o h m Vi ph n Nguy n h m Th y C ng To n

Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG và thi vào lớp 10 – 0967.453.602

LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG – 0967.453.602 – Facebook.com/cuong.mathteacher
Địa chỉ: Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ hoặc 53/17/Thịnh Quang – Đống Đa – HN
BÀI 1. ĐẠO HÀM – VI PHÂN – NGUYÊN HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
I. ĐẠO HÀM
1. Quy tắc
1

u

v

2

u .v '

w
u '.v

2. Công thức
STT

... '

u' v'

w ' ...

u .v '

x

n

'

1
x

n. x

'

1

x '

n

c.u ' c

const

Hàm hợp (là một hàm chứa x, u

cos x '

tan x '
cot x '

log a x '
a

x

'

1

c.x '

1

2

u
1

x '

n

cos x
1
sin 2 x
1
x.ln a
x

x

a .ln a

e '

2

cos u
u'

cot u '

1

log a u '

x
e

u'

tan u '

cot 2 x

ln x '

u2
n

cos u '

1

u'

'

sin u '

tan 2 x

1

1

u'

u '

n

n un

2 u

sin x
2

u '.n.u n

u'

u '

n 1

cos x

1

x

u ( x) )

c

1

n x

6.

0; x '

un '

2 x

sin x '

10.

2

n 1

x

5.

9.

u .v '
u

c.u '

c '

3.

8.

u '.v

'

Hàm sơ cấp (chỉ có ẩn x)

2.

7.

v

4

1.

4.

u

3

a

u

'

1

u '.cos u
u '.sin u

tan 2 u

u' 1

sin 2 u
u'
u .ln a
u

u '.a .ln a

u' 1
ln u '
u

e '

cot 2 u
u'
u
u '.e u

3. Phương pháp giải nhanh
3.1. Để tìm đạo hàm của một hàm số y f ( x ) bất kỳ thì ta sẽ làm như sau:
Bước 1. Xác định quy tắc.
Bước 2. Đặt u ?; v ?; ...
Bước 3. Xác định công thức đạo hàm sau khi đặt, từ đó suy ra u ' ?; v ' ?; ...
3.2. Để tính đạo hàm của hàm số y F(X) tại điểm x A thì ta giải nhanh bằng cách sử dụng MTCT như sau:
Tại ô trống thứ nhất ta nhập
hàm số F(X), tại ô trống thứ 2
ta nhập giá trị x là A.
Rồi ấn = để thu kết quả.
II. VI PHÂN

Bấm qy để tính.

1. Định nghĩa
Hàm số y f ( x ) xác định và có đạo hàm trên khoảng a; b . Giả sử
hàm số y

f ( x ) tại x, ứng với số gia

Áp dụng định nghĩa vào hàm số y

x. Kí hiệu là dy

x ta có dy

d ( x)
dy

df ( x )
x '. x

df ( x )

x là số gia của x thì tích f '( x ). x là vi phân của

f '( x ). x .
x , do đó đối với hàm số y

f ( x ) ta có:

f '( x ) dx

Ta hiểu vi phân một cách dễ nhất đó là đi tìm đạo hàm nhưng thay vì ghi rằng y ' f '( x ) thì ta lại ghi là dy f '( x ) dx
2. Phương pháp giải nhanh
2.1. Để tính vi phân thuận (tức là cho hàm số y f ( x ) rồi yêu cầu tìm vi phân dy f '( x ) dx ) thì ta giải nhanh như sau:
Ta cũng làm hoàn toàn tương tự như các bước tìm đạo hàm (I.3.1), từ đó tìm được f '( x ) rồi lắp vào công thức
dy f '( x ) dx để được một vi phân hoàn chỉnh.
Địa chỉ học tại : Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ

1


Bài 1. Đạo hàm – Vi phân – Nguyên hàm
Buổi 5: Thứ bảy ngày 17 tháng 12 năm 2016
2.2. Để tính vi phân ngược (tức là cho vi phân dy f '( x ) dx rồi yêu cầu tìm hàm số y f ( x ) ) thì ta giải nhanh như sau:
Xác định quy tắc và công thức đạo hàm đã được sử dụng, từ đó suy ra được hàm số đã cho ban đầu.
Ví dụ: Cho vi phân của hàm số y
Ta thấy f '( x )

x3

2 x

f ( x ) là dy

x3

sin x sử dụng quy tắc u
u'

x

3

x

n

'

n. x

n 1

sin x dx . Hãy tìm hàm số y

2 x
v
x

u ' v ' w ' từ đó ta xác định được cách đặt và công thức

w '

xn '

n 1

f ( x ) đã cho.

x

n

x4 '

3

x4

u

4

4
3

xn '

1

đạo hàm đã sử dụng là

Do đó: y

x4

4 2 x3

4

3

2 x

w'

sin x

cos x

xn '

2x 2

v'

cos x '

C C

n. x n

1

sin x

xn

1

1

2x 2

n

sin x

x2 '

cos x '

3

2.

v

3
2
cos x

w

4x2

4 2 x3

3

3

const

Lý do tại sao phải cộng thêm C vì khi các bạn đạo hàm y '

x4

4 2 x3

4

3

cos x

x3

C '

2 x

sin x sẽ mất C.

III. NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa
Cho hàm số y f ( x ) xác định trên D. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên D nếu F '( x ) f ( x )
với mọi x D.
Định lý 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên D thì với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C

cũng là một nguyên hàm của f(x) trên D.
Định lý 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên D thì mọi nguyên hàm của f(x) trên D đều có dạng
F(x) + C, với C là một hằng số:

f ( x)

F ( x)

C.

2. Tính chất
1

f '( x ) dx

2

kf ( x ) dx

f ( x)
k

C

3

f ( x ) dx k

const , k

f ( x)

g ( x ) dx

f ( x ) dx

g ( x ) dx

0

3. Điều kiện tồn tại nguyên hàm
Định lý 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên D đều có nguyên hàm trên D.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm của hàm hợp u
STT
Nguyên hàm của hàm sơ cấp
0 dx

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2

xn

x n dx

n

a x dx

e x dx
1
x

dx

cos xdx
sin xdx
1
2

cos x

dx

C;

dx

x

C;

kdx

kx

1

ax

n

x

C

ln a

ex

C

ln x

C

sin x

x

dx

e

x

dx

x

cos x

C

tan x

C

cos
sin

x
x

cos

dx

dx
dx

1
2

dx

a

1

C

x

C

1

C

u ( x)

x

dx

1

n 1

x

.

n

1 a x
.
ln a
1 x
.e
1

.ln

1

1

C

C

x

.sin

1

C

1

C

x

C

.cos

x

C

.tan

x

C

Chương 3. Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng


Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG và thi vào lớp 10 – 0967.453.602
1

9.

dx

2

sin x

cot x

1

C

sin 2

Một số kết quả khác (cần được chứng minh khi sử dụng) a
tan xdx

1.

ln cos x

const , a

C

cot xdx
1

3.

x

2

x

2

a

1

dx

a

1

4.

ln sin x

1

5.

ln

2 a

t

dx

C
a

x

a

C

C

7.

x

8.

a tan t

a

dx

2

x

1
2

a

1

6.

x

.cot

x

C

x

x2

a

x

2

a

0

x

2.

1

dx

x

dx

2

ln

x2

ln x

C

a

C

a
x2

x2

x

x

adx

adx

x2

2

a

a

2

x2

ln x

a

C

Một số vi phân quan trọng cần chú ý
1

d u

v

2

d c.u

w

...

du

dv

dw

...

