Chuyên đề Quan hệ song song

THPT chuyên Hùng Vương
Lớp 11 toán 2

TÀI LIỆU

CHUYÊN ĐỀ
QUAN HỆ SONG SONG
Những người thực hiện:
CAI VIỆT HOÀNG (Nhóm trưởng)
NGUYỄN HOÀNG TUẤN
HÀ ANH DŨNG

Năm học: 2014 - 1015


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

TÀI LIỆU

CHUYÊN ĐỀ
QUAN HỆ SONG SONG

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

2


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

MỤC LỤC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................................................................. 4

I. Đường thẳng và mặt phẳng ...................................................................................... 5
II. Đường thẳng song song .......................................................................................... 9
III. Đường thẳng song song với mặt phẳng................................................................ 11
IV. Mặt phẳng song song. ......................................................................................... 13
V. Hình lăng trụ ........................................................................................................ 16
B. PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG THEO CHỦ ĐỀ .................. 18
Chuyên đề 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ................................................. 19
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)............................................... 19
Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.......................................... 23
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy. ................................................................... 27
Dạng 4: Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động ................................ 29
Dạng 5: Thiết diện (dạng 1). .................................................................................. 32
Dạng 6: Bài toán về diện tích thiết diện.................................................................. 35
Chuyên đề 2: QUAN HỆ SONG SONG .................................................................... 37
Dạng 1: Chứng minh 2 đường thẳng song song ...................................................... 37
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng α .......................... 40
Dạng 3: Chứng minh 2 mặt phẳng song song ......................................................... 42
Dạng 4: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (cách 2/dạng 1)
Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước........... 45
Dạng 5: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2/dạng 2)
Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước. ............................................ 48
Dạng 6: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (cách 2/dạng 3)
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước. ........... 51

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

3

Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

4


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

I. Đường thẳng và mặt phẳng
1. Mở đầu (sgk)
2. Các tính chất
* Tính chất thừa nhận 1:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
* Tính chất thừa nhận 2:
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
* Tính chất thừa nhận 3:
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
* Tính chất thừa nhận 4:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng
chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
* Tính chất thừa nhận 5:
Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học không gian đều đúng.
* Định lí:
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm
của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

a) Đường thẳng song song với mặt phẳng

b) Đường thẳng cắt mặt phẳng

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

5


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG
c) Đường thẳng thuộc mặt phẳng

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
a) Mặt phẳng song song với mặt phẳng

b) Hai mặt phẳng trùng nhau

α β

c) Hai mặt phẳng cắt nhau

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) Đường thẳng song song với đường thẳng

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

6


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

b) Hai đường thẳng cắt nhau

c) Hai đường thẳng trùng nhau

ab

d) Hai đường thẳng chéo nhau

6. Điều kiện xác định mặt phẳng
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm
không thuộc đường thẳng đó.
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

7


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

7. Hình chóp và hình tứ diện
a) Hình chóp
- Định nghĩa
Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2…An gọi là hình chóp và được kí hiệu là
S.A1A2…An.
Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương
ứng gọi là hình chóp tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác...



b) Tứ diện
Định nghĩa:
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD,
ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọi là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD.

c) Thiết diện của hình chóp
Định nghĩa:
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 𝛼 là một đa giác phẳng tạo bởi các
đoạn giao tuyến của 𝛼 với các mặt bên hay mặt đáy của hình chóp.
Ví dụ: Trong hình vẽ, tứ giác MNPQ là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng 𝛼.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

8


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

II. Đường thẳng song song
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và
không có điểm chung.
Kí hiệu: a // b


2. Các định lí.
* Định lí 1: (tiên đề Ơ-clít trong không gian)
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước ta dựng được một và chỉ
một đường thẳng song song với thẳng đã cho.

a  (α)

B  (α)  !b : b // a (B  b)
B  a


Hệ quả:
Nếu từ một điểm B của mặt phẳng 𝛼, ta dựng đường thẳng b song song với đường
thẳng a nằm trong 𝛼 thì đường thẳng b nằm trong 𝛼.

