thức thành nhân tử đối với nhiều em học sinh còn khó khăn.
Thực tế có không ít HS trước yêu cầu của bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử chưa biết phân tích như thế nào, dùng phương pháp nào để phân tích cho hợp
lí và giải quyết được yêu cầu của bài toán nhanh nhất, huống gì việc vận dụng
linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các dạng
toán khác; ngay kể cả với HS khá, giỏi khi gặp các bài toán về phân tích đa
thức thành nhân tử hay các bài toán liên quan các em cũng còn lúng túng trong
việc vận dụng phương pháp nào để tìm ra cách giải phù hợp và nhanh nhất. Điều
đó càng làm tôi trăn trở và luôn đặt ra câu hỏi làm thế nào để trước yêu cầu của
mỗi bài toán HS biết xác định, biết cách vận dụng các kiến thức đã học, biết lựa
chọn đúng phương pháp để giải quyết bài toán một cách tốt nhất. Tôi đã tiến
hành khảo sát chất lượng học sinh trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho
4


kết quả như sau:
Chưa biết khai thác

Lớp Sĩ số SL

8A 36
15

Có đường lối

Biết ứng dụng và giải được

%

SL

%

SL

%

41.6

15

41.6

6

16.7

Từ thực trạng trên tôi mạnh dạn đưa ra một số kinh nghiệm '' Hướng dẫn
vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số
dạng bài tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp 8 Trường THCS

Công Liêm". Với hy vọng sẽ đem lại niềm vui, hứng thú, sự đam mê trong học
tập cho các em, từ đó tạo động lực để các em vươn lên đạt được kết quả cao.
3. Các sáng kiến kinh nghiệm và giải pháp thực hiện
Để tạo tâm lí thoải mái tự tin trong quá trình học tập, không gây áp lực
căng thẳng cho HS thì GV cần hệ thống lại kiến thức từ cơ bản rồi mở rộng
nâng cao; chuẩn bị hệ thống bài tập từ cơ bản, đơn giản đến nâng cao, phức tạp.
- Trước hết xây dựng cho học sinh hiểu và nắm vững chắc khái niệm phân
tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích
của những đa thức.
- Tiếp theo cần củng cố cho học sinh nắm chắc các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử; biết nêu khái quát chung của từng phương pháp.
3.1. Các phương pháp thông thường:
*) Phương pháp đặt nhân tử chung
Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử,
ta cần xác định được nhân tử chung trong A và B là C chẳng hạn, khi đó:
A + B = A1.C + B1.C = C. ( A1 + B1 )
Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng
phương pháp đặt nhân tử chung.
*) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Đối với phương pháp này trước hết yêu cầu học sinh phải ôn và nắm chắc
các hằng đẳng thức đã học; lưu ý học sinh viết các hằng đẳng thức dưới dạng
sau:
A2 ± 2 AB + B 2 = ( A ± B ) 2
A3 ± 3 A2 B + 3 AB 2 ± B 3 = ( A ± B )3
A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )
A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )
A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )

5

Việc sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường đi
theo hai hướng:
+ Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức
+ Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện
hằng đẳng thức mới
*) Phương pháp nhóm các hạng tử
Chúng ta đã biết, để phân tích đa thức thành nhân tử công việc quan trọng
nhất là tạo ra được nhân tử chung. Do đó, trong nhiều trường hợp không thể áp
dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay hằng đẳng thức thì việc
nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung lại rất cần thiết. Tuy nhiên đối với
phương pháp này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp và chú
ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ “-“
Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau:
Cho đa thức A + B + C + D (A, B, C, D là các biểu thức), nếu A, B, C, D
không có nhân tử chung nào thì hãy thử nhóm (A + B) và (C + D) hoặc các phép
giao hoán khác. Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo
thành hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức.
*) Phương pháp phối hợp các phương pháp thông thường
3.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác:
*) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Phương pháp này áp dụng cho những đa thức chưa phân tích được ngay
thành nhân tử. Ta tách một hạng tử trong đa thức thành nhiều hạng tử để vận
dụng các phương pháp đã biết.
Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có 2 cách tách thông dụng nhất là:
+ Ta tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử dựa vào cách suy luận ngược lại
sau: (mx + n) (px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq
Như vậy đa thức a x2 + bx + c hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b 1 +
b2 sao cho b1.b2 = a.c
+ Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử c = c1 + c2

