Chuyên đề Tổ hợp và xác suất

Trường THPT chuyên Hùng Vương
Lớp 11 chuyên toán 2

TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
Những người thực hiện:
NGUYỄN THỊ THÙY DUNG (Nhóm trưởng)
NGUYỄN THỊ THU AN
CAI VIỆT HOÀNG

Năm học: 2014 - 1015





TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT



Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

PHẦN MỞ ĐẦU
Mục tiêu
- Hiểu và nắm được các phương pháp giải các bài toán liên quan đến xác định số phần
tử hoặc xác định khả năng xảy ra các biến cố.
- Biết cách áp dụng thực tiễn trong đời sống nhờ tổ hợp và xác suất.

Phân công thực hiện
Dung (Viết tay)
- Nhị thức Niu-tơn
An (Viết tay)
- Xác suất
Hoàng (Đánh máy)
- Quy tắc đếm
- Bìa.
Số trang tương ứng với người đánh máy, không tương ứng với người viết tay.

PHẦN NỘI DUNG
Bạn đọc xem ở trang kế tiếp hoặc xem mục lục ở trang cuối.

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

2


Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

A. LÍ THUYẾT
I. Hai quy tắc đếm cơ bản
1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n
cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể
thực hiện bởi n + m cách.
Quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, ..., Ak.
Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2, … và nk cách
thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + … + nk

cách.
Quy tắc cộng mở rộng:
Cho hai tập hợp hữu hạn bất kì A và B. Khi đó số phần tử của A  B bằng số phần tử
của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A  B, tức là
A B  A  B  A B .
2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm
theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m
cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách.
Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 , A2 ,..., Ak . Công đoạn A1 có thể
thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, …, công đoạn Ak
có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1n2 ...nk cách.

II. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
1. Hoán vị
a) Định nghĩa
Cho tập hợp A có n (n  1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được
một hoán vị của các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).
b) Số các hoán vị
Cho số nguyên dương n. Kí hiệu Pn là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử. Ta có
Định lí 1:
Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là
Pn  n !  n  n  1 n  2  ...1.
Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

3


Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n. Khi lấy ra k phần tử của
A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của
A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A ).
b) Số các chỉnh hợp
Cho các số nguyên n và k với 1  k  n. Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của một
tập hợp có n phần tử. Ta có:
Định lí 2:
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1  k  n  là
Ank  n  n  1 n  2  ...  n  k  1 .6  1  2974 cách chọn.
VD16: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập 1 đoàn
công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao
nhiêu cách ?
Giải:
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam
1
1
1
là C5 .C3 .C4  60
1
2
Số cách chọn 1 nhà toán học nữ , 2 nhà vật lý nam là C3 .C4  18
2
1
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam là C3 .C4  12

Tổng số cách chọn đoàn công tác là 60  18  12  90 cách.

VD17: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10
câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm
tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung
bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
Giải:
Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau:
Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, có C152 .C102 .C51 đề
Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, có C152 .C101 .C52 đề
Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, có C153 .C101 .C51 đề
Vậy tất cả có C152 .C102 .C51  C152 .C101 .C52  C153 .C101 .C51  56875 đề.
Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

16


Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

VD18: Một lớp học chỉ có các bàn đôi. Thầy giáo chủ nhiệm tính ra rằng có thể sắp
xếp học sinh của lớp theo 1560 sơ đồ khác nhau và số chỗ ngồi vừa đủ cho số học sinh
của lớp. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh.

Giải:
Gọi n là số học sinh của lớp đó
Lớp học mỗi bàn ngồi được hai bạn, chọn ra 2 bạn trong n bạn trong lớp rồi sắp xếp
vào bàn hai chỗ là một chỉnh hợp chập 2 của n hay An2 . Mặt khác có 1560 sơ đồ lớp khác
nhau nên ta có
n  n  1 n  2 !
n!
An2  1560 
 1560 

 1560  n  n  1  1560
 n  2 !
 n  2 !

 n  40
 n 2  n  1560  0  
 n  39(ktm)
Vậy lớp đó có 40 học sinh.
3. Bài tập tương tự
Bài 1: Một người dự định ăn trưa với ba món ăn: món khô, món canh và món tráng miệng.
Một cửa hàng cơm có 10 loại thức ăn khô, 3 loại canh và 4 loại tráng miệng. Hỏi khi vào
cửa hàng cơm nói trên thì người ăn có bao nhiêu cách chọn thực đơn.
Đáp số: 120 cách.
Bài 2: Đường bộ từ tỉnh A đến tỉnh B phải đi qua cầu C. Từ A đến C có 3 con đường, từ B
đến C có 4 con đường.
a) Có bao nhiêu con đường từ A đến B.
b) Đi bằng đường bộ thì có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi lại từ B trở về A.
Đáp số: a) 12 đường, b) 144 cách.
Bài 3: Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ
mít tinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Đáp số: 1260 cách chọn.
Bài 4: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm
công tác "Mùa hè xanh". Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít
nhất:
a) Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
b) Một học sinh nữ và một học sinh nam.
Đáp số: a) 10800 cách, b) 15000 cách.
Bài 5: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một
nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
Đáp số: 3690 cách.

Bài 6: Trong một cuộc đua ngựa có 10 con ngựa đua. Hỏi:
a) Có bao nhiêu khả năng chọn 3 con ngựa về nhất, nhì, ba ?
b) Có bao nhiêu khả năng chọn 3 con ngựa cùng về nhất ?
Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

17


Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Đáp số: a) 720 khả năng, b) 120 khả năng.
Bài 7: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một người
đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:
a) Hai người đó là vợ chồng
b) Hai người đó không phải là vợ chồng.
Đáp số: a) 10 cách, b) 90 cách.
Bài 8: Một đoàn y tế gồm có 4 bác sĩ và 12 y tá. Để lập một đội công tác cần chọn 1 bác sĩ
là tổ trưởng, 1 bác sĩ làm tổ phó và 5 y tá làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Đáp số: 9054 cách.
Bài 9: Một cơ quan có 12 chuyên viên gồm 7 nam, 5 nữ. cần lập một ban quản lí dự án
gồm 5 người trong đó phải có 1 tổ trưởng nam và 1 thủ quỹ nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công biết rằng khả năng của các chuyên viên là đồng đều.
Đáp số: 4200 cách.
Bài 10: Có 1 hộp trong đó có đựng 7 quả cầu màu đỏ và 3 quả cầu màu xanh (các quả cầu
đồng chất). Lấy từ trong hộp ra 3 quả cầu.
a) Có bao nhiêu cách lấy như vậy ?
b) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có 2 quả cầu màu đỏ ?
c) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu màu đỏ ?
d) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có ít nhất 1 quả cầu màu đỏ ?
Đáp số: a) 120 cách, b) 63 cách, c) 85 cách, d) 119 cách.

Bài 11: Trong 100 vé số có 2 vé trúng thưởng. Nếu mua 12 vé số thì có bao nhiêu trường
hợp:
a) Không vé nào trúng thưởng ?
b) Có ít nhất 1 vé trúng thưởng ?
c) Có đúng 1 vé trúng thưởng ?
12
12
12
11
 C98
Đáp số: a) C98
vé, b) C100
vé, c) C21 .C98
vé.
Bài 12: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau
a) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau ?
b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng
hạn 2,4,1,3,5) ?
Đáp số: a) 48 cách, b) 24 cách.
Bài 13: Một kì thi có 15 câu hỏi khác nhau. Mỗi thí sinh chọn 4 câu hỏi trong 15 câu nói
trên.
a) Có bao nhiêu cách chọn cho một thí sinh dự thi ?
b) Chứng tỏ rằng nếu có 2800 người dự thi thì ít nhất có 3 thí sinh có cách chọn giống nhau
?
Đáp số: a) 1365 cách, b) Bạn đọc tự giải.
Bài 14: Có 12 người khách xếp hàng vào tham quan một nhà bảo tàng. Có bao nhiêu cách
xếp hàng khác nhau, nếu:
a) Xếp hàng một
b) Xếp hàng đôi.
Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

18


Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Đáp số: a) 479001600 cách, b) 479001600 cách.
Bài 15: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chỗ ngồi cho 6 học sinh vào 6 ghế xếp thành một dãy ?
Đáp số: 720 cách.
Bài 16: Một lớp có 50 học sinh. Mỗi em đều đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn: bóng
đá và bóng chuyền. Có 30 em đăng kí chơi bóng đá, 35 em chơi bóng chuyền. Hỏi có bao
nhiêu bạn:
a) Đăng kí chơi cả hai môn
b) Đăng kí chơi một môn bóng đá.
Đáp số: a) 15 bạn, b) 15 bạn.
Bài 17: Có n quả cầu trắng và n quả cầu đen, đánh dấu theo các số 1,2,3..,n. Có bao nhiêu
cách sắp xếp các quả cầu này thành dãy sao cho 2 quả cầu cùng màu không nằm cạnh
nhau.
2
Đáp số: 2.  n ! cách.
Bài 18: Có bao nhiêu cách xếp 7 bạn Giáp, Ất, Bính, Đinh, Mậu, Kỉ, Canh ngồi vào một ghế
dài sao cho:
a) Ất ngồi giữa
b) Giáp và Canh ngồi đầu hai ghế.
Đáp số: a) 720 cách, b) 240 cách.

*
*

*

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

19


Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Vấn đề 3: Sử dụng các quy tắc tổ hợp để giải các bài toán hình học
1. Phương pháp
Khác với như hai vđ trên, vấn đề này tương đối phức tạp vì phải tư duy đại số lẫn hình
học. Để làm tốt phần này chúng ta cần có kiến thức về hình học phải chắc chắn, cần chú ý
những gì đã học ở lớp dưới như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, đa giác…
2. Ví dụ
VD1:
a) Có tất cả bao nhiêu đường chéo trong tứ giác lồi n cạnh ?
b) Đa giác lồi nào có số cạnh và số đường chéo bằng nhau ?
Giải:
a) Đa giác lồi n cạnh gồm có n đỉnh. Chọn 2 trong số n cạnh đó để nối thành đoạn
n  n  1
thẳng là một tổ hợp chập 2 của n hay Cn2 
đoạn thẳng nối liền các đỉnh này. Các
2
đoạn thẳng gồm cạnh và các đường chéo.
n  n  1
n  n  3
n 
.
Vậy số đường chéo là
2

2
n  n  3
n
b) Số cạnh và số đường chéo bằng nhau khi
2
Giải ra ta được n  5 hay ngũ giác lồi có số cạnh và số đường chéo bằng nhau.
VD2: Xác định số cạnh của một đa giác lồi biết số đường chéo gấp đôi số cạnh.
Giải:
n  , n  3
Giả sử đa giác lồi có n cạnh 
Khi đó đa giác lồi có n đỉnh.
2
Nối hai trong n đỉnh ta được một cạnh hoặc một đường chéo. Có Cn cách
nối 2 trong n đỉnh.
2
Suy ra tổng số cạnh và đường chéo là Cn
2
Số đường chéo Cn  n
Theo giả thiết số đường chéo gấp đôi số cạnh nên
n  n  1 n  2 !
n!
Cn2  n  2n  Cn2  3n 
 3n 
 3n
2! n  2 !
2! n  2 !

 n  n  1  6n  n  1  6  n  0   n  7
Vậy đa giác lồi có 7 cạnh.
VD3: Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi ?

Giải:
Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

20


Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Hình thập giác lồi có 10 đỉnh
Nối 2 trong 10 đỉnh ta được một cạnh hoặc một đường chéo, có C202  45 cách nối.
Suy ra tổng số cạnh và đường chéo là 45. Mặt khác hình thập giác lồi có 10 cạnh.
Vậy có 45−10=35 đường chéo.

VD4:
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1 hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên.
Giải:
1.
a) Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa của 10
đường thẳng phân biệt là: 1.C102  45 điểm.
b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa của 6 đường
tròn phân biệt là: 2.C62  30 điểm.
2. Vì 1 đường thẳng và 6 đường tròn có tối đa 12 giao điểm. Do đó số giao điểm tối đa giữa
10 đường thẳng và 6 đường tròn là:
10.12 = 120 điểm.
Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là:
45 + 30 + 120 = 195 điểm.
VD5: Trong hệ trục toạ độ Oxy, chọn 8 điểm trên trục Ox và 5 điểm trên trục Oy. Nối

một điểm trên trục Ox và một điểm trên trục Oy ta được 40 đoạn. Hỏi trong 40 đoạn
này có tối đa bao nhiêu giao điểm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ Oxy.
Giải:
Một giao điểm trong góc phần tư thứ nhất được xác định duy nhất bằng cách chọn 2
điểm trên Ox và 2 điểm trên Oy.
Chọn 2 điểm trong 8 điểm bất kì trên trục Ox là một tổ hợp chập 2 của 8 hay C82
Chọn 2 điểm trong 5 điểm bất kì trên trục Oy là một tổ hợp chập 2 của 5 hay C52
Số giao điểm tối đa đạt được khi không có 3 đoạn nào trong 40 đoạn đồng quy
Vậy theo quy tắc nhân có tất cả C82 .C52  280 giao điểm tối đa.
3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho đa giác lồi n đỉnh:
a) Đa giác đó có bao nhiêu đường chéo ?
b) Có bao nhiêu tam giác là đỉnh của đa giác ?
c) Có bao nhiêu đường chéo đi qua một đỉnh A của đa giác ?
d) Có bao nhiêu tam giác có một đỉnh là A và hai đỉnh còn lại là đỉnh của đa giác ?
n  n  3
n  n  1 n  2 
Đáp số: a)
đường chéo, b)
tam giác, c) n  3 đường chéo, d)
2
6
 n  1 n  2  tam giác.
2
Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

21


Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Bài 2: Cho một họ gồm m đường thẳng song song cắt một họ gồm n đường thẳng song song
khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành ?
Đáp số: Cm2 .Cn2 hình bình hành.
Bài 3: Cho n điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm n sao
cho số tam giác mà đỉnh trùng với các điểm đã cho gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ các
điểm ấy ?
Đáp số: n  8.
Bài 4: Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng:
a) Có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên ?
b) Có bao nhiêu tam giác với mỗi đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên ?
Đáp số: a) 21 đường thẳng, b) 35 tam giác.
Bài 5: Trong mp cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của
đa giác đều đã cho đồng thời không có cạnh nào là cạnh của đa giác đó ?
Đáp số: 800 tam giác.
Bài 6: Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n  n  2, n   nội tiếp đường tròn tâm O
a) Tính số tam giác có thể lập nên (đỉnh của tam giác là đỉnh của đa giác)
b) Biết rằng số tam giác có đỉnh trong 2n điểm trên gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là
đỉnh đa giác, tìm n.
3
Đáp số: a) C2n
tam giác, b) n  0.
*
*
*

Nhóm Dung (NT), An, Hoàng.

22