Khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán chủ đề giới hạn cho học sinh trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN
---------o0o--------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
KHẮC PHỤC NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP
TRONG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Người thực hiện:

Trần Thị Hà

Chức vụ:

Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

Năm 2017
1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh, có thể xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy
học giải Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Các
bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học

sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt
động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học
Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối
với chất lượng dạy học Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ
thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của
học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những
nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát
hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học
Toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp
sai lầm.
Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai
lầm trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học. Nhiều nhà khoa học
đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình
giảng dạy Toán, chẳng hạn, G. Polia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở
những sai lầm và những thiếu sót của mình”, còn A. A. Stôliar thì nhấn mạnh
rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học
sinh” . Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh trong giải Toán
là cần và có thể khắc phục được.
Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài là: “Khắc phục những khó khăn
và sai lầm thường gặp trong giải toán chủ đề Giới hạn cho học sinh trung học
phổ thông ”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu một số khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh THPT trong giải
toán chủ đề Giới hạn và đề xuất một số biện pháp khắc phục góp phần nâng cao
2


chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề Giới hạn , đặc biệt đối với những học sinh
yếu kém.

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ chọn nghiên cứu những khó khăn, sai lầm
thường gặp ở học sinh THPT trong giải toán chủ đề Giới hạn và biện pháp khắc
phục.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các
vấn đề liên quan đến đề tài.
1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều
tra theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, phỏng vấn và các biện pháp
khác.
1.4.3 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình
giảng dạy.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Giải tích là nội dung mới và khó đối với lớp học sinh lớp 11. Trước đó
học sinh đã học nhiều năm về Đại số; nhưng Giới hạn, Hàm số liên tục, Đạo
hàm thì các em mới được làm quen từ đầu.
Tư duy các vấn đề thuộc về Giải tích và kỹ thuật giải quyết các bài toán
Giải tích có phần khác với Đại số. Học sinh chuyển từ sự làm việc trên những
đối tượng hữu hạn sang những đối tượng vô hạn, đòi hỏi trí tưởng tượng và tư
duy trừu tượng phải phong phú và ở mức độ cao hơn.
Sự thay đổi chương trình và sách giáo khoa môn Toán trong thời gian qua
đã tạo ra sự thiếu ổn định và gây nên những khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng
dạy trên lớp. Mặc dù đã có những đợt bồi dưỡng thường xuyên theo chu kỳ, những
đợt tập huấn về chương trình mới, nhưng thực ra vẫn chưa đủ để làm cho giáo viên
có những cái nhìn sâu sắc về bản chất vấn đề, hình dung rõ những điểm, lí do và
mức độ thay đổi về chương trình và nội dung sách giáo khoa. Bản lĩnh, trình độ và
tư duy phê phán của giáo viên nhiều lúc chưa thể giúp họ tự mình vượt qua, tìm
lời giải đáp thoả đáng đối với những chỗ còn phân vân, cấn cái.
Nhiều kiến thức đã thay đổi cách trình bày, nhưng khi giảng dạy, giáo viên

vẫn chưa kịp cập nhật theo chương trình mới, vẫn có tình trạng cũ, mới xen kẽ.
3


Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hoạt động hoá người học cần
được tiến hành triển khai trong quá trình dạy về Giới hạn và Đạo hàm ở lớp 11
nhằm nâng cao khả năng lĩnh hội kiến thức một cách vững vàng, chủ động cho
học sinh.
2.2.Thực trạng của vấn đề
Khi học chủ đề Giới hạn học sinh sẽ làm quen với đối tượng mới, kiểu tư
duy mang tính biện chứng hơn. Do đó học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn sai
lầm không thể tránh khỏi. Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm cũng có
ích trong việc xây dựng tri thức, đặc biệt khi tạo nên sự xem xét lại các tri thức
đã biết trước đây. Vì vậy trong quá trình dạy và học Toán ở trờng THPT, việc
tìm hiểu những khó khăn, sai lầm và chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để
chiếm lĩnh một tri thức toán học được đưa ra giảng dạy là bước đầu không thể
bỏ qua trong quá trình tìm kiếm những phương pháp dạy học hiệu quả nhằm
giúp học sinh nắm vững tri thức đó. Hơn nữa, việc phát triển và biết khai thác
các tình huống sai lầm làm học sinh hay mắc phải trong học tập cũng chính là
quá trình phát huy TTCNT của học sinh.
+ Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu được lý do phát sinh và
bản chất của tri thức cần dạy, mặt khác là những trở ngại mà các nhà khoa học
đã gặp phải trong quá trình xây dựng và phát triển tri thức này. Đây là cơ sở cho
việc xác định nguồn gốc khoa học luận của những khó khăn mà học sinh phải
vượt qua để nắm vững tri thức đó.
+ ở mức độ tri thức cần dạy, thông qua việc phân tích chương trình và SGK
sẽ làm sáng tỏ những đặc trưng của việc dạy một tri thức trong quá trình chuyển
hóa sư phạm. Nghiên cứu này sẽ giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm
của những khó khăn mà học sinh thường gặp.
Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toán

học, giáo viên có thể dự đoán được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi
lĩnh hội tri thức này.
+ Ta nói rằng có một chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta
đã cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết.
4


+ Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn đề được giải quyết mà không cần
phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang xét hay thay đổi quan
niệm hiện hành.
Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không chắc
chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm
và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ
trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng lại là
sai lầm hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức
mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, chúng sẽ
được tạo nên từ những chướng ngại.
Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có
thể tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm
ra khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai lầm,
phân tích nguyên nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những khó
khăn sai lầm đó trong quá trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý
nghĩa quan trọng trong quá trình dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt
động nhận thức của học sinh góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các khó
khăn sai lầm:
2.3.1. Khó khăn sai lầm về kiến thức, bao gồm:

a) Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm bản chất của khái niệm, định lý

Nếu xét Giải tích ở trờng THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng rất
khó hình thành cho học sinh vì học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng
cũng như các khía cạnh tinh vi trong lập luận xung quanh vấn đề này, nếu như
muốn nắm vững được bản chất đích thực vấn đề này. Còn bấy lâu nay khi tìm
Giới hạn hay xét tính liên tục, học sinh vẫn đang còn nặng về thuật toán, nói
cách khác là thiên về cú pháp mà còn coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn ngay sau khi
học xong khái niệm giới hạn hàm số ( mà chưa học đến các định lý về giới hạn và
5


hàm số f(x) liên tục) thì học sinh cho rằng việc tìm giới hạn của f(x) khi x → a rất
đơn giản: chỉ việc thay x = a và tính f(a). Khi đó lim
x→a f(x) =f(a) điều này phản
ánh rằng học sinh chưa hiểu bản chất kí hiệu: lim.
x 2 − 18 x + 81
lim
VÝ dô1:
Tính x→9
với cách nghĩ như vậy nên việc tìm giới
x−9
x 2 − 18 x + 81
hạn chỉ là thay x = 9 vào
để cho kết quả, suy nghĩ kiểu như vậy dẫn
x−9
x 2 − 18 x + 81
đến cho rằng lim
không tồn tại.
x →9
x−9

Để cho học sinh xem xét đồng thời những đối tượng thõa mãn các định
nghĩa khái niệm và định lí (qua các ví dụ) và các đối tượng không thõa mãn một
trong các khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ ) qua đó làm sáng tỏ cho
học sinh hiểu và nắm vững bản chất của một khái niệm hay định lí, chẳng hạn:
Ví dụ2:

Tính lim
x →9

(

(?): Học sinh cho rằng:
vậy lim
x →9

(

81 − x 2 + x − 9
lim
x →9

)

(

)

81 − x 2 + x − 9 = 0

(!): Thực ra thì hàm số f(x) =

)

81 − x 2 + x − 9 = f(9) =

(

(

)

81 − 9 2 + 9 − 9 = 0

)

81 − x 2 + x − 9 không có giới hạn tại x = 9

 81 − x 2 ≥ 0
⇔ x = 9 , tức tập xác định là K = { 9} .
vì tập xác của hàm số f(x): 
 x − 9 ≥ 0

Do đó không thể áp dụng định nghĩa lim
x →9 f(x) được không thể lấy bất kỳ dãy

{ x n } nào cả để thõa mãn điều kiện của định nghĩa đó là:
{ x n } → 9, nên hàm số đã cho không có giới hạn tại x = 9.

∀ xn ∈ K, xn ≠ 9 mà

b) Khó khăn sai lầm về hình thức (như hiểu sai công thức, kí hiệu...)
Với SGK ở phổ thông của nước ta là chỉ sử dụng có kí hiệu là ∞ để viết
Giới hạn vô cực của dãy số. Nên tùy vào từng trường hợp mà kí hiệu ∞ này, có
thể được hiểu theo các cách khác nhau như + ∞ hoặc - ∞ hay hỗn hợp cả hai +
∞

và - ∞ , chẳng hạn xét:
Ví dụ 3: - Với lim n2 = ∞ , kí hiệu ∞ được hiểu là + ∞ .
- Với lim (-n) = ∞ , kí hiệu ∞ này được hiểu là - ∞ .
- Với lim (-1)nn = ∞ , kí hiệu ∞ ở đây được hiểu là cả - ∞ và + ∞ .
Vì vậy, nên khi xét giới hạn vô cực của dãy số phải xét cụ thể chỉ rõ ràng,
6


∞ hoặc
giới hạn + ∞ hay giới hạn - ∞ tức là nlim
→ +∞ un = +

lim un = - ∞ . Do R là một tập hợp sắp thứ tự nên không thể kết luận chung

n → +∞

∞ . Cụ thể, xét giới hạn vô cực của dãy u n
chung giới hạn là ∞ hay viết nlim
→ +∞ un=
n
= (-1)n theo như phân tích này thì: nlim
→ +∞ (-1) n không tồn tại.

Bản chất của + ∞ và - ∞ không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào

đó, mà đúng ra nói đến lân cận của + ∞ tức là khoảng ( a, + ∞ ) và lân cận của ∞ là khoảng (- ∞ ; a) với ∀a ∈ R, do đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép

toán đại số trên chúng.

f ( x)
= 0 nếu lim
f ( x ) = L và lim
g ( x) = + ∞
x→ a
x→ a
g ( x)
f ( x)
f ( x ) lim
L
lim
= x→a
=
= 0.
Nhưng không thể viết:
x→a g ( x)
lim g ( x ) + ∞
lim

Chẳng hạn:

x →a

x →a

Nhưng kết quả giới hạn ( nếu có) của dãy số u n có thể là: Giới hạn hữu hạn (

0, hằng số L ≠ 0 ) hoặc Giới hạn vô cực ( ± ∞ ), nên ta có thể xem kí hiệu + ∞ và ∞ như là giới hạn của dãy số. Như vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn,

giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việc biến đổi các phép
toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu như:
( + ∞ ) - ( + ∞ ) = 0 ?; 0. ∞ = 0 ?...
Ví dụ 4:

(
Học sinh B: lim (

Tính

lim

n → +∞

(

)
+ 1 − n) =

n2 +1 − n

(

)

)

n 2 + 1 − n = lim n 2 + 1 − lim n = (+∞) − ( +∞) = 0 ;

Học sinh A: nlim
→ +∞
n → +∞
n → +∞
n → +∞

Học sinh C:
lim

n → +∞

(

)

n2

(



1
lim n 1 + − 1 = ∞ ⋅ 0 = 0 ;
n → +∞
n



)

(

)

n 2 + 1 − n = lim n 2 + 1 + ( − n ) = lim n 2 + 1 + lim ( − n ) = ( + ∞ ) + ( − ∞ ) = 0 .
n → +∞
n → +∞
n → +∞

c) Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
Học sinh hay sai lầm khi nghiễm nhiên áp dụng một công thức, một khái niệm cho trường
hợp suy biến. Trong lịch sử điển hình về sai lầm khi vận dụng phép tương tự:
Ví dụ 5:

Tính tổng: S = 1- 1 + 1 – 1 +...
7


Cách 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0
Cách 2: S = 1 – (-1 + 1) – (1 - 1) + … = 1
Cách 3: S = - 1 + 1 – 1 + 1 - 1... = -1 + (1 -1) + (1 -1) +... = -1
Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi người Italia nêu ra cách tính tổng như sau:
S = 1 - 1 + 1 – 1 +... ⇒ S – 1 = -1 + 1 – 1 +... ⇒ - S = S - 1 ⇒ S =

1
2

Bình luận: Với ba cách giải đầu đã áp dụng tính chất kết hợp của tổng hữu hạn
các số hạng cho tổng vô hạn của các số hạng. Một tổng hữu hạn các số hạng
không phụ thuộc vào thứ tự các số hạng.

2.3.2. Khó khăn sai lầm về kĩ năng, bao gồm:
Hiện nay ở trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sáng tạo, của học sinh
còn yếu. Học sinh ở các trường chuyên lớp chọn còn có ý thức tự học tự độc lập
suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho các bài toán, tự mình giải quyết các
nhiệm vụ học tập, còn đại đa số học sinh thì ỷ lại thầy cô, sách giải bài tập, thiếu
tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác các định lý dạng bài
tập cơ bản, dẫn đến học tập một cách máy móc, rập khuôn, không phát huy kỹ
năng sáng tạo và không rèn được kỹ năng kỹ xảo giải bài toán cho nên khi giải
toán thường gặp các khó khăn sai lầm.
a) Khó khăn sai lầm khi vận dụng: định nghĩa, định lý, công thức
Ví dụ 6:

Tính

lim
x →1

1
x −1

(?): Học sinh cho ngay kết quả: lim
x →1

1
=∞
x −1

(!): Nhưng đúng ra kết quả này không tồn tại mà lúc này ta phải phân biệt
ra: xlim
→1

−

1
1
1
∞ , vậy lim
= - ∞ và xlim
=
+
không tồn tại. ở ví dụ này thì
+
x →1 x − 1
→1 x − 1
x −1

ta thấy:
+ Điểm a = 1 là điểm “giáp ranh’’ cho nên khi x → 1− tức là các dãy
8

(x n


– 1) mang giá trị âm; còn khi x → 1+ tức là các dãy ( xn -1) mang giá trị dương.
+ Điểm a ≠ 1 các dãy xn → a, (a ≠ 1) thì ta thấy rằng dù cho x → a+ hay

x

→ a- thì các dãy (xn -1) không đổi dấu.

Ví dụ 7:

1 + 2 + ... + n
Tính nlim
→ +∞
n2 + 2

1 + 2 + ... + n
(?): nlim
= nlim
2
→+∞
→ +∞
n +2

1
2
n
+ lim 2
+ ... + lim 2
= 0+0+... +0 = 0
n → +∞ n + 2
n + 2 n→+∞ n + 2
2

(!): Các định lý về phép toán Giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng. Trong
lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn
đến sai lầm. Lời giải đúng là:
Ta có:

1+2+….+n =

n( n + 1)
do đó:
2

1
n( n + 1)
1
n
lim 1 + 2 + ... + n = lim
lim n + n = lim
=
=
2
2
n → +∞
n → +∞
n → +∞
n → +∞
2
4
2( n + 2 )
2
n +2
2n + 4
2+ 2
n
2

1+

(!): Nhận xét: Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn
0 (tức là các phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và được
sử dụng cho hữu hạn các số hạng ).
Vì vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích để
tính toán các tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0.
Ví dụ 8:

Tính

lim 2 + ( − 1)
n →+∞
n

n

(?): Không tồn tại Giới hạn vì dãy số đang xét có: u1 = 1, u2 =

3
1
, u3 = , …
2
3

không tăng cũng không giảm.
(!): Lời giải đưa ra không đúng, vì định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn
chỉ là nêu lên điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn.
Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Những số hạng đầu tiên của dãy số không
ảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số. Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ
102007 dãy số bắt đầu tiến và bị chặn trên thì dãy số vẫn có giới hạn, còn các số

hạng từ ( 102007 -1) trở về trước không cần quan tâm. Sự quan tâm tới những số
hạng đầu tiên của dãy chỉ giúp cho sự phán đoán mà thôi, lời giải đúng như sau:
9


Vì

0≤

2 + ( − 1)
n

n

≤

(

3
∀n ∈ N *
n

Ví dụ 9: Tính nlim
→ +∞

)

n
3

2 + ( − 1)
lim
và nlim
= 0 nên n→+∞
= 0.
→ +∞ n
n

( − 1) n
n2 + 1

(?): Học sinh đã áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất:
un
lim
=0
± ∞ thì nlim
Nếu nlim
→+∞ un= L và n →+∞ vn=
→ +∞ v
n

Tức: Với un = (-1)n, vn = n 2 + 1 thì

( − 1) n

lim

n2 + 1

n → +∞

= 0.

n
(!): Kết quả thì vẫn đúng nhưng nhầm lẫn ở đây là nlim
→+∞ (-1) không có giới hạn,

do un = (-1)n là dãy bị chặn nhưng không có giới hạn.
Vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa hai đại lượng có cùng giới hạn đó
là:
−1
≤
2n

do

−1

≤

n2 + n2

−1
1
lim = 0
=
n → +∞ 2n
n → +∞ n
lim

−1
n2 + 1

≤

nên nlim
→ +∞

( − 1) n
n2 + 1

≤

( − 1) n

n2 + 1

1
n2 + 1

≤

1
n

= 0.

Bình luận: Khái niệm giới hạn của hàm số là một khái niệm khó hiểu đối với học
sinh (thậm chí đối với cả giáo viên), khi dạy khái niệm giới hạn giáo viên không quan
tâm tới giải thích tập xác định của hàm số có vai trò trong tính giới hạn như thế nào?

)

(

1− x2 + x − 1
Ví dụ 10: Tính lim
x→1

1− x2 = 0 và lim x − 1 = 0 .
Có học sinh lập luận: Ta có lim
x→1
x→1
Vậy theo định lí về giới hạn của tổng hai hàm số thì:

(

)

lim 1− x2 + x − 1 = 0.
x→1

Thực ra những hàm số f(x) = 1− x2 + x − 1 không có giới hạn tại x = 1
bởi lẽ biểu thức

1− x2 + x − 1 chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập

xác định của f(x) là K= { 1} . Do đó không thể định nghĩa limf(x)
được, vì không
x→1

thể lấy bất kì dãy { xn} nào với xn ∈ K , xn ≠ 1 mà { xn} dần tới 1 được.
Học sinh áp dụng định lí nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí.
Ví dụ 11: Tìm giới hạn
10


( n − 1) Π 
1 Π
2Π
sin + sin
+ ... + sin
I = lim


n→∞ n
n
n
n


Π
2Π
( n − 1) Π
sin
sin
sin
(?): Ta có
,...,
.
n = 0,..., lim

n
lim n = 0 lim
=0
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n
Nên I = 0 + 0 +...+ 0 = 0
(!): Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu
cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp
dụng cho tổng vô hạn.
Lời giải đúng là: Đặt A n =

( n − 1) Π 
1 Π
2Π
+ ... + sin
sin + sin
,
n 
n
n
n


ta có:
2nAn sin

( n − 1) Π 
Π
Π
Π
2Π
Π
Π 
+ ... + 2sin .sin
=  2sin sin + 2sin .sin
=
2n
n
2n
n
2n
n
2n 



( 2n − 3) Π − cos( 2n − 1) Π 
Π
3Π  
3Π
5Π 

cos
−
cos
+

cos
−
cos
+
...
+
cos



2n
2n  
2n
2n 
2n
2n



= 2sin

Nên A n =

( n − 1) Π
2n

2sin

( n − 1) Π

2n
Π
2n.sin
2n

Π
( n − 1) Π = 2 .1.sin Π = 2
2
⇒ limA n = lim . 2n .sin
,
n→∞
n→∞ Π
Π
2n
Π
2
Π
sin
2n

chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh.
Nhiều ví dụ khác xung quanh chủ đề giới hạn, xét tính liên tục, khả vi của hàm
số cho bởi nhiều công thức, tập xác định chia thành nhiều khoảng,
g(x) khi x ≤ a

Ví dụ 12: Tìm giới hạn của hàm số f(x) = h(x) khi a < x < b
ϕ(x) khi x ≥ b


11

= g(a) .
Rất nhiều học sinh suy nghĩ rằng do x ∈ ( −∞;a] do đó limg(x)
x→a
Thực ra lời giải đúng phải xét giới hạn bên phải, bên trái tại x = a.

b) Khó khăn sai lầm về kĩ năng biến đổi
Ví dụ 13:

Tìm

lim
x →1

x2 −1
x −1

(?): Học sinh giải:
x2 −1
x2 −1
( x + 1) = 2,
⇒
lim
= x+1 x→1
= lim
x →1
x −1
x −1
x2 −1

Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất
= x+1 dấu
x −1

bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn toàn khác nhau.
(!): Ta hiểu bản chất là chọn dãy xn → 1, xn ≠ 1 , ( ∀n ∈ N * ) ⇒
Khi đó

lim
x →1

2

xn − 1
= xn+1
xn − 1

x2 −1
( x + 1) = 2.
= lim
x →1
x −1

Ví dụ 14:

Tìm

lim

x→∞

x 2 + x + 2 + 3x
16 x 2 + 1 + x + 1

(?): Học sinh biến đổi là:


1 2
1 2
x 1 + + 2 + 3 
1+ + 2 + 3
x
x
4
x + x + 2 + 3x
x x


lim
= lim
= lim
=
x →∞ 
x
→
∞
2
x→∞
5
1

1
1
1
16 x + 1 + x + 1
16 + 2 + 1 +
x 16 + 2 + 1 + 
x
x
x
x 

2

(!): Thực ra ở đây học sinh thường hay nhầm lẫn khi đưa biểu thức ra khỏi dấu
căn dạng x 2 = x , kết quả trên chỉ đúng khi x → + ∞ nên phải biến đổi,
1
x

Ta có: x 2 + x + 2 = x 1 + +

2
x2

và

16 x 2 + 1 = x 16 +

12

1

x2



x 
x 2 + x + 2 + 3x

Khiđó: lim
= lim
x →∞
2
x→∞

16 x + 1 + x + 1
x 



1 2
1+ + 2 + 3

4
x x
 lim
=
1 2 3x 
 x →+∞
1
1 5
1 + + 2 + 

16 + 2 + 1 +

x x
x 
x
x

=
1
x 1
1 2
16 + 2 + +  
1+ + 2 − 3

−2
x
x x
x x
=
 xlim
→ −∞
3
1
1

16 + 2 − 1 −

x
x

Bình luận: Một sai lầm mà học sinh hay mắc phải là khi đã định hướng
phân chia ra hai trường hợp x → +∞ và x → −∞ rồi nhưng khi biến đổi chỉ xét có
một trong hai trường hợp thường là với x → +∞ ra đến kết quả, lấy kết quả này
thay đổi dấu và kết luận là của trường hợp x → −∞ , nhưng qua ví dụ này kết quả
lại không như vậy. Mặt khác nếu không dùng kí hiệu dạng chung chung ∞ mà
phân ra hai loại rõ ràng x → +∞ hoặc x → −∞ thì chắc chắn học sinh sẽ đỡ gặp những khó
khăn sai lầm nh ư trên.
c) Khó khăn sai lầm về định hướng kĩ năng tính toán

Ví dụ 15: Tính

lim

n → +∞

4n 2 + 1 − 2n − 1
n 2 + 4n − 1 − n

(?):


1
1
1
1
 4+ 2 −2− 
n 4 + 2 − 2 − 

n
n

n
n 
4 n 2 + 1 − 2n − 1


lim
lim
lim
Thực hiện: n → +∞ 2
=
=

 n → +∞ 
4 1
4 1
n + 4n − 1 − n n→+∞ 
 1 + − 2 − 1
n 1 + − 2 − 1


n n
n n




0
đến đây gặp dạng vô định và học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định này
0

bằng cách cùng nhân và chia cả tử và mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng
phân thức và sẽ rất phức tạp, khó khăn trong tính toán, khi đó dễ gì đi đến kết
quả đúng.
(!): Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen định hướng và xác
định dạng, trước khi biến đổi tính toán đại số, nếu ngay từ đầu xác định được
khi n → + ∞ thì tử số và mẫu số đều có dạng vô định ( ∞ - ∞ ) thì ta phải khử dạng
vô định này trước, cụ thể:
13


Tính: nlim
→ +∞

lim

[ 4n

n → +∞

[

4n 2 + 1 − 2n − 1

==

n 2 + 4n − 1 − n

] [

+ 1 − ( 2n + 1)

( n + 4n + 1) − n2 ×
2

2

2

]

[



4 1
 1 + + 2 + 1


n n
n + 4n + 1 + n
n ( − 4)
 = −1
= lim
× 
2
n → +∞ 2 
1 

2
4n + 1 + 2n + 1
n 4 +   4 + 1 + 2 + 1 

2


n

n
n


]
]

2

2

Bình luận: Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen xác định
đúng dạng thuộc lọai vô định nào trước khi định hướng biến đổi tính toán đại
số, do đó xem các dạng: (- ∞ ) + (- ∞ ), (+ ∞ ) + (+ ∞ ), (+ ∞ ) - (- ∞ ), (- ∞ ) - (+ ∞ )
đều thuộc dạng vô định là ( ∞ ) - ( ∞ ), nên hay áp dụng các kỹ thuật tính toán khử
dạng vô định này để giải. Đôi khi việc áp dụng cho phép tính được kết quả giới
hạn, nhưng đa số các trường hợp khác chỉ dẫn tới các dạng vô định loại khác
nữa, chẳng hạn:
Ví dụ 16:
Ví dụ 17:

(

)

1
x2
lim 2
lim x − x = lim
∞
x → −∞ (x – x) = x → −∞
x
→
−
∞
1
1 =+ ;
x2 + x
+
x 2 x3
4

Tìm

lim

Tìm

x → −∞

1

x 2 + 1 − x = lim

x +1 + x

2

x → −∞

(

x2 + 1 − x

= lim

x → −∞

)

1−

2

nếu cứ thực hiện biến đổi
1



1
− x 1 + 2 − 1
x



= lim

x → −∞

1
x

0
(dạng )
1
0
− 1+ 2 +1
x

Nên đối với những dạng đó nếu hiểu được bản chất và kết hợp với các bảng
kết quả phép toán vô cực đã lập thì sẽ có ngay đáp số:
Ví dụ 18:

lim (x2 – x) = lim x2 - lim x = + ∞
x → −∞
x → −∞

x → −∞

)

(

x 2 + 1 − x = xlim
Ví dụ 19: xlim
→ −∞

→ −∞

(

)

∞
x 2 + 1 − xlim
→ −∞ x = +

Hoặc có thể xét như sau, cụ thể:
lim (x2 – x) = lim x 2 1 − 1  = +∞
x → −∞
x


 1 + 12 − x
x 2 + 1 − x = xlim
x
Ví dụ 21 xlim
→ −∞

→ −∞
x
x


Ví dụ 20:

x → −∞

(

)




 = lim − x 1 + 1 + 1 = +∞

 x → −∞ 
x




d) Sai lầm trong giải tích do quen với tính hữu hạn trong đại số:
Các đối tượng trong môn đại số gắn liền với quá trình hữu hạn, trong khi đó các
vấn đề trong giải tích thường liền với quá trình vô hạn. Vì vậy, tính hữu hạn của
14


đại số có thể khiến học sinh gặp khó khăn trong nhận thức hay sai sót khi xem
xét các vấn đề trong giải tích.
Ví dụ 22: Đối với bài toán: tính lim

1 + 2 + ... + n
(Đại số và giải tích 11- sách
n2 + 2

chỉnh lí hợp nhất 2000)
Học sinh có thể giải như sau:

1 + 2 + ... + n
1
2
n
lim
= lim 2
+ lim 2
+... + lim 2
= 0.
2
n +2
n +2
n +2
n +2

Do đó, khi dạy định lí phép toán về giới hạn giáo viên cần lưu ý “tính hữu hạn”
nêu trong định lí, định lí không áp dụng được cho các biểu thức có số phép toán
là vô hạn.
e)Sai lầm do vận dụng máy móc các phép toán trong đại số vào giải tích:
Ví dụ 23: Khi tính

lim

3 sin n + 4 cos n
n +1

Có học sinh giải như sau:

3 sin n + 4 cos n
3 sin n
4 cos n
= lim
+ lim
(1)
n +1
n +1
n +1
−3
3 sin n
3
−3
3
≤
≤
Ngoài ra, ta có:
với ∀ n và lim
=lim
= 0 nên
n +1
n +1 n +1
n +1
n +1
3 sin n
4 cos n
lim
= 0 tương tự, ta có lim
=0
n +1

n +1
3 sin n + 4 cos n
Kết luận: lim
= 0+0 = 0
n +1
3 sin n
4 cos n
Bình luận: phải chứng tỏ lim
và lim
tồn tại trước rồi ta mới có (1).
n +1
n +1

Vì lim

Khi dạy các định lí phép toán về giới hạn giáo viên cần lưu ý học sinh “tính tồn
tại” nêu trong định lí.
2. 4. Kiểm nghiệm
2.4.1 Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng toán
tìm giới hạn như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách
phân tích một bài toán tìm giới hạn để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở

15


giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy
luận, trong các bước tìm giới hạn rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tìm
giới hạn trong sách giáo khoa Đại số và Giải Tích Lớp 11 và một số bài trong

các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các
năm trước thì các em đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
2.4.2 Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng đối với hai đối tượng lớp 11A6( Lớp đối chứng)
và 11A1 (Lớp thực nghiệm) có lực học tương đương nhau. Cách kiểm nghiệm:
Cho học sinh hai lớp làm cùng một đề kiểm tra chương IV – Giới hạn.
Kết quả như sau:

11A6
11A1

Không mắc sai lầm trong

Mắc sai lầm trong quá trình tìm

quá trình tìm giới hạn
55%
80%

giới hạn
45%
20%

Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho
thấy: mục đích thực nghiệm đã đợc hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của các
quan điểm đã đợc khẳng định. Thực hiện các quan điểm đó sẽ góp phần phát
huy tính tích cực, tự giác học tập của học sinh, đồng thời góp phần quan trọng
vào việc nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán cho học sinh ở trờng THPT.

16

3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
3.1. KẾT LUẬN:
Dự đoán, phát hiện nguyên nhân và hướng khắc phục những khó khăn sai
lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy
học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm
yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát
huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động, củng cố trau
rồi thêm kiến thức về tính giới hạn. Từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết
quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào
các trường đại học, cao đẳng...
3.2. ĐỀ XUẤT:
Bộ giáo dục nên đưa thêm nhiều bài tập mà học sinh hay mắc sai lầm khi
làm toán vào trong chương trình sách giáo khoa và trong các kỳ thi học sinh
giỏi, thi THPT Quốc gia để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc
khi giải toán giúp các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài
tập.
XÁC NHẬN CỦA THỦ

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 05 năm 2017.

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện

Trần Thị Hà

17


Tài liệu tham khảo
1. Khu Quốc Anh ( chủ biên) (2007), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11 môn Toán, Nxb Giáo dục.
2. Lê Quang Anh (chủ biên), Giới hạn dãy số, Nxb Đồng Nai.
3. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thành Quang (1996), Sai lầm phổ
biến khi giải toán, Nxb Giáo dục.
4. Trần Thị Hà (2009 ), Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học vinh.
5. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biờn), Vũ Tuấn (chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn
Tiến, Vũ Viết Yên, Đại Số và Giải Tích 11, Nxb Giáo dục
6. Nguyễn Văn Mậu (2001), Giới hạn dãy số và hàm số, Nxb Giáo dục.
7. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi
giải toán, Nxb Hà Nội.
8.Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ (1995), Phương pháp giải toán
Đại số và Giải tích lớp 11, Nxb Giáo dục.

18


MỤC LỤC

Trang
1. Mở đầu

1

1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung

2

2.1. Cơ sở lý luận

2

2.2.Thực trạng của vấn đề

3

2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện

4

2.4. Kiểm nghiệm

7

3. Kết luận và đề xuất

16

19