Tuy nhiên có nhiều đa thức khi phân tích ta không áp dụng được hai cách
nêu trên, vì thế phương pháp tách hạng tử được mở rộng cho trường hợp cần
tách nhiều
hạng tử trong đa thức.
*) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng một
hằng đẳng thức, cũng không thể nhóm các hạng tử. Đối với những đa thức dạng
6


này ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện
những nhóm hạng tử sao cho có thể dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử
chung.
*) Phương pháp đổi biến
Nhờ phương pháp này ta có thể đưa đa thức rất phức tạp trở thành một đa
thức rất đơn giản với biến khác, nhờ đó phân tích đa thức thành nhân tử được dễ
dàng hơn rất nhiều.
*) Phương pháp đồng nhất hệ số (hay phương pháp hệ số bất định)
Cơ sở phương pháp này là hai đa thức (viết dưới dạng thu gọn) là đồng
nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó
phải bằng nhau.
*) Phương pháp xét giá trị riêng
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến
của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại
3.3. Vận dụng vào các dạng bài tập
Dạng 1: Tính nhanh
Ví dụ 1: Tính nhanh: 732 − 27 2
Khi làm nhiều HS đã tính 732 và 272 rồi trừ kết quả. Cách làm đó vừa mất
thời gian, có thể tính sai.
GV hướng dẫn HS vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

bằng cách dùng hằng đẳng thức ta có:
732 − 27 2 = ( 73 − 27 ) ( 73 + 27 ) = 46.100 = 4600

Ví dụ 2: Tính nhanh: 37,5. 6,5 - 7,5. 3,4 - 6,6. 7,5 + 3,5. 37,5
Nhiều HS đi tính các tích 37,5. 6,5 ; 7,5. 3,4 ; 6,6. 7,5 và 3,5. 37,5 rồi sau
đó trừ, cộng kết quả. Làm như vậy rất mất thời gian vào việc tính toán, có thể
còn tính sai.
GV có thể gợi ý: Biểu thức có gì đặc biệt không? Có thể vận dụng phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tính nhanh hơn được không? Sử dụng
phương pháp nào?
HS sẽ trả lời được các câu hỏi, từ đó HS dễ dàng làm được như sau:
37,5. 6,5 - 7,5. 3,4 - 6,6. 7,5 + 3,5. 37,5
= (37,5. 6,5 + 3,5. 37,5) – (7,5. 3,4 + 6,6. 7,5) (nhóm các hạng tử)
= 37,5. (6,5 + 3,5) - 7,5. (3,4 + 6,6)
(đặt nhân tử chung)
= 10. (37,5 - 7,5)
(đặt nhân tử chung)
= 10 . 30 = 300

7


Ví dụ 3: Tính nhanh: 452 + 402 − 152 + 80.45
Đa số HS đi tính 452 ; 402 ;152 và 80.45 rồi cộng trừ kết quả
Ở đây GV cần hướng dẫn HS: viết 80.45 dưới dạng khác? Nếu HS chưa
phát hiện ra, GV gợi ý thêm 80 có liên quan với 40 như thế nào? Có thể dùng
hằng đẳng thức để tính nhanh biểu thức này được không? Từ đó HS dễ dàng
biến đổi được:
452 + 402 − 152 + 80.45 = ( 452 + 2.40.45 + 40 2 ) − 152

= ( 45 + 40 ) − 152 = ( 85 − 15 ) ( 85 + 15 ) = 70.100 = 7000
2

Ví dụ 4: Tính nhanh: 15. 91,5+ 150. 0,85
Tương tự các ví dụ trên HS cũng đi tính 15. 91,5 và 150. 0,85 rồi cộng kết
quả. làm như vậy mất thời gian tính toán.
GV hướng dẫn HS nhận xét 91,5 thêm bao nhiêu để đủ 100, để có 8,5 cần
nhân 0,85 với bao nhiêu? 15 và 150 liên quan như thế nào? Từ đó HS sẽ biến
đổi được : 15. 91,5+ 150. 0,85 = 15. 91,5+ 15. 8,5
= 15. (91,5+ 8,5)
= 1500
Tóm lại: Với dạng toán tính nhanh, hạn chế của HS là đa số các em tính
trực tiếp các phép tính, làm mất thời gian có thể dẫn đến kết quả sai, không
đảm bảo yêu cầu tính nhanh. Để làm dạng toán này cần nhận xét tìm ra mối
liên quan giữa các hạng tử trong biểu thức;từ đó lựa chọn linh hoạt các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử thích hợp để đưa biểu thức đã cho về
dạng tích của các nhân tử khi đó việc thực hiện phép tính chỉ còn là tính nhẩm
với các số tròn chục tròn trăm cho ta kết quả của bài toán một cách nhanh nhất.
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức:
x (x - 1) – y (1 – x) tại x = 2001 và y = 1999
Nhiều HS đã thay ngay các giá trị của x và y vào biểu thức rồi thực hiện
phép tính. Hoặc có HS đi thu gọn biểu thức bằng cách nhân đơn thức với đa
thức, cộng trừ các hạng tử đồng dạng rồi thay các giá trị của x và y vào biểu
thức để thực hiện phép tính. Làm như vậy gây mất thời gian, việc tính toán gặp
khó khăn.
GV hướng dẫn HS: Biểu thức có gì đặc biệt không? Có thể làm xuất hiện
nhân tử chung ở các hạng tử được không? Làm bằng cách nào? Sử dụng phương
pháp gì để đưa biểu thức đã cho về dạng thu gọn đơn giản? Từ đó HS có thể
trình bày như sau:

