SỬ DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH để GIẢI QUYẾT một số bài TOÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN có nội DUNG THỰC TIỄN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU...........................................................................................................2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1.1. Lý do chọn đề tài........................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................3
1.3.Đối tượng nghiên cứu.................................................................................4
1.4. Phương
pháp nghiên
cứu..........................................................................4
SỬ DỤNG
CÔNG
THỨC DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH ĐỂ
II .NỘI
DUNG
CỦA SÁNG
KIẾN
NGHIỆM.......................................4
GIẢI
QUYẾT
MỘT
SỐKINH
BÀI TOÁN
TRẮC NGHIỆM
2.1.Cơ sởKHÁCH
lí luận củaQUAN

sáng kiến........................................................................4
CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN
2.1.1.Công thức tính diện tíchxung quanh hình nón, hình trụ và thể tích khối nón, thể
tích khối trụ..........................................................................................................................4
2.1.2. Công thức tính diện tích hình phẳng và thể khối tròn xoay dựa vào tích phân......4

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm................6
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề..................................................................8
2.3.1. Mục đích thử nghiệm...............................................................................................15
2.3.2. Tổ chức thử nghiệm................................................................................................15
2.3.3 Nội dung thử nghiệm................................................................................................16
Người thực hiện: Bùi Thị Thanh

Chức vụ: Giáo viên
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,với
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường...........................................................20
III.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ...........................................................................21

Thanh Hóa năm 2017


I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết 29 của Ban Chấp hành Trung ương Đảng khẳng định: “Phải
chuyển đổi căn bản toàn bộ nền giáo dục từ chủ yếu nhằm trang bị kiến thức
sang phát triển phẩm chất và năng lực người học, biết vận dụng tri thức vào giải
quyết các vấn đề thực tiễn; chuyển nền giáo dục nặng về chữ nghĩa, ứng thí sang
một nền giáo dục thực học, thực nghiệp”, trong đó, đổi mới về phương thức
kiểm tra đánh giá là một yêu cầu bức thiết trong giai đoạn hiện nay. Tháng 9

năm 2016 Bộ GD& ĐT đã quyết định hình thức thi trắc nghiệm đối với môn
Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia bắt đầu từ năm 2017.
Điều đó đòi hỏi phải xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập trắc nghiệm
phù hợp trong quá trình dạy học môn Toán, biên soạn các đề kiểm tra trắc
nghiệm phù hợp với những đổi mới căn bản, toàn diện về mục tiêu, nội dung,
chương trình.
Kiểm tra đánh giá kết quả học học tập của học sinh là một khâu có vai
trò quan trọng trong dạy học toán. Nó đảm bảo mối liên hệ ngược trong quá
trình dạy học bộ môn, giúp giáo viên điều chỉnh việc dạy và học sinh kịp thời
điều chỉnh việc học của mình. Từ đó, góp phần củng cố, đào sâu, hệ thống hoá
kiến thức của học sinh và có tác dụng giáo dục học sinh về tinh thần trách
nhiệm, thói quen đào sâu suy nghĩ, ý thức vươn lên trong học tập, thái độ làm
việc nghiêm túc, trung thực.
Do những ưu điểm của phương pháp trắc nghiệm như tính khách quan,
tính bao quát, tính chuẩn mực và tính kinh tế nên nếu hệ thống câu hỏi được
chuẩn bị chu đáo, cẩn thận thì hình thức thi TNKQ sẽ phát huy nhiều tác dụng
tích cực, góp phần thực hiện định hướng đổi mới phương pháp dạy học và kiểm
tra đánh giá đi vào cuộc sống.
Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán có một vị trí đặc biệt
quan trọng vì Toán học là công cụ của nhiều môn khác, có tác dụng lớn rèn
luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo, tính chính xác và khoa học. Sử dụng
kiến thức toán học có thể giải quyết được nhiều bài toán thực tế trong cuộc
2


sống. Với hình thức đánh giá bằng phương thức trắc nghiệm khách quan môn
Toán trong kỳ thi THPT quốc gia tạo nên cho học sinh không ít những khó khăn,
thậm chí đối với học sinh có học lực, khá giỏi cũng khó đạt điểm cao, nguyên
nhân chính là học sinh vẫn theo thói quen tư duy theo cách làm bài của môn tự
luận.

Để có thể làm tốt bài thi Toán trắc nghiệm ngoài việc học sinh cần nắm
vững những kiến thức và phương pháp làm bài, biết suy luận lô gic thì học sinh
cần được trang bị những kỹ năng và thủ thuật cần thiết để làm nhanh Toán trắc
nghiệm.
Tính ưu việt của hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan là điều không
thể phủ nhận. Tuy nhiên, người giáo viên cần trang bị cho học sinh một số kỹ
năng làm tốt bài trắc nghiệm khách quan và sử dụng một số kỹ năng giải nhanh
để tìm ra đáp án trong thời gian ngắn nhất. Một trong những kỹ năng cần rèn
luyện đó là sự vận dụng linh hoạt các công thức giải nhanh được tìm ra từ cách
giải bài toán tổng quát trên cơ sở những kiến thức và công cụ đã được học; sử
dụng thành thạo, chính xác các công thức đó để tính nhanh,chính xác kết quả
đáp ứng yêu cầu về thời gian trong quá trình làm bài.
Trong chương trình và sách Giáo khoa Toán lớp 12 hiện hành có ít bài
toán có nội dung thực tiễn và chỉ và chỉ đưa ra một số công thức tính diện tích
của một số hình và thể tích một số khối quen thuộc.
Với những lí do trên và mong muốn trang bị cho học sinh những công
thức tính nhanh, những thủ thuật, kỹ năng làm bài thi trắc nghiệm hiệu quả, tôi
chọn đề tài sau làm sáng kiến kinh nghiệm
" Sử dụng công thức diện tích, thể tích để giải quyết một số bài toán
trắc nghiệm khách quan có nội dung thực tiễn"
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán.
- Rèn luyện kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng và tính nhanh một số bài toán trắc nghiệm
liên quan diện tích , thể tích có nội dung thực tiễn .
3


1.3.Đối tượng nghiên cứu
Đề tài được áp dụng vào giảng dạy tại các lớp 12S, 12V trường THPT

chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2016-2017.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã phối hợp sử dụng các phương
pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
II .NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến
Để thực hiện đề tài này tôi sử dụng một số công thức và lý thuyết về ứng
dụng của tích phân trong Sách giáo khoa môn Toán lớp 12 .
2.1.1.Công thức tính diện tíchxung quanh hình nón, hình trụ và thể tích khối
nón, thể tích khối trụ
1
- Đối với hình nón, khối nón: S xq = π .R.l và Vnon = π R 2 h.
3

- Đối với hình trụ, khối trụ:

S xq = 2π .R.l và Vtru = π R 2 h.

Trong đó R , h, l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao, độ dài đường sinh của
hình nón , hình trụ.
2.1.2. Công thức tính diện tích hình phẳng và thể khối tròn xoay dựa vào tích
phân
- Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) liên
tục trên [ a; b ] , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công
b

thức: S = ∫ f ( x) dx.

a

4


- Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1 ( x) và
y = f 2 ( x) liên tục trên [ a; b ] và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công
b

thức: S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx.
a

-Thể tích vật thể :
Cắt một vật thể (T) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại
x = a , x = b ( a < b ) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a ≤ x ≤ b )

cắt (T) theo thiết diện có diện tích S(x) (Hình 1).

Hình 1

Hình 2

Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [ a; b ] .Khi đó thể tích vật thể (T) được tính theo
b

công thức : V = S ( x)dx .
∫
a

- Thể tích khối tròn xoay:

+ Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] .Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay (Hình 2). Thể tích V của
b

2
nó được tính theo công thức : Vox = π ∫ f ( x)dx .
a

+ Cho hàm số x = g ( y ) liên tục trên [ a; b ] .Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số x = g ( y ) liên tục trên [ a; b ] , trục tung và hai đường thẳng y = a , y = b
5


quay xung quanh trục Oy tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích V của nó được
b

2
tính theo công thức : Voy = π ∫ g ( y )dy .
a

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi kiểm tra hay ôn tập cho học sinh tôi nhận thấy một số em mặc dù nắm
kiến thức, biết cách làm bài nhưng kỹ năng tính toán còn chậm, việc toán học
hóa các tình huống thực tiễn thường lúng túng hoặc vận dụng không linh hoạt.
Để khảo sát chất lượng học sinh trước khi áp dụng đề tài này tôi tiến hành
kiểm tra học sinh hai lớp 12S,12V.
Đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan lần 1 (Thời gian:25 phút-10 câu )
x2 y2
Câu 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip (E) có phương trình 2 + 2 = 1

a

b

(a > b > 0) và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 7 .Biết diện tích (E) gấp 7 lầm diện tích

hình tròn (C).Khi đó
A. ab = 7.

B. ab = 7 7 .

D. ab = 49.

C. ab = 7 .

Câu 2. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay Elip có phương trình
x2 y2
+
= 1 xung quanh trục hoành .V có giá trị gần với giá trị nào sau đây?
25 16

A. 550.

B.420.

C.670.

D.335.

Câu 3.Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình

Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa
này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa
Hình 3

cao 8m và rộng 8m (hình 3)
A.

( )

28 2
m .
3

B.

( )

26 2
m .
3

C.

( )

128 2
m .
3

D.

( )

131 2
m .
3

Câu 4.Ông An muốn làm một cổng sắt có hình dạng và kích
thước giống như hình vẽ 4, biết đường cong phía trên là một
parabol. Giá 1m2 cổng sắt có giá là 700.000 đồng. Vậy ông
An phải trả bao nhiêu tiền để làm cổng sắt như vậy. (làm
tròn đến hàng nghìn)
6

Hình 4


A.

6.423.000

đồng.

B.

6.320.000

đồng.

C.

6.523.000

đồng.

D.

6.417.000

đồng.

4 cm
A

Câu 5.Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một

O

B

cái ly như hình vẽ 5.Người ta đo được đường kính của miệng
6 cm

ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của chiếc
ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một parabol. Tính
3
thể tích V ( cm ) của vật thể đã cho.

A.

V = 12π .

V=

B. V

C. V =

= 12 .

72
π.
5

I
Hình 5

D.

72
.
5

Câu 6. Một chiếc hình nón cụt đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao
20cm , đường kính đáy lần lượt là 10cm và 20cm .Cô giáo giao cho bạn An sơn

mặt ngoài của bình (trừ đáy).Tính diện tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai
chữ số sau dấu phẩy).
A.1942,97cm 2 .

B. 561, 25cm2 .

C. 971, 48cm 2 .

D. 2107, 44cm2 .

Câu 7.Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối (H)
như hình vẽ 6. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục
lớn bằng 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất
và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8
Hình 6

và 14 (hình vẽ). Tính thể tích của (H).
A. V( H ) = 192π .

B. V( H ) = 275π .

C. V( H ) = 704π .

D. V( H ) = 176π .

Câu 8.Một thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu có bán kính 5dm bằng cách
cắt bỏ hai chỏm cầu đối nhau. Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nó
bằng 60cm . (quy tròn 2 chữ số thập phân ).
A.135, 02 dm3 .

B. 414, 69 dm3 .

C.104, 67 dm3 .

D. 428, 69 dm3 .
Câu 9.Hình quạt OAB của hình tròn tâm O, bán kính R =
4 có góc ở tâm bằng 120 0, M là trung điểm cung AB
7
Hình 7


(hình7) Quay hình quạt này quanh đường thẳng OM ta được vật thể tròn xoay
(T). Tính thể tích vật thể (T).
A.

62π
.
3

64π
.
3

B.

C. 56π .

D. 58π .

3

3

Câu 10.Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán

kính đáy bằng 20 ( cm ) (hình 8). Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính

Hình 8

của đáy và tạo với đáy góc 45o . Thể tích của khối gỗ bé là.
A.

16000
cm3 ) .
(
3

B.

32000
cm3 ) .
(
3

C.

32000
cm3 ) .
(
7

D.

20000

cm3 ) .
(
9

Đáp án:
Câu
Đáp

1
D

2
D

3
C

4
D

5
A

6
C

7
D

8

B

9
B

10
A

án
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
Để khắc phục những tình trạng trên nhằm nâng cao hiệu quả làm bài trắc
nghiệm nhanh, chính xác đồng thời tạo cho học sinh yêu thích và hứng thú với
những bài Toán có nội dung thực tế. Tôi đã tiến hành các biện pháp sư phạm sau
đây.
Biện pháp 1: Tổ chức cho học sinh tìm tòi và phát hiện một số công thức tính
diện tích của một số hình và thể tích một số khối thường gặp
Công thức
Diện tích Elip và Thể
tích khối tròn xoay
sinh bởi Elip quay
xung quanh Ox, Oy

Hình vẽ


Selip = π ab

4

2

VquayquanhOx = π ab
3

4 2

Vquay quanh Oy = 3π a b

8

( 1)
( 2)
( 3)


Diện tích Parabol và

S Parabol =

Thể tích khối tròn
xoay

sinh

ra

4
Rh
3

( 4)

bởi

Parabol

1
1
V = π R2h = Vtruï
2
2

Hình nón cụt

Sxq = π l ( R + r )


1
2
2
V = π h R + r + Rr
3


( 5)

(

Hình trụ cụt
-Cắt một khối trụ bởi
một mặt phẳng ta được

 S xq = π R ( h1 + h2 )


2  h1 + h2 
V = π R 
÷
 2 


( 9)

vẽ bên.
-Hình không gian còn
lại người ta thường gọi
 S xq = 2π Rh
( 10 )


h
2
V = π h  R − ÷ ( 11)
3



Hình nêm
-Cho một vật thể

V=

có

2 3
R tan α
3

( 12 )

dạng khối trụ với bán
kính đáy bằng R. Cắt
khối trụ bởi một mặt
phẳng có giao tuyến với
đáy là một đường kính
của đáy và tạo với đáy
một góc α .
-Hình không gian bị
9

) ( 7)

( 8)

một khối (H) như hình

là hình trụ cụt.
Hình chỏm cầu

( 6)

cắt đi người ta thường
gọi là hình nêm.
Biện pháp 2: Chứng minh số công thức tính diện tích của một số hình và thể
tích một số khối thường gặp
Trong phạm vi một sáng kiến nên tôi chỉ chứng minh một số công thức
thường gặp và sử dụng trong sáng kiến này.
- Chứng minh công thức tính diện tích Elip và thể tích khối tròn xoay tạo thành
khi quay Elip xung quanh trục một đối xứng của nó.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm của hình Elip.
Phương trình là ( E ) :

x2 y2
+
= 1 . Phần đồ thị của ( E ) nằm phía trên trục hoành
a 2 b2

x2
có phương trình y = b 1 − 2 = f1 ( x ) .
a

+ Do tính đối xứng của Elip nên diện tích (E) là:
a

x2
S = 4 ∫ b 1 − 2 dx .
a
0

π

 π
Bằng cách đặt x = a sin t ,  − ≤ t ≤ ÷ ta tính được S = π ab
 2

2

+ Thể tích khối tròn xoay tạo thành do (E) quay xung
quanh Ox là
VOx = π

a

∫

−a

y 2 dx = π

b2
a2

a

∫(a

−a

2

4

− x 2 ) dx = π ab 2 .
3

+ Chứng minh tương tự ta có thể tích khối tròn xoay tạo thành do (E)
4
3

quay xung quanh Oy là VOy = π a 2b .
- Chứng minh công thức tính diện tích Parabol và thể tích khối tròn xoay sinh
bởi Parabol ( Chảo Parabol)
Chọn hệ trục tọa độ như hình 9. Khi đó Parabol có đỉnh là O ( 0;0 ) và đi qua điểm
A ( − R; h ) , B ( R; h ) nên có phương trình: y =

10

h 2
x
R2

Hình 9


+ Do tính đối xứng của (P) qua Ox nên diện tích (P) là
R

h
4


S parabol = 2 ∫  h − 2 x 2 ÷dx = Rh

R
3

0
h
h
 R2 
1
2
2
V
=
π
x
dy
=
π
+ Khi đó thể tích của chảo Parabol là
∫0
∫0  h y ÷dy = 2 π R h.

- Chứng minh công thức tính thể tích khối nón cụt:
Giả sử khối nón cụt có chiều cao h bán kính đáy lớn, đáy nhỏ lần lượt là
R, r ( R > r ) .

Gọi V ,V1 ,V2 lần lượt là thể tích khối nón cụt, khối nón lớn có bán đáy R, khối
nón nhỏ bán kính đáy r và có chung đỉnh S.
Gọi h1 , h2 lần lượt là chiều cao khối lớn và khối nón nhỏ.
h

r

h

r

hr

hR

2
2
Ta có h = R ⇔ h + h = R ⇒ h2 = R − r ⇒ h1 = h2 + h = R − r
1
2

1
1
1 
hR
hr  1
2
2
V = V1 − V2 = π R 2 h1 − π r 2 h2 = π  R 2 .
− r 2.
÷ = π h ( R + Rr + r ) .
3
3
3 
R−r

R−r  3

- Chứng minh công thức tính diện tích xung quanh hình trụ cụt ,thể tích hình
khối trụ cụt (H).
Mặt phẳng (P) vuông góc với đường sinh của hình trụ và đi qua A (điểm thuộc
thiết diện gần mặt đáy nhất) chia khối (H) thành hai khối:
+ Khối 1: Khối trụ có chiều cao h1 , bán kính đáy R .
+ Khối 2: (khối còn lại ) bằng nửa khối trụ có chiều cao h2 − h1 , bán kính
đáy R. Do đó :
+ Diện tích xung quanh của hình (H).
1
S xq = S1 + S 2 = 2.π .R.h1 + .2.π .R. ( h2 − h1 ) = π R ( h1 + h2 ) .
2

1
2

 h1 + h2 
÷.
 2 

2
2
2
+ Thể tích khối (H) là V( H ) = V1 + V2 = π .R .h1 + π .R .( h2 − h1 ) = π R 

- Chứng minh công thức tính thể tích khối chỏm cầu:
Giả sử khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h.

11

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hình phẳng giới hạn bởi cung tròn trâm O bán
kính R có phương trình y = R 2 − x 2 , trục hoành và đường thẳng x = R − h

( 0 < h ≤ R ) (hình 10). Quay hình đó xung quanh trục hoành ta được khối chỏm
cầu có bán kính R, chiều cao h. Thể tích khối chỏm cầu là
V =π

∫(
R

R −x
2

2

R−h

)

2

dx = π

R

∫ (R

R−h

2

Hình 10

h

− x 2 ) dx = π h 2  R − ÷.
3


- Chứng minh công thức tính thể tích hình nêm.
Chọn hệ trục tọa độ như hình 11. Khi đó nửa hình
tròn có phương trình: y = R 2 − x 2 , x ∈ [ − R, R ] . Một
mặt phẳng cắt vuông góc với trục

Ox

Hình 11

tại điểm có

hoành độ x , x ∈ [ − R; R ] cắt hình nêm theo thiết diện
có diện tích là S ( x )
Dễ thấy NP = y và MN = NP tan α = y = R 2 − x 2 tan α .
Suy ra S ( x ) = 1 MN .PN = 1 ( R 2 − x 2 ) tan α
2

2

R

Khi đó thể tích hình nêm là V =

∫

S ( x ) dx =

−R

R

1
2
R 2 − x 2 ) tanα dx = R 3 tan α .
(
∫
2 −R
3

Biện pháp 3: Tổ chức giảng dạy một số bài tập minh họa trên cơ sở vận dụng
các công thức diện tích, thể tích đã phát hiện ở biện pháp 1
Phần này tôi đưa ra một số bài tập và chọn một số câu trong bài kiểm tra lần 1
đã đưa ra ở phần 2.2 để tổ chức hướng dẫn học sinh phát hiện và toán học hóa
các tình huống thực tiễn đồng thời gợi ý giải bằng hai cách .Trên cơ sở đó thấy
rõ tính ưu việt của việc hiểu, nhớ công thức và vận dung linh hoạt công thức vào
bài toán thực tế.
100m

Bài 1: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ

2m

nhật có chiều dài 100 m và chiều rộng là
60m người ta làm một con đường nằm

60m

trong sân (hình12). Biết rằng viền ngoài và
12

Hình 12


viền trong của con đường là hai đường elip. Elip của đường viền ngoài có trục
lớn và trục bé lần lượt song song và bằng các cạnh với các cạnh hình chữ nhật,
chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí cho mỗi m2 làm đường 600.000 đồng.
Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. 294 053000 đồng .

B. 283904000 đồng.

C.

D.

293804000

đồng .

283604000

đồng.

Hướng dẫn giải:
Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ

O

vào tâm của hình Elip.

Elip của đường viền ngoài của con đường có phương trình là ( E1 ) :

x2
y2
+
=1.
502 302

x2
y2
Elip của đường viền trong của con đường có phương trình là ( E2 ) : 2 + 2 = 1 .
48 28

Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của ( E1 ) và ( E2 )
Áp dụng công thức (1) ta có S = S1 − S 2 = 50.30π − 48.28π = 156π
Vậy tổng số tiền làm con đường đó là 600000.S = 600000.156π ≈ 294 053000 đồng.
Đáp án A.
Bài 2: Câu 4 - Đề kiểm tra lần 1 (Trang 5)
Hướng dẫn giải:

Cách 1:Mô hình cổng sắt trong mặt phẳng tọa độ
như hình 13. Diện tích cổng gồm diện tích hình
chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol
Hình 13

( P ) và trục hoành.

Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol ( P ) ta tìm được phương trình của parabol ( P ) là:

( P) : y = −

2,5

1
5 15 55
2 2 1
 2
⇒ S = ∫  − x 2 + ÷dx + 5.1, 5 = + =   ( m 2 )
x +
25
2
3 2
6
25
2
−2,5 

Cách 2: Áp dụng công thức (4) ta có
S = Sparabol + Shcn =

4
4
55
Rh + 5.1,5 = .2,5.0,5+ 5.1,5 =
(Parabol có R = 2,5; h = 0,5 )
3
3
6

Số tiền ông An phải trả là:

55
.700000 = 6417000  (đồng). Đáp án D.
6

13


Bài 3: Câu 5 - Đề kiểm tra lần 1 (Trang 5)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Chọn gốc tọa độ

O

trùng với đỉnh I của parabol ( P ) . (hình 5 trang 5)Vì

parabol ( P ) đi qua các điểm A ( −2;6 ) , B ( 2;6 ) và I ( 0; 0 ) nên parabol ( P ) có
3
2

phương trình y = x 2 .
3
2

2
3

Ta có y = x 2 ⇔ x 2 = y . Khi đó thể tích của vật thể đã cho là
6

2
V =π ∫
3
0


y ÷dy = 12π ( cm3 ) .


Cách 2: Chiếc ly có dạng chảo Parabol .Áp dụng công thức (5) ta có
1
1
V = π R2h = π .22.6 = 12π . Đáp án A.
2
2

Bài 4: Câu 7 - Đề kiểm tra lần 1 (Trang 6)
Hướng dẫn giải: Ta có DE = CE − CD = 6  ,AD = AE 2 − DE 2 = 8 ⇒ R =

AD

=4
2

Cách 1: Mặt phẳng (P) vuông góc với đường sinh của hình trụ và đi qua A (điểm
thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất) chia khối (H) thành hai khối:
+ Khối 1: Khối trụ có chiều cao h = 8 , bán kính đáy r = 4 ⇒ V1 = π .42.8 = 128π
+ Khối 2: (khối còn lại ): có thể tích bằng nửa thể tích khối trụ
1
2

có chiều cao h = 6 , bán kính đáy r = 4 ⇒ V2 = π .42.6 = 48π
Vậy thể tích khối (H) là V( H ) = V1 + V2 = 176π
Cách 2:Hình (H) có dạng hình trụ cụt nên áp dụng công thức

Hình 14

(9) ta có V = π R2  AB + CE ÷ = π .42  8+ 14 ÷ = 176π . Đáp án D.
( H)
2







2 

Bài 5: Trên quả địa cầu, vĩ tuyến 30 độ Bắc chia khối cầu thành 2 phần. Tính tỉ
số thể tích giữa phần lớn và phần bé.

A.

27
.
5

9
8

B. .

C.

24
.
5

14

D.

27
.
8


Hướng dẫn giải: Gọi V ,V1 ,V2 lần lượt là thể tích khối cầu, thể tích phần lớn và
phần bé do vĩ tuyến 30 chia quả địa cầu.
Cách 1:Thiết diện chứa trục trái đất và xích đạo là một
đường tròn , giả sử bán kính đường tròn là R.Chọn hệ trục

tọa độ Oxy sao cho:Ox trùng với trục trái đất, Oy trùng với
trục xích đạo (Hình 15).
Phương trình đường tròn là x 2 + y 2 = R 2 .Khi đó:

Hình 15

R
2

4
9
5
V 27
V = π R 3 ;V1 = π ∫ ( R 2 − x 2 ) dx = π R 3 ;V2 = V − V1 = π R 3 ⇒ 1 =
3
8
24
V2
5
−R

Cách 2: Phần nhỏ là chỏm cầu có chiều cao h =
2

 R
V2 = π  ÷
 2

R
nên

2

V1 27
4 3
9 3

R 5
3
 R − ÷ = π R , V = 3π R ⇒ V1 = V − V1 = 8π R ⇒ V = 5 Đáp án A.
6  24
2


Bài 6: Câu 9 - Đề kiểm tra lần 1 (Trang 6)
Hướng dẫn giải: Vật thể (T) gồm khối chỏm cầu có bán kính R = 4, chiều
HM =

R
R
R 3
= 2 và khối nón có bán kính đáy HA =
= 2 3 , chiều cao OH = = 2
2
2
2

2
.Vậy thể tích khối (T) là V = π .MH  R −



MH
3

64π
 1
2
.
÷+ .π . AH .OH =
3
 3

Bài 7: Câu 10 - Đề kiểm tra lần 1 (Trang 6)
Hướng dẫn giải: Khúc gỗ bé có dạng hình nêm sử dụng công thức (12) ta có:
V=

2 3
16000
R tan 450 =
cm 3
3
3

(

)

Đáp án A.

Biện pháp 4: Thực nghiệm sư phạm.

2.3.1. Mục đích thử nghiệm
Bước đầu kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của việc sử dụng công thức
tính diện tích và thể tích đã nêu ở biện pháp 1.
2.3.2. Tổ chức thử nghiệm
Lớp thực nghiệm: 12S và 12V của trường THPT chuyên Lam Sơn Thành phố Thanh Hóa.
15


2.3.3 Nội dung thử nghiệm
Thông qua bài kiểm tra trắc nghiệm.
Đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan lần 2(Thời gian:25 phút-10 câu )
Câu 1. Học sinh A sử dụng một xô đựng nước có hình dạng và kích thước
giống như hình16, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính
20 cm, miệng xô là đường tròn bán kính 30 cm, chiều cao xô
là 80 cm. Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả
bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20.000
đồng/1m3 (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)?

Hình 16

A. 35279 đồng. B. 38905 đồng. C. 42116 đồng. D.31835 đồng
Câu 2. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối (H)
như hình vẽ 17. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục
lớn bằng 12, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy
nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt

Hình 17

là 10 và 16 .Tính diện tích xung quanh của (H) (trừ hai mặt đáy).
A. S( H ) = 76π 3 .

B. S( H ) = 78π 3 .

C. S( H ) = 68π 3 .

D. S( H ) = 72π 3 .

Câu 3. Cho hình phẳng ( H ) được mô tả ở hình 18.Tính
thể tích

V

3 cm

F
E

3 cm

D

của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay

hình phẳng ( H ) quanh cạnh AB .
A. V =

A

772π
cm3 .

3

C. V = 254π cm3 .

6 cm
5 cm

B. V =
D. V =

799π
cm3 .
3
826π
cm3 .
3

C
B

7 cm

Hình 18

Câu 4. Bạn có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính
trong lòng đáy cốc là 6 cm chiều cao trong lòng cốc là 10
cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước,
vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước
trùng với đường kính đáy (hình 19). Tính thể tích lượng
nước trong cốc.

16

Hình 19


A. 15 π cm3 .

B. 60π cm3.

C. 60 cm3 .

D. 70 cm3 .

Câu 5. Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt, biết miệng cốc và đáy cốc có
bán kính lần lượt là 4cm và 3cm, chiều cao cốc là 10cm.Khi chiều cao trong cốc
là 7cm thì thể tích nước trong cốc là bao nhiêu?
A.

8113
π (ml ).
300

B.

25900
π (ml ).
300

C.

39823
π (ml ).
300

D.

23653
π (ml ).
300

Câu 6. Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính 4
dm, người ta muốn cắt bỏ một chỏm cầu có diện
2
tích mặt cắt là 15π ( dm ) để lấy phần còn lại làm bể

nuôi cá (hình 20). Hỏi thể tích nước tối đa mà bể

Hình 20

cá này có thể chứa là bao nhiêu?
A.

(

)

175
π dm3 .
4

B.

(

)

175
π dm3 .
3

C.

(

)

125
π dm3 .
4

D.

(

)

125
π dm3 .
3

Câu 7. Một cái chuông có dạng như hình vẽ 21.Giả sử khi cắt
chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có
đường viền là một phần Parabol. Biết chuông cao 4m và bán
kính của miệng chuông là 2 2 m .Tính thể tích cái chuông.
A. 6π .

B.12π .

C. 2π .

D.16π .

Câu 8.Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía

Hình 21

ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng
1
và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng
2
2 2

và độ dài trục nhỏ bằng 2 ( hình 22). Trong mỗi
Hình 22

100

một đơn vị diện tích cần bón 2 2 − 1 π kg phân hữu cơ. Hỏi
(
)

cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?
A. 30kg.

B. 40kg.

C. 50kg.

D. 45kg.

Câu 9. Một loại gạch lát có dạng hình vuông cạnh bằng 80
cm như hình vẽ 23. Người ta tráng men trắng vào các phần
17
Hình 23


Parabol và tráng men màu vào phần còn lại như hình vẽ. Các Parabol cắt các
cạnh của viên gạch theo một đoạn có độ dài bằng 40 cm. Chi phí để tráng men
trắng là 40 nghìn đồng/ m2; chi phí để tráng men màu là 60 nghìn đồng/ m2. Tính
chi phí để tráng men theo yêu cầu cho 1000 viên gạch lát nói trên.
A. 30 triệu đồng.

B. 32 triệu đồng.

C. 35 triệu đồng.

D.28 triệu đồng.

Câu 10. Hình quạt OAB của hình tròn tâm O, bán kính R = 4 có góc ở tâm
bằng 600 (hình 24). Quay hình quạt này quanh đường thẳng OA ta
A

được vật thể tròn xoay (T). Tính thể tích vật thể (T).
A.

64
π.
3

B.

44
π.
3

C.

62
π.
3

D.

46
π.
3

600
O

Đáp án:

Câu
Đáp

B

Hình 24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D
B
A

C
D
B
án
Hướng dẫn một số câu trong đề kiểm tra lần 2

D

C

B

A

Câu 3. Vật thể tròn xoay tạo ra gồm hai
phần (hình 25):
-Khối trụ có chiều cao h = 5 ( cm ) ; bán kính
đáy R1 = 7 ( cm ) có thể tích V1
-Khối nón cụt có chiều cao h′ = 1( cm ) ; bán
kính đáy lớn R = 4 ( cm ) ; bán kính đáy bé
r = 3 ( cm ) có thể tích V2 .Do đó
V = V1 + V2 = π R12 .h +

Hình 25

π .h′ 2 2
772π
R + r + R.r ) =
cm 3 . Đáp án A
(

3
3

Câu 4. Phần nước trong cốc sau khi nghiêng cốc có dạng hình nêm.
Ta có tan α = tan ·AOB =

AB 10
2
= . Nên V = R 3 tan α = 60 cm3 . Đáp án C.
OB 3
3

Câu 5. Dựa vào hình 26 ta có
Lại có

(

)

h
3
= ⇒ h = 30 .
h + 10 4

3 30
37
=
⇒x=
.Thể tích nước trong cốc là:
x 37

10

18
Hình 26


 37 2
1
37  23653
V = π .7.  ÷ + 32 + .3 =
π ( ml ) Đáp án D.
3
10 
300
 10 


Câu 6. Gọi V,VC ,VCh lần lượt là thể tích tối đa của bể nuôi cá có thể chứa, thể tích
khối cầu bằng thủy tinh và thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ.
4 3
h
2
Khi đó: V = VC − VCh = π R − π h  R − ÷ . Ta có:
3
3


 R = 4dm

2

2
2
 S = π r = 15π dm ⇒ r = 15

(

)

Do đó: h' = R2 − r 2 = 42 − 15 = 1⇒ h = R − h' = 3dm.
Vậy thể tích nước tối đa mà bể cá này có thể chứa là:

4
3 175
V = π .43 − π .32  4 − ÷ =
π dm3 . Đáp án C.
3
3
3


(

)

Câu 8. Gọi S ; Shv ; S P lần lượt là diện tích của bề mặt hoa văn, viên gạch hình
vuông và một phần hình có dạng parabol tráng men trắng.
Áp dụng công thức (4) ta có
4
4
S( p ) = .R.h = .2.3 = 8 ( dm 2 ) ⇒ S = S hv − 4 S ( p ) = 82 − 4.8 = 32 ( dm 2 ) = 0,32 ( m 2 )

3
3

Chi phí tráng men 1 viên gạch là ( 4.0, 08) .40 + 0,32.60 = 32 nghìn đồng.
Do đó chi phí tráng men 1000 viên gạch là: 32 triệu đồng. Đáp án B.
Câu 9. Gọi S , S1 , S2 lần lượt là diện tích trồng hoa, diện tích Elip, diện tích hình
tròn.
(E) có bán trục lớn a = 2 , bán trục nhỏ b = 1 nên S1 = π ab = 2 π còn

(

)

π 2 2 −1
1
S 2 = π R 2 = π ⇒ S = S1 − S 2 =
2
2

(đvdt)

Vậy số kg phân hữu cơ cần bón cho hoa là

(

).

π 2 2 −1
2

(2

100

)

2 −1

= 50 (kg ) .

Đáp án C
Câu 10.Dựng đường cao BH của tam giác đều ABC

A

B

(hình 27) . H là trung điểm OA. Vật thể (T) gồm khối
chỏm cầu của hình cầu bán kính bằng R = 4 có chiều cao

H

600

AH = 2 và khối nón có chiều cao OH = 2 và bán kính

19

O

Hình 27


đáy BH =

OA 3
 = 2 3 .Vậy thể tích V của vật thể ( T ) :
2


AH  1
64
2
V = π .AH 2  R −
÷+ π .BH .OH = π . Đáp án A
3  3
3


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Thông qua việc đưa ra các công thức tính diện tích một số hình ,thể tích
một số khối thường gặp đồng thời chứng minh cho học sinh hiểu rõ bản chất,
yêu cầu học sinh nhớ và biết cách áp dụng vào những bài toán cụ thể tôi thấy
học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập hơn,tính nhanh và độ chính xác cao
hơn.Từ đó kết quả kiểm tra tốt hơn rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12S và
12V mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn nhưng thời gian làm bài ngắn
hơn và kết quả tốt hơn rõ rệt. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như sau .
Kết quả kiểm tra Lần 1

Số HS
Lớp

thực

Điểm dưới 5

Điểm 5-6

SL

%

SL

%

Điểm 7-8
SL

%

Điểm 9-10
SL

%

2

5,7%

1

2,9%

nghiệm
12S

35

4

11,4%

17

12V

35

6

17,1%

18

48,6
%
51,4
%

12
10

34,3
%
28,6
%

Kết quả kiểm tra lần 2
Số HS
Lớp

thực

Điểm dưới 5

Điểm 5-6

SL

%

SL

%

Điểm 7-8
SL

%

Điểm 9-10
SL

%

nghiệm
12S

35

0

0

5

12V

35

0

0

6

14,3
%

17,1
%

20

20
21

57,1
%
60%

10
8

28,6
%
22,9
%


III.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Trên đây là một vài điều tôi đã làm và nhận thấy có kết quả rõ rệt. Không
những giúp cho các em nắm vững kiến thức cơ bản mà còn giúp các em có thói
quen tư duy vận dụng kiến thức một cách linh hoạt đặc biệt giúp học sinh giải
nhanh bài toán trắc nghiệm phù hợp với cách thi trắc nghiệm THPT quốc gia
hiện nay.Tuy nhiên không có công thức nào vạn năng theo nghĩa có thể áp dụng
cho mọi bài toán. Song cách làm trên đã mang lại cho tôi cũng như học sinh
những kết quả nhất định,giúp học sinh cảm thấy yêu quý Toán ứng dụng thực tế
đồng thời chúng tôi cũng thu được nhiều điều bổ ích phục vụ tốt hơn cho quá

trình dạy Toán trắc nghiệm.
Vì thời gian có hạn, với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm đề tài mà tôi
nghiên cứu vẫn còn những hạn chế, chắc chắn không tránh khỏi những sai xót,
rất mong được độc giả góp ý kiến để đề tài hoàn thiện hơn.
Qua đây tôi xin có một số đề xuất như sau:
Đối với giáo viên cần tự giác chủ động tự bồi dưỡng ,tích cực tìm tòi các
phương pháp, công thức, thủ thuật giải nhanh những bài Toán trắc nghiệm nhằm
đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Tôi hy vọng rằng những vấn đề đã được trình bày trong sáng kiến này có
thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp đang giảng dạy ở lớp 12 ở
các trường phổ thông và dạy bồi dưỡng ôn thi Toán trắc nghiệm.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2017

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

CAM KẾT KHÔNG COPY.

Bùi Thị Thanh
21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Trần Văn Hạo, 2008, SGK Giải tích lớp 12, NXB Giáo dục.
2.Đoàn Quỳnh, 2008, SGK Giải tích nâng cao lớp 12, NXB Giáo dục.
3.Trần Văn Hạo, 2009,SGK Hình học lớp12, NXB Giáo dục.
4. Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2016-2017 của các trường THPT

chuyên KHTN Hà Nội, THPT chuyên Ngoại ngữ Hà Nội, THPT Tử Đà-Phú
Ninh-Phú Thọ.

22