SKKNboi duong cho hoc sinh kha gioi lop 8.doc

Bồi dỡng cho học sinh khá giỏi lớp 8
Các cách vẽ hình phụ khi giải toán hình học
---o0o---
I. Nhận thức
Toán học là một bộ môn khoa học trừu tợng. Muốn tìm hiểu chính
xác, theo tôi khi dạy Toán cho học sinh, mộ yêu cầu nổi bật nhất là
phát triển t duy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi đối với
những bài toán khó. Do đó, đòi hỏi học sinh phải có t duy logic cao,
biết kết hợp kiến thức cũ và mới một cách chặt chẽ.
Thông thờng, trong hình học mỗi bài toán có một tình huống mới lạ.
Có những bài toán cha cho phép học sinh vận dụng trực tiếp định lý,
tính chất, dấu hiệu nhận biết để tìm ra đáp số.
Trong quá trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đa về hình
huống quen thuộc để có thể vận dụng trực tiếp các kiến thức đã biết.
Ngoài việc phải vẽ hình chính xác, tổng quát theo dữ kiện bài toán
(tránh vẽ hình rơi vào trờng hợp đặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình),
thì một trong các biện pháp có hiệu quả là phơng pháp vẽ hình phụ.
Việc vẽ hình phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào
và đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp
lý. Vì vậy, cần thiết có thể bồi dỡng cho học sinh phát triển năng lực
này.
ở đây tôi không muốn đề cập tới các dạng bài tập, các hệ thống câu
hỏi gợi mở. Mà tôi chỉ muốn nêu lên một số cách hớng dẫn học sinh đi
tìm lời giải cho bài toán hình học lớp 8 thông qua việc vẽ hình phụ.
II. Biện pháp
1. Phơng pháp 1 : Tìm yếu tố trung gian.
Thực chất của phơng pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều
kiện cần có, gợi ra hớng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến
yếu tố trung gian đó để suy ra kết luận.
Ví dụ 1: (Bài 155 trang 76 SBT)
Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.

a) Chứng minh rằng CE vuông góc với DF.
b) Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD.
1
GT
Hình vuông ABCD
CE cắt DF tại M
EA = EB; FB = FC
KL
a) CE DF
b) AM = AD
Phân tích
a. Học sinh cha cần tạo ra yếu tố phụ trên hình vẽ cũng chứng minh
đợc :
BEC = CFD (c g c) =>
ã
ã
MCF CDF=

Do đó
ã
ã ã ã
0
MCF CFD CDF CFD 90+ = + =
=>
ã
0
CMF 90=
b. Đối với trờng hợp này, giáo viên dẫn dắt học sinh phải kẻ đờng
phụ nh sau: Để AM = AD khi và chỉ khi tam giác AMD cân tại A, khi và
chỉ khi trung tuyến đồng thời là đờng cao. Vậy dẫn tới kẻ thêm đờng

phụ phải mang yếu tố trung điểm và vuông góc. Từ đó phải xuất phát
từ trung điểm K của DC. Lấy K là trung điểm của DC nối AK cắt DF tại
N. Ta Chứng minh cho AN là trung tuyến, là đờng cao của tam giác
ADM.
Lời giải
a) Xét hai tam giác BEC và CFD có :
CD = BC (cạnh hình vuông),
ã
ã
EBC FCD 1v= =
, CF = BE (
1
CD
2
=
)
nên BEC = CFD (c g c) =>
ã
ã
MCF CDF=
.
Do đó
ã
ã ã ã
0
MCF CFD CDF CFD 90+ = + =
=>
ã
0
CMF 90=

Hay CE DF (1)
b) Gọi K là trung điểm của CD, N là giao điểm của AK và CD.
Tứ giác AECK là hình bình hành vì AE // CK, AE = CK.
Suy ra AK // CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK DF (3)
Mà K là trung điểm của CD, AK // CE (c/m trên) nên ND = NM (4)
Từ (3) và (4) suy ra AN vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của
tam giác ADM. Do đó tam giác ADM cân tại A.
Hay AD = AM (đpcm).
2
A
B
CD
E
F
M
K
N
2. Phơng pháp 2 : Biến đổi kết luận của bài toán về dạng tơng đ-
ơng.
Thực chất của phơng pháp này là biến đổi kết luận (ở dạng cha
thấy hớng giải) thành một trong các dạng tơng đơng có khả năng gợi ra
hớng vẽ hình phụ và từ đó đi đến hớng giải. Đây là phơng pháp đơn
giản và thờng đợc thử nghiệm đầu tiên.
Ví dụ 2 : Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông
ABDE và BCKF. Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC
bằng nửa đoạn thẳng DF.
GT
ABC
Dựng các hình vuông

ABDE; BCKF
MA = MC
KL
1
BM DF
2
=
Phân tích
Ta thử biến đổi kết luận:

