bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

CHỦ ĐỀ
3.

NGUYÊN HÀM -–TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG

Bài 01
NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa
Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng K . Hàm số F ( x ) được gọi là ngun hàm
của hàm số f ( x ) nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .
Nhận xét. Nếu F ( x ) là một ngun hàm của f ( x ) thì F ( x ) + C , (C ∈ ℝ ) cũng là
ngun hàm của f ( x ) .

f ( x ) dx = F ( x ) + C .

∫

Ký hiệu:

2. Tính chất

(∫

f ( x ) dx

)

/

= f (x ) .

∫ a. f ( x ) dx = a.∫

f ( x ) dx (a ∈ ℝ, a ≠ 0) .

∫  f ( x ) ± g ( x )dx = ∫

f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .

3. Bảng ngun hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng ngun hàm

∫ kdx = kx + C ,
x α +1
+ C (α ≠ −1)
α +1

∫

x α dx =

∫

1
dx = ln x + C
x

∫e

x

dx = e x + C

∫a

x

dx =

ax
+C
ln a

k là hằng số
α +1

1 (ax + b )
a
α +1

α

∫ (ax + b ) dx = .
1

+C

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C

∫e

ax +b

∫a

dx =

mx + n

1 ax +b
e
+C
a

dx =

a mx +n
+C
m. ln a

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos (ax + b ) dx = a sin (ax + b ) + C

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C

1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

1

1

dx = tan x + C

∫ cos

dx = − cot x + C

∫ sin

2

2

1
1
dx = tan (ax + b ) + C
a
(ax + b )

1
1
dx = − cot (ax + b ) + C
a
(ax + b )


CÂU HỎI & B(I TẬP TRẮC NGHIỆM 12
NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH

Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 12 FILE WORD
Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189
/>Khi mua có sẵn file word đề riêng;
file word đáp án riêng thuận tiện cho việc dạy

Câu 1. Hàm số f ( x ) có nguyên hàm trên K nếu:
A. f ( x ) xác định trên K .

B. f ( x ) có giá trị lớn nhất trên K .

C. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất trên K .

D. f ( x ) liên tục trên K .

Lời giải. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K .
Chọn D.
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm bất kỳ của f ( x ) trên (a; b ) thì

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C với C là hằng số.

B. Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b ) đều có nguyên hàm trên khoảng (a; b ) .
C. F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên (a; b ) ⇔ f / ( x ) = F ( x ), ∀x ∈ (a; b ) .
D.

(∫

f ( x ) dx

)

/

= f (x ) .

Lời giải. Chọn C. Sửa lại cho đúng là:
'' F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên (a; b ) ⇔ F / ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ (a; b ) ''.
Câu 3. Xét hai khẳng định sau:
1) Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] đều có đạo hàm trên đoạn đó.
2) Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:

A. Chỉ có 1) đúng. `B. Chỉ có 2) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Lời giải. Hàm số có đạo hàm tại x 0 thì liên tục tại x 0 . Ngược lại hàm số liên tục tại
x 0 thì chưa chắc đã có đạo hàm tại x 0 . Chẳng hạn xét hàm số f ( x ) = x tại điểm
x = 0 . Chọn B.

Câu 4. Trong các khẳng định sau nói về nguyên hàm của một hàm số f ( x ) xác định
trên khoảng D , khẳng định nào là sai?
1) F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) trên D nếu và chỉ nếu F ' ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ D.
2) Nếu f ( x ) liên tục trên D thì f ( x ) có nguyên hàm trên D .
3) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Khẳng định 1) sai.
B. Khẳng định 2) sai.
C. Khẳng định 3) sai.
D. Không có khẳng định nào sai.
Lời giải. Chọn D.


Câu 5. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng (a; b ) . Giả sử

G ( x ) cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên khoảng (a; b ) . Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. F ( x ) = G ( x ) trên khoảng (a; b ) .
B. G ( x ) = F ( x ) − C trên khoảng (a; b ) , với C là hằng số.
C. F ( x ) = G ( x ) + C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định F ( x ) và G ( x ) ,

C là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
Lời giải. Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một
hằng số. Do đó B đúng. Chọn B.
Câu 6. Xét hai khẳng định sau:

1) ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = F ( x ) + G ( x ) + C , trong đó F ( x ) và

G ( x ) tương ứng là nguyên hàm của f ( x ), g ( x ) .
2) Mỗi nguyên hàm a. f ( x ) (a ≠ 0) là tích của a với một nguyên hàm của f ( x ) .
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có 1) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
Lời giải. Chọn C.
Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu
B.

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C thì

∫ kf ( x ) dx = k ∫

∫

B. Chỉ có 2) đúng.
D. Cả hai đều sai.

f (u ) du = F (u ) + C .

f ( x ) dx ( k là hằng số và k ≠ 0 ).

C. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ).
D. ∫  f 1 ( x ) + f 2 ( x ) dx = ∫ f 1 ( x ) dx + ∫ f 2 ( x ) dx .
Lời giải. Các nguyên hàm sai khác nhau hằng số nên C là đáp án sai. Chọn C.

Câu 8. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1
A. ∫ 0dx = C ( C là hằng số).
B. ∫ dx = ln x + C ( C là hằng số).
x
α +1
x
C. ∫ x α dx =
+ C ( C là hằng số). D. ∫ dx = x + C ( C là hằng số).
α +1
Lời giải. Chọn C. Vì kết quả này không đúng với trường hợp α = −1 .
1
Câu 9. Hàm số f ( x ) =
có nguyên hàm trên khoảng nào với các khoảng đã cho
cos x
sau đây?
 π π
 π π
A. (0; π ) .
B. − ;  .
C. (π;2π ) .
D. − ;  .
 2 2 
 2 2 
Lời giải. Hàm số f ( x ) =

 π π
1
xác định và liên tục trên − ;  nên có nguyên hàm
 2 2 

cos x

trên khoảng này. Chọn B.
Câu 10. Kí hiệu F ( y ) là một nguyên hàm của hàm số f ( y ) , biết F ( y ) = x 2 + xy + C .
Hỏi hàm số f ( y ) là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. f ( y ) = x .

B. f ( y ) = 3 x + y .

C. f ( y ) = y .

D. f ( y ) = 2 x + y .

Lời giải. Để tìm f ( y ) ta đi lấy đạo hàm của F ( y ) theo biến y (tức là bây giờ x
đóng vai trò là tham số).


Ta có F ' ( y ) = x . Chọn A.
Câu 11. Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) và F (sin 2 x ) xác định thì
F (sin 2 x ) là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. f (sin 2 x ).

B. f (cos 2 x ).

Lời giải. Theo định nghĩa, ta có

∫

C. 2 sin xf (sin 2 x ).

D. sin 2 xf (sin 2 x ).

→ F ′ ( x ) = f ( x ).
f ( x ) dx =F ( x ) + C ←

/
Áp dụng:  F (sin 2 x ) ′ = (sin 2 x ) F / (sin 2 x ) = sin 2 x . f (sin 2 x ) . Chọn D.



Câu 12. Xác định
A.
C.

f ( x ) dx biết f ( x ) = 2 x + 1.

∫

∫ (2 x + 1) dx = 2.
∫ (2 x + 1) dx = x + x.
2

B.

∫ (2 x + 1) dx = C .
D. ∫ (2 x + 1) dx = x + x + C .
2

Lời giải. Chọn D.

Câu 13. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 3) ?
4

( x − 3)

5

A. F ( x ) =

5

( x − 3)

B. F ( x ) =

+ 2017 .

D. F ( x ) =

5

C. F ( x ) =

5

( x − 3)

5

+x .

.

5

( x − 3)

5

5

−1 .

Lời giải. Xét đáp án A, ta có F ' ( x ) = ( x − 3) + 1 ≠ f ( x ) . Chọn A.
4

Cách trắc nghiệm. Ta thấy hàm số F ( x ) ở các đáp án B, C, D sai khác nhau hằng
số nên dung phương pháp loại suy, ta chọn được được đáp án A.
Câu 14. Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x 2 + 1) và F (1) =
2

Khẳng định nào sau đây là đúng?
x 5 2x 3
A. F ( x ) =
+
+ x.
5
3

28

⋅
15

x 5 2x 3
+
+ x +C.
5
3
x 5 2x 3
C. F ( x ) = 4 x ( x 2 + 1).
D. F ( x ) =
+
+ x + 1.
5
3
2
x 5 2x 3
Lời giải. Ta có ∫ ( x 2 + 1) dx = ∫ ( x 4 + 2 x 2 + 1) dx =
+
+ x +C.
5
3
28
1 2
28
Theo giả thiết F (1) =

→ + +1+C =

→ C = 0 . Chọn A.