8


x (x - 1) – y (1 – x) = x (x - 1) + y (x – 1) = (x – 1) . (x + y)
Thay x = 2001 và y = 1999 vào biểu thức ta được:
(2001 – 1) . (2001 + 1999) = 2000 . 4000 = 8 000 000
Ví dụ 6:

Tính giá trị của biểu thức:

x2 +

1
1
x+
2
16

tại x = 49,75

Ở đây không thay trực tiếp giá trị của x vào mà trước hết phải thu gọn biểu
2

1
1
1 1
=  ÷ và = 2. , sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành
thức. Lưu ý
2
4

16  4 

nhân tử dùng hằng đẳng thức viết biểu thức đã cho dưới dạng:
2

2

1
1
1 1 
1
2
x + x + = x 2 + 2.x. +  ÷ =  x + ÷ = ( x + 0, 25 )
2
16
4 4 
4
2

Đến đây thay x = 49,75 vào biểu thức ta được: ( 49, 75 + 0, 25 ) = 502 = 2500
2

Ví dụ 7: Tính giá trị của biểu thức: A= x 2 − y 2 − 2 y − 1 tại x = 93 và y = 6
Ở đây HS đễ nhận rằng biểu thức này đã thu gọn nên chỉ việc thay các giá
trị của x và y vào thực hiện phép tính, đó cũng chính là hạn chế của HS. Nếu
quan sát kĩ ta dễ thấy − y 2 − 2 y − 1 = − ( y 2 + 2 y + 1) = − ( y + 1) . Từ đó HS biến đổi
2

được
A = x 2 − ( y 2 + 2 y + 1) = x 2 − ( y + 1) = ( x − y − 1) ( x + y + 1)

2

Thay x= 93 và y = 6 vào biểu thức ta được:
A = (93–6-1)(93+6+1)= 8600
Ví dụ 8:
Cho x và y là hai số khác nhau thỏa mãn x 2 + y = y 2 + x Tính giá trị
của biểu thức sau:

A=

x 2 + y 2 + xy
xy − 1

Khi gặp bài toán này HS rất lúng túng trong việc tìm ra lời giải. GV gợi ý
x 2 + 2 xy + y 2 − xy ( x + y ) − xy
A=
=
xy − 1
xy − 1
2

cho HS có thể viết:

Cần phân tích giả thiết x 2 + y = y 2 + x làm xuất hiện giá trị của (x + y). Ta có
x 2 + y = y 2 + x ⇒ x 2 − y 2 + y − x = 0 ⇒ ( x − y ) ( x + y − 1) = 0

Vì x ≠ y nên x − y ≠ 0 suy ra x + y – 1 = 0 hay x + y = 1. Khi đó:
x 2 + 2 xy + y 2 − xy ( x + y ) − xy 1 − xy
A=
=

=
= −1 (vì x + y =1 ⇒ xy ≠ 1)
xy − 1
xy − 1
xy − 1
2

3x2 y − 1
Ví dụ 9: Cho x − 2 xy + 2 y − 2 x + 6 y + 5 = 0 . Tính Q =
4 xy
2

2

9


Khi gặp bài toán này nhiều HS bế tắc, không biết cách làm. GV cần định
hướng cho HS phân tích giả thiết của bài toán tìm ra x; y hoặc mối quan hệ giữa
x; y nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử, rồi đánh giá.
x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 2 x + 6 y + 5 = 0

Ta có:

⇔ x 2 − 2 x( y + 1) + ( y 2 + 2 y + 1) + ( y 2 + 4 y + 4) = 0
⇔ x 2 − 2 x( y + 1) + ( y + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 0
⇔ ( x − y − 1) + ( y + 2 ) = 0
2

2

x − y − 1 = 0
 x = −1
⇔
⇔
y + 2 = 0
 y = −2

3 ( −1) ( −2 ) − 1 −7
=
Thay x = -1 và y = -2 vào biểu thức Q ta được: Q =
4 ( −1) ( −2 )
8
2

