Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT yên định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN
ĐỊNH 3 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC
TRỊ CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện : Phạm Thị Trang
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn : Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Khái niệm cực đại, cực tiểu
2.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
2.1.4. Quy tắc tìm cực trị
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ
thị hàm số và cực trị của hàm số
2.3.2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị và điểm cực
trị thỏa mãn điều kiện cho trước
2.3.3. Hệ thống bài tập vận dụng
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục
2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị

Trang
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
4
4
4
4
7

16
18
18
19
19
19
19


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Kì thi THPT quốc gia 2017 có một số điểm mới so với những năm học
trước đó là thí sinh phải làm 4 bài thi tối thiểu, trong đó có 3 bài thi bắt buộc là
Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và bài thi tự chọn là KHTN (gồm các môn Vật lí,
Hoá học, Sinh học) hoặc bài thi KHXH (gồm các môn Lịch sử, Địa lí, Giáo dục
công dân). Trong đó, môn toán chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi
trắc nghiệm. Thời gian làm bài của môn toán là 90 phút với 50 câu hỏi trắc
nghiệm, tức là trung bình mỗi câu làm trong 1,8 phút. Với hình thức thi và thời
gian thi như vậy là một áp lực không hề nhỏ đối với các thí sinh, đòi hỏi các thí
sinh phải chuẩn bị cho bản thân lượng kiến thức, kĩ năng nhất định và chiến
thuật làm bài phù hợp mới có thể có được kết quả cao.
Trong chủ đề ‘‘Cực trị của hàm số’’ các bài toán tuy không khó, nhưng nếu
học sinh vẫn làm theo phương pháp thông thường lâu nay thì mất rất nhiều thời
gian, kể cả những học sinh khá giỏi. Thực tế giảng dạy cho thấy kĩ năng tính
toán của các em học sinh trường THPT Yên Định 3 còn hạn chế, thiếu kinh
nghiệm trong quá trình làm bài trắc nghiệm nên thường dẫn tới những sai sót khi
làm bài. Để giúp các em có một số kinh nghiệm và kỹ năng làm bài trắc nghiệm
môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia sắp tới đạt hiệu quả hơn, tôi đã tìm hiểu
và nghiên cứu “Một số kinh nghiệm làm bài thi trắc nghiệm môn toán trong kỳ
thi THPT quốc gia” (Dành cho ban cơ bản).

Môn Toán học trong trường phổ thông là một môn học khó, học sinh thường
không học tốt môn này. Nếu thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh gặp
nhiều khó khăn về nội dung kiến thức và thời gian làm bài. Để giải quyết được
trọn một đề 50 câu trong thời gian 90 phút nếu giải theo quy trình tự luận thì rất
mất thời gian và có thể học sinh không làm hết được các câu hỏi .
Với mong muốn cho học sinh trường THPT Yên Định 3 làm quen và nhanh
với dạng toán trắc nghiệm tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh
lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của
hàm số’’
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 có thêm được các kiến thức
và kĩ năng cơ bản trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số.
Đề xuất một số cách giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số để
giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán trắc nghiệm, từ đó giải
bài toán trắc nghiệm cũng dễ dàng hơn. Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần
cực trị của hàm số và giúp học sinh trường THPT Yên Định 3 yêu thích môn
Toán hơn.
Nâng cao chất lượng dạy học bộ môn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài đi vào nghiên cứu cách giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm phần
cực trị của hàm số (Giải tích 12 cơ bản).
Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3, Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
3


Trong đề tài này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý
thuyết. Thông qua các kiến thức trong sách giáo khoa, tôi đưa ra một số chú ý và
nhận xét quan trọng để học sinh từ đó giải nhanh bài toán trắc nghiệm.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin : Tham khảo ý kiến

của giáo viên và thăm dò ý kiến học sinh.
Phương pháp thống kê, xử lí số liệu : Thống kê và xử lí số liệu kết quả học
tập của học sinh trước và sau khi áp dụng sáng kiến.

4


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Học sinh phải nắm được:
- Về kiến thức:
+ Khái niệm điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của
hàm số, giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số,
điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị.
- Về kĩ năng:
+ Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để tìm điểm cực trị của hàm số, cực
trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số.
+ Vận dụng kiến thức đã học để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số.
2.1.1. Khái niệm cực đại, cực tiểu:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) (có thể a là −∞ ;
b là +∞ ) và điểm x0 ∈ ( a; b ) .
a) Nếu tồn tại h sao cho f ( x ) < f ( x0 ) với mọi x ∈ ( xo − h; xo + h ) và x ≠ xo thì
hàm số f ( x ) đạt cực đại tại xo .
b) Nếu tồn tại h sao cho f ( x ) > f ( x0 ) với mọi x ∈ ( xo − h; xo + h ) và x ≠ xo thì
hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại xo .
Chú ý:
- Nếu f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của hàm số ; f ( xo ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực

tiểu) của hàm số, kí hiệu fCD ( fCT ) , còn điểm M ( xo ; f ( xo ) ) được gọi là
điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
- Các điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị
cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung
là cực trị của hàm số.
2.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lí 1:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x 0 thì
f ' ( xo ) = 0

2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lí 2:
Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K = ( xo − h; xo + h ) và có đạo
hàm trên K hoặc trên K / { xo } , với h > 0.
a) Nếu f ′ ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f′ (x) < 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là
một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f′ (x) < 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f′ (x) > 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là
một điểm cực tiểu của f(x).
Định lí 3:
5


Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( xo − h; xo + h ) vơi h
> 0. Khi đó:
a) Nếu f ′ ( xo ) = 0 , f ′′ ( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f ′ ( xo ) = 0 , f ′′ ( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại;
2.1.4. Quy tắc tìm cực trị:
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính f ′ ( x ) .Tìm các điểm mà tại đó f ′ ( x ) bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Xét dấu f ′ ( x ) và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số.
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định
'
Bước 2: Tính f ′ ( x ) . Giải phương trình f ( x ) = 0 và kí hiệu là xi (i = 1,2,3,, n)
Bước 3: Tính f '' ( x ) , f '' ( xi )
Bước 4: Dựa vào dấu của f '' ( xi ) suy ra tính chất cực trị của xi
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
+ Các năm trước khi chưa thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh máy
móc áp dụng theo giáo viên, nhưng bắt đầu từ năm 2017 Bộ giáo dục và đào tạo
tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm. Với hình thức thi này nếu học sinh vẫn
máy móc áp dụng lần lượt các bước thì vẫn có thể ra đáp số nhưng mất rất nhiều
thời gian và không có thời gian cho các câu khác.
+ Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết của các em học sinh còn hạn chế.
+ Phần lớn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 kỹ năng tính toán và
suy luận chưa cao nên sẽ gặp khó khăn trong bài toán trắc nghiệm.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
Theo kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi sẽ chia làm các dạng để học
sinh có thể hiểu rõ và nắm vững hơn về từng dạng, vận dụng được cho các bài
tập khác.
2.3.1. Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị
hàm số và cực trị của hàm số.
Phương pháp chung:
Để giúp học sinh làm tốt và làm nhanh bài toán liên quan đến cực trị trước
hết giáo viên cần giúp học sinh nắm vững được kiến thức liên quan đến cực trị,
cách tìm cực trị và cách phân biệt điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ
thị hàm số và cực trị của hàm số. Ngoài ra, đôi khi trong một số bài toán giáo
viên hướng dẫn học sinh một số cách loại đáp án sai tìm nhanh ra đáp án đúng

để không mất thời gian quá nhiều.
Bài tập 1: Hàm số y = x 4 − x3 có điểm cực trị là:
3
3
B. x = 0
 3 −27 
A. x = 0; x =
C. x =
D.
 ;
÷
4
4
 4 256 

Giải
6


x = 0
Ta có: y′ = 4 x − 3x ⇒ y′ = 0 ⇔ x ( 4 x − 3) ⇔  3
x=

4
3

2

2

Ta thấy y’ không đổi dấu qua x = 0 do vậy x = 0 không phải là một điểm cực trị
của hàm số. Và y’ đổi dấu khi đi qua x =

3
3
do vậy x = là một điểm cực trị của
4
4

hàm số. Ta chọn đáp án C
Nhận xét:
- Nhiều học sinh không nắm vững lí thuyết sẽ chọn ngay đáp án A vì cứ nghĩ
nghiệm của phương trình y’ = 0 là điểm cực trị của hàm số.
- Ngoài ra học sinh cũng hay mắc phải sai lầm đó là chọn đáp án D điểm
cực trị của đồ thị hàm số.
Qua đó ta rút ra nhận xét:
- Nếu x = x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì f’(x0) = 0 hoặc f’(x0) không
xác định, nhưng nếu f’(x0) = 0 thì chưa hẳn x = x0 là điểm cực trị của hàm số.
- Trong các bài toán trắc nghiệm thường có các câu hỏi đánh lừa học sinh bởi
các cụm từ “điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số”. Vì
vậy học sinh cần nắm vững lí thuyết để phân biệt được các khái niệm.
Bài tập 2: Hàm số nào sau đây không có cực trị
A. y = x3 − 3x + 1
B. y = x 4 − 4 x3 + 3x + 1
2n
*
2− x
D. y = x − 2017 x + 1( n ∈ N )
C. y =
x+3

Giải

Cách giải thông thường:
Với A: Ta thấy đây là hàm bậc ba có y’ = 3x2 – 3 , phương trình y’ = 0 luôn có
hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại)
Với B: Đây là hàm bậc bốn có y’ = 4x 3 – 12x2 + 3, phương trình bậc ba luôn có
ít nhất một nghiệm nên hàm số có ít nhất một điểm cực trị (loại)
Với C: Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số không có cực
trị. Do đó ta chọn đáp án C
Nhận xét: Với một bài toán yêu cầu tìm hàm số không có cực trị nếu ta xét từng
đáp án thì mất rất nhiều thời gian. Đôi khi ta phải nhớ được một số kết quả đã
biết. Ví dụ như trong bài tập 2 này nhìn vào bốn đáp án ta có thể chọn ngay đáp
án C. Giáo viên có thể nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh ghi nhớ đó là:
“Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị”
Bài tập 3: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu
B. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu
C. Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu
D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
Giải
Cách giải thông thường:

7


 y′′ ( −1) = −8 < 0
 x = −1



3
2
Ta có: y′ = −4 x + 4 x ⇒ y′ = 0 ⇔  x = 0 ; y′′ − 12 x + 4 ⇒  y′′ ( 0 ) = 4 > 0
 ′′
 x = 1
 y ( 1) = −8 < 0

Vậy hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Ta chọn đáp án B
4
2
Nhận xét: Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) thì
ta có
- Nếu ab > 0 thì hàm số có 1điểm cực trị x = 0
- Nếu ab <0 thì hàm số có ba điểm cực trị là x = 0; x = ± −

b
. Khi đó:
2a

b
là hai điểm cực đại của hàm số
2a
b
+) a > 0 thì x = 0 là điểm cực đại, x = ± − là hai điểm cực tiểu của hàm số
2a

+) a < 0 thì x = 0 là điểm cực tiểu, x = ± −

Đôi khi chúng ta nhớ “mẹo” đó là a < 0 đồ thị hàm số có dạng chữ M nên hàm
số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu; a > 0 đồ thị hàm số có dạng chữ W

nên hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Dựa vào nhận xét trên ta có thể giải quyết bài toán trên như sau:
Ta có: a = -1 < 0, b = 2 , a.b < 0 nên hàm số có hai điểm cực đại và một cực
tiểu. Ta chọn đáp án B.
Ghi nhớ nhận xét trên giúp học sinh giải nhanh bài toán.
Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục và xác định trên ¡ \ { 2} và có bảng biến
thiên sau:
∞
0
2
4
+
∞
x −
y
0
+
+
0
’
+∞
+∞
-15
y
−∞
−∞
1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 4
B. Hàm số có đúng một điểm cực trị

C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng - 15
Giải
Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 0, do vậy x = 0 là một cực
tiểu của hàm số, tương tự suy ra x = 4 là điểm cực đại của hàm số.Từ đây loại
được A và B. D sai vì đây là giá trị cực trị chứ không phải là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy ta chọn đáp án C
Nhận xét: Giá trị cực trị của hàm số chưa hẳn là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số đó.

8


Bài tập 5: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = ( 1 − x ) ( x − 2 ) . Phát biểu nào
sau đây là đúng.
A. Hàm số có một điểm cực đại
B. Hàm số có hai điểm cực trị
C. Hàm số có đúng một điểm cực trị
D. Hàm số không có điểm cực trị
Giải
2

x = 1
x = 2

2
Ta thấy f ′( x) = ( 1 − x ) ( x − 2 ) = 0 ⇔ 

Đến đây nhiều học sinh kết luận hàm số có hai điểm cực trị và chọn ngay đáp án
B. Tuy nhiên đó là kết luận sai lầm, bởi khi đi qua x = 1 thì f’(x) không đổi dấu,

2
bởi vì ( 1 − x ) ≥ 0 với mọi x. Do vậy hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị x = 3.
Vậy ta chọn đáp án C
Nhận xét: Trong đa thức, đa thức chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn và nghiệm
bội lẻ, còn nghiệm bội chẵn không khiến đa thức đổi dấu.
Qua nhận xét này ta có thể chọn ngay đáp án C
Bài tập 6: Cho hàm số y = x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Hàm số có một điểm cực đại
B. Hàm số không có cực trị
C. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 0 nên không đạt cực
trị tại x = 0
D. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 0 nhưng đạt cực trị
tại x = 0
Giải
Ta có: y ' =

x
x2

. Hàm số có đạo hàm không xác định tại x = 0 và ta thấy đáp án

C và D ngược nhau, nên ta loại trừ ngay được đáp án A và B.
Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 0 , vậy theo định nghĩa x = 0
là một điểm cực trị của hàm số. Ta chọn đáp án D
Nhận xét:
- Với hàm liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm làm cho y’ = 0 hoặc
không xác định
- Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 thì x = x0 sẽ làm cho y’ bằng 0 hoặc không
xác định.
2.3.2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị và điểm cực trị thỏa

mãn điều kiện cho trước
Phương pháp chung:
Với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi rút ra được một số nhận xét sau đây:
*) Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y =

ax + b
cx + d

( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) :

Không có cực trị
3
2
*) Đối với hàm đa thức bậc ba y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 )
Ta có: y′ = 3ax 2 + 2bx + c , ∆′ = b 2 − 3ac
- Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân
biệt ⇔ ∆′ = b 2 − 3ac > 0
9


- Để hàm số không có điểm cực trị thì phương trình y’=0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép ⇔ ∆′ = b 2 − 3ac ≤ 0
Qua đây ta rút ra được kết quả: Đồ thị hàm đa thức bậc ba hoặc là có hai điểm
cực trị hoặc là không có điểm cực trị nào.
3
2 2
Bài tập 1: Với giá trị nào của m thì hàm số y = x − m x − ( 4m − 3) x − 1 đạt cực đại
tại x = 1
A. m = 1 ∨ m = −3
B. m = 1

C. m = −3
D. m = −1
Giải
Ta có :
y ′ = 3 x 2 − 2m 2 x − ( 4m − 3 )
y ′′ = 6 x − 2m 2
 y′ ( 1) = 0
⇔ m = −3 .
 y′′ ( 1) < 0

Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 1 là 

Vậy chọn đáp án C
Nhận xét: Nhiều học sinh mắc sai lầm trong bài tập này đó là chỉ thay x =1 vào
phương trình y’ = 0 suy ra giá trị m cần tìm là m = 1 và m = -3. Khi đó học sinh
sẽ chọn đáp án A và không suy nghĩ gì đến đáp án C
Qua đây ta có:
 y′ ( x0 ) = 0
 y′′ ( x0 ) < 0

- Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì 

 y′ ( x0 ) = 0
- Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì 
 y′′ ( x0 ) > 0

Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 4 x3 + mx 2 − 12 x
đạt cực tiểu tại x = - 2
A. m = −9
B. m = 2

C. m = −3
D. m = 9
Giải:
Ta có
y ′ = 12 x 2 + 2mx − 12
y ′′ = 24 x + 2m
 y′ ( −2 ) = 0
⇔ m = 9 . Vậy ta chọn đáp án D
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì 
 y′′ ( −2 ) > 0

Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y = x 3 − 3mx 2 + 3m + 1 có hai điểm cực trị
A. m > 0
B. m < 0
C. m ≥ 0
D. m ≠ 0
Giải:
Vận dụng nhận xét trên ta có để hàm số có hai điểm cực trị thì
∆′ = b 2 − 3ac > 0 ⇔ 9m 2 > 0 ⇔ m ≠ 0 . Ta chọn đáp án D
10


1
3

Bài tập 4: Tìm m để hàm số y = x3 − mx 2 + ( m 2 + m − 1) x + 1 đạt cực trị tại hai điểm
x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 4
A. m = ±2
C. m < 1

B. m = −2
D m=2
Giải

Tập xác định D = ¡
2
2
Đạo hàm y′ = x − 2mx + ( m + m − 1) .
Để hàm số có hai điểm cực trị thì ∆′ > 0 ⇔ m < 1 (1)
Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 suy ra x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
y’ = 0, theo Vi-ét ta có
 x1 + x2 = 2m

2
 x1.x2 = m + m − 1
m = 2
. Kết hợp với (1) ta có giá trị
 m = −2

Theo giả thiết ta có x1 + x2 = 4 ⇔ 2m = 4 ⇔ 

cần tìm là m = −2 . Ta chọn đáp án B
Nhận xét: Ở bài này học sinh thường mắc sai lầm đó là chọn đáp án C hoặc A
+) Học sinh ngay sau khi giải điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị thì chọn
ngay C
+) Hoặc học sinh không tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị mà bắt tay
m = 2
nên chọn đáp án A
 m = −2

vào giải x1 + x2 = 4 ⇔ 2m = 4 ⇔ 

Bài tập 5: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x 3 + 2 x 2 − 3 x + 1 là
A. 26 x + 9 y − 15 = 0
B. −25 x + 9 y − 15 = 0
C. 26 x − 9 y + 15 = 0
D. 25 x − 9 y + 15 = 0
Giải:
Thông thường bài toán này học sinh sẽ tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và
lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau:

−2 + 13
14 − 3 13
⇒ y1 =
 x1 =
2
8
Ta có y’ = 3x2 + 4x – 3 , y′ = 0 ⇔ 

−2 − 13
14 + 3 13
⇒ y2 =
 x2 =
2
8


Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 26x + 9y – 15 = 0. Và chọn

đáp án A
Nhận xét: Đối với bài toán không chứa tham số thì học sinh có thể làm như
vậy, nhưng đối với bài toán chứa tham số thì cách làm như vậy không hiệu quả
mà đôi khi rất khó khăn trong việc tính toán. Ta có thể làm như sau:
3
2
Giả sử hàm bậc ba y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai điểm cực trị là x1 và x2..
Khi đó thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta được:
f ( x) = Q ( x ) . f ′ ( x ) + Ax + B

11


 f ( x1 ) = Q ( x1 ) . f ′ ( x1 ) + Ax1 + B = Ax1 + B
(do
 f ( x2 ) = Q ( x2 ) . f ′ ( x2 ) + Ax2 + B = Ax2 + B

Ta có 

f ′ ( x1 ) = f ′ ( x2 ) = 0)

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = f ( x) đó là y = Ax + B.
Bài tập vận dụng:
3
2
Bài tập 6: Cho hàm số y = x − 3x + 3 ( 1 − m ) x + 1 + 3m, giả sử đồ thị hàm số có hai
điểm cực trị. Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho
A. 2mx + y − 2m − 2 = 0
B. 2mx + y − 2m + 2 = 0

C. 2mx − y − 2m − 2 = 0
D. 2mx + y + 2m − 2 = 0
Giải
3
′
Ta có : y = 3x − 6 x + 3 ( 1 − m ) . Thực hiện phép chia y cho y’ ta được
1
1
y =  x − ÷ 3 x 2 − 6 x + 3 ( 1 − m ) − 2mx + 2m + 2
3
3

(

)

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
y = −2mx + 2m + 2 . Ta chọn đáp án A
Ngoài ra tôi xin giới thiệu một cách bấm máy tính (sử dụng cho máy Casio fx –
570 ES PUSL) để tìm nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số bậc ba như sau:
Bước 1: Xác định y’, y’’
Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức
MODE →2:CMPLX
Nhập biểu thức y − y′.

y′′
(Công thức này học sinh thừa nhận do khuôn khổ
18a

của sáng kiến tôi xin phép không giới thiệu vào sáng kiến).
Chú ý: Với bài toán không chứa tham số thì ta sử dụng biến X trong máy, tuy
nhiên nếu bài toán chứa tham số ta có thể sử dụng biến bất kì trong máy để biểu
thị cho tham số đã cho, ta quy ước biến M .
Bước 3: Gán giá trị.
Ấn
CALC
Gán X với i , gán M với 100
Lúc này máy tính xuất hiện kết quả, ta tách hệ số và i để đưa kết quả cuối cùng
Ví dụ như hai bài tập 5 và 6 ở trên:
Bài tập 5: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x 3 + 2 x 2 − 3 x + 1 là
A. 26 x + 9 y − 15 = 0
B. −25 x + 9 y − 15 = 0
C. 26 x − 9 y + 15 = 0
D. 25 x − 9 y + 15 = 0
Ta có thể dùng máy tính bấm như sau:
Bước 1: Xác định y′ = 3x 2 + 4 x − 3, y′′ = 6 x + 4
Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức
MODE →2:CMPLX
Nhập biểu thức X 3 + 2 X 2 − 3 X + 1 − ( 3 X 2 + 4 X − 3) .

6X + 4
18

12


Bước 3: Gán giá trị
Ấn

CALC
Gán X với i , gán M với 100. Khi đó máy tính xuất hiện

5 26
− i . Vậy phương
3 9

trình đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là
5 26
−
x ⇔ 26 x + 9 y − 15 = 0 . Vậy đáp án ta chọn là A
3 9
3
2
Bài tập 6: Cho hàm số y = x − 3x + 3 ( 1 − m ) x + 1 + 3m, giả sử đồ thị hàm số có hai
y=

điểm cực trị. Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho
A. 2mx + y − 2m − 2 = 0
B. 2mx + y − 2m + 2 = 0
C. 2mx − y − 2m − 2 = 0
D. 2mx + y + 2m − 2 = 0
Giải
2
Ta có : y′ = 3x − 6 x + 3 ( 1 − m ) .
2
Bước 1: Xác định y′ = 3x − 6 x + 3 ( 1 − m ) , y′′ = 6 x − 6
Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức
→
MODE

2:CMPLX
Nhập biểu thức X 3 + 3 X 2 − 3 ( 1 − M ) X + 1 + 3M − ( 3 X 2 − 6 X + 3 ( 1 − M ) ) .

6X − 6
18

Bước 3: Gán giá trị
Ấn
CALC
Gán X với i , gán M với 100. Khi đó máy tính xuất hiện 202 − 200i .
Ta thấy 202 − 200i = 2.100 + 2 − 2.100i ⇒ y = 2m + 2 − 2mx
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho
là y = 2m + 2 − 2mx . Vậy đáp án ta chọn là A
Nhận xét: Đôi khi việc sử dụng máy tính thuận lợi và nhanh hơn giải theo cách
thông thường. Với hình thức thi mới này học sinh không những nắm vững và
rộng kiến thức mà còn phải có kĩ năng sử dụng máy tính thành thạo để tránh
mất thời gian làm bài.
Bài tập 7: Xác định tất cả các giá trị của m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm
sau y = x3 − 3x 2 + mx đối xứng nhau qua đường thẳng x − 2 y − 5 = 0 .
A. m = 0
B. m = −2
C. m ∉ ∅
D. m = 2
Giải:
2
Ta có y′ = 3x − 6 x + m
Để hàm số có hai điểm cực trị thì y′ = 3x 2 − 6 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3

Sử dụng máy tính cầm tay học sinh dễ dàng tìm được phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị là 2 ( m − 3) x − 3 y + m = 0
Thông thường học sinh sẽ giải tiếp như sau: Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị của
 x1 + x2 = 2

hàm số. Theo định lí vi-et ta có 
m
 x1 x2 = 3

13


Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 2mx1 − 6 x1 + m 
M 1  x1 ;
÷
3


 2mx2 − 6 x2 + m 
M 2  x2 ;
÷
3



Tọa độ trung điểm I của M1M2 là I(1; m - 2)
Để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
I ∈ ∆
x − 2 y − 5 = 0 thì 
⇔m=0

d ⊥ ∆

Vậy đáp án chọn là A
Nhận xét: Cách làm trên đúng và cho kết quả nhưng nếu bài toán trắc nghiệm
thì lại mất rất nhiều thời gian. Ta có thể sử dụng nhận xét sau để có thể rút ngắn
thời gian làm bài.
Chương trình cơ bản không đề cập tới khái niệm “điểm uốn” nhưng đối với
bài thi trắc nghiệm thì ta có thể ghi nhớ để dùng khi cần.
Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba là điểm có hoành độ thóa mãn y’’ = 0
và nằm trên đồ thị đó.
Đồ thị của hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Gọi I là điểm
I ∈ ∆
với ∆ là đường thẳng mà hai điểm
d ⊥ ∆

uốn của đồ thị hàm số bậc ba, khi đó 

cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng đó,
d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Quay trở lại với bài toán trên ta có thể làm như sau:
Ta có y′ = 3x 2 − 6 x + m , y′′ = 6 x − 6 , y ′′ = 0 ⇔ x = 1 . Tọa độ điểm uốn I(1; m-2).
Để hàm số có hai điểm cực trị thì y′ = 3x 2 − 6 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3

Sử dụng máy tính cầm tay học sinh dễ dàng tìm được phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm cực trị là 2 ( m − 3) x − 3 y + m = 0
Theo nhận xét trên ta có :
1 − 2 ( m − 2 ) − 5 = 0

I ∈ ∆

⇔ 2 
⇔ m = 0.

32  1
d
⊥
∆
m
−

÷. = −1
3 
3 2
 

Vậy ta chọn đáp án A
4
2
*) Đối với hàm đa thức bậc bốn trùng phương y = f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0 )
Ta có:
y ′ = 4ax 3 + 2bx

x = 0
′
y =0⇔ 2
 x = − b (1)
2a


Nhận xét:

- Hàm đa thức bậc bốn trùng phương luôn có điểm cực trị
- Số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)
14


+) Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y’=0 có ba nghiệm phân biệt
⇔ ab < 0

+) Để hàm số có 1 điểm cực trị thì phương trình (1) hoặc vô nghiệm hoặc có
một nghiệm kép x = 0 ⇔ ab ≥ 0
b
. Khi đó đồ thị hàm
2a
b
∆  
b
∆ 
− ;− ÷
,
C
−
−
;
−

÷ và AB = AC.

2 a 4a ÷
2a 4a ÷
 



- Nếu ab<0 thì hàm số có ba điểm cực trị x = 0, x = ± −


số có 3 điểm cực trị là A ( 0; c ) , B 


- Trong trường hợp hàm số có ba điểm cực trị thì có hai khả năng đó là 2 điểm
cực đại và 1 điểm cực tiểu hoặc 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
 ab < 0
. Khi đó x = 0 là
a < 0

+) Để hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu thì 
điểm cực tiểu, x = ± −

b
là hai điểm cực đại.
2a
 ab < 0
. Khi đó x = 0 là
a > 0

+) Để hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu thì 
điểm cực đại , x = ± −

b
là hai điểm cực tiểu.
2a

Đôi khi chúng ta nhớ “mẹo” đó là a < 0 đồ thị hàm số có dạng chữ M nên hàm
số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu; a > 0 đồ thị hàm số có dạng chữ W
nên hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y = f ( x) = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có đúng một điểm cực trị.
A. m ≥ 0
B. m > 0
C. m ≤ 0
D. m < 0
Giải:
Để hàm số có đúng 1 điểm cực trị thì ab ≥ 0 ⇔ 2m ≥ 0 ⇔ m ≥ 0 . Ta chọn đáp án A
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y = f ( x) = mx 4 + ( m 2 − 2 ) x 2 + 2 có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại
m < − 2
B. − 2 < m < 0
A. 
0 < m < 2
C. m > 2

D. 0 < m < 2

Giải:
Áp dụng nhận xét ở phần trước: Để hàm số có 2 điểm cực tiểu và một điểm cực
m > 0
 ab < 0
⇔ 2
⇔ 0 < m < 2 . Ta chọn đáp án D
a > 0
m < 2

đại thì 

Nhận xét:
- Nếu chưa rút ra được nhận xét ở phần trước thì học sinh phải trình bày khá dài
để tìm ra được điều kiện thõa mãn yêu cầu bài toán.
- Vì vậy học sinh phải ghi nhớ công thức để làm bài toán một cách nhanh nhất.
Sau đây dựa vào một số nhận xét ở trên tôi xin đưa ra một số dạng bài toán
tổng quát cho học sinh hiểu và ghi nhớ công thức để làm bài thi trắc nghiệm tốt
hơn
15


Bài toán 1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có ba
điểm cực trị tạo thành tam giác vuông
Giải:
Với ab < 0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
Do điểm A (0;c) luôn nằm trên trục tung và cách đều 2 điểm B và C. Nên tam
giác ABC phải vuông cân ở A. Khi đó AB ⊥ AC
4

2

uuur 
b
b 2  uuur 
b
b2 
;− ÷
Ta có AB =  − − ; − ÷÷; AC =  −

÷
2 a 4a 

 2a 4a 
uuur uuur
b3
Do AB ⊥ AC nên AB. AC = 0 ⇔ = −8
a

Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = f ( x) = x 4 − 8m 2 x 2 + 3 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông.
1 
 1
 1 1
A. { 0}
B.  
C. − 
D. − ; 
2

 2

 2 2

Giải:
Nếu chưa biết kết quả ở trên học sinh sẽ giải theo hướng sau:
Tập xác định: D = ¡
Ta có y ' = 4 x3 − 16m 2 x
Hàm số có ba điểm cực trị khi ab<0 ⇔ m ≠ 0
4

4
Lúc đó ba điểm cực trị là: A ( 0;3) , B ( −2m; −16m + 3 ) , C ( 2m; −16m + 3 )
Dễ thấy AB = AC. Do đó tam giác ABC vuông thì vuông tại A khi và chỉ khi
uuur uuur
1
AB. AC = 0 ⇔ 4m 2 − 256m8 = 0 ⇔ m = ± . Ta chọn đáp án D.
2

Nếu làm theo kết quả đã có ở trên: Để tam giác ABC vuông thì

(

−8m 2
b3
= −8 ⇔
a
1

)

3

= −8 ⇔ m = ±

1
2

Nhận xét: Sau khi giáo viên hướng dẫn cho học sinh ghi nhớ công thức thì bài
toán này sẽ làm nhanh hơn và không mất thời gian của học sinh
4

2
Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có ba
điểm cực trị tạo thành tam giác đều.
Giải:
Với ab < 0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
Do điểm A (0;c) luôn nằm trên trục tung và cách đều 2 điểm B và C. Nên tam
giác ABC cân ở A. Khi đó để tam giác ABC đều thì ta chỉ cần AB = BC
b4
b
b
−
; BC = 2 −
Mặt khác ta có AB =
.
2
16a 2a
2a
b
b4
2b
b3
Vậy AB = BC ⇔ − + 2 = − ⇔ = −24
2a 16a
a
a

Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = f ( x) = x 4 − 8m 2 x 2 + 3 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.
 6 3 
 6 3 

 6 3 
A. { 0}
−
B.  
C. 

D.  
 2 



2 

 4 

16


Giải:
Vận dụng nhận xét ở trên ta có :
- Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì ab < 0 ⇔ −8m 2 < 0, ∀m ≠ 0
- Để ba điểm cực trị của đồ thị tạo thành tam giác đều thì

( −8m ) = −24 ⇔ m = 6 3 . Vậy ta chọn đáp án B
b3
= −24 ⇔
a
1
2
4

2
Bài toán 3: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có ba
điểm cực trị tạo thành tam giác có góc ở đỉnh cân bằng α
3

Giải:
Với ab < 0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
Ta có uuur uuur
uuu
r uuur uuu
r uuur
AB. AC
cos α = uuu
r uuur ⇔ AB. AC = AB . AC .cos α
AB . AC
uuur uuur uuur uuur
⇔ AB. AC − AB . AC .cos α = 0
uuur uuur
⇔ AB. AC − AB 2 .cos α = 0

 b
b
b4
b4 
+
−
−
+

÷.cos α = 0

2a 16a 2  2a 16a 2 
b3 + 8a
⇔ cos α = 3
b − 8a
⇔

Ví dụ 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thi hàm số
y = f ( x) = x 4 − 8m 2 x 2 + 3 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc ở đỉnh cân
bằng 600 .
A. { 0}
 6 3 
B.  
 2 
 6 3 
D.  
 4 

 6 3 
C. − 
 2 

Giải:
Vận dụng nhận xét ở trên ta có :
- Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì ab < 0 ⇔ −8m 2 < 0, ∀m ≠ 0
- Để ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc ở đỉnh cân bằng 600 thì theo
b3 + 8a
nhận xét trên ta có cos α = 3
b − 8a

( −8m ) = −24 ⇔ m = 6 3 .

b3
⇔
= −24 ⇔
a
1
2
3

Vậy ta chọn đáp án B
4
2
Bài toán 4: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có ba
điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng S0.
Giải
Với ab < 0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
∆  uuur 
b2 

Gọi H là trung điểm của BC. Vậy H ∈ 0 y ⇒ H  0; − ÷⇒ AH =  0; − ÷
4a 
4a 



17


Diện tích ABC được tính theo công thức
2

2

1
1  b2  
b 
b5
2
S = AH .BC ⇒ S 2 = .  − ÷ .  2 −
⇔
S
=
−
÷
0
2
4  4a  
2a ÷
32a 3

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x) = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 . Với giá trị nào của m thì đồ

thị trên có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
B. m = 16
A. m = 5 16
C. m = 3 16
D. m = − 3 16
Giải
Áp dụng công thức trên ta có S0 2 = −

b5

32m5
⇔
16
=
⇔ m = 5 16 . Chọn đáp án A
32a 3
32

Nhận xét: Ta thấy rằng việc ghi nhớ công thức làm nhanh hơn rất nhiều so với
cách suy ra từng trường hợp, rất phù hợp cho việc thi trắc nghiệm hiện nay.
2.3.3. Hệ thống bài tập vận dụng:
Bài 1: Số điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x 4 + 2017 là
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
4
2
Bài 2: Hàm số y = x + 2 x + 2017 có bao nhiêu điểm cực trị
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
4
2
Bài 3: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số y = − x + 2 x + 1
A. x = ±1
B. x = −1
C. x = 1
D. x = 0

1
3

Bài 4: Cho hàm số y = x3 + 4 x 2 − 8 x + 5 có hai điểm cực trị x1, x2. Hỏi tổng x1+x2
là bao nhiêu?
A. 8
B. -8
C. 5
D. -5
3
2
Bài 5: Đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 có điểm cực đại là
A. (2;-3)
B. (0;1)
C. (0;2)
D. Đáp án khác
3
2
Bài 6: Cho hàm số y = x − 3x + 3x + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x =1
B. Hàm số đồng biến trên ( 1; +∞ ) , hàm số nghịch biến trên ( −∞;1)
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1
D. Hàm số đồng biến trên ¡
Bài 7: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên, trong các khẳng định sau
khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -4 và đạt giá trị lớn nhất bằng 0
B. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(-2;0) và điểm cực đại B(0;-4)
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng – 2
18

D. Hàm số đạt cực tiểu tại A(-2;0) và đạt cực đại tại B(0;-4)
Bài 8: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có đúng hai điểm cực trị
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -1 hoặc 1
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng -3 và giá trị nhỏ nhất bằng -4
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0
Bài 9: Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số
y = x 3 − 2 x là
A. yCT + yCĐ = 0
B. 2yCT = 3yCĐ
C. yCT = 2 yCĐ
D. yCT = yCĐ
2
Bài 10: Cho hàm số y = ( x − 1) ( x + 2 ) . Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. 2 x + y + 4 = 0
B. 2 x + y − 4 = 0
C. 2 x − y − 4 = 0
D. 2 x − y + 4 = 0
Bài 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y = x 3 + ( m − 1) x 2 − 3mx + 1 đạt cực trị tại x0 = 1
A. m = −1
B. m = 1
C. m = 2
D. m = −2
Bài 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y = x 3 − 3 x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1; x2 thõa mãn x12 + x2 2 = 3
3
3
A. m = −3
B. m = 3
C. m = −
D. m =
2

2

Bài 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = x 3 + x 2 − ( 2m + 1) x + 4 có đúng hai điểm cực trị
−2
2
4
C. m < −
D. m > −
3
3
3
3
2
Bài 14: Biết đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d có điểm cực trị là (-1;18) và (3;

A. m <

4
3

B. m >

-16). Tính a + b + c+ d.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4
2
2
Bài 15: Tìm m để hàm số y = mx + ( m − 9 ) x + 1 có hai điểm cực đại và một điểm
cực tiểu
A. −3 < m < 0
B. 0 < m < 3
C. m < −3
D. m > 3
Bài 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
y = x 4 − 2mx 2 + 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.
1
B. m = 3
C. m = −1
D. m = 1
A. m = 5
4

Bài 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.
A. m = 3 3
B. m = 1 − 3 3
C. m = 1 + 3 3

D. m = − 3 3
Bài 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
y = x 4 − 2mx 2 + m 2 − 2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
19


A. m = 1
B. m = −1
C. m = 2
D. m = −2
2
Bài 19: Cho hàm số y = x + ln ( x − m ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị
9
D. a
C. m < − 2
A. m > 2
B. m >
4

Bài 20: Cho hàm số y = −2 x + ( 2m − 1) x − ( m − 1) x + 2 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá
trị của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị
A. 4
B. 5
C. 3
D. 6
3

1A
11B

2A
12D

3A
13B

4B
14B

2

2

Đáp số
5B
6D
15C
16A

7B
17A

8D
18A

9A
19A

10A

20B

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục:
Qua một thời gian thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường
THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số” tôi
nhận thấy tiết học đạt hiệu quả cao hơn rất nhiều so với cách dạy truyền thống là
đọc chép hoặc một tiết dạy chỉ sử dụng bằng bài giảng điện tử cho học sinh nhìn
chép. Khi cho học sinh luyện tập về các bài toán cực trị của hàm số theo một số
cách giải nhanh phần lớn gây được hứng thú cho học sinh, phát huy được tính
tích cực cho học sinh tránh tình trạng lớp học thụ động, nhàm chán vì giáo viên
không phải lặp đi lặp lại các câu hỏi có cấu trúc gần giống nhau. Qua sáng kiến
này học sinh có thể tư duy, so sánh được các nội dung kiến thức với nhau, qua
đó khắc sâu được kiến thức đã học.
Trong năm học tôi dạy lớp 12C7 và 12C6. Ở lớp 12C7 tôi đã áp dụng sáng
kiến trên trong quá trình giảng dạy, lớp 12C6 tôi sử dụng cách dạy truyền thống.
Đầu năm tỉ lệ học sinh giỏi, khá, trung bình của hai lớp gần như tương ứng. Cụ
thể là:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Lớp Tổng
Tỉ lệ
Tỉ lệ
Tỉ lệ
Tỉ lệ
Tỉ lệ

SL
SL
SL
SL
SL
%
%
%
%
%
12C7 43
6
14
16 37.2 16 37.2
5 11.6 0
0
12C6 43
2
4.7
14 32.6 20 46.6
5 11.6 2
4.7
Kết quả sau lần cho kiểm tra đánh giá về sáng kiến đã thực hiện như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Lớp Tổng
Tỉ lệ

Tỉ lệ
Tỉ lệ
Tỉ lệ
Tỉ lệ
SL
SL
SL
SL
SL
%
%
%
%
%
12C7 43
9
20.9 20 46.5 13 30.3
1
2.3
0
0
12C6 43
3
7.0
14 32.6 21
48.8
4
9.3 1
2.3
Nhận xét: Đối với lớp 12C7 hầu hết các em đã làm bài tập thành thạo.

Điểm khá, giỏi tăng lên nhiều, điểm yếu kém giảm đi đáng kể. Học sinh nắm
20


được kiến thức một cách chắc chắn hơn, sâu rộng hơn. Học sinh có thể biết và
hiểu thêm, hiểu hơn một số phương pháp giải toán. Học sinh có hứng thú học
tập bộ môn nhiều hơn, say mê hơn. Việc phân loại các bài tập trong đề tài nhằm
mục đích bồi dưỡng và phát triển kiến thức kỹ năng cho học sinh vừa bền vững,
vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham gia tích cực của người học. Từ đó giúp học
sinh có khả năng tự rút ra kiến thức, tự mình tham gia các hoạt động để củng cố
vững chắc kiến thức, rèn luyện kỹ năng tính toán và thời gian trong bài toán trắc
nghiệm. Đối với lớp 12C6 do tôi sử dụng cách dạy truyền thống nên điểm khá,
giỏi không tăng lên nhiều, điểm yếu kém giảm đi nhưng không đáng kể. Kĩ năng
tính toán và giải nhanh bài toán trắc nghiệm còn hạn chế. Từ đó ta nhận thấy
tính hiệu quả khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Sau khi dạy cho các em một số cách giải nhanh bài toán cực trị của hàm số
giúp tôi có thêm hứng thú dạy học đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm và tìm ra
được một số phương pháp vận dụng cho việc dạy học phù hợp với đổi mới thi
cử hiện nay.
Tôi đã chia sẻ kinh nghiệm của mình cho đồng nghiệp để áp dụng cho các
lớp 12 khác đặc biệt là các lớp có học sinh lực học yếu và trung bình thì kết quả
đã có phần được cải thiện. Qua đó tạo cho bản thân và các giáo viên khác trong
nhà trường có nhiều động lực để tìm tòi, phát hiện phương pháp dạy học phù
hợp với học sinh và nâng cao được chất lượng của trường THPT Yên Định 3.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Môn toán cũng như nhiều môn học khác đòi hỏi sự chăm chỉ và nổ lực
trong quá trình học tập. Sự đầu tư thời gian và công sức để học là một trong
những nhân tố quan trọng làm nên thành công.

Khi dạy học các thầy cô không nên quá cứng nhắc về phương pháp, mà
phải có sự linh hoạt trong từng bài giảng. Không dạy theo kiểu “thầy đọc trò
chép”, vì hậu quả của nó là đến khi đi thi học trò sẽ “chép hết gì thầy đã đọc”.
Nên dạy cho học sinh cách phân tích, đánh giá, tự mình chủ động tìm ra cách
giải quyết cho bài toán đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm. Để học sinh thực sự
nhập cuộc vào bài học, chủ động trong lối suy luận và cách nghĩ. Từ đó rèn
luyện cho học sinh kĩ năng làm bài trắc nghiệm được nhanh và chính xác hơn.
3.2. Kiến nghị:
Sau đây, tôi cũng xin nêu một số kiến nghị để việc dạy học Toán ở trường
THPT Yên Định 3 ngày càng có hiệu quả cao hơn với hình thức thi trắc nghiệm,
đáp ứng được mục tiêu giáo dục hiện nay:
- Tổ chức bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên về các phương pháp dạy
học tích cực và về việc đổi mới kiểm tra đánh giá một cách sâu rộng và hiệu quả
hơn nữa. Đặc biệt là bồi dưỡng cho giáo viên cách ra đề trắc nghiệm và ôn thi
theo hình thức trắc nghiệm cho phù hợp với yêu cầu của bộ giáo dục
- Đổi mới việc đánh giá giờ dạy của giáo viên.
- Nhà trường cần mua thêm một số tài liệu trắc nghiệm cho giáo viên và
học sinh tham khảo.
21


Trong khuôn khổ của một đề tài SKKN, tôi chỉ nêu ra được việc áp dụng
phương pháp dạy học trong bài toán cực trị của hàm số. Từ đó sẽ tạo điều kiện
cho việc mở rộng nghiên cứu và áp dụng sang các phần khác của chương trình
góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT Yên Định 3.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 8 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác.

Phạm Thị Trang

22


1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích 12,Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị
Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. NXB giáo dục Việt Nam,
2013.
Bài tập giải tích 12, Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên
Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. NXB giáo dục Việt Nam, 2013.
Giải tích 12 Nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan
(Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng.
NXB Giáo dục Việt Nam, 2014.
Bài tập Giải tích 12 Nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương
Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thi Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng
Thắng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2014.
Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học, Nguyễn Lăng
Bình (chủ biên), Đỗ Hương Trà, Nguyễn Phương Hồng, Cao Thị Thặng

NXB Đại học Sư phạm, 2010.
Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
Diễn đàn toán học.
Trang mạng K2pi.vn và các trang mạng toán khác.

23


PHỤ LỤC
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH
ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH
3 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
(Đề gồm 20 câu, mỗi câu làm đúng được 0,5 điểm)
Thời gian làm bài 35 phút
x3
+ x 2 + 1 là
3
C. ( 2; −3)

Câu 1: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = −

A. 2
D. 0
B. ( 0;1)
Câu 2: Cho hàm số y = x 4 + 4 x 2 + 2 , khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
B. Hàm số có cực đại và cực tiểu
C. Hàm số có cực đại và không có cực tiểu
D. Hàm số không có cực trị
Câu 3: Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm

f '( x) = x2 ( x − 1)

5

( x − 2) . Số điểm cực trị
4

của hàm số là:
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên tập số thực ¡ và có đạo hàm
y′ = x4 − 6x2 + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. Hàm số có 3 điểm cực trị.
B. Hàm số có 1 điểm cực trị.
C. Hàm số có 2 điểm cực trị.
D. Hàm số có 4 điểm cực trị.
Câu 5: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 . Giả sử x1 ; x2 là các điểm cực trị của hàm số.
Khi đó tích x1.x2 bằng
A. - 6
B. - 3
C. 0
D. 3
4

3
Câu 6: Hàm số y = 2 x − 8 x + 15 :
A. Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại
B. Nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại
C. Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu
D. Nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu
x2 + 2x + 2
Câu 7: Cho hàm số y =
. Mệnh đề nào dưới đậy đúng?
x +1

A. Cực tiểu của hàm số bằng 0
B. Cực tiểu của hàm số bằng -1
C. Cực tiểu của hàm số bằng 2
D. Cực tiểu của hàm số bằng -2
Câu 8: Giá trị cực tiểu của hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 là
24


A. 0

B. 2

(

C. -1

)

D. 1

Câu 9: Tìm m để hàm số: y = x − m+ 3 x + mx + m+ 5 đạt cực trị tại x = 2
3

2

A. 0
B. 2
C. -1
D. 1
3
2
Câu 10: Đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 có điểm cực đại là
A. (2;-3)
B. (0;1)
C. (0;2)
D. Đáp án khác
4
2
2
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + m − 1
đạt cực tiểu tại x = 0.
A. m < −1
B. m ≥ 1 hoặc m ≤ −1 C. m = −1
D. m ≤ −1
Câu 12: Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số y =

x3 x 2
+ + ( m − 4 ) x − 7 đạt cực
3 2

tiểu tại x = 1.
A. ∅

B. { 0}
C. { 1}
D. { 2}
4
2
2
Câu 13: Cho hàm số y = x + 2 ( m − 2 ) x + m − 5m + 5 . Giá trị nào của m để đồ thị
của hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông
cân thuộc khoảng nào sau đây?
4 3
 3 21 
 1
D. ( −1;0 )
A. ;
B. ;
C. 0;

÷
7 2


÷

÷
 2 10 
 2

Câu 14: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên, trong các khẳng định sau

khẳng định nào đúng?

A. Hàm số có giá trị cực đại bằng - 4
B. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(-2;0) và điểm cực đại B(0;-4)
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng – 2
D. Hàm số đạt cực tiểu tại A(-2;0) và đạt cực đại tại B(0;-4)
Câu 15: Với giá trị của nào của tham số m thì đồ thị hàm số
x3
y = + mx 2 + ( m + 6 ) x − ( 2m + 1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu
3
A. m ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 2; +∞ )
B. m ∈ ( −∞; −3) ∪ ( −2; +∞ )

C. m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ )

D. m ∈ ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ )

Câu 16: Cho hàm số: y = x3 + (m+ 2)x2 + (m+ 1)x + 3− m. Tìm m để hàm
số có cực trị.
A. m= −1
B. m= 1
C. ∀m
D. Không có giá trị
25