15
5 3
15
B. F ( x ) =

Câu 15. Tìm hàm số F ( x ) biết F ' ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 và đồ thị hàm số y = F ( x ) cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng e .
A. F ( x ) = x 2 + x + e.

B. F ( x ) = cos 2 x + e −1.

C. F ( x ) = x + x + x + 1.

D. F ( x ) = x 3 + x 2 + x + e.

3

2

Lời giải. Ta có F ( x ) = ∫ (3 x 2 + 2 x + 1) dx = x 3 + x 2 + x + C .
Đồ thị y = F ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e nên ta có F (0 ) = e ⇔ C = e.
Vậy F ( x ) = x 3 + x 2 + x + e. Chọn D.
Câu 16. Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x − 1 . Đồ thị hàm số

y = F ( x ) và đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung. Tọa độ
các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là:
5 
5 
A. (0; −1) .
B.  ;9 .

C. (0; −1) và  ;9 .
 2 
 2 

5 
D. (0; −1) và  ;8 .
 2 


Lời giải. Ta có F ( x ) = ∫ ( 4 x −1) dx = 2 x 2 − x + C .
Giả sử M (0; m ) ∈ Oy là giao điểm của đồ thị hai hàm số F ( x ) và f ( x ) .

 M ∈ f ( x ) 4.0 −1 = m
m = −1
Ta có hệ phương trình 
⇔ 2
⇔ 
⇒ F ( x ) = 2 x 2 − x −1 .
 M ∈ F ( x ) 2.0 − 0 + C = m C = −1

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số F ( x ) và f ( x ) là nghiệm của phương trình:

 x = 0 ⇒ y = −1

2 x 2 − x −1 = 4 x −1 ⇔ x (2 x − 5) = 0 ⇔ 
.
x = 5 ⇒ y = 9
2

5 

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là (0; −1) và  ;9 . Chọn C.
 2 
Câu 17. Biết rằng F ( x ) = ax 3 + (a + b ) x 2 + (2a − b + c ) x + 1 là một nguyên hàm của

f ( x ) = 3 x 2 + 6 x + 2. Tính tổng S = a + b + c .
A. S = 5.
Lời giải. Ta có

B. S = 4.

C. S = 3.

D. S = 2.

2
3
2
∫ (3x + 6 x + 2) dx = x + 3x + 2 x + C .

Suy ra F ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 .

a = 1
 a = 1


Đồng nhất ta được a + b = 3
⇔ b = 2 
→ a + b + c = 5 . Chọn A.



2a − b + c = 2 c = 2
Câu 18. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm
số f ( x ) =

1
và F (2) = 1. Tính F (3).
x −1

A. F (3) = ln 2 −1. B. F (3) = ln 2 + 1.

1
C. F (3) = ⋅
2

D. F (3) =

7
⋅
4

dx
= ln x −1 + C .
x −1
Theo giả thiết F (2) = 1 
→ ln 2 −1 + C = 1 ⇔ C = 1.
Lời giải. Ta có

∫

Suy ra F ( x ) = ln x −1 + 1 

→ F (3) = ln 2 + 1. Chọn B.
Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) =
A. f (5) = ln 2.

B. f (5) = ln 3.

Lời giải. Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫

1
và f (1) = 1 . Tính f (5) .
2 x −1

C. f (5) = ln 2 + 1.

D. f (5) = ln 3 + 1.

dx
1
= ln 2 x −1 + C .
2 x −1 2

1
Theo giả thiết f (1) = 1 
→ ln 2.1 −1 + C = 1 ⇔ C = 1 .
2
1
1
1
Suy ra f ( x ) = ln 2 x −1 + 1 
→ f (5) = ln 2.5 −1 + 1 = ln 9 + 1 = ln 3 + 1. Chọn D.

2
2
2
2x + 3
Câu 20. Tìm hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời f ′ ( x ) =
và f (0) = 1.
x +1
A. f ( x ) = x 2 + ln x + 1 .

B. f ( x ) = 2 x + ln 2 x + 1 −1.

C. f ( x ) = 2 x + ln x + 1 + 1.

D. f ( x ) = x + ln x + 1 + 1.

Lời giải. Ta có

∫


2x + 3
1 
dx = ∫ 2 +
 dx = 2 x + ln x + 1 + C .


x +1
x + 1

Theo giả thiết f (0) = 1 

→ 2.0 + ln 0 + 1 + C = 1 ⇔ C = 1.
Suy ra f ( x ) = 2 x + ln x + 1 + 1. Chọn C.


( x + 1)

2

Câu 21. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
F (−1) = ⋅ Tính F (2).
2
A. F (2) = 2 + ln 2.

( x + 1)

2

=

x +2

và thỏa mãn

B. F (2) = 2 (1 − ln 2).

C. F (2) = 2 (1 + ln 2).
Lời giải. Ta có

x +2

D. F (2) = 4.

x 2 + 2 x + 1 x ( x + 2) + 1
1
=
=x+
x +2
x +2
x +2

( x + 1)

2


→∫


x2
1 
dx = ∫  x +
dx =
+ ln x + 2 + C.



x +2
x + 2

2

(1)
1
1

→
+ ln −1 + 2 + C = ⇔ C = 0.
2
2
2
2

Theo giả thiết F (−1) =

x2
+ ln x + 2 
→ F (2) = 2 + ln 4 = 2 (1 + ln 2). Chọn C.
2

Suy ra F ( x ) =

( x −1)

3

Câu 22. Hàm số nào sau đây là nguyên một hàm của hàm số f ( x ) =

?

4

A. F ( x ) =

x 2 3x 3
1
− + ln x +
.
4
2
2
2x

B. F ( x ) =

C. F ( x ) =

x 2 3x
1
1
− − 2− 3.
4
2 x
2x

D. F ( x ) =

( x −1)

3 ( x −1)

2x 2

.

4x3

3( x −1)

2

4x

.

3

x 3 − 3 x 2 + 3x −1
dx
2x
2x 2
x 3
3
1 
x 2 3x 3
1
= ∫  − +
−
− + ln x +
+C.

dx =
 2 2 2 x 2 x 2 
4
2
2
2x

Lời giải. Ta có

∫

2

Chọn C = 0 
→ F (x ) =

dx = ∫

x 2 3x 3
1
− + ln x + . Chọn A.
4
2
2
2x

Câu 23. Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x 3 −

1
+ 3 x và thỏa mãn

x2

5 F (1) + F (2) = 43 . Tính F (2).
45
86
.
D. F (2) = .
2
7
 3 1

1
3
4
2
Lời giải. Ta có F ( x ) = ∫  4 x − 2 + 3 x  dx = x + + x + C .


x
x 2
7
 45
1
Theo giả thiết 5 F (1) + F (2) = 43 
→ 5  + C  + + C = 43 ⇔ C = .
 2
 2
2
1
3

1
1
3
1
Suy ra F ( x ) = x 4 + + x 2 + 
→ F (2 ) = 2 4 + + .2 2 + = 23. Chọn B.
x 2
2
2 2
2
1
Câu 24. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2
⋅
x −x
A. F (2) =

151
.
4

B. F (2) = 23.

C. F (2) =

A. F ( x ) = − ln x − ln x −1 .

B. F ( x ) = ln x − ln x −1 .

C. F ( x ) = − ln x + ln x −1 .

D. F ( x ) = ln x + ln x −1 .

Lời giải. Ta có

1
1
1
1
=
=− +
x − x x ( x −1)
x x −1
2

 1 
 1
1 

→ ∫  2
dx = ∫ − +
dx = − ln x + ln x −1 + C . Chọn C.
 x − x 
 x x −1


Câu 25. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
và thỏa mãn
x 2 − 3x + 2

3
F   = 0. Tính F (3).
 2 
A. F (3) = ln 2.
Lời giải. Ta có

B. F (3) = 2 ln 2.

C. F (3) = −2 ln 2.

D. F (3) = − ln 2.

1
1
1
1
=
=−
+
x − 3 x + 2 ( x −1)( x − 2)
x −1 x − 2
2


1
dx = − 1 + 1 dx = − ln x −1 + ln x − 2 + C .