Nhận xét: Với dạng toán tính giá trị của biểu thức HS hay mắc phải sai
lầm là một số em thì thay ngay các giá trị của biến vào biểu thức mà không thu
gọn rồi thực hiện phép tính, một số em thấy biểu thức không có các hạng tử
đồng dạng nên không thu gọn và thay giá trị vào thực hiện phép tính dẫn đến
việc tính toán trở nên phức tạp, dễ dẫn đến kết quả sai. Vì thế GV cần khắc sâu
cho HS nên biến đổi biểu thức đã cho thành nhân tử bằng cách thích hợp sao
cho khi thay các giá trị của biến vào việc thực hiện phép tính là tính nhẩm
Dạng 3: Rút gọn
3
3
2
2
Cho a + b + c = 0. Rút gọn biểu thức: M = a + b + c ( a + b ) − abc

Ví dụ 10:

Với các phương pháp biến đổi thông thường để rút gọn biểu thức M không
phải đơn giản. Bài toán cho a + b + c = 0 nên ta phân tích M theo a + b + c = 0
bằng cách vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
M = a 3 + b3 + c ( a 2 + b2 ) − abc = a 3 + b3 + a 2c + b 2c − abc

= a 2 ( a + c ) + b 2 ( b + c ) − abc
= a 2 ( −b ) + b 2 ( −a ) − abc
= −ab ( a + b + c ) = 0

Ví dụ 11:

(vì a + b + c = 0 nên a + c = -b; b + c = -a)
(Vì a + b + c = 0)

Rút gọn phân thức

( a + b)

2

− c2
a+b+c

Để rút gọn phân thức thì tử và mẫu phải có nhân tử chung, vì thế ta cần
phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

( a + b)

− c2 ( a + b − c ) ( a + b + c )

=
= a+b−c
a+b+c
a+b+c
2

10


Ví dụ 12:

Rút gọn phân thức

a 2 + b 2 − c 2 + 2ab
a 2 − b 2 + c 2 + 2ac

Tương tự như ví dụ 10 trước hết các em phân tích tử, mẫu thành nhân tử,
rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
2
( a + b − c) ( a + b + c) = a + b − c
a 2 + b 2 − c 2 + 2ab a 2 + 2ab + b 2 − c 2 ( a + b ) − c
=
=
=
2
2
2
2
2
2

2
a − b + c + 2ac a + 2ac + c − b
( a + c ) − b2 ( a + c − b ) ( a + c + b ) a − b + c
2

Ví dụ 13:

Rút gọn phân thức

x 2 − xy − x + y
x 2 + xy − x − y

Nhờ việc phân tích tử và mẫu thành nhân tử ta có thể rút gọn được dễ dàng:
x 2 − xy − x + y x ( x − y ) − ( x − y ) ( x − y ) ( x − 1) x − y
=
=
=
x 2 + xy − x − y x ( x + y ) − ( x + y ) ( x + y ) ( x − 1) x + y

Ví dụ 14:

Rút gọn phân thức

y 2 − x2
x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3

Khi giải bài này đầu tiên ta cũng cho HS phân tích tử và mẫu thành nhân tử
để xuất hiện nhu cầu đổi dấu, hoặc có thể cho HS suy luận bằng cách nhận xét
thứ tự của x và y ở tử và mẫu của phân thức đã cho để suy đoán rằng cần đổi
dấu. Có thể đổi dấu sau phân tích thành nhân tử:

( y − x) ( y + x) = − ( x − y) ( x + y ) = −x − y
y2 − x2
=
3
3
2
3
2
2
3
x − 3 x y + 3 xy − y
( x − y)
( x − y)
( x − y)
Hoặc có thể đổi dấu trước khi phân tích thành nhân tử:
− ( x2 − y 2 ) − ( x − y ) ( x + y )
−x − y
y 2 − x2
=
=
=
3
2
3
3
2
2
3
x − 3 x y + 3 xy − y

( x − y)
( x − y)
( x − y)

Ví dụ 15:

Rút gọn phân thức

x7 + x6 + x5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1
x2 −1

Mới nhìn HS thấy việc rút gọn không đơn giản và rất lúng túng chưa tìm
được cách làm, nhưng nếu GV gợi ý phân tích mẫu thành nhân tử, sau đó có thể
phân tích tử thành nhân tử có xuất hiện nhân tử ở mẫu được không? Thực hiện
bằng cách nào? HS sẽ nêu được câu trả lời là nhóm hai hạng tử liên tiếp với
nhau. Khi đó HS sẽ thực hiện được như sau:
7
6
5
4
3
2
x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ( x + x ) + ( x + x ) + ( x + x ) + ( x + 1)
=
( x − 1)( x + 1)
x2 −1

=

x 6 ( x + 1) + x 4 ( x + 1) + x 2 ( x + 1) + ( x + 1)

( x − 1)( x + 1)

11


=

( x + 1) ( x 6 + x 4 + x 2 + 1)
( x − 1)( x + 1)

=

x6 + x4 + x 2 + 1
x −1

Tóm lại: Để rút gọn phân thức (đối với các phân thức tử và mẫu chưa có
nhân tử chung) thì việc đầu tiên là phân tích đa thức thành nhân tử để xuất hiện
nhân tử chung. Tùy vào từng bài toán cụ thể mà lựa chọn phương pháp nào cho
phù hợp.
Dạng 4: Tìm x (giải phương trình)
Ví dụ 16:

1
4

Tìm x, biết: a) x 2 − x + = 0

b) x 3 − 13x = 0

c ) x ( x − 2) + x − 2 = 0

Gặp bài toán này HS chưa có kiến thức giải phương trình bậc hai, bậc ba
nên các em rất lúng túng. Vì thế GV cần gợi ý cho HS biến đổi đưa về phương
trình tích.
+ Vậy muốn đưa được về phương trình tích ta làm thế nào?
+ HS sẽ nêu được sử dụng các PP phân tích đa thức thành nhân tử
2

1
1 1
1
1
1

a) x − x + = 0 ⇔ x 2 − 2 x + = 0 ⇔  x − ÷ = 0 ⇔ x − = 0 ⇔ x =
4
2 4
2
2
2

2

x = 0

b) x 3 − 13x = 0 ⇔ x ( x 2 − 13) = 0 ⇔ x x − 13 x + 13 = 0 ⇔  x = 13
 x = − 13


(

)(

)

x − 2 = 0
x = 2
c ) x ( x − 2) + x − 2 = 0 ⇔ ( x − 2) ( x + 1) = 0 ⇔ 
⇔
x +1 = 0
 x = −1

Ví dụ 17: Tìm x, biết: a)2 x 2 + 5 x − 3 = 0 b)8 x3 + 12 x 2 + 6 x + 1 = 0
Tương tự như ví dụ 15, HS cũng gặp khó khăn khi làm bài tập này nếu
không biết cách phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình về dạng
phương trình tích. Vì vậy GV cần hướng dẫn HS nhận xét biểu thức ở vế trái
của phương trình để từ đó chọn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
cho phù hợp.
Trường hợp a) tách hạng tử bậc nhất 5x
a )2 x 2 + 5 x − 3 = 0 ⇔ ( 2 x 2 + 6 x ) − ( x + 3 ) = 0 ⇔ 2 x ( x + 3 ) − ( x + 3) = 0
 x = −3
x + 3 = 0
⇔ ( x + 3) ( 2 x − 1) = 0 ⇔ 
⇔
x = 1
2 x − 1 = 0

2
b)8 x3 + 12 x 2 + 6 x + 1 = 0 ⇔ ( 2 x ) + 3. ( 2 x ) .1 + 3.2 x.12 +13 = 0
3

⇔ ( 2 x + 1) = 0 ⇔ 2 x + 1 = 0 ⇔ x =
3

2

−1
2

12


a )2 x3 + 6 x 2 = x 2 + 3 x
Ví dụ 18: Giải phương trình: a) x3 + 4 x = 5
Đây là các phương trình bậc ba, nên việc giải các phương trình này đối với
HS không dễ dàng chút nào. Nhiều HS đi thực hiện các phép tính thu gọn các
hạng tử đồng dạng để tìm x, làm như thế có thể HS sẽ bế tắc trong quá trình biến
đổi không đi đến kết quả.
Ở đây GV cần gợi ý cho HS có thể biến đổi các phương trình này thành các
dạng phương trình quen thuộc chẳng hạn phương trình tích rồi giải phương trình
tích. Vậy biến đổi bằng cách nào? Từ đó HS sẽ nêu được dùng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử đê biến đổi như sau:
a) x3 + 4 x = 5 ⇔ x3 − x + 5x − 5 = 0
⇔ ( x −1) ( x 2 + x + 5 ) = 0

2

1  19 
⇔ ( x −1)  x + ÷ +  = 0 ( *)
2

4 


Vì

2

2

1
1
19


> 0∀x
 x + ÷ ≥ 0∀x ⇒ x + ÷ +
2
2
4



Khi đó (*) ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 1
a )2 x3 + 6 x 2 = x 2 + 3 x ⇔ 2 x3 + 6 x 2 − x 2 − 3x = 0 ⇔ x ( x + 3 ) ( 2 x − 1) = 0

x = 0
x = 0

⇔  x + 3 = 0 ⇔  x = − 3

 2 x − 1 = 0 
1
x =

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 hoặc x = -3 hoặc x =

1
2

Tóm lại: Với dạng toán tìm x (hay giải phương trình), khi gặp các bài tập
đơn giản hay có dạng quen thuộc đã có cách giải chung thì các em có thể làm
được. Song khi gặp các bài tập phức tạp và không có dạng quen thuộc thì đa số
các em không biết cách làm hoặc làm không đến được kết quả. Điều quan trọng
là GV phải hướng dẫn cho các em biến đổi về các dạng quen thuộc, một trong
các cách biến đổi quan trọng đó là hướng dẫn các em dùng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình đã cho về dạng phương
trình tích rồi giải phương trình tích. Hướng dẫn HS chuyển hết các hạng tử
sang một vế, rồi quan sát nhận xét các đặc điểm của biểu thức ở vế trái, từ đó
lựa chọn linh hoạt phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm
các hạng tử, tách, thêm bớt,... thì tìm ra kết quả dễ dàng và tiện lợi.
Dạng 5: Chứng minh chia hết

13


Ví dụ 19: Chứng minh rằng 55n +1 − 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)
- Khi gặp bài tập này nhiều HS không biết cách giải, các em rất lúng túng,
vì thế GV cần gợi ý cho HS:

n +1
n
Để ( 55 − 55 ) M54 cần phân tích 55n +1 − 55n ra thừa số sao cho xuất hiện thừa

số chia hết cho 54, việc làm đó chính là đi phân tích 55n +1 − 55n thành nhân tử, từ
đó HS biết được hướng làm và có thể giải được như sau:
55n +1 − 55n = 55n ( 55 − 1) = 55n.54M54 (với n là số tự nhiên)

Qua đây HS thấy được nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử mà các em
có thể giải bài tập trên một cách dễ dàng tạo niềm vui và sự thích thú học tập
cho các em.
Ví dụ 20:

Chứng minh rằng ( 5n + 2 ) − 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
2

Tương tự như ví dụ trên GV hướng dẫn HS phân tích ( 5n + 2 ) − 4 thành
2

nhân tử (dùng hằng đẳng thức) để làm xuất hiện thừa số chia hết cho 5:

( 5n + 2 )

2

− 4 = ( 5n + 2 − 2 ) ( 5n + 2 + 2 ) = 5n ( 5n + 4 ) M5

( ∀n ∈ Z )

Ví dụ 21: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:
a) n3 - 13n chia hết cho 6
b) n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120
Cũng như hai ví dụ trên GV hướng dẫn HS phân tích như sau:
a) Ta có: n3 - 13n = (n3 - n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n
Vì n – 1; n; n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết
cho 2 và một số chia hết cho 3 nên tích n (n - 1) (n + 1) chia hết cho 2.3 = 6 (vì
2 và 3 nguyên tố cùng nhau), và 12n chia hết cho 6.
Do đó n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho 6 ( ∀n ∈ Z )
Vậy n3 - 13n chia hết cho 6 ∀n ∈ Z
b) Ta có: n5 - 5n3 + 4n = n5 - n3 - 4n3 + 4n
= n3(n2 - 1) - 4n(n2 - 1) = n(n2 - 1)(n2 - 4)
= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp (vì n ∈ Z )
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 (trong đó có một
số là bội của 4, một bội của 3 và một bội của 5).
Do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.3.5= 120 (vì 8, 5, 3 đôi
một nguyên tố cùng nhau)
Qua các ví dụ trên để giúp HS làm tốt dạng toán chia hết GV cần hướng
dẫn các em hiểu theo định hướng sau:
+ Số nguyên a chia hết cho số nguyên b ≠ 0 nếu tồn tại q ∈ Z sao cho a =
b.q

14


+ Phân tích biểu thức đã cho ra thừa số để xuất hiện số chia hoặc thừa số
chia hết cho số chia, việc làm này là phân tích đa thức thành nhân tử khi đó
việc chứng minh chia hết sẽ trở nên đơn giản dễ dàng.
Vì vậy GV cần hướng dẫn các em phân tích biểu thức đã cho thành nhân
tử, tùy vào từng bài cụ thể mà dùng hằng đẳng thức hay đặt nhân tử chung,

nhóm các hạng tử cho phù hợp.Qua đó HS thấy được lợi ích của việc áp dụng
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán thật là thú vị.
Trên đây các em HS đã được biết đến lợi ích của việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng toán. Tuy nhiên với
HS khá, giỏi có thể cho các em khám phá tìm hiểu thêm một vài dạng sau đây:
Dạng 6: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:
Ví dụ 22: Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì: a=b=c hoặc a+b+c =0
Giải:
Từ a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0.
Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 - bc)
= (b + c)[(b + c)2 - 3bc] = (b + c)3 - 3bc(b + c)
Lại có: a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + (b3 + c3) - 3abc
= a3 + (b + c)3 - 3bc(b + c) - 3abc
= (a + b +c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
Do đó nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì a + b + c = 0 hoặc :
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0 hay 2 (a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca) = 0
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a) 2 = 0 suy ra a = b = c
Ở ví dụ trên bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử để đưa đẳng thức về
dạng tích bằng 0 sau đó xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức ta có
được kết quả cần tìm.
3
( x + y + z ) − x3 − y 3 − z 3 = 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )
Ví dụ 23: Chứng minh rằng:
Khi gặp bài tập này nhiều HS đã đi thực hiện khai triển hằng đẳng thức rồi
thực hiện phép tính thông thường có thể không đưa đến kết quả hoặc HS sẽ bế
tắc trong quá trình biến đổi. Vì thế GV cần định hướng cho HS biến đổi vế trái
bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về vế phải:

( x + y + z)

3

− x 3 − y 3 − z 3 = ( x + y ) + z  − x 3 − y 3 − z 3
3

= x 3 + y 3 + 3 xy ( x + y ) + z 3 + 3z ( x + y ) ( x + y + z ) − x 3 − y 3 − z 3
= 3 ( x + y ) ( xy + xz + yz + z 2 )
= 3( x + y ) ( y + z ) ( z + x )

Vậy ( x + y + z ) − x3 − y 3 − z 3 = 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )
3

Ví dụ 24:

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
15


2a 2b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 − a 4 − b 4 − c 4 > 0

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a +b +c > 0; a + b - c > 0;
a +c - b > 0; c + b - a > 0; ... Nên trong bài toán này ta cần hướng dẫn HS tìm
cách phân tích biểu thức ở vế trái thành nhân tử để sử dụng giả thiết cho.
Ta có:
2a 2b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2c 2 − a 4 − b 4 − c 4

= 4a 2 c 2 − ( a 4 + b 4 + c 4 − 2a 2b 2 + 2a 2 c 2 − 2b 2 c 2 )
= 4a 2 c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 )

2

2
2
= b 2 − ( a − c )  ( a + c ) − b 2 



= ( b − a + c) ( b + a − c) ( a + c − b) ( a + c + b)

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên b – a+c > 0; b+a – c > 0;
a + c – b > 0; a + c + b > 0.
Do đó ( b − a + c ) ( b + a − c ) ( a + c − b ) ( a + c + b ) > 0
Vậy 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2a 2c 2 − a 4 − b 4 − c 4 > 0
Nhận xét : Trong ví dụ trên vấn đề quan trọng nhất chính là phân tích được đa
thức ở vế trái thành nhân tử sau đó sử dụng các kết quả bất đẳng thức trong
tam giác để kết luận.
Dạng 7: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức cho trước
Ví dụ 25: Tìm các cặp số x và y sao cho x – y = xy – 1
Khi gặp dạng toán này nhiều HS đã dùng cách thử từng cặp số xem cặp số
nào thỏa mãn. Làm như vậy không có cơ sở khoa học, không tìm được triệt để
các cặp số, mất thời gian. Cần định hướng cho HS phân tích như sau:
Ta có: x – y = xy – 1 ⇔ x – y – xy + 1 = 0 ⇔ (1 – y) (x + 1) = 0
1 − y = 0
y =1
⇔
⇔
x +1 = 0
 x = −1

Vậy các cặp số cần tìm là: x = -1; y bất kì , hoặc y =1; x bất kì

Ví dụ 26: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:
a) x + y = xy.
b) xy - x + 2(y - 1) = 13
Hướng dẫn HS làm tương tự ví dụ trên
a) Ta có : x + y = xy ⇔ xy - x - y = 0 ⇔ (y - 1)(x - 1) = 1
Do x, y ∈ Z; mà 1 = 1.1 = (-1).(-1) nên ta có:

 y − 1 = 1
 y = 2


 x − 1 = 1 ⇔  x = 2
  y − 1 = −1   y = 0


  x − 1 = −1
  x = 0

16


Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là (0 ; 0) và (2 ; 2)
b) Ta có: xy - x + 2(y - 1) = 13 ⇔ (y - 1)(x + 2) = 13
Do x, y ∈ Z; vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = (-1).(-13) = (-13).(-1) nên ta lần
x + 2 = 1
 x + 2 = 13
 x + 2 = −13
 x + 2 = −1
hoặc 
hoặc 

hoặc 
 y − 1 = 13
 y −1 = 1
 y − 1 = −1
 y − 1 = −13
 x = −1
 x = 11
 x = −15
 x = −3
Hay 
hoặc 
hoặc 
hoặc 
 y = 14
y = 2
y = 0
 y = −12

lượt có: 

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là (11; 2) ; (-1; 14); (-15; 0) ; (-3; -12)
Ví dụ 27: Tìm các nghiệm tự nhiên ( x; y ) của phương trình:

(x

2

+ 4 y 2 + 28 ) = 17( x 4 + y 4 + 14 y 2 + 49)
2

Đây là bài toán khó đối với HS; nhưng nếu biết sử dụng việc phân tích đa
thức thành nhân tử vào để phân tích bài toán trở nên đơn giản. Vì thế GV nên
định hướng cho HS chuyển các hạng tử sang một vế rồi phân tích thành nhân tử;
sau đó dựa vào các điều kiện của bài toán suy luận tìm ra kết quả.
Ta có:

( x + 4 y + 28) = 17( x + y + 14 y + 49)
⇔ ( x + 4( y + 7) ) = 17  x + ( y + 7) 
2

2

2

2

2

4

2

4

4

2

2

2

⇔ 16 x 4 − 8 x 2 ( y 2 + 7) + ( y 2 + 7) 2 = 0
⇔ (4 x 2 − y 2 − 7) 2 = 0 ⇔ (4 x 2 − y 2 − 7) = 0
⇔ ( 2 x + y ) ( 2 x − y ) = 7 (*)
Vì x; y là các số tự nhiên nên 2 x + y > 0 , 2 x + y > 2 x − y
2 x + y = 7
x = 2
⇔
Do đó, từ (*) suy ra: 
(thỏa mãn)
2 x − y = 1
y = 3
Vậy nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình đã cho là: (2;3)
Với dạng toán này GV nên hướng dẫn HS làm như sau:
+ Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, vế còn lại là
một số nguyên n.
+ Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách
+ Xét tất cả các trường hợp xảy ra từ đó tìm được các cặp số nguyên (x; y)
Như vậy kĩ năng chính trong việc giải các bài toán dạng trên chính là phân
tích biểu thức đã cho thành nhân tử.
4. Hiệu quả

17


Trải qua thực tế giảng dạy và vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi thấy
có hiệu quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán của học sinh. Các em học tập
hứng thú hơn, tự giác hơn, tích cực phát biểu ý kiến xây dựng bài nhiều hơn, đặc
biệt là khả năng phân tích và dự đoán tốt hơn nhiều so với trước kia. Rất nhiều

học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự
gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt.
Đối với học sinh đại trà:
+ Các em đã nắm chắc được các PP phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Biết phân dạng các bài toán ứng dụng các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử để giải.
+ Chủ động lựa chọn được cách giải và biết trình bày bài làm.
Đối với học sinh khá, giỏi các em đã linh hoạt vận dụng thành thạo phương
pháp hợp lí nhất cho từng bài toán cụ thể. Giải quyết bài toán nhanh gọn chính
xác, có những lời giải hay.
Kết quả cụ thể sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm trên:
Chưa biết khai thác
Lớp

Có đường lối

Sĩ số

Biết ứng dụng và
giải được
SL
%
22
61.1

SL
%
SL
%
8A 36

4
11,1
10
27.8
Kết quả thi HSG cấp huyện năm học 2015-2016
Có 3 HS tham gia thi HSG môn Toán 8 cấp huyện, kết quả đạt: 3 giải ba

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Muốn đạt được hiệu quả cao trong công tác dạy và học, bản thân mỗi người
Thầy cần phải có tinh thần trách nhiệm cao, gần gũi, sát sao với học sinh, phải
có sự đầu tư về thời gian, tự học tự nghiên cứu để nâng cao trình độ chuyên môn
nghiệp vụ của mình. Luôn phải có sự cải tiến trong phương pháp giảng dạy, tích

18


cực sử dụng công nghệ thông tin trong quá trình dạy học. Đặc biệt là luôn phải
tạo ra một giờ học thoải mái về tâm lí cho các em. Tìm hiểu và phát hiện những
điểm yếu, những vướng mắc, tồn tại của học sinh, từ đó có kế hoạch, biện pháp
giúp học sinh tiến bộ. Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói
riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của mỗi đối tượng học sinh để từ đó đưa
ra những bài tập phù hợp giúp học sinh chủ động làm được các bài tập đó, người
thầy phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài tập hay để hướng
dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải
khác nhau cũng như cách giải hay, rèn luyện tính tự giác trong học toán, có kĩ
năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, gây hứng thú học tập cho học sinh,
tạo nên lòng say mê yêu thích học toán.
Trong bài viết này tôi đưa ra các kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập.

Hy vọng đó là tài liệu hữu ích để các bạn đồng nghiệp tham khảo trong quá trình
giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên khó tránh khỏi những
hạn chế và thiếu sót, rất mong tổ chuyên môn và đồng nghiệp góp ý chân thành
để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ trong quá trình giảng dạy
và nâng cao chất lượng.
Nông Cống, ngày 20 tháng 3 năm 2017

XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN

Phạm Hồng Bằng

19