B  (α)

 b  (α)
a  (α)
B  b:b // a

* Định lí 2:
Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào cắt đường này ắt phải cắt đường
kia.

a // b
 b  (α)

a

(α)


Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

9


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

* Định lí 3:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.

a, b, c  (α)

 a // b
a // c
b // c




* Định lí 4: (định lí về giao tuyến)
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho
trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với hai đường thẳng ấy.
(α)  (β)  c
a  (α)

 a, b  c

b

(β)



a // b




* Định lí 5:
Hai góc trong không gian có các cạnh song song và cùng chiều thì bằng nhau.





3. Góc của hai đường thẳng trong không gian.
̂𝑏), là góc 𝛼 (𝛼 ≤ 90𝑜 ) tạo bởi a’ và b’ vẽ từ điểm O
Góc của a và b, kí hiệu (𝑎,
bất kì lần lượt song song với a và b.
̂𝑏) = 90𝑜 ta nói a vuông góc với b
Nếu (𝑎,
Kí hiệu a ⊥ b.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

10


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

III. Đường thẳng song song với mặt phẳng.

1. Định nghĩa
Đường thẳng d và mặt phẳng 𝛼 gọi là song song với nhau nếu chúng không có
điểm chung
Kí hiệu: d // 𝛼.

2. Điều kiện song song.
* Định lí 6:
Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường
thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó chứa
trong mặt phẳng.

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng 𝛼 thì bất kì mặt phẳng 𝛼
nào chứa d mà cắt 𝛼 thì sẽ cắt 𝛼 theo giao tuyến song song với d.
Hệ quả 2: Cho mặt phẳng 𝛼 song song với đường thẳng d. Nếu từ một điểm M của
𝛼 ta dựng đường thẳng a song song với d thì a nằm trong mặt phẳng 𝛼.

3. Các tính chất khác.
* Định lí 7:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến
của chúng song song với đường thẳng đó.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

11


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

(α)  (β) = a


 a // d
(α) // d
(β) // d


* Định lí 8:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Qua đường thẳng này ta dựng được một và
chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng kia.

a,b chéo nhau

 !b' (b' qua A): b' // b
a  (α)
b'  (α)

* Định lí 9:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Từ một điểm bất kì O không thuộc mặt phẳng
chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia, ta dựng được một và chỉ một
mặt phẳng song song với hai đường thẳng đã cho.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

12


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

IV. Mặt phẳng song song.
1. Định nghĩa.
Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.





2. Điều kiện song song của 2 mặt phẳng.
* Định lí 10:
Nếu mặt phẳng 𝛼 chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt
phẳng 𝛽 thì 𝛼 song song với 𝛽.





3. Dựng mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước.
* Định lí 11:
Qua một điểm O bất kì nằm ngoài mặt phẳng 𝛼 cho trước bao giờ cũng dựng
được một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng 𝛼.

Cách dựng:
- Trong α dựng a, b cắt nhau
- Qua O dựng a’ song song với a, b’ song song với b
- Mặt phẳng (a’, b’) là mặt phẳng qua O và song song với α.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

13


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

Hệ quả:
Cho hai mặt phẳng 𝛼 và 𝛽 song song với nhau. Một điểm O thuộc mặt phẳng 𝛽.
Nếu Ox song song song với 𝛼 thì Ox thuộc mặt phẳng 𝛽.


α // β

O  β  Ox  β
Ox // α




4. Các tính chất khác
* Định lí 12:
Cho hai mặt phẳng 𝛼 và 𝛽 song song với nhau. Một mặt phẳng 𝛾 khác lần lượt
giao với hai mặt phẳng 𝛼 và 𝛽 qua hai giao tuyến a và b thì a // b.
α // β

a = α  γ  a // b
b = β  γ


γ
β

α

* Định lí 13:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với

nhau.