1
BM = DF(1) 2BM=DF(2)
2

Vế trái của đẳng thức (2) gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM khi đó ta
thử tìm cách chứng minh BN = DF.
Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm).
Hình bình hành ABCN và cặp tam giác bằng nhau. BDF = CNB
(c.g.c) sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM =
1
2
DF.
Chứng minh
Lấy N đối xứng với B qua N. Tứ giác ABNC có hai đờng chéo cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đờng nê nó là hình bình hành.
Từ đó suy ra NC = AB và
ã
ã
0
ABC BCN 180+ =

. Mà AB = BD (cạnh
hình vuông) và
ã
ã
o o0 0
ABC DBF 360 (90 90 ) 180+ = - + =
nên BD = NC và
ã
ã
DBF BCN=
.
Hai tam giác BDF và CNB có BC = BF, BD = NC và
ã
ã
DBF BCN=
, nên
chúng bằng nhau theo trờng hợp c g c.
Vậy DF = BN hay DF = 2BM
3
B
A
C
E
D
F
K
M
N
3. Phơng pháp 3: Vẽ hình phụ bằng hoặc tỉ lệ với các hình có
trong kết luận.

Thực chất của phơng pháp này là vẽ thêm các yếu tố phụ hoặc
bằng, hoặc tỉ lệ (hoặc có diện tích bằng hoặc tỉ lệ) phụ thuộc vào yêu
cầu bài toán với các hình có trong kết luận ở dạng nhìn thấy hớng giải
rõ hơn.
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, một điềm M chạy trên cạnh CD.
Gọi P, Q và R theo thứ tự là chân các đờng vuông góc hạ từ B, C, D
xuống đờng thẳng AM. Chứng minh rằng BP = DQ + CR.
GT
ABCD là hình bình hành
CR AM , M CD;
BP AM; QD AM
KL BP = DQ + CR
Phân tích :
Ta thấy các đoạn thẳng có trong đẳng thức của KL cha có mối liên
hệ trực tiếp nào. Có thể nghĩ đến tạo ra các đoạn thẳng trung gian
bằng các đoạn thẳng trong đẳng thức ở kết luận trên hình vẽ, nên có
các hớng sau:
1. Vẽ trên đoạn thẳng lớn BP một đoạn thẳng bằng DQ (hoặc bằng
CR) và tìm cách cm phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai.
2. Kéo dài đoạn thẳng CR (hoặc DQ) một đoạn thẳng bằng đoạn
thẳng ngắn thứ hai và tìm cách c/m phần còn lại của đoạn thẳng
thứ hai.
Hớng thứ nhất gợi cho ta hai cách vẽ hình phụ:
a. Để PC = CR (hoặc CC = PR) chỉ còn phải c/m BC = DQ ( Dễ
dàng c/m đợc BC C = DQA trờng hợp cạnh huyền - góc nhọn).
b. Kẻ RR // BC => BR = CR. Cần c/m PR = QD ta cũng có cách
vẽ tơng tự với hớng thứ hai.
Chứng minh
4

A B
Q R
C

P
D M C
R
Cách 1 : Kẻ CC AM. Tứ giác CRPC lcó ba góc vuông nên nó là hình
chữ nhật, suy ra CR = C P.
Xét hai tam giác vuông DQA và BC C có
à
à
Q C'=
= 90
0
, AD = BC ( cạnh
đối của hình bình hành,
ã
ã
ADQ C'BC=
(góc có cạnh tơng ứng song
song) nên
ADQ CBC'D = D
(cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra DQ = BC
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2 : Kẻ RR // BC, chứng minh RC = BR , DR/ = DQ. Từ đó suy ra
điều phải chứng minh..
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1. Nối A với
trung điểm M của cạnh BC, AM cắt đờng chéo BD tại O. Tính diện tích

của tứ giác OMCD.
GT
MB = MC
S
ABCD
= 1
AM BD = 0
KL
Tính S
OMCD
= ?
Phân tích
Trên hình vẽ cần tạo ra bằng hoặc có diện tích bằng BOM và các
tứ giác có diện tích bằng nhau (có thể tính đợc), sao cho giữa tứ giác
OMCD có mối liên hệ diện tích với các tứ giác, tam giác nói trên, với
hình bình hành ABCD.
Muốn thế từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đờng // với AM
chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành các tứ giác.
Dễ dàng chứng minh đợc:
S
AMCE
= S
BCD
( =
2
1
S
ABCD
)
S

OMCI
= S
OBM
+ S
CID
; S
OMCI
= 3 S
BOM
S
OMCD
=
6
5
.
2
1
S
ABCD
=
12
5
S
ABCD
Vì S
ABCD
= 1 => S
OMCD
=
12

5
.
Chứng minh
5
B M C N
O
I
P A E D