→ ∫  2
∫  x −1 x − 2 

 x − 3x + 2 
3
3
3
Theo giả thiết F   = 0 
→− ln −1 + ln − 2 + C = 0 ⇔ C = 0.
 2 
2
2
Suy ra F ( x ) = − ln x −1 + ln x − 2 
→ F (3) = − ln 2. Chọn D.
Câu 26. Xác định
A.
C.

∫
∫

∫

f ( x ) dx biết f ( x ) =

x +3
⋅
x 2 + 3x + 2

f ( x ) dx = 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C . B.

f ( x ) dx = 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C . D.

Lời giải. Ta có

∫
∫

f ( x ) dx = 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C .

f ( x ) dx = ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C .

x +3
x +3
2
1
=
=
−
x 2 + 3 x + 2 ( x + 1)( x + 2) x + 1 x + 2

 2
x +3
1 
dx = ∫ 
−
dx = 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C . Chọn B.

 x + 1 x + 2 
x + 3x + 2
2
1
1

và thỏa f (2 ) = − ⋅
Câu 27. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =
−
2
2
3
(2 x −1) ( x −1)

→∫

2

Biết phương trình f ( x ) = −1 có nghiệm duy nhất x = x 0 . Tính T = 2017 x 0 .
A. T = 2017.

B. T = 1.
C. T = 2017.
D. T = 2017 3.

2
1 
1
1
Lời giải. Ta có ∫ f ' ( x ) dx = ∫ 
−
dx =
−
+C.
2
2

x − 1 2 x −1
 (2 x −1) ( x −1) 
1
1 1
1
Theo giả thiết f (2) = − 
→ − + C = − ⇔ C = −1.
3
1 3
3
x
Suy ra f ( x ) =
−1 .
( x −1)(2 x −1)
Suy ra f ( x ) = −1 ⇔

x
−1 = −1 ⇔ x = 0 = x 0 
→T = 2017 0 = 1. Chọn B.
x
−
1
(
)(2 x −1)

Câu 28. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ). g ( x ) , biết

x2
+ C và F (2) = 5 .
4

x2
x2
A. F ( x ) =
+ 4. B. F ( x ) =
+ 5.
4
4

∫

f ( x ) dx = x + C ,

∫ g ( x ) dx =

Lời giải. Ta có

∫

C. F ( x ) =

f ( x ) dx = x + C 
→ f ( x ) = 1 và

1
1
x dx = x 2 + C .
2
4
1
Theo giả thiết F (2 ) = 5 

→ .2 2 + C = 5 ⇔ C = 4.
4
x2
Suy ra F ( x ) =
+ 4. Chọn A.
4
Khi đó

∫

f ( x ). g ( x ) dx = ∫

∫

x3
+ 5.
4

x3
+ 3.
4
x2
1
g ( x ) dx =
+ C 
→ g ( x ) = x.
4
2
D. F ( x ) =

Câu 29. Cho I = ∫ 2
A. I = 2

x

+C .

(

Lời giải. Ta có 2

x

x

ln 2
x

dx . Mệnh đề nào sau đây là sai?

B. I = 2

+C

x +1

(

C. I = 2 2

+C .

) = (2 ) = ( x ) .2
/

x

/

/

x

ln 2 =

x

1
2 x

)

(

+ 1 + C . D. I = 2 2

.2

x

ln 2 ≠ 2

x

ln 2
x

x

)

−1 + C .

. Chọn A.

Cách trắc nghiệm. Ta thấy các đáp án B, C, D sai khác nhau nên hằng số nên dễ
dàng nhận ra đáp án A là không thỏa mãn.
Câu 30. Tìm giá trị của các tham số a, b, c để hàm số F ( x ) = (ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 với

x>

3
20 x 2 − 30 x + 7
là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
.
2
2x −3
A. a = 4, b = 2, c = 1 .

B. a = 4, b = −2, c = −1 .

C. a = 4, b = −2, c = 1 .

D. a = 4, b = 2, c = −1 .

Lời giải. Theo bài ra ta có F ' ( x ) = f ( x ) .
Ta có F ' ( x ) = (2ax + b ) 2 x − 3 +

(ax

2

(*)

+ bx + c )

=

5ax 2 + (3b − 6a ) x − 3b + c

.
2x − 3
2x −3
5a = 20
a = 4


Để (*) xảy ra ⇔ 3b − 6a = −30 ⇔ 
b = −2 . Chọn C.



c − 3b = 7
c = 1
1
Câu 31. Nếu ∫ f ( x ) dx = + ln x + C thì f ( x ) là hàm số nào trong các hàm số sau?
x
1
A. f ( x ) = x + ln x + C .
B. f ( x ) = − x + + C .
x
1
x −1
C. f ( x ) = − 2 + ln x + C .
D. f ( x ) = 2 .
x
x
Lời giải. Theo định nghĩa

∫

f ( x ) dx = F ( x ) 
→ F / ( x ) = f ( x ).

1

1
1 x −1
Do đó hàm số cần tìm f ( x ) =  + ln x + C  = − 2 + = 2 . Chọn D.
 x


x
x
x
/

Câu 32. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 3 x và thỏa mãn F (0) = 1.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1
1
A. F ( x ) = e 3 x + 1.
B. F ( x ) = e 3 x .
3
3
1 3x 2
1
4
C. F ( x ) = e + ⋅
D. F ( x ) = − e 3 x + ⋅
3
3
3
3
1
Lời giải. Ta có ∫ e 3 x dx = e 3 x + C .
3
1
2
Theo giả thiết F (0) = 1 
→ +C = 1 ⇔ C = .

3
3
1 3x 2
Suy ra F ( x ) = e + ⋅ Chọn C.
3
3

e
Câu 33. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 3 x +1 và thỏa F (0) = ⋅
3
Tính ln 3 3 F (1) .
A. ln 3 3 F (1) = 64.
B. ln 3 3 F (1) = −8.
C. ln 3 3 F (1) = 81.
D. ln 3 3 F (1) = 27.
1
Lời giải. Ta có ∫ e 3 x +1dx = e 3 x +1 + C . .
3


e
e
e

→ + C = ⇔ C = 0.
3
3
3
 1 


→ ln 3 3 F (1) = ln 3 3. e 4  = 64. Chọn A.
 3 

Theo giả thiết F (0) =

1
Suy ra F ( x ) = e 3 x +1
3

Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x .e x +1 .

1 2 x +1
e
+C .
2

A.

∫e

x

.e x +1dx = e x .e x +1 + C .

B.

∫e

x

.e x +1dx =

C.

∫e

x

.e x +1dx = 2e 2 x +1 + C .

D.

∫e

x

.e x +1dx = e x +1 + e x + C .

Lời giải. Ta có

∫e

x

.e x +1dx = ∫ e 2 x +1dx =

1 2 x +1
e
+ C . Chọn B.
2

Câu 35. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x ) = 2 2 x .
A. F ( x ) =

1
+C.
4 . ln 4

B. F ( x ) =

x

C. F ( x ) = 4 x . ln 4 + C .
Lời giải. Ta có

∫

4x
+C.
ln 4

D. F ( x ) = 4 x + C .

2 2 x dx = ∫ 4 x dx =

4x
+ C . Chọn B.
ln 4

Câu 36. Hàm số F ( x ) = e x + 2018 là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm

3

số sau đây?
3

3
ex
.
D. f ( x ) = x 3 .e x −1 .
3x 2
Lời giải. Hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )←
→ F '(x ) = f (x ) .

A. f ( x ) = e x .
3

B. f ( x ) = 3 x 2 .e x .

C. f ( x ) =

3

(

) ( ) = ( x ) .e
/

Suy ra hàm số cần tìm f ( x ) = e x + 2018 = e x
Câu 37. Hàm số F ( x ) =

3

3

/

3 /

x3

= 3 x 2 .e x . Chọn B.
3

x3
+ e x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số
3

sau đây?
A. f ( x ) =

x4
x4
+ex .
+ e x . B. f ( x ) = 3 x 2 + e x . C. f ( x ) =
12
3

D. f ( x ) = x 2 + e x .

Lời giải. Hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )←

→ F '(x ) = f (x ) .

x3

Suy ra hàm số cần tìm f ( x ) =  + e x  = x 2 + e x . Chọn D.

3
/

2
3
Câu 38. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (2 + e 3 x ) thỏa F (0) = ⋅
2
1
Tính F  ⋅
 3 

 1  e 2 + 8e + 8
A. F   =
⋅
 3 
6

 1  e 2 + 6e + 6
B. F   =
⋅
 3 
8

 1  e 2 − 6e + 6

C. F   =
⋅
 3 
8

 1  e 2 − 8e + 8
D. F   =
⋅
 3 
6

Lời giải. Ta có

∫ ( 2 + e ) dx = ∫ ( 4 + 4 e

Theo giả thiết F (0 ) =

3x 2

3x

+ e 6 x )dx =

3
1 4
3

→ + + C = ⇔ C = 0.
2
6 3

2

1 6x 4 3x
e + e + 4x +C. .
6
3


Suy ra F ( x ) =

1 1
1 6 x 4 3x
4
4 e 2 + 8e + 8
e + e + 4 x 
→ F   = e 2 + e + =
. Chọn A.
 3  6
6
3
3
3
6

Câu 39. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e −x (2e x + 1) , biết F (0 ) = 1.
A. F ( x ) = 2 x + e − x .

B. F ( x ) = 2 x − e −x + 2.

C. F ( x ) = 2 + e −x .

D. F ( x ) = 2 x − e − x + 1.

Lời giải. Ta có

∫ e (2 e
−x

x

+ 1)dx = ∫ (2 + e −x )dx = 2 x − e − x + C .

Theo giả thiết F (0) = 1 
→−1 + C = 1 ⇔ C = 2.
Suy ra F ( x ) = 2 x − e −x + 2. Chọn B.
Câu 40. Giả sử F ( x ) = (ax 2 + bx + c ) e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 e x .
Tính tích P = abc .
A. P = 1 .

B. P = −4 .

C. P = −5 .

D. P = −3 .

Lời giải.
Ta có F / ( x ) = (ax 2 + bx + c ) .e x + (ax 2 + bx + c ).(e x ) = ax 2 + (2a + b ) x + b + c  e x .
Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên ta có F / ( x ) = f ( x ), ∀x .
/

/

Do đó ax 2 + (2 a + b ) x + b + c  .e x = x 2 .e x ⇔ ax 2 + (2a + b ) x + b + c = x 2 .
a = 1
a = 1


Đồng nhất hệ số hai vế, ta được 2a + b = 0 ⇔ 
→ P = abc = −4 . Chọn B.
b = −2 


b + c = 0
c = 2

Câu 41. Giả sử hàm số f ( x ) = (ax 2 + bx + c ).e −x là một nguyên hàm của hàm số

g ( x ) = x (1 − x ) e − x . Tính tổng S = a + b + c .
A. S = −2 .

B. S = 4 .

Lời giải. Ta có f ( x ) = (2ax + b ) e
/

C. S = 1 .
−x

− (ax + bx + c ) e
2

−x

D. S = 3 .
2

= −ax + (2a − b ) x + (b − c ) e − x .

Vì f ( x ) là một nguyên hàm của g ( x ) nên ta có f / ( x ) = g ( x ), ∀x .
Do đó −ax 2 + (2 a − b ) x + (b − c ) e − x = x (1 − x ) e − x ⇔ −ax 2 + (2 a − b ) x + (b − c ) = −x 2 + x .
−a = −1

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được 
2a − b = 1 ⇔ a = b = c = 1 → S = a + b + c = 3. Chọn D.

b − c = 0
Câu 42. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017)
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x .
A.

∫

f ( x ) dx =

1
sin 2 x + C .
2

B.

∫

1
f ( x ) dx = − sin 2 x + C .
2

C.

∫

f ( x ) dx = 2 sin 2 x + C .

D.

∫

f ( x ) dx = −2 sin 2 x + C .

1
sin 2 x + C . Chọn A.
2
Câu 43. Biết rằng F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin (1 − 2 x ) và thỏa

Lời giải. Ta có

∫

f ( x ) dx = ∫ cos 2 x dx =

1

mãn F   = 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 2 
A. F ( x ) = cos (1 − 2 x ) + 1.

B. F ( x ) = cos (1 − 2 x ).

1
3
C. F ( x ) = − cos (1 − 2 x ) + ⋅
2
2

D. F ( x ) =

Lời giải. Ta có

1

∫ sin (1− 2 x ) dx = 2 cos (1 − 2 x ) + C .

1
1
cos (1 − 2 x ) + ⋅
2
2


1
1


1
Theo giả thiết F   = 1 
→  cos 0 + C = 1 ⇔ C = .
 2 
 2

2
1
1
Suy ra F ( x ) = cos (1 − 2 x ) + . Chọn D.
2
2
π
Câu 44. Cho hàm số f ( x ) thỏa các điều kiện f ′ ( x ) = 2 + cos 2 x và f   = 2π. Mệnh
 2 
đề nào sau đây là sai?
A. f (0) = π.

B. f ( x ) = 2 x +

C. f ( x ) = 2 x −

sin 2 x
+ π.
2

 π
D. f −  = 0.
 2 

sin 2 x
+ π.
2

1
f ′ ( x ) dx = ∫ (2 + cos 2 x ) dx = 2 x + sin 2 x + C .
2
 π 
Theo giả thiết f   = 2π 
→ π + C = 2π ⇔ C = π.
 2 
Lời giải. Ta có

∫

1
Suy ra f ( x ) = 2 x + sin 2 x + π. Chọn B.
2
Câu 45. Một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin 2 x là kết quả nào sau đây, biết
nguyên hàm này bằng

π
π
khi x = ?
8
4

A. F ( x ) =

sin 3 x

.
3

B. F ( x ) =

x sin 2 x
−
.
2
4

C. F ( x ) =

x sin 2 x 1
−
+ .
2
4
4

D. F ( x ) =

sin 3 x
2
−
.
3
12

Lời giải. Ta có

∫

f ( x ) dx = ∫ sin 2 x dx = ∫

1 − cos 2 x
dx
2


1
1
1
(1 − cos 2 x ) dx =  x − sin 2 x  + C .
∫

2
2
2
 π  π
1
π
1
π
π
1
Theo giả thiết F   = 
→ . − sin + C = ⇔ C = .
 4  8
2 4 4

2
8
4
x sin 2 x 1
Suy ra F ( x ) = −
+ . Chọn C.
2
4
4
Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 x .
=

A.

∫ tan

2

x dx = tan x − x + C .

B.

∫ tan

C.

∫ tan

2

x dx =

tan 3 x
⋅
x

D.

∫ tan

Lời giải. Dùng kỹ thuật thêm bớt, ta được

∫ tan

2

2

2

x dx = tan x − x .
x dx =

tan 3 x
+C.
x

xdx = ∫ (1 + tan 2 x ) −1 dx



1
dx − ∫ dx = tan x − x + C .
cos 2 x
'' Nếu đề bài yêu cầu tìm họ nguyên hàm thì ta chọn A, còn yêu cầu tìm một nguyên
hàm thì ta chọn B '' .
Ở đây yêu cầu tìm nguyên hàm, tức là phải tìm họ nguyên hàm. Chọn A.
= ∫ (1 + tan 2 x ) dx − ∫ dx =∫

Câu 47. Cho nguyên hàm

∫

f ( x ) dx = sin 2 x cos x + C . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

1
A. f ( x ) = (3cos 3x + cos x ) .
2
1
C. f ( x ) = (3 cos 3 x − cos x ) .
2
Lời giải. Ta có

∫

1
B. f ( x ) = (cos 3 x + cos x ) .
2
1
D. f ( x ) = (cos 3x − cos x ) .

2

1
f ( x ) dx = sin 2 x cos x = (sin 3 x + sin x ).
2


1
1
/
Suy ra f ( x ) = (sin 3x + sin x ) = (3 cos 3x + cos x ). Chọn A.
2
2
Câu 48. Tìm giá trị thực của các tham số a, b để hàm số F ( x ) = (a cos x + b sin x ) e x là
một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x cos x .
A. a = 1, b = 0 .

B. a = 0, b = 1 .

C. a = b = 1 .

D. a = b =

1
.
2

Lời giải.
Ta có F / ( x ) = (−a sin x + b cos x ) e x + (a cos x + b sin x ) e x = (b + a ) cos x + (b − a ) sin x  e x .
Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên ta có F / ( x ) = f ( x ), ∀x .

Do đó (b + a ) cos x + (b − a ) sin x  e x = e x cos x ⇔ (b + a ) cos x + (b − a ) sin x = cos x .
b + a = 1
1
Đồng nhất hệ số hai vế, ta được 
⇔ a = b = . Chọn D.

b − a = 0
2
Câu 49. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

4m
+ sin 2 x và thỏa mãn
π

π  π
F (0) = 1 , F   = . Tìm m .
 4  8
A. m = −

4
.
3

Lời giải. Ta có

=∫

3
3
4

.
C. m = − .
D. m = .
4
4
3
 4m

4
m
+ sin 2 x  dx = ∫
f ( x ) dx = ∫ 
dx + ∫ sin 2 xdx
 π

π
B. m =

∫


4m
1
4m
1
1
dx + ∫ (1 − cos 2 x ) dx =
x +  x − sin 2 x  + C .

π

2
π
2 
2

 F (0) = 1
C = 1
C = 1




Theo giả thiết   π  π 
→
⇔ 
 π 1 
1
π
3 . Chọn C.


 F   =
m + 2  4 − 2  + C = 8
m = −
4
8


 4
1

và đồ thị hàm số
Câu 50. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
sin 2 x
π 
π
y = F ( x ) đi qua điểm M  ;0 . Tính F   .
 6 
 3 
π
A. F   = 0 .
 3 
Lời giải. Ta có

π 2 3
B. F   =
.
 3 
3
1

∫ sin

2

x

π 
3 −1
C. F   =
.

 3 
3

π 2
D. F   = .
 3  3

dx = − cot x + C .

π 
π
π
Đồ thị y = F ( x ) đi qua điểm M  ;0 nên F   = 0 
→− cot + C = 0 ⇔ C = 3.
 6 
 6 
6
π 2 3
Suy ra F ( x ) = − cot x + 3 
→ F   =
. Chọn B.
 3 
3


Bài 02
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Nếu

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C thì

∫

f u ( x ) .u ' ( x ) dx = F u ( x ) + C .

Giả sử ta cần tìm họ ngun hàm I = ∫ f ( x ) dx , trong đó ta có thể phân tích

f ( x ) = g u ( x ) u ' ( x ) thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u ( x ) , suy ra dt = u ' ( x ) dx .
Khi đó ta được ngun hàm:

∫ g (t ) dt = G (t ) + C = G u ( x ) + C .

Chú ý: Sau khi tìm được họ ngun hàm theo t thì ta phải thay t = u ( x ) .

2. Phương pháp lấy ngun hàm từng phần
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ a; b ] và có đạo hàm liên tục trên đoạn

[a; b ] . Khi đó:

∫ udv = uv − ∫ vdu.

Để tính ngun hàm

∫

( *)

f ( x ) dx bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1. Chọn u, v sao cho f ( x ) dx = udv (chú ý  dv = v ' ( x ) dx ).
Sau đó tính v = ∫ dv và du = u '.dx .
Bước 2. Thay vào cơng thức (*) và tính

∫ vd u .

Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích
phân

∫ vd u

dễ tính hơn

∫ udv . Ta thường gặp các dạng sau

sin x 
 dx , trong đó P ( x ) là đa thức.
● Dạng 1. I = ∫ P ( x ) 
cos x 


u = P ( x )

Với dạng này, ta đặt 
 sin x  .

dv = 
 dx

 cos x 

● Dạng 2. I = ∫ P ( x ) e ax +b dx , trong đó P ( x ) là đa thức.

u = P ( x )
Với dạng này, ta đặt 
.

dv = e ax +b dx

● Dạng 3. I = ∫ P ( x ) ln (mx + n ) dx , trong đó P ( x ) là đa thức.

u = ln (mx + n )
Với dạng này, ta đặt 
.

dv = P ( x ) dx

sin x  x
 e dx .
● Dạng 4. I = ∫ 
cos x 



 sin x 

u = 

cos x  hoặc có thể đặt ngược lại

Với dạng này, ta đặt 


dv = e x dx

u = e x


 sin x  .
dv =  cos x  dx





CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM

Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 1. Biết

∫

f (u ) du = F (u ) + C . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.

∫

f (2 x − 1) dx = 2 F (2 x − 1) + C .

B.

∫

f (2 x − 1) dx = 2 F ( x ) − 1 + C .

C.

∫

f (2 x −1) dx = F (2 x −1) + C .

D.

∫

f (2 x −1) dx =

1
F (2 x −1) + C .
2

Lời giải. Đặt u = 2 x − 1 
→ du = 2dx
du 1
1
1
Khi đó ∫ f (2 x −1) dx = ∫ f (u ) = ∫ f (u ) du = F (u ) + C = F (2 x −1) + C .
2
2

2
2
Chọn D.
 1
2017
Câu 2. Tìm hàm số F ( x ) thỏa mãn F ′ ( x ) = (2 x + 1)
và F −  = 2018.
 2 

(2 x + 1)

2018

A. F ( x ) =

2018

C. F ( x ) = 2017 (2 x + 1)

2016

Lời giải. Ta có

(2 x + 1)

2018

B. F ( x ) =

+ 2018.

∫ (2 x + 1)

2017

4036

+ 2018.

D. F ( x ) = 4034 (2 x + 1)

2016

+ 2018.

+ 2018.

dx. Đặt u = 2 x + 1 
→ du = 2dx

(2 x + 1)
1
1 u 2018
2017
u
d
u
=
.
+C =

∫
2
2 2018
4036

2018

Khi đó

∫ (2 x + 1)

2017

dx =

+C.

 1
Theo giả thiết F −  = 2018 
→ C = 2018.
 2 

(2 x + 1)

2018

Vậy F ( x ) =

4036

+ 2018 . Chọn B.

Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ( x 2 + 1) .
9

10
1 2
( x + 1) + C .
20

A.

∫

f ( x ) dx = −

C.

∫

f ( x ) dx = 2 ( x 2 + 1) + C .
10

Lời giải. Ta có
Khi đó
Vậy

∫

∫ x (x

2

∫

∫

f ( x ) dx =

D.

∫

f ( x ) dx = ( x 2 + 1) + C .
10

f ( x ) dx = ∫ x ( x 2 + 1) dx . Đặt t = x 2 + 1 
→ d t = 2 xd x .
9

+ 1) dx =
9

f ( x ) dx =

10
1 2
( x + 1) + C .
20

B.

10
1
1 t 10
1
t 9 dt = . + C = ( x 2 + 1) + C .
∫
2
2 10
20

10
1 2
x + 1) + C . Chọn B.
(
20

Câu 4. (ĐỀ MINH HỌA NĂM 2016 – 2017)
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x −1.
A.

∫

C.

∫

2
f ( x ) dx = (2 x −1) 2 x −1 + C .

3
1
f ( x ) dx = − 2 x −1 + C .
3

Lời giải. Ta có
Khi đó

∫

∫

f ( x ) dx = ∫

B.

∫

D.

∫

1
f ( x ) dx = (2 x −1) 2 x −1 + C .
3
1
f ( x ) dx =
2 x −1 + C .
2

→ tdt = dx .
2 x −1dx . Đặt t = 2 x −1 → t 2 = 2 x −1 

2 x −1dx = ∫ t .tdt = ∫ t 2 dt =

t3
1
+ C = (2 x −1) 2 x −1 + C . Chọn B.
3
3


Câu 5. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
ln x
⋅ ln 2 x + 1 và F (1) = ⋅
x
3

Tính  F (e ) .
2

2
8
A.  F (e ) = ⋅
3

Lời giải. Ta có

∫

2
8
B.  F (e ) = ⋅
9

2
1
C.  F (e ) = ⋅
3

2
1
D.  F (e ) = ⋅
9

ln x
⋅ ln 2 x + 1dx .
x

Đặt t = ln 2 x + 1 ⇒ t 2 = (ln 2 x + 1) 
→ tdt =

ln x
dx .
x

(

)

3

ln 2 x + 1
t3
ln x
2
2
Khi đó ∫
⋅ ln x + 1dx = ∫ t dt = + C =
+C.
x
3
3
1
1
1
Theo giả thiết F (1) = 
→ + C = ⇔ C = 0.
3
3
3

(
Suy ra F ( x ) =

ln 2 x + 1
3

)

3
2
8

→  F (e ) = ⋅ Chọn B.
9

Câu 6. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
nào sau đây là đúng?
ln 2 x
A. F ( x ) =
+C .
2
ln 2 x
C. F ( x ) =
−2 .
2

ln x
và F (e 2 ) = 4 . Mệnh đề
x

ln 2 x
+2 .
2
ln 2 x
D. F ( x ) =
+ x +C .

2
ln x
dx
Lời giải. Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫
dx . Đặt t = ln x 
→ dt = .
x
x
ln x
t2
ln 2 x
dx = ∫ tdt = + C =
+C.
Khi đó ∫
x
2
2
Theo giả thiết F (e 2 ) = 4 
→

B. F ( x ) =

ln 2 (e 2 )
2

+ C = 4 ⇔ C = 2.

ln 2 x
+ 2. Chọn B.
2

Chú ý: Đáp án A được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) .

Suy ra F ( x ) =

Câu 7. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
và thỏa F (0 ) = − ln 2 .
e x +1

Tìm tập nghiệm S của phương trình F ( x ) + ln (e x + 1) = 3.
A. S = {±3}.
Lời giải. Ta có
Đặt

∫e

B. S = {3}.
x

C. S = ∅.

D. S = {−3}.

1
e x + 1− e x
ex
ex
dx = ∫
dx = ∫ dx − ∫ x

dx = x − ∫ x
dx .
x
+1
e +1
e +1
e +1
Khi
t = e x + 1 
→ dt = e x dx .

đó

x

e
dt
dx = ∫
= ln t + C = ln e x + 1 + C = ln (e x + 1) + C .
+1
t
1
Do đó ∫ x
dx = x − ln (e x + 1) + C .
e +1
Theo giả thiết F (0 ) = − ln 2 
→ 0 − ln 2 + C = − ln 2 ⇔ C = 0.

∫e

x

Suy ra F ( x ) = x − ln (e x + 1).
Xét phương trình F ( x ) + ln (e x + 1) = 3 ⇔ x − ln (e x + 1) + ln (e x + 1) = 3 ⇔ x = 3. Chọn B.


Câu 8. Hàm F ( x ) nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = xe x ?
2

1 2
A. F ( x ) = e x + 2 .
2
1 2
C. F ( x ) = − e x + C .
2

(

)

1 x2
e +5 .
2
2
1
D. F ( x ) = − 2 − e x .
2
B. F ( x ) =

(

)

2
1
→ dt = 2 xdx → xdx = dt .
f ( x ) dx = ∫ xe x dx . Đặt t = x 2 
2
1
1 t
1 x2
t
Khi đó ∫ f ( x ) dx = ∫ e dt = e + C = e + C .
2
2
2
Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên đáp án A đúng với C = 2 , đáp án B đúng

Lời giải. Ta có

∫

5
, đáp án D đúng với C = −1 . Vậy chỉ có đáp án C là sai. Chọn C.
2
Cách trắc nghiệm. Ta thấy các đáp án A, B, D sai khác nhau hằng số nên chắc chắn
rằng nó là một nguyên hàm của f ( x ) .
với C =

e ln x
dx và t = ln x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x
et
A. I = ∫ te t dt .
B. I = ∫ e t dt .
C. I = ∫ dt .
D. I = ∫ tdt .
t
1
Lời giải. Đặt t = ln x 
→ dt = dx . Khi đó I = ∫ e t dt . Chọn B.
x
Câu 9. Cho I = ∫

Câu 10. Kí hiệu F ( x ) là họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 4 x cos x . Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
cos5 x
A. F ( x ) =
+C .
5
sin 4 x
C. F ( x ) =
+C .
4
Lời giải. Ta có
Khi đó

∫

∫

cos 4 x
+C .
4
sin 5 x
D. F ( x ) =
+C .
5
B. F ( x ) =

f ( x ) dx = ∫ sin 4 x cos xdx . Đặt t = sin x 
→ dt = cos xdx .

f ( x ) dx = ∫ t 4 dt =

t5
sin 5 x
+C =
+ C . Chọn D.
5
5

Câu 11. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

π 
sin x
và F   = 2.
 2 

1 + 3 cos x

Tính F (0).

1
A. F (0) = − ln 2 + 2.
3
2
C. F (0) = − ln 2 − 2.
3
sin x
Lời giải. Ta có ∫
dx .
1 + 3 cos x

2
B. F (0) = − ln 2 + 2.
3
1
D. F (0 ) = − ln 2 − 2.
3

1
Đặt t = 1 + 3 cos x 
→ dt = −3sin xdx → sin xdx = − dt .
3
sin x
1 dt
1
1

Khi đó ∫
dx = − ∫
= − ln t + C = − ln 1 + 3 cos x + C .
1 + 3 cos x
3
t
3
3
 π 
Theo giả thiết F   = 2 
→ C = 2.
 2 
1
1
2
Suy ra F ( x ) = − ln 1 + 3 cos x + 2 
→ F (0) = 2 − ln 2 2 = 2 − ln 2. Chọn B.
3
3
3


 2π 
Câu 12. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cot x trên 0;  thỏa
 3 
π 
π
F   = 0. Tính F  ⋅
 4 
 2 

π
π  1
A. F   = − ln 2.
B. F   = ln 2.
 2 
 2  2
π 
π 
C. F   = − ln 2.
D. F   = −2 ln 2.
 2 
 2 
Lời giải. Ta có
Khi đó

∫ cot x dx = ∫

∫ cot x dx = ∫

cos x
dx . Đặt t = sin x 
→ dt = cos xdx .
sin x

cos x
dt
dx = ∫
= ln t + C = ln sin x + C .
sin x
t

 1 
π
Theo giả thiết F   = 0 
→ ln   + C = 0 ⇔ C = ln 2 .
 4 
 2 
π
1
Suy ra F ( x ) = ln ( sin x ) + ln 2 
→ F   = ln 2 = ln 2. Chọn B.
 2 
2

( )

( )

( )

Câu 13. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 x thỏa mãn F (0) = 0.
Tính T = 2e

π
F  
 6 

−e

A. T = 1.

Lời giải. Ta có

∫

π
F  
 2 

.

B. T = 2.
sin 2 x
tan 2 x dx = ∫
dx .
cos 2 x

C. T = − 2.

D. T = 0.

1
Đặt t = cos 2 x 
→ dt = −2 sin 2 xdx → sin 2 xdx = − dt .
2
sin 2 x
1 dt
1
1
Khi đó ∫ tan 2 x dx = ∫
dx = − ∫

= − .ln t + C = − ln cos 2 x +C .
cos 2 x
2
t
2
2
Theo giả thiết F (0) = 0 
→ C = 0.
π
π
1
1 1
→ F   = 0 và F   = − ln   = ln
Suy ra F ( x ) = − ln cos 2 x 


2
6
2
2  2 
Vậy T = 2. e ln

2

( 2).

− e 0 = 2 −1 = 1. Chọn A.

Câu 14. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e sin x cos x và F (π ) = 5 .
Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. F ( x ) = e sin x + 4 .
C. F ( x ) = e cos x + 4 .
Lời giải. Ta có
Khi đó

∫

∫

B. F ( x ) = e sin x + C .
D. F ( x ) = e cosx + C .

f ( x ) dx = ∫ e sin x cos xdx . Đặt t = sin x 
→ dt = cos xdx .

f ( x ) dx = ∫ e sin x cos xdx = ∫ e t dt = e t + C = e sin x + C .

Theo giả thiết F (π ) = 5 
→ e sin π + C = 5 ⇔ 1 + C = 5 ⇔ C = 4.
Suy ra F ( x ) = e sin x + 4. Chọn A.
Câu 15. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. F ( x ) = e tan x .
C. F ( x ) = e tan x + 2016.
Lời giải. Ta có

∫

f ( x ) dx = ∫

e tan x
và F (0) = 2017 .
cos 2 x

B. F ( x ) = e − tan x .
D. F ( x ) = e tan x + 2018.

e tan x
1
dx . Đặt t = tan x 
→ dt =
dx .
cos 2 x
cos 2 x


e tan x
dx = ∫ e t dt = e t + C = e tan x + C .
cos 2 x
Theo giả thiết F (0) = 2017 
→ e tan 0 + C = 2017 ⇔ C = 2016.

Khi đó

∫

f ( x ) dx = ∫

Suy ra F ( x ) = e tan x + 2016. Chọn C.

Vấn đề 2. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HQM TỪNG PHẦN
Câu 16. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln x và thỏa mãn F (1) = 3.
Tính F (e 2 ).
A. F (e 2 ) = 4.
Lời giải. Ta có
Khi đó

∫

B. F (e 2 ) = 3e 2 + 4. C. F (e 2 ) = −e 2 + 4.

D. F (e 2 ) = e 2 + 4.


dx
u = ln x du =
⇒
ln xdx . Đặt 
x .

dv = dx v = x


∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx =x ln x − x + C .

Theo giả thiết F (1) = 3 
→−1 + C = 3 ⇔ C = 4.
Suy ra F ( x ) = x .ln x − x + 4 
→ F (e 2 ) = e 2 + 4. Chọn D.
Câu 17. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho F ( x ) = −

1
là một nguyên hàm của
3x 3

f (x )
. Tìm nguyên hàm của hàm số f ' ( x ) ln x .
x
ln x
1
ln x
1
A. ∫ f ' ( x ) ln xdx = 3 + 5 + C .
B. ∫ f '( x ) ln xdx = 3 − 5 + C .
x
5x
x
5x
ln x
1
ln x
1
C. ∫ f ' ( x ) ln xdx = 3 + 3 + C .
D. ∫ f ' ( x ) ln xdx = − 3 + 3 + C .
x
3x
x
3x
f (x )
1 3x 2

1
1
Lời giải. Ta có F ' ( x ) = . 6 = 4 =

→ f (x ) = 3 .
3 x
x
x
x

1
du = dx
u = ln x
x .
Xét ∫ f ' ( x ) ln xdx . Đặt 
⇔ 

dv = f ' ( x ) dx


v = f ( x )
hàm số

f (x )
ln x
1
dx = 3 + 3 + C . Chọn C.
x
x
3x

ln ( ln x )
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
.
x
ln ( ln x )
ln ( ln x )
A. ∫
B. ∫
dx = ln x .ln (ln x ) + C .
dx = ln x .ln (ln x ) + ln x + C .
x
x
ln ( ln x )
ln ( ln x )
C. ∫
dx = ln x .ln (ln x ) − ln x + C . D. ∫
dx = ln (ln x ) + ln x + C .
x
x
ln (ln x )
dx
Lời giải. Đặt t = ln x ⇒ dt =
. Suy ra ∫
dx = ∫ ln t dt .
x
x

du = dt
u = ln t
Đặt 

⇒ 
t .
dv = dt 
v = t
f ' ( x ) ln xdx = ln x . f ( x ) − ∫

Khi đó

∫

Khi đó

∫ ln t dt = t ln t − ∫ dt = t ln t − t + C = ln x.ln (ln x )− ln x + C .

Chọn C.


Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe x .

x2 x
e +C.
∫
∫
2
x2 x
C. ∫ xe x dx = xe x − e x + C .
D. ∫ xe x dx =
e + e x +C.
2
u = x

du = dx
Lời giải. Ta có ∫ xe x dx . Đặt 
⇒ 
.

x
dv = e dx v = e x
A.

Khi đó

xe x dx = e x + xe x + C .

∫ xe

x

B.

xe x dx =

dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C . Chọn C.

Câu 20. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x −1) e x và thỏa mãn

F (0 ) = 1. Tìm F ( x ) .
A. F ( x ) = ( x − 1) e x .

B. F ( x ) = ( x − 2) e x .

C. F ( x ) = ( x + 1) e x + 1 .

D. F ( x ) = ( x − 2) e x + 3 .

Lời giải. Ta có
Khi đó

∫ ( x −1) e

∫ ( x −1) e

x

x

du = dx
u = x −1
dx . Đặt 
⇒ 
.
x
dv = e dx v = e x

dx = ( x −1) e x − ∫ e x dx = ( x −1) e x − e x + C = ( x − 2) e x + C .

Theo giả thiết F (0) = 1 
→ (0 − 2) e 0 + C = 1 ⇔ C = 3.
Vậy F ( x ) = ( x − 2) e x + 3 . Chọn D.
Câu 21. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x.e − x thỏa mãn điều kiện

F (0) = −1. Tính tổng S các nghiệm của phương trình F ( x ) + x + 1 = 0.
A. S = −3.
Lời giải. Ta có
Khi đó

∫ xe

−x

B. S = 0.

∫

C. S = 2.

du = dx
u
=
x

x .e − x dx . Đặt 
⇒ 
.
−
x
dv = e dx v = −e −x

D. S = −1.

dx = −xe − x + ∫ e − x dx =− xe − x − e − x + C .

Theo giả thiết F (0 ) = −1 
→−1 + C = −1 ⇔ C = 0.
Suy ra F ( x ) = −xe −x − e − x = −e x ( x + 1) .
Xét phương trình F ( x ) + x + 1 = 0 ⇔ −e x ( x + 1) + x + 1 = 0

 x = −1
⇔ ( x + 1)(−e x + 1) = 0 ⇔ 

→ S = −1 + 0 = −1. Chọn D.
x = 0

Câu 22. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x sin x và thỏa mãn

F (π ) = 2π. Tính giá trị của biểu thức T = 2 F (0) − 8 F (2π ).
A. T = 6π.
Lời giải. Ta có
Khi đó

∫

B. T = 4 π.
C. T = 8π.
u = x
du = dx
⇒ 
.
x sin xdx . Đặt 
dv = sin xdx v = − cos x

D. T = 10π.

∫ x sin xdx = −x cos x + ∫ cos xdx = −x cos x + sin x + C .

Theo giả thiết F (π ) = 2π 
→ π + C = 2π ⇔ C = π.

 F (0) = π
Suy ra F ( x ) = −x cos x + sin x + π 
→ 

→T = 2π − 8.(−π ) = 10π.
 F (2π ) = −π

Chọn D.


Câu 23. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos 2

x
1
và thỏa F (0) = ⋅
2
2

Tính F (π ).

π2 1
π2 1
π2 1

π2
+ ⋅ B. F (π ) =
− ⋅ C. F (π ) =
+ ⋅
D. F (π ) =
+ 1.
2 2
4 2
4 2
4
1 + cos x 
x
1
1
Lời giải. Ta có ∫ x cos 2 dx = ∫ x 
 dx = ∫ xdx + ∫ x cos xdx .


2
2
2
2
A. F (π ) =

1
1 x2
x2
xdx = . + C1 =
+ C1 .
∫

2
2 2
4
u = x
du = dx
1
x cos xdx . Đặt 
.
⇒ 
∫

2
dv = cos xdx v = sin x

(1)

(

(2 )

)

1
1
1
x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx = ( x sin x + cos x + C 2 ).
∫
2
2
2

2
x
x
1
Từ (1) và (2) , suy ra ∫ x cos 2 dx =
+ C1 + ( x sin x + cos x + C 2 ) .
2
4
2
1
1 1
1
1
Theo giả thiết F (0 ) = 
→ C1 + + C 2 = ⇔ C1 + C 2 = 0.
2
2 2
2
2
x2 1
π2 1
Suy ra F ( x ) =
+ ( x sin x + cos x ) 
→ F (π ) =
− . Chọn B.
4 2
4 2
Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 cos x .

Suy ra

A.

∫x
B. ∫ x
C. ∫ x
D. ∫ x

2

cos xdx = x 2 sin x − 2 x cos x + 2 sin x + 2C .

2

cos xdx = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x .

2

cos xdx = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C .

2

cos xdx = x 2 sin x + x cos x − sin x − C .

u = x 2
du = 2 xdx
Lời giải. Đặt 
⇒ 
.


dv = cos xdx v = sin x
Khi đó
Tính

∫x

2

(1)

cos xdx = x 2 sin x − 2 ∫ x sin xdx .
u = x

du = dx

∫ x sin xdx . Đặt dv = sin xdx ⇒ v = − cos x .

∫ x sin xdx = −x cos x + ∫ cos xdx = −x cos x + sin x + C . (2)
Từ (1) và (2) , suy ra ∫ x cos xdx = x sin x − 2 (−x cos x + sin x + C )

Ta được

2

2

= x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C . Chọn C.

Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x sin x .

1 x
(e sin x + e x cos x ) + C .
2
1
e x sin xdx = (e x sin x − e x cos x ) + C .
2

A.

∫e

x

sin xdx = e x sin x + C .

B.

∫e

C.

∫e

x

sin xdx = e x cos x + C .

D.

∫

x

sin xdx =

du = cos xdx
u = sin x
Lời giải. Đặt 
⇒ 
.

dv = e x dx v = e x
Khi đó

∫ sin xe

x

dx = e x sin x − ∫ cos xe x dx = e x sin x − K .

(1)

u = cos x
du = − sin xdx
Tính K = ∫ cos xe x dx . Đặt 
⇒ 
.

x
dv = e dx v = e x

Suy ra K = e x cos x + ∫ sin xe x dx .