(α)  (β)

(α) // (γ)  (α) // (β)
(β) // (γ)


β

γ

α

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

14


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

* Định lí 14:
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng
bằng nhau.
(α) // (β)
a // b

a  (α)  B,D  AB = CD
 


 b  (β)  A,C


β
α

* Định lí 15: (Định lí Ta-lét trong không gian)
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.

α

α // β // γ

AB BC CA
=
=
a  (α, β, γ) = A, B, C 
A'B'
B'C'
C'A'

b  (α, β, γ) = A',B',C'

β
γ

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

15

Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

V. Hình lăng trụ
1. Định nghĩa
Hình lăng trụ là một khối đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song
gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.
Hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’
- ABCD, A’B’C’D’: đáy
- ABB’A’, BCC’B’: mặt bên
- AA’, BB’, CC’, DD’: cạnh bên
- ACC’A’, BDD’B’: mặt chéo.

Tuỳ theo đa giác đáy, ta có: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác…

2. Tính chất
Trong hình lăng trụ
- Các cạnh bên song song và bằng nhau
- Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành
- Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

3. Hình hộp
a) Định nghĩa
- Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
- Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật là hình hộp
chữ nhật.
- Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập
phương.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

16


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

b) Tính chất
Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các đường chéo AC’, A’C, BD’, B’D cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đường.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

17


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

B. PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ
VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG
THEO CHỦ ĐỀ

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

18


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

Chuyên đề 1

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)
1. Phương pháp:
- Tìm điểm chung của hai mặt phẳng
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng
lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó. Giao điểm (nếu có) của 2 đường thẳng này chính
là điểm chung của 2 mặt phẳng.

2. Ví dụ
VD1: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).
Giải:
trong (BCD), NP // CD  NP  CD = I (1)
mà NP  (MNP)  I  (MNP) (2)
từ (1) và (2) suy ra I là giao điểm
của CD và (MNP)
I  CD  I  (ACD)

(ACD): gọi E là giao điểm
của AD với MI
suy ra E là giao của (MNP) với
(ABD)
do đó (MNP)  (ABD) = EP

VD2: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AD và BC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA).
b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC. Xác định giao

tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD).

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

19


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG
Giải:
a) dễ thấy
M  AD  M  (NDA)
 (NDA)  (MBC) = M (1)

M  (MBC)
 N  BC  N  (MBC)
 (MNC)  (NDA) = N (2)

 N  (NDA)

từ (1) và (2) suy ra (MBC)  (NDA) = MN
b)

(ABD): BM  DI = K  (MBC)  (IJD) = K (3)
(ACD): CM  DJ = H  (MBC)  (IJD) = H (4)

từ (3) và (4) suy ra

VD3: Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bên trong tam giác BCD, M là một điểm trên
AO.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

b) I, J là 2 điểm trên BC và BD. Tìm giao tuyến của (IJM) và (ACD).
Giải:
M  AO  M  (ABO)
 (ABO)  (MCD) = M (1)
a) Xét (MCD) và (ABO).

M  (MCD)

(BCD): kéo dài BO cắt CD tại N.
 N  CD  N  (MCD)
 (MCD)  (ABO) = N (2)

 N  BO  N  (ABO)

từ (1) và (2) suy ra (MCD)  (ABO) = MN
b) (BCD): BN  IJ = P  (MIJ)  (ABO) = MP
(ABN): PM  AM = Q
 (MIJ)  (ACD) = Q (3)

Q

AN

Q

(ACD)

(BCD): kéo dài IJ cắt CD tại K

 (MIJ)  ACD = K (4)

từ (3) và (4) suy ra (IJM)  (ACD) = QK

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

20


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Hướng dẫn: Tìm giao điểm của AC và BD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD, AB > CD). Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Hướng dẫn: Tìm giao điểm của AD và BC.
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng
AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm
giao tuyến của (BCD) và (MNP).
Hướng dẫn: Tìm giao điểm của MN với BC.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên
trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của:
a) (AMN) và (BCD)
b) (DMN) và (ABC).
Hướng dẫn:
a) Tìm giao điểm của AM với BD, AN với CD
b) Tìm giao điểm của DM với AB, DN với AC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt
phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).

Bài 6: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
MN không //BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI)  (ABC)
b) (MNI)  (BCD)
c) (MNI)  (ABD)
d) (MNI)  (ACD)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến sau:
a) (SAC)  (SBD)
b) (SAB)  (SCD)
c) (SAD)  (SBC)
Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau

b)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)  (JAD)
c)Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao tuyến
của 2 mặt phẳng (IBC)  (DMN).
Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng ngoài đoạn
BD.Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB và AD lần
lượt tại K và L.Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB và
CD lần lượt tại M và N.
Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

21


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG
a) Chứng minh rằng 4 điểm K,L,M,N cùng thuộc một mặt phẳng
b) Gọi O1= BN  DM ; O2 = BL  DK và J = LM  KN. Chứng minh rằng ba điểm
A, J, O1 thẳng hàng và ba điểm C,J,O2 cũng thẳng hàng
c) Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H,chứng minh rằng điểm H nằm

trên đường thẳng AC.
Bài 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi A’,B’,C’,D’lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD,
CDA, DAB và ABC.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng
IA' IB' 1
b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’,chứng minh rằng : IA = IB = 3
c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy.

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

22


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
1. Phương pháp
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng α, ta tìm trong α một đường
thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và α.
Chú ý: Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng β qua a và lấy c là giao tuyến
của α và β.

2. Ví dụ
VD1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm
trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của
BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt
phẳng (MNK).
Giải:
trong (BCD), K không là trung điểm của BD nên

I ∈ NK ⇒ I ⊂ (MNK)
cho NK ∩ CD = I. {
⇒
I ∈ CD
CD ∩ (MNK) = I
ta có I ∈ CD ⇒ I ⊂ (ACD),
do đó AD ∩ MI = J ⇒ J ⊂ (MNK).
suy ra AD ∩ (MNK) = J.
VD2: Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh
SC lấy một điểm E không trùng với hai điểm S
và C. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với
(ABE).
Giả i:
(ABCD): AC ∩ BD = O.
(SAC): SO ∩ AE = I.
(SBC): BI ∩ SD = F.
do đó giao tuyến của (ABE) với
(SBD) là BI.
mà F ⊂ (ABE), F ∈ CD
suy ra F là giao điểm của SD
với (ABE).

Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

23


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG
VD3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành, O là tâm của đáy; M,
N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với (MNB)

và giao điểm K của đường thẳng SD với (MNB).
Giải:
trong (SAC), MN ∩ SO = I.
mà MN ⊂ (MNB) ⇒ SO ∩ (MNB) = I.
trong (SBD), BI ∩ SD = K.
mà BI ⊂ (MNB) ⇒ SD ∩ (MNB) = K.

VD4: Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là hai điểm trên AC và AD. Gọi O là
một điểm bên trong tam giác BCD.
a) Tìm giao điểm của MN và
(ABO)
b) Tìm giao điểm của AO và
(MNB).
Giải:
a) trong (BCD): lấy BO ∩ CD = E.
trong (ACD): lấy AE ∩ MN = F.
mà AE ⊂ (ABO) ⇒ F ⊂ (ABO).
do đó F là giao điểm của MN với
(ABO).
b) trong (ABE): lấy AO ∩ BF = H.
mà BF ⊂ (MNB) nên H là giao điểm
của AO với (MNB).

3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong mặt phẳng
(ABCD) vẽ đường thẳng đi qua A không song song với các cạnh của hình bình hành và
cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C’AE)
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (C’AE) với mặt phẳng (SAD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm

của cạnh SC.
Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

24


Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG
a) Tìm giao điểm I của đoạn thẳng AM và (SBD). CMR: IA = 2IM
b) Tìm giao điểm P của đường thẳng SD và (ABM)
c) Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và
với (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng
(ABCD) vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình
hành, d cắt BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm M của CD và mp(C’AE).
b) Tìm thiết diện của hình chop cắt bời mặt phẳng (C’AE).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm của AM và mp(SBