Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU

1.1.Lý do chọn đề tài
Toàn học là một mơn khoa học cơ bản của chương trình giáo dục phổ thông,
trong hệ thống giáo dục phổ thông của nước ta. Học tập tốt bộ mơn tốn giúp con
người nói chung và học sinh nói riêng có kỹ năng tư duy sáng tạo,tính tốn các số
liệu…, làm cho con người linh hoạt và năng động hơn trong cuộc sống cũng như
trong công việc. Nhiệm vụ của giảng dạy bộ mơn tốn học ở bậc trung học phổ
thơng là thực hiện được những mục tiêu giáo dục mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đề
ra: Làm cho học sinh đạt dược các yêu cầu sau:
- Nắm vững được kiến thức cơ bản của bộ mơn.
- Có những kỹ năng cơ bản để vận dụng kiến thức của bộ môn.
- Có hứng thú học tập bộ mơn.
- Có cách học tập và rèn luyện kỹ năng hợp lý, đạt hiệu quả cao trong học tập
bộ mơn vật lý.
- Hình thành ở học sinh những kỹ năng tư duy và là nền tảng cho các bộ môn
khoa học cơ bản khác.
1


Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, chất lượng học tập mơn Tốn của
học sinh cịn thấp, hÇu hÕt các em sợ học môn toán.
Vn t ra l: Làm thế nào để học sinh tự tin vào bản thân để giải tốt được
các bài tốn. Vì vậy người giáo viên cần đưa ra được những phương án hướng dẫn
học sinh vận dụng kiến thức một cách tối ưu để học sinh có thể nhanh chóng tiếp
thu và vận dụng dễ dàng vào tự tin vào bản thân để giải các bài toán cụ thể:
Theo nhận thức của cá nhân tôi, trong việc hướng dẫn học sinh làm bài tập
cần phải thực hiện được một số nội dung sau:
- Phân loại các bài tập của các phần theo hướng đơn giản nhất để đưa ra kết quả.
- Hình thành cách thức tiến hành tư duy, huy động kiến thức tổng hợp và thứ tự các
bước thao tác cần thực hiện.

- Hình thành cho học sinh cách trình bày bài đặc trưng của phần kiến thức đó.
Vì vậy để giúp học sinh khối 11 học tốt phần bài tập giới hạn hàm số tôi đã
chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới
hạn hàm số”.
1.2.Mục đích nghiên cứu
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học
sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số.
Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
1.3.Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối 11 trường THPT
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
- Phương pháp điều tra giáo dục.
- Phương pháp quan sát sư phạm.
- Phương pháp thông kê, tổng hợp, so sánh.
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp thực nghiệm.
PHẦN HAI: NỘI DUNG
2.1.Cơ sở lí luận.
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình tốn
trung học phổ thông
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới q trình giải bài tập
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được
chứng minh, thừa nhận.
2.2.Thực trạng của đề tài.
2


2.2.1.Khảo sát chất lượng đầu năm
-Trước khi đưa vào vận dụng thì tơi đã vận dụng vào năm học 2015-2016 thì

thấy có hiệu quả vì vậy để kiểm chứng, năm học 2016-2017 tôi tiến hành khảo sát
ở 4 lớp theo bảng sau:

Lớp
11C2
11C6
11C3
11C5

Số
lượng
45
46
47
46

Bảng số liệu khảo sát trước khi vận dụng
Giỏi
Khá
T.bình
Yếu
SL %
7
7
8
7

15,6
15,2
17,0

15,2

SL
14
15
16
15

%

SL

%

31,1
32,6
34,0
32,6

23
22
22
22

51,1
47,9
46,9
47,9

SL

1
2
1
2

%
2,2
4,3
2,1
4,3

Kém
SL %
0
0
0
0

0
0
0
0

- Đối với lớp 11C5 và 11C3 thì tơi dự định sử dụng phương pháp thảo luân
nhóm, hỏi đáp và hệ thống lại kiến thức chương.
- Đối với lớp 11C2 và 11C6 thi tôi đã cho học sinh dụng đề tài “Một số kinh
nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số”.
2.2.2.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh địi hỏi nhiều cơng sức và thời gian. Sự nhận

thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lơgíc cịn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
Đây là mơn học địi hỏi sự tư duy, phân tích của các em, nhiều em ý thức học
tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to
lớn của môn học trong đời sống.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện
pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ
học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp
rèn luyện tích cực, phân hố nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ
từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết
học, học sinh khá không nhàm chán.
2.3.Giải quyết vấn đề
2.3.1. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
3


1. Định nghĩa giới hạn của hàm số [2]
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn
là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x n), xn ∈ K và xn ≠ a , ∀n∈ ¥ * mà
lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f ( x)  = L .
x→a

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số [2]
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
 f ( x )  = L , lim g ( x )  = M thì:
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim



x →a 
x →a 
lim f ( x ) ± g ( x )  = lim f ( x )  ± lim g ( x )  = L ± M
x →a
x →a
x →a
lim f ( x ) .g ( x )  = lim f ( x )  .lim g ( x )  = L .M
x →a
x →a
x →a
f ( x )  L
f ( x ) lim
=
x →a 
lim
=
,M ≠0
x →a g x
g ( x )  M
( ) lim

x →a 
lim f ( x ) = lim f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0,L ≥ 0
x →a
x →a

c. Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K
chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x∈ K , x ≠ a và

lim g( x)  = lim h( x)  = L ⇒ lim f ( x)  = L .
x→a
x→a
x→a
2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số [3]
a.Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x n), lim(xn) = a , đều
có lim[f(xn)]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vơ cực khi x dần tới a, kí hiệu:
lim f ( x)  = ∞ .
x→a

b.Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có
giới hạn là L khi x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim f ( x)  = L .
x→∞

c.Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x n), mà xn > a
∀n∈ ¥ * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : lim+  f ( x)  . Nếu
x→a

chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a ∀n∈ ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên
trái tại a , kí hiệu: lim−  f ( x) 
*

x→a

B. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN
Trong q trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp
tìm giới hạn cơ bản sau:
4

 f ( x) 
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: lim
x→a 
 f ( x) 
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : xlim
→±∞ 
 f ( x)  , lim−  f ( x) 
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: xlim
→a+ 
x→a
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tơi khơng xét
tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị
mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.Ở
đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư duy [1]
sau:

5


ĐỀ BÀI

Quan sát chia
trường hợp

Giới hạn tại
một điểm:

Giới hạn vô cực

Dạng 1:

Dạng 1:Tính
trực tiếp

Dạng 2

Dạng 2:()

Dạng3:

Giới hạn một
bên

Dạng 3:()

Dạng:

Sau đây tơi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu
trong sơ đồ tư duy.
2.3.2. Bài toán minh họa và một số kinh nghiêm khi giải bài toán giới hạn:
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM

 f ( x) 
SỐ: lim
x→ a 

f ( x) = f (a)
Dạng 1: lim
x→a

Phương pháp:

6


f ( x) = f (a)
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận: lim
x→a
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:

( 2 x + 3)
1/. Lim
x →2

( x 2 + 5 − 1) .
2/. xLim
→−2

x −1
3/. Lim
x→3 x + 2

 2x 2 + 3x +1 
4/ xLim

÷
→-1 -x 2 + 4x + 2



Hướng dẫn:

( 2 x + 3) = 2.2 + 3 = 7
1/ Lim
x →2
(
2/ xLim
→
−2

x 2 +5 −1) = (−2) 2 +5 −1 =2

x −1

3 −1

2

=
=
3/ Lim
x→3 x + 2
3 +2
5

 2 x 2 + 3 x + 1  2.( − 1) 2 + 3.( − 1) + 1 0

=
=
=0

4/ xLim
→−1 − x 2 + 4 x + 2  − ( − 1) 2 + 4 ( − 1) + 2
−3



Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
2
+ 2x+1)
1. lim(x
x → -1

x +1
;
x →1 2x - 1

4. lim

f ( x)
g( x)

2 x +1)
2. lim(x+
x →1

( 3 - 4x )
3. lim
x →3

2

x 2 + x +1
5. lim
x →-1 2x 5 + 3

 0
→  ÷. (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x).
 0
f ( x)
 0
Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên lim
lúc
này
có
dạng
 ÷.
x→a g( x)
 0
Phương pháp:
Dạng 2: lim
x→ a

Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và
mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.[2]
Chú ý 1:
• Nếu f (x) = ax2 + bx + c có 2 nghiệm x1, x2 thì ta phân tích
f (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
7

A2 − B2 = ( A − B) ( A + B)

(
= ( A + B) ( A

)
− AB + B )

A3 − B3 = ( A − B) A2 + AB + B2
A3 + B3

2

2

Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và
mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
1/

a −1=

2/

a +1=

3/

a −1
a +1
a −1

a −1
a−b
a− b=
a+ b

4/

3

5/

3

a −1=

a −1
3

a +1=

a2 + 3 a +1
a −1

a2 − 3 a +1
a−b
6/ 3 a − 3 b =

3
a2 + 3 ab + 3 b2
3

Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
 x+3 
1/Lim  2
x→3  x + 2 x − 3 ÷

 x2 + x − 2 
3 / Lim 
÷
2
x→1
 x −1 
4x


5 / Lim 
x→0  9 + x − 3 ÷


 x2 + 2x − 3 
2 / Lim  2
x→1 2 x − x − 1 ÷



( 1+ x)
4 / Lim

x →0

6 / Lim
x →2

3

−1

x

2x − 2
x−2

Hướng dẫn:
x+3
1
−1
 x+3 
1/ Lim  2
= Lim
=
÷= Lim
4
x→−3  x + 2 x − 3 
x→−3 ( x − 1) ( x + 3 )
x→−3 x − 1
 x2 + 2 x − 3 
( x − 1) ( x + 3) = Lim x + 3 = 4
2 / Lim  2

= Lim
÷
x→1 2 x − x − 1

 x→1 2( x − 1)( x + 1 ) x→1 2( x + 1 ) 3
2
2
 x2 + x − 2 
( x − 1) ( x + 2 ) = Lim x + 2 = 3
3/ Lim 
= Lim
÷
2
x→1
 x − 1  x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + 1 2

8


3
( 1 + x ) 2 + ( 1 + x ) + 1
1
+
x
−
1
(
)
1
+

x
−
1
(
)


4 / Lim
= Lim
x→0
x→0
x
x
x( x 2 + 3x + 3)
= Lim
= Lim ( x 2 + 3 x + 3) = 3
x→0
x→0
x

4x


5/ Lim 
= Lim
x→0  9 + x − 3 ÷
 x→0
= Lim

4x

(

x→0

6 / Lim
x →2

= Lim
x →2

9+ x +3
x

2x − 2
= Lim
x →2
x −2

(

2( x − 2)

( x − 2) (

2x + 2

)

4x

(

x→0

( x − 2) (
= Lim
x→2

9+ x +3

9+ x −3

) = Lim 4
2x − 2

(

)(

(

)(

)

9+ x +3

)

= Lim

4x

(

9+ x +3

9+ x−9

x→0

)

)

9 + x + 3 = 24
2x + 2

2x + 2

)

) = Lim
x →2

2x − 4

( x − 2) (

2x + 2

)

2
1
=
2x + 2 2

Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:
1 / Lim
x→3

x 2 + 2x - 15
x-3

2 / Lim
x→-1

4 / Lim
x→0

2x 2 + 3x +1
x2 - 1

8 x3 −1
3 / Lim
2
x→1 6 x − 5 x + 1

2

x +4 −2
x

x − 2 x −1
5 / Lim
x→1 x 2 −12 x + 11
6 / Lim
x→1

2 x −1 − x
x −1

f ( x)
g( x)

L
→  ÷. (với L ≠ 0 ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách
 0
f ( x)
thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lim
lúc
x→a g( x)
Dạng 3: lim
x→ a

L
này có dạng  ÷.
 0

Phương pháp:
f (x) = L (với L ≠ 0 )
Bước 1: Tính lim
x→a
g(x) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a
Bước 2: : Tính lim
x→a
9


Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
x→a

f ( x)
x→a g( x)

lim f (x) = L

limg(x) = 0

lim

L> 0

g(x) > 0

+∞

L> 0

g(x) < 0

−∞

L< 0

g(x) > 0

−∞

L< 0

g(x) < 0

+∞

x→a

f ( x)
g( x)

x→a

Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x→4

x+ 2

( x − 4)

2/ lim

2

x→3

Hướng dẫn: 1/xlim
→4

x− 5

( x − 3)

3x + 1
x→−2 x + 2 x3 + 8
(
)

3/ lim

2

(

)

x+ 2

( x − 4)

2

 lim ( x + 2) = 6> 0
x+ 2
 x→4
=> lim
= +∞
Ta có: 
2
2
2
x→4
 lim
( x − 4) = 0 va ( x − 4) > 0 (∀x ≠ 4)
( x − 4)
 x→4
x− 5
2/ lim
2
x→3
( x − 3)
 lim ( x − 5) = −2< 0
x− 5
 x→3
=> lim
= −∞
Ta có: 
2
2

2
x→4
lim
x
−
3
=
0
va
x
−
3
>
0
(
∀
x
≠
3)
 x→3(
)
( )
( x − 3)

3x + 1
3x + 1
3/ lim
=
lim
x→−2 x + 2 x3 + 8

x→−2 x + 2 x + 2 x2 − 2x + 4
(
)
(
)(
)

(

= lim

x→−2

)

(

)

3x + 1

( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
2

Ta có:

 lim ( 3x + 1) = − 5< 0
3x + 1
 x→ − 2
=

>
lim
= −∞

2 2
2 2
3
x→ − 2
x
+
2
x
+
8
( )
 lim
( x + 2) x − 2x + 4 = 0 va ( x + 2) x − 2x + 4 > 0(∀ x ≠ − 2)
 x→ − 2

(

)

(

)

10

(

)


Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
x+ 2
1/ lim
2
x→2
( x − 2)
3/ lim

x→−2

2x + 1

( x + 2)

2/ lim
x→−2

x3 + 1

( x + 2)

2

x+ 1
x→−3 x + 3 x2 + 4x + 3

(
)

4/ lim

2

(

)

KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ:

lim f ( x) 
x→ ∞

f ( x)
∞
→  ÷
g( x)
∞
Phương pháp:
Dạng 1: lim
x→∞

Chia tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý rằng nếu
x → +∞ thì coi như x>0, nếu x → −∞ thì coi như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào
khỏi căn bậc chẵn [5]
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
1/ limxk = +∞

2/ limx2k = +∞
x→−∞

x→+∞

3/ limx2k+1 = −∞
x→−∞

1
=0
x→±∞ xk

4/ Lim

Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
1/. xLim
→−∞
3/. Lim

2x +1
x−2

x→+∞

x2 − 1
x +1

2/. xLim
→+∞

x −1
x2 − 1

4/. Lim

x2 − 1
x +1

x→−∞

Hướng dẫn:

1

1
x 2 + ÷
2+
2 x +1
x
x = 2 =2
= Lim 
= Lim
1/. xLim
→−∞ x − 2
x →−∞ 
2
2  x →−∞
1
1−
x 1 − ÷

x
x


11


1 1 
1 1
x2  − 2 ÷
− 2
x −1
x x 

x
x = 0 =0
= Lim
= Lim
2/. xLim
2
→+∞ x − 1 x→+∞ 2 
1
1  x→+∞
1− 2 1
x 1 − 2 ÷
x
 x 
1 
1 



x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷
2
x −1
x 
x 


3/ Lim
= Lim
= Lim
x→+∞ x + 1
x→+∞
x→+∞
x +1
 1
x 1 + ÷
x

.
1 
1 


x 1 − 2 ÷
1 − 2 ÷
x 
x  1



= Lim
= Lim
= =1
x→+∞
x→+∞
1
 1
1
1+
x 1 + ÷
x
x

x −1
= Lim
x→−∞
x +1
2

4 / Lim

x→−∞

1 
1 


x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷

x 
x 


= Lim
x →−∞
1
x +1

x 1 + ÷
x


1 
1 


−x 1 − 2 ÷
− 1 − 2 ÷
x 
x  −1


= Lim
= Lim
=
= −1
x→−∞
x →−∞
1

1

1
1+
x 1 + ÷
x
x


Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
2x − 3
2x3 − x2 + 1
1/ Lim
2/ Lim 6
x→+∞ 1− 3x
x→−∞ 3x + 2x4 + 1
( x − 2) ( 2x + 1) ( 1− 4x)
2x2 + 3x + 1
3/ Lim 2
4/ Lim
3
x→−∞ 3x − x + 5
x→+∞
( 3x + 4)
5

x + 2x2 + 1
5/ Lim
x→+∞

x3 + 1

f ( x) .g( x) → ( 0.∞ )
Dạng 2: lim
x→∞

x2 + 3x − 8
x→−∞ x4 − 6x + 1

6/ Lim

Phương pháp:
f ( x) .g( x) → ( 0.∞ ) về dạng 1: lim
Ta biến đổi lim
x→∞
x→∞
Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
Chú ý: A B = A2B với A,B ≥ 0
12

f ( x)
∞
→  ÷ [5]
g( x)
∞


A B = − A2B với A ≤ 0,B ≥ 0
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:

1 ) lim ( x+ 2 )
x → +∞

x -1
x3 + x

2x+1
x 3 + x+ 2

2) lim ( x+1)
x→ -∞

Hướng dẫn:
2

1 ) lim ( x + 2 )
x →+∞

x -1
= lim
x 3 + x x→+∞

( x + 2 ) ( x - 1)
2

x3 + x

= lim

x →+∞

2

2  1

x  1+ ÷ .x  1 - ÷
x  x

1 

x 3  1+ 2 ÷
x 

2

2

2  1
2  1


x  1+ ÷ .  1 - ÷
 1+ ÷ .  1- ÷ 1
x  x
x  x

= lim 
= =1
x
→

+
∞
1 
1 
1

3
x  1+ 2 ÷
 1+ 2 ÷
x 
x 


3

= lim

x →+ ∞


2x +1
= lim  −
3
x + x + 2 x→- ∞ 


2) lim ( x+1)
x →- ∞

( x+1) ( 2x +1) 

2




x3 + x + 2
2

( x +1) ( 2x +1)
2

= − lim

x→- ∞

x3 + x + 2

1
 1 
x  1+ ÷ .x  2+ ÷
x 
x

1 2
x 3 (1+ 2 + 3 )
x x
2

= − lim

x →- ∞

2

2

1
1
 1 
 1 
x  1+ ÷ .  2+ ÷
 1+ ÷ .  2 + ÷ − 2
x 
x
x 
x

= − lim
= − lim 
=
=− 2
x→-∞
x→- ∞
1 2
1 2
1
3
x (1+ 2 + 3 )
1+ 2 + 3
x x

x x
Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:
3

1 ) lim ( 1- 2x )
x →+∞

3x+1
x 3 +1

2x 3 + x
2 ) lim x 5 2
.
x →-∞
x - x +3

 f ( x) ± g( x)  →
Dạng 3: lim
x→∞ 

Phương pháp:

3 ) lim x
x →- ∞

2x+1
.
3x + x 2 + 2
3

( ∞ ± ∞)

 f ( x) ± g( x)  về dạng
Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa lim
x→∞ 


13


lim
x→∞

f ( x) − g( x)

hoặc lim
x→∞

f ( x) + g( x)

f ( x) − g( x)

f ( x) − g( x)

[5]

Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp
Chú ý:

 A neu A ≥ 0
A2 = A = 
− A neu A < 0

Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:

( x + x − x − 2)
3/ lim ( x+ x + x + 1 )
2

1 ) lim

2

2) lim

x → +∞

x → −∞

x → +∞

1 ) lim

x →+∞

= lim

x →+ ∞

(

x2 + x − x2 − 2
x2 + x - x2 + 2
x2 + x + x2 − 2

= lim

x →+ ∞

= lim

x →+∞

x


x


)

x2 + x − x2 − 2

(

4 / lim x+ x 2 + x + 1

2

Hướng dẫn:

(

x → −∞

(
= lim

x2 + x − x2 − 2

x →+∞

x2 + x + x2 − 2

x2 + x + x2 − 2

x →+∞

= lim

)(

)

x+2
x2 + x + x2 − 2

 2
 2

x 1 + ÷
x 1 + ÷
 x
 x
= lim
x →+∞
1
2
1
2
1+ + x 1− 2
x 1+ + x 1− 2
x
x
x
x
 2
2
x 1 + ÷
1+
1
 x
x
= lim
=
2
1
2
1
2  x→+∞

1+ + 1− 2
1+ + 1− 2 ÷
x
x
x
x 

14

)
)


2 ) lim

x →−∞

(

x2 + x − x2 − 2
x2 + x - x2 + 2

= lim

x2 + x + x2 − 2

x → −∞

)

(
= lim

x 2 + x − x2 − 2

x →−∞

x2 + x + x2 − 2

x+2
x2 + x + x2 − 2

 2
 2
x 1 + ÷
x 1 + ÷
 x
 x
= lim
= lim
x → −∞
1
2 x → −∞
1
2
x 1+ + x 1− 2
-x 1 + - x 1 − 2
x
x
x

x
 2
 2
x 1 + ÷
− 1 + ÷
1
 x
 x
= lim
= lim
=−
x →+∞
2

1
2
1
2  x →+∞
1+ + 1− 2
-x  1 + + 1 − 2 ÷
x
x
x
x 


)

(

3 / lim x+ x 2 + x + 1 =
x →+∞

x+
(
lim

x →+∞

)

x2 + x + x2 − 2

x →−∞

= lim

)(

)(

x2 + x + 1 x - x2 + x + 1

)

x - x2 + x + 1

1

x

−
1
−

÷
x - ( x + x + 1)
− x −1
x

= lim
= lim
= lim
2
2
x →+∞
x →+∞
x - x + x +1
x - x + x + 1 x →+∞ x - x 1 + 1 + 1
x x2
1
1


1
x  −1 − ÷
x  −1 − ÷
−1 −
x
x



x
= lim
= lim
= lim
x →+∞
x →+∞ 
1 1
1 1
1 1  x→+∞
x - x 1+ + 2
1- 1 + + 2
x  1- 1 + + 2 ÷
x x
x x
x x 

2

2


1
1 1 
1 1

(Vi lim  − 1 − ÷ = − 1, lim  1- 1 + + 2 ÷÷ = 0 va 1- 1 + + 2 < 0)
x → +∞
x → +∞
x

x x 
x x


Chú ý: Ta cũng có thể giải bài 3 của ví dụ 6 này theo cách sau tạm gọi là:
Cách 2
= +∞

15


)

(


3/ lim x+ x 2 + x + 1 = lim  x+ x
x → +∞
x → +∞


1 1 
= lim x  1+ 1 + + 2 ÷÷ = +∞
x→ +∞
x x 


1 1
(Vì lim x = +∞ , lim  1+ 1 + + 2
x → +∞

x→ +∞
x x


)

(

4 / lim x+ x 2 + x + 1 =
x → −∞

x+
(
lim

x → −∞


1 1 
1 1 
1 + + 2 ÷÷ = lim  x+ x 1 + + 2 ÷÷
x x  x → +∞ 
x x 


÷÷ = 2)


)(

x2 + x + 1 x - x2 + x + 1

)

x - x2 + x + 1

1

x
−
1
−

÷
x - ( x + x + 1)
−x −1
x

= lim
= lim
= lim
2
2
x → −∞
x → −∞
x - x + x +1
x - x + x + 1 x→ −∞ x - x 1 + 1 + 1
x x2
1
1



1
x  −1 − ÷
x  −1 − ÷
−1 −
−1
x
x


x
= lim
= lim
= lim
=
x → −∞
2
1 1 x → +∞ 
1 1
1 1  x → +∞
x+ x 1 + + 2
1+ 1 + + 2
x  1+ 1 + + 2 ÷
x x
x x
x x 

2

2

Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4 này
có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên khơng?
Câu trả lời là khơng vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:

(

)


1 1
4 / lim x+ x 2 + x + 1 = lim  x+ x 1 + + 2
x → −∞
x → −∞
x x


1 1 
= lim x  1- 1 + + 2 ÷÷
x → −∞
x x 


1 1 
Tới kết quả lim x  1- 1 + + 2 ÷÷ sẽ dẫn đến
x → −∞
x x 




1 1 
x
x
1
+
+ 2 ÷÷
÷÷ = xlim

→ −∞ 
x
x 



dạng vơ định (0. ∞ ) lại quay về

dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vơ định (0, ∞ )
lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình, yếu
Bài tập tương tự:
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:
16


1) lim

x →+∞

(

(
5) lim (

3) lim

x → −∞

x → −∞

x+1 - x

)

x 2 +1+ x - 1

(
4) lim (
6) lim (
2) lim

)

3x 2 + x+1+ x 3

x → +∞

x → +∞

)

x → −∞

x 2 + x+1 - x

)

3x 2 + x+1 - x 3
2x 2 +1 + x

)

)

KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ:

lim  f ( x)  hoặc lim−  f ( x)  .
x→ a

x→ a+

Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc biệt của giới hạn tại một điểm, lúc
này x không tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a ( x → a− ), hoặc tiến về bên phải

bên phải điểm a ( x → a+ ).Bài tập Giới hạn một bên: lim+  f ( x)  hoặc lim−  f ( x) 
x→ a
x→ a
.chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường hợp Giới hạn tại một điểm là
f ( x)
L

lim±
→  ÷. (với L ≠ 0 ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x)
x→a g( x)
 0
f ( x)
L
và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lim±
lúc này có dạng  ÷. [2]
x→a g( x)
 0
Phương pháp:
f (x) = L (với L ≠ 0 )
Bước 1: Tính xlim
→a±
g(x) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x < a hoặc x > a
Bước 2: Tính xlim
→a±

f ( x)
(bảng xét dấu đã
x→a g( x)

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)

Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:
2x − 3
2x − 3
1/ lim−
2/ lim+

x→1 x − 1
x→1 x − 1
Hướng dẫn:
2x − 3
1/ lim−
x→1 x − 1

17


 lim− ( 2x − 3) = 2.1− 3 = −1< 0
 x→1
Ta có: 
 lim− ( x − 1) = 0 va x − 1< 0
∀x < 1
 x→1
2x − 3
= +∞
Vậy lim−
x→1 x − 1
2x − 3
2/ lim+
x→1 x − 1
 lim+ ( 2x − 3) = 2.1− 3 = −1< 0
 x→1
Ta có: 
 lim+ ( x − 1) = 0 va x − 1> 0
∀x > 1
 x→1
2x − 3

= −∞
Vậy lim−
x→1 x − 1
Bài tập tương tự:
Bài tập 7: Tính các giới hạn sau:

2 x -1
x→ 2 x - 2
x2 - 2
3) lim−
x→ 2 x - 2

1) lim+

2 x -1
x→ 2 x - 2
2 x -7
4) lim−
x→1 x - 1
2) lim−

2.4. Hiệu quả của sáng kin kinh nghim:
2.4.1.Kt qu t thc tin:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phõn
loi v giải những dạng bi tp nh đà nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán từ nhn dng
hm s : hm s dạng cơ bản, hàm số dạng nhân lượng liên hợp,dạng để lựa
chọn phơng pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đa ra những sai lầm
mà học sinh thờng mắc phải trong quá trình suy luận,trong các
bớc tính tích phân này rồi từ đó hớng các em đi đến lời giải
đúng.

Sau khi hớng dẫn học sinh nh trên và yêu cầu học sinh giải
một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và
một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và
trung học chuyên nghiệp của các năm trớc thì các em đà thận
trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đà giải đợc một lợng
lớn bài tập đó.
2.4.2.Kt quả thực nghiệm.
18


Thông qua tiến hành nghiên cứu và thực hiện trên bốn lớp với đề tài trên tôi đã
thu được kết quả theo bảng số liệu sau:

Lớp
11C2
11C3
11C5
11C6

Bảng số liệu so sánh sau khi tiến hành vận dụng đề tài
Giỏi
Khá
T.bình
Yếu
Kém
Số
lượng SL % SL % SL % SL % SL %
45
20 44,4 19 42,3 6 13,3 0
0

0
0
46
2
4,3 12 20,1 27 64,9 5 10,7 0
0
47
2
4,3 11 23,4 31 65,9 3
6,4
0
0
46
15 32,6 20 43,5 11 23,9 0
0
0
0

Qua bảng số liệu trên chúng ta thấy sau khi đưa vào vận dụng đề tài “Một số
kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số”, thì kết
quả thật khã quan, cụ thể là khơng những học sinh yếu trung bình sẽ giảm đi rõ rệt
mà số học sinh khá, giỏi còn tăng lên rất nhều, cịn đối với lớp khơng áp dụng thì số
lượng học sinh khá, giỏi giảm, trung bình giảm, yếu và kém thì lại tăng lên.
Ngồi ra khi thùc hiƯn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cực
và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính
tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ
không tính rập khuôn một cách máy móc nh trớc, đó là việc thể
hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo cña häc
sinh.

19


PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đề tài này giúp cho việc hướng dẫn được một số dạng bài tốn giới hạn hàm
số trong chương trình tốn học phổ thông và hướng dẫn cho học sinh các phương
pháp làm các bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn học theo
phương pháp đổi mới.
Qua việc nghiên cứu, giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải quyết
được các bài tập đơn giản và nâng cao, liên hệ, biết cạch suy luận lơgíc, tự tin vào
bản thân khi đứng trước một bài tập giới hạn hàm số, có cách suy nghĩ để giải
quyết vấn đề một cách đúng đắn nhất.
3.2. Kiến nghị
Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc chắn
khơng tránh hết những thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự góp ý của q thầy cơ
giáo và các bạn động nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng phổ
biến hơn trong những năm học tới.
Xin chấn thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2017
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết đề tài

Nguyễn Văn Thường

20

TÀI LIỆUTHAM KHẢO
1.(Tony & Barry Buzan 2009) – Sơ đồ Tư duy – NXB TP.Hồ Chí Minh.
2. “Trần Chí Hiếu-Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại
số và giải tích 11, NXB GD
3. Trần Phơng và Nguyễn Đức Tên” Sai lầm thường gặp và các sáng tạo
khi giải tốn – NXB Hµ Néi – 2004)
4.G.KORN-T.KORN.Sổ tay tốn học(Phan Văn Hạp và Nguyễn Trọng Bá
dịch).Nhà xuất bản đại học và trung học và chuyên nghiệp giáo dục-1997.
5.Phan Đức chính,Vũ Dương Thụy,Tạ Mân,Đào Tam,Lê Thống Nhất.Các bài giảng
luện thi môn Toán.NXBGD
6. Tài liệu khai thác trên mạng.

21