(2 )


Từ (1) và (2) , suy ra

∫ sin xe

x

(

dx = e x sin x − e x cos x + ∫ sin xe x dx

)

1 x
(e sin x − e x cos x ).
2
Vì các nguyên hàm sai khác nhau hằng số C nên ta Chọn D.
⇔ 2 ∫ sin xe x dx = e x sin x − e x cos x ⇔ ∫ sin xe x dx =


Baøi 03
TÍCH PHAÂN
1. Định nghĩa
Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Giả sử
F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì hiệu số

F (b )− F (a )
được gọi là tích phân của f ( x ) từ a đến b và kí hiệu là
b

∫

b

f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b )− F (a ) .

a

2. Tính chất
a

Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là

∫

f ( x ) dx = 0 .

a
b

a

∫

Đổi cận thì đổi dấu, tức là

f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx .

a

b

Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là
b

∫

b

kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k là hằng số).

a

a

Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là
b

∫

b

b

 f ( x ) ± g ( x ) dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx .
∫

∫



a

a

a
b

c

b

Tách đôi tích phân, tức là ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
a

a

c

b

Chú ý: Tích phân

∫

f ( x ) dx chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không

a
b

phụ thuộc vào biến số x , tức là

∫
a

b

f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt .
a

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
Câu 1. Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và các số thực a < b < c . Mệnh đề nào sau
đây sai?
A.
C.

c

∫

b

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . B.

b

∫

a

a

b

a

b

a

c

b

b

a

∫

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . D.

a

Lời giải. Chọn C.

c

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx .
a

b
b

∫ c . f ( x ) dx = c ∫
a

a

f ( x ) dx .


Câu 2. Cho f ( x ), g ( x ) là hai hàm số liên tục trên ℝ và các số thực a, b, c . Mệnh đề
nào sau đây sai?
b

A.

∫

b

f ( x ) dx = ∫ f ( y ) dy.

a

B.

b

∫

a
b

b

a

a

 f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx .
∫
∫



a
a

C.

∫

f ( x ) dx = 0.

a
b

D.

b

b

∫  f ( x ). g ( x ) dx = ∫
a

f ( x ) d x .∫ g ( x ) d x .

a

a

Lời giải. Chọn D.
Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.

1

∫ dx = 1 .
−1

B.

b

∫

b

b

f 1 ( x ). f 2 ( x ) dx = ∫ f 1 ( x ) dx .∫ f 2 ( x ) dx .

a

a

a
b

C. Nếu f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a; b ] thì

∫

f ( x ) dx ≥ 0 .

a

D.

b

∫ k.dx = k (a − b ), ∀k ∈ ℝ .
a

Lời giải. Ta có

1

∫ dx = x
−1

1

= 2. Do đó A sai.

−1

Theo tính chất tích phân thì B sai (vì không có tính chất này).
Xét đáp án C. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b ] .
Suy ra F / ( x ) = f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] .
b

● F / ( x ) = 0, ∀x ∈ [ a; b ] , suy ra F ( x ) là hàm hằng nên

∫

f ( x ) dx = F ( x ) a = 0.
b

a

● F ( x ) > 0, ∀x ∈ [a; b ] , suy ra F ( x ) đồng biến trên đoạn [ a; b ] nên F (b ) > F (a ) .
/

b

∫

Do đó

f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b ) − F (a ) > 0 . Do đó C đúng. Chọn C.
b

a
b

b

∫ k.dx = k.∫ dx = k.x

Ta có

a

a

b

= k (b − a ) 

→ D sai.

a

Câu 4. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

5

∫

2

f ( x ) dx = 10 . Tính I = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx .

2

A. I = 32.

5

B. I = 34.

C. I = 36.

2

2

2

5

5

5

D. I = 40.

Lời giải. Ta có I = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx = 2 ∫ dx − 4 ∫ f ( x ) dx

= 2x

2
5

5

+ 4 ∫ f ( x ) dx = 2.(2 − 5) + 4.10 = 34 . Chọn B.
2

Câu 5. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

3

∫
1

4

Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .

1

3

f ( x ) dx = 2016 và

∫
4

f ( x ) dx = 2017.


A. I = 4023.

B. I = 1.

C. I = −1.

4

3

4

1

1

3

D. I = 0.

Lời giải. Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
3

3

1

4

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 2016 − 2017 = −1 . Chọn C.
Câu 6. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

2

∫

4

f ( x ) dx = 1 và

1

∫

f ( t ) d t = −3 .

1

4

Tính tích phân I = ∫ f (u ) du.
2

A. I = −2 .
Lời giải. Ta có

B. I = −4 .
2

∫

C. I = 4.

2

f (u ) du = ∫ f ( x ) dx = 1 và

1

1

4

D. I = 2.

4

∫

4

f (u ) du = ∫ f (t ) dt = −3 .

1

1

4

1
2

4

Suy ra I = ∫ f (u ) du = ∫ f (u ) du + ∫ f (u ) du = −∫ f (u ) du + ∫ f (u ) du = −1 − 3 = −4.
2

2

1

1

1

Chọn B.
Câu 7. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

6

∫

6

f ( x ) dx = 4 và

∫

0

f ( x ) d t = −3 .

2

2

Tính tích phân I = ∫  f (v ) − 3 dv.
0

A. I = 1.

B. I = 2.

C. I = 4.

2

2

0

0

Lời giải. Ta có I = ∫  f (v ) − 3 dv = ∫ f (v ) dv − 3v
2

∫

Mà

2

6

6

D. I = 3.
2

2

= ∫ f (v ) dv − 6.

0

0
6

6

f (v ) dv = ∫ f (v ) dv + ∫ f (v ) dv − ∫ f (v ) dv = ∫ f (v ) dv − ∫ f (v ) dv

0
6

0

2

2

0

2

6

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 4 − (−3) = 7.
0

2

Vậy I = 7 − 6 = 1 . Chọn A.
Câu 8. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

10

∫

6

f ( x ) dx = 7 và

0
2

∫

f ( x ) dx = 3.

2

10

Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
0

A. I = 10.

6

B. I = 4.

Lời

C. I = 7.

D. I = −4.

giải.
2

10

Ta

2

6

10

có
6

I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
0

6

10

6

0

2

0

2

6

2

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 7 − 3 = 4. Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

d

∫
a

d

f ( x ) dx = 10,

∫
b

c

f ( x ) dx = 8 và

∫

f ( x ) dx = 7 .

a

c

Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .
b

A. I = −5 .

B. I = 7.

C. I = 5.

D. I = −7 .


c

d

a

c

b

d

a

Lời giải. Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
b
d

d

c

b

a

a

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 8 −10 + 7 = 5. Chọn C.
Câu 10. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

3

∫

4

f ( x ) dx = −2,

∫

1

4

f ( x ) dx = 3 và

1

∫ g ( x ) dx = 7 .
1

Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

4

∫

4

B.

 f ( x ) + g ( x ) dx = 10.



C.

3

3

∫

4

D.

f ( x ) dx = −5.

∫ 4 f ( x )− 2 g ( x ) dx = −2.

4

1

Lời giải. Ta có

4

∫

∫

4

4

1

1

 f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx = 3 + 7 = 10 . Do đó A đúng.
∫
∫



1
4

Ta có

f ( x ) dx = 1.

∫

1

1

4

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

3

3

3

1

4

= −∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −(−2) + 3 = 5 . Do đó B sai, C đúng. Chọn B.
1

1
4

∫

Ta có

4

4

 4 f ( x ) − 2 g ( x ) dx = 4 f ( x ) dx − 2 g ( x ) dx = 4.3 − 2.7 = −2 . Do đó D đúng.
∫
∫



1

1

Câu 11. Cho hàm số f ( x ) thỏa

1

2

∫

3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1 và



1

2

∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = −3 .
1

2

Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .
1

A. I = 1.

1
D. I = .
2

5
C. I = − .
7

B. I = 2.

Lời giải. Ta có
2

∫

2

2

3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1←
→ 3∫ f ( x ) dx + 2 ∫ g ( x ) dx = 1.



1

1

1

2

2

1

1

∫ 2 f ( x )− g ( x ) dx = −3 ←→ 2 ∫
2

Đặt

∫

2

f ( x ) dx = u và

1

∫
1

2

f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −3.
1


u = − 5
3u + 2v = 1

7
.
⇔ 
g ( x ) dx = v , ta có hệ phương trình 
2u − v = −3 

11
v =
7


2

5
Vậy I = ∫ f ( x ) dx = u = − . Chọn C.
7
1
Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục
2

trên đoạn [1;2 ] và thỏa mãn f (1) = 1, f (2) = 2. Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx .
1

A. I = 1.

B. I = −1.
2

C. I = 3.
2

Lời giải. Ta có I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f (2) − f (1) = 1. Chọn A.
1

1

7
D. I = ⋅
2