3

d u .v

4

d

c.u ' dx

vdu

u

udv

vdu

v

udv
v

2

Từ đó ta suy ra:

2
3

1

xdx

2

dx

a

d ax

e x dx

dx

a

d

x

1

d

2 x

2a
1

a
1

b

a

ax 2

d b

6

cos xdx

7

sin xdx

d b

a ln x

8

d b

ae x

9

d b

a x

10
.

a
1

b

x

a

ax
1

b

d ae x

a

d b

b

d a ln x
1

d ex

a

d ax 2

2a
1

1

b

1

d x2

d ln x

x

4
5

1

dx

1

d sin x

1

d a sin x

a

1

d cos x

dx

d tan x

cos 2 x
dx

a
1
a

1

sin x
1

x n dx

n

d xn

1

a
1

an

a

d a cos x

d a tan x

d cot x

2

1

b

d a cot x

d ax n

1

1

b

a
1

b

a
1

b

d b
d b

a cos x

d b

a tan x

d b

a cot x

d b

ax n

a
1

b

a sin x

an

1

Một số công thức lũy thừa quan trọng cần chú ý
am

n

am

n

a m .n

a m .a n
am

n

am

a0

m

a

an

n

n

a

m

a

a.b

1
n

1

a

an

b

n

n

a n .b n
an
bn

5. Phương pháp tính nguyên hàm
5.1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 4. Nếu

f (u ) du

Cho nguyên hàm

C và u

F (u )

u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

f u ( x ) u '( x ) dx

F u ( x)

C.

f ( x ) dx , nếu hàm f ( x ) là một trong các dạng sau thì sẽ có cách làm như sau:

1

f ( x; ax

b)

u

ax

2

f x; x

3

f x; n g ( x )

4

f x; a x

5

f x; ln x

6

f x;sin x

u

sin x

7

f x; cos x

u

cos x

du

8

f x; tan x

u

tan x

du

9

f x; cot x

u

cot x

du

xn

u

ax

u
u

du

un

g ( x)

ax

du

ln x

adx

nx n 1dx

du
n

u

b

du

nu n 1du

g ( x)
u

dx

ln a
du

ln a

g '( x ) dx

dx

x
du cos xdx
sin xd x
tan 2 x dx

1
1

cot 2 x dx

5.2. Phương pháp từng phần
Địa chỉ học tại : Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ

1

u 2 dx
1

u 2 dx

3


Bài 1. Đạo hàm – Vi phân – Nguyên hàm
Định lý 5. Nếu hàm số u

Buổi 5: Thứ bảy ngày 17 tháng 12 năm 2016

v ( x ) có đạo hàm hàm liên tục trên D thì

u ( x ), v

u ( x )v '( x ) dx

u ( x )v ( x )

u '( x )v ( x ) dx.

Một số dạng thường gặp:
1

2

I

3

f ( x ) sin ax

I

4

u

f ( x ) e ax b dx

I

f ( x ) cos ax

I

f ( x ) ln ax

dv

e

b dx

ax b

dx

v

du

dv

sin ax

b dx

dv

e ax

b

f '( x )

a

f '( x ) dx
cos ax

dx

b dx

v

f ( x ) dx

b f ( x)

cos ax

b f '( x )

a

a

dx

f '( x ) dx
sin ax

sin ax

I

b

b f ( x)

sin ax

b f '( x )

a

a

a

dx

du

b

cos ax

I

b

a

du

cos ax

ln ax

b

a

v

f ( x)

dv

f ( x ) e ax

I

ax b

a

f ( x)

u

f '( x ) dx
e

u

u

b dx

b dx

du

f ( x)

a ax

v

b

I

F ( x ) F '( x )

F ( x )l ax

F ( x)

b

a ax

f ( x)

b dx

4 dạng cơ bản trên đều được tuân theo một quy tắc đặt như sau: dv = Mũ – Lượng – Đại – Lô = u
Có nghĩa là nếu nguyên hàm có chứa hai hàm khác nhau ví dụ: I

e x sin xdx thì ta đặt dv

e x dx còn u

sin x thoe

chiều ưu tiên của quy tắc trên. Và hàm f(x) trên có thể được thay bằng hàm khác hàm đã có.
Sau đây là chuỗi bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Cho các khẳng định sau:
(I) e x và e x là hai nguyên hàm của nhau;
(II) sin 2 x là một nguyên hàm của sin2x;
4

(III) 1

x

Số khẳng định đúng là:
A. 0

5

3

7

6

5

3

x6

7

2

2

x3

2x

ln 2

C

2

x

e ln 2

x

C. 2
x

5

5

3

2

2x

1

6
2x

2

x6

3

1

e

là:

ln 2

2

x3

C

1

e ln 2

C.

1

1

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f ( x )

cos 8 x

16 cos 2 x
16

C

2

cos 8 x

B.

4 cos 2 x

16

tan 2 x là:

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số f ( x )

C

A. tan x x C
B. tan x x C
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) e 3 2 x là:
1

A.

2

e3

2x

B.

C

1
2

e3

2x

1

1

x

3

1

2x

A. ln

C

x 1

1

1

x

2

1

2x

B. ln

6

6

3

x7

7

1

2

3

x2

C

2x

ln x
x

e 1

D.

D.

ln 2

C. 2 cot x
C.

C.

C

1

5

3

x5

cos 8 x

3
4

4

6

x3

5

2x

5

1

x6

ln 2

x

e ln 2

2

1

x2

C

1
1

2x

D. 2 cot x

C
16 cos 2 x
16

x2

C. tan x

1

Câu 8. Nguyên hàm của hàm số f ( x )

3

là:

sin x.cos 2 x
A. 2 cot 2x C
B. 2 cot 2x C
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) sin 5 x.cos 3 x là:

A.

C.

là:

x

x

D. 3

x

7

7

B. x 3

B.

x
3

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f ( x )
A.

ex .

B. 1

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f ( x )
A. x 3

2

2

e x là một nguyên hàm của 1

1
2

e2 x

3

C

C

C

C

cos 8 x

D.

16 cos 2 x
16

D. tan x
1

D.

2

e2 x

x2

3

C

C

C

là:
1

1

x

3

1

2x

C. ln

1

1

x

2

1

2x

D. ln

Câu 9. Khẳng định đúng là:
4

Chương 3. Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng


Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG và thi vào lớp 10 – 0967.453.602
A.

1

x

C.

1

x

9

1

dx

9

1

10
1

dx

1

10

10

x
x

C

10

C

B.

1

x

D.

1

x

9

1

dx

9

1

10
1

dx

1

10

9

x

C

9

x

C

Câu 10. Cho các khẳng định sau:
(I) Nguyên hàm của một tổng bằng tổng các nguyên hàm;
(II) Nếu hàm số f(x) liên tục trên D thì hàm số f(x) có nguyên hàm trên D;
(III) Tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó;
(IV) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên D nếu F’(x) = f(x).
Khẳng định đúng là:
A. (I), (II)
B. (I), (II), (III)
C. (III), (IV)
D. Tất cả đều đúng
Câu 11. Khẳng định đúng là:
3

A.

x 1

x2

C.

x 1

x2

2

5
1

3
2

5

2

dx
dx

5

1

x2

1

x2

3

C

B.

x 1

x2

C

D.

x 1

x2

2

2

5

1

dx

5
2

3

2

2

dx

2

1

x2

5

1

x2

5

C

2

5

C

Câu 12. Khẳng định đúng là:
A.

cos 3 x sin xdx

C.

cos 3 x sin xdx

1
4
1
3

cos 4 x

C

B.

cos 3 x sin xdx

cos 3 x

C

D.

cos 3 x sin xdx

1
3
1
4

cos 3 x

C

cos 4 x

C

Câu 13. Khẳng định đúng là:
dx

A.

e

C.

x

ex

1

e
dx

x

2

e

x

2

1

e
1

e

D.

C

ex

1

dx

B.

C

x

x

ex

1
x

2

1

x

2

ex

e
dx

e

C

ex
1
1

C

Câu 14. Khẳng định đúng là:
A.

x ln 1

x dx

C.

x ln 1

x dx

1
2
1
2

x2

1 ln 1

x

x2

1 ln 1

x

1
4
1
4

x2
x2

x
2
x
2

1

x2

1 ln 1

x

x2

1 ln 1

x

C

B.

x ln 1

x dx

C

D.

x ln 1

x dx

C

B.

x sin 2 x

1 dx

C

D.

x sin 2 x

1 dx

B.

x2

2x

1 e x dx

ex 1

D.

x2

2x

1 e x dx

ex x2

2

1
2

1
4
1

x

x2

4

C

2
x

x2

2

C

Câu 15. Khẳng định đúng là:
A.

x sin 2 x

1 dx

C.

x sin 2 x

1 dx

x cos 2 x
2
x cos 2 x

1

sin 2 x

1

4
sin 2 x

2

1

1

4

x cos 2 x
2

x cos 2 x

1

sin 2 x

1

1

4
sin 2 x

1

2

4

C

C

Câu 16. Khẳng định đúng là:
A.

x2

2 x 1 e x dx

C.

x2

2 x 1 e x dx

ex x2

1

ex x2

C

1

C

x2

C

1

C

Câu 17. Khẳng định đúng là:
A.

1

x cos xdx

1

x sin x

cos x

C

B.

1

x cos xdx

1

x sin x

cos x

C

C.

1

x cos xdx

1

x sin x

cos x

C

D.

1

x cos xdx

x 1 sin x

cos x

C

B.

f ( x)

D.

f ( x ).g ( x ) dx

Câu 18. Khẳng định sai là:

A.

f '( x ) dx

f ( x)

C.

kf ( x ) dx

k

C

f ( x)

C k

0
2

Câu 19. Tìm hàm số f(x) biết f '( x )
2x

A.

1
2x

1

1

x

1

C

B.

1
x

f ( x ) dx
f ( x ) dx.

g ( x ) dx
g ( x ) dx

1
1

2

x

1
1

g ( x ) dx

2x

1

1

2

C

Địa chỉ học tại : Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ

C.

1
x

2
1

2x

1

C

D.

1

x

1
1

2x

1

C

5


Bài 1. Đạo hàm – Vi phân – Nguyên hàm

Buổi 5: Thứ bảy ngày 17 tháng 12 năm 2016

cos x

Câu 20. Tìm hàm số f(x) biết f '( x )
2
sin x

A.
2

C

2

cos x

B.

sin x
2

1

A. 1

B.

C

x2

2

sin x

C.

x2

ln x

2

x
x

1

x2

B. F ( x )

1

x
x

1

C. F ( x )

1

Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x )

A. F ( x )

1

x

cot

2

B. F ( x )

4

x

2 tan

2

x

B. F ( x )

Câu 25. Tìm hàm số F(x) biết F '( x )
x2

A. F ( X )

Câu 26. Biết

x

f (u ) du

A.

f 2x

3 dx

C.

f 2x

3 dx

1
2

F (2 x

1
sin 2 x

2x

sin 2 x

3x2

cos 2 x

3

e 1

3)

C

2x

2x

ln 2

1

e x ln 2

1

Câu 29. Hàm số F ( x )
A. f ( x )

B. F ( x )

3sin x

2 sin x

3 cos x

B. f ( x )

Câu 30. Tìm nguyên hàm của f ( x )
A.

2
3

2x

1

2x

1

C

1
3

cos 3 x

C

6

tan x

x
1

1

sin x

C. F ( x )

ln 1

biết F

2

x2

D. F ( x )

3x
x

D. F ( x )

sin x

3

1

1

21

tan

x
2

2

x3

x2

x

x3

D. F ( x )

1

B.

1

e

2x

x

biết F (0)

ln 2

B.

f 2x

3 dx

F (2 x

D.

f 2x

3 dx

2 F (2 x

cos 2 x và f

x2

x

e

3)

ex

1

e x ln 2

1

C

3)

C

2 . Khẳng định sai là:

2

D. f

0

2

1
2x

C. F ( x )

1
3

2 cos x

3sin x

ln 2

e x ln 2

1

2 sin x

3 cos x

2x

2x

1

B. 3cos 3x

B. F ( x )

1

C. f ( x )

D. F ( x )

2

x

e

2 sin x

3 cos x

D. f ( x )

1
2 cos x

3sin x

1

2x

1

C

C.

1
3

C. 3cos x

C

tan x

2x

1

1

D.

C

1
2

2x

1

C

sin 3 x

Câu 32. Tìm hàm số F(x) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số y
A. F ( x )

1

C. f (0)

Câu 31. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của f ( x )
A.

x2

3cos x là nguyên hàm của hàm số

ln 2sin x

2 cos x

2

sin 2 x

2x

Câu 28. Tìm nguyên hàm F(x) của f ( x )
A. F ( x )

C

2

1

1

C. F ( x )

C

B. f ( x )

2

ln x

2

C. F ( x ) cot x
D. F ( x ) cot x
1
2
2
2 x 1 và đồ thị y F ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e.

Câu 27. Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện f '( X )
A. f ( x )

x2

C . Tìm khẳng định đúng.

F (u )

2 F ( x)

C

cos x

sin x

B. F ( x )

e

D.

2

1

Câu 24. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x )
A. F ( x )

C

1

2x

x

x2

D.

x2

Câu 22. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x )
A. F ( x )

C

x

ln x

2

1

1

x

x2

C.

C

sin x

Câu 21. Tìm hàm số f(x) biết f '( x )

2

sin x

C. F ( x )

1

D. cos 3 x

C

3

1
cos 2 x

tan x

1

C

và F(0) = 1
D. F ( x )

tan x 1

Chương 3. Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng


Nguyễn Mạnh Cường – GV chuyên luyện thi THPTQG và thi vào lớp 10 – 0967.453.602
4m

Câu 33. Cho f ( x )

sin 2 x. Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F

4

A. m

3

B. m

3

4

Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f ( x )
sin 3 x

A. sin x

Câu 35. Nguyên hàm
1

x

1

2

x

2

A. ln

dx
x

2

3x

84 x

4

3

sin 2 x

C

C.

sin 4 x

sin 2 x

8

4

D.

C

sin 4 x

sin 2 x

8

4

C

1

x

2

2

x

1

C. ln

x

1

x

2

D. ln

C

x

2

x

1

C

2 2 x 3 x 7 x dx

B.

C

ln 84

4

D. m

là:

B. ln

C

Câu 36. Tính nguyên hàm
A.

2

8

cos x cos 3 x

B. 2sin 4 x

C

3

3

C. m

4

22 x3x 7 x

C. 84 x

C

ln 4 ln 3ln 7

D. 84 x ln 84

C

C

Câu 37. Khẳng định sai là:
x2

x 3 dx

A.

2

1

e 2 x dx

B.

C

2

e2 x

C

C.

sin xdx

cos x

C

dx

D.

x

2

ln

x

x
x

1

C

Câu 38. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x )  4 x 3  3 x 2  2 trên R thỏa mãn F(-1) = 3 là:
A. x 4  x 3  2 x  3

C. x 4  x 3  2 x  4

B. x 4  x 3  2 x
1

Câu 39. Hàm số y = f(x) thỏa mãn f '( x )  2 x 
A. 2 

1

B. x 2 

x

1

x

A. x 2 

2
x

3

B. 2 x 2 

 3 và f(1) = 3 là:

x2

1

1
x

2

2

C. 2 

Câu 40. Hàm số y  f ( x ) thỏa mãn f '( x )  ax 

D. x 4  x 3  2 x  3

b
x2

x

D. x 2 

3

1
x

 3x  2

, f (  1)  2, f (1)  6, f '(1)  0 là:

C. x 2 

3

1
x

3

D. 2 x 2 

1
x

3

Câu 41. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) và G(x) là nguyên hàm của g(x) thì khẳng định nào sau đây là sai:
B.  kf ( x ) dx  kF ( x )  C ,  k  0
A.   f ( x )  g ( x )  dx  F ( x )  G ( x )  C
C.

  f ( x ).g ( x )   F ( x ).G ( x )  C

Câu 42. Nếu
A.

 f ( x ) dx 

2008
x

2007 x  2008
x

Câu 43. Nếu

 f ( x ) dx  e

x

  f ( x)dx  '  f ( x)

 2007 ln x  C thì f(x) bằng:

B.

2

D.

2007 x  2008
x

2

C. 2008 x  2007 ln x

D.

C.

D.

2007
ln x



2008
x2

 sin x  C thì f(x) bằng:
2

A.
B.
Câu 44. Nguyên hàm của hàm số f ( x )  e 2008 x  2009 dx là:

B.

2008 x  2009

C
A. e
C.  2008 x  2009  e 2008 x  2009  C

D.

1
2008
1

.e 2008 x  2009  C

2009

.e 2008 x  2009  C

Câu 45. Khẳng định đúng là:
A.



ln x

x

dx  ln 2 x  C

ln x

1

B.



B.

 x ln x   ln

x

dx 

2

.ln 2 x  C

ln x

C.



C.

 x ln x   ln ln x  C

x

dx  ln x  C

ln x

1

D.



D.

 x ln x  ln x  C

x

dx 

ln 2 x

C

Câu 46. Khẳng định đúng là:
A.

dx

 x ln x  ln ln x  C

dx

1
2

x

C

dx

dx

Câu 47. Nguyên hàm của hàm số f ( x )  x.cos x là:

Địa chỉ học tại : Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ

7


Bài 1. Đạo hàm – Vi phân – Nguyên hàm
2

x sin x

Buổi 5: Thứ bảy ngày 17 tháng 12 năm 2016

2

2

C

x sin x

C
2
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số f ( x )  x.e x là:

A.

B. 

A.  x  1 e x  C

B. 1  x  e x  C

Câu 49. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
A. 

4

4

3

tan 3 x  C

B.

4

4

3

1
2008

C

Câu 51. Tính I  

sin x

D. x sin x  cos x  C

C.   x  1 e x  C

D.  x  1 e x  C

là:

2

sin x 4 cot x

co t 3 x  C

Câu 50. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
A.

1

C. x sin x  cos x  C

C.

ex
e  2008
x

4

4

3

D. 

tan 3 x  C

4

co t 3 x  C

4

3

là:

B. ln  e x  2008   C

C.

B. I  2 cos x  C

C. I  

ex
e x  2008 x

D. Kết quả khác

C

dx

cos x

A. I  2 cos x  C

Câu 52. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) 

cos x

1

C

cos x

D. I 

2 cos x

C

2 cos x

là:

x

A. 2 sin x  C

B. 2 sin x  C
1

Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
A. x 2  2008  C

x

4e

2x

C.

2

B. 

1
sin x

Câu 56. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
2x  5

C

B.

2x  3
2x

C.

cos x
1  cos 2 x

A. x 

2



cos 2 x

C

C.

x2
e2 x

4

1
2 x  2008
2

C

D.

1

x 2  2008  C

4

x

x

2

 3

2

C

4

D.

x

C

2



 3

3

3

1

C

sin x

D.

1
sin 2 x

C.

2 x  5
4e

2x

C

D.

C

C

2 x  3
4e 2 x

C.
x sin 2 x

2

là:

B.
C

C

là:

4e
Câu 57. Nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x.cos 2 x là:
x sin 2 x

3

x  3dx

Câu 55. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
A.  tan x  C

3

2 sin x

là:

B.  x  3   C

A. x  3  C

D. 

C

2

2

2

A.

x 2  2008

B. x 2  2008  C

Câu 54. Tính nguyên hàm

2 sin x

C.

cos 2 x
4

C

x

x sin 2 x
2



cos 2 x
4

C

D. x 

C

x sin 2 x
2



cos 2 x
4

C

SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN BỞI THẦY CƯỜNG TOÁN – 0967.453.602
Địa chỉ học tại:
CS1: Ngã tư Cổ Tiết – Tam Nông – Phú Thọ
CS2: 53/17/Thịnh Quang – Đống Đa – Hà Nội (Ngã tư sở)

Face: - Email:
Tài liệu được biên soạn từ nhiều nguồn trên mạng nên không tránh khỏi sự sơ suất, mong các tác giả bỏ qua.
8

Chương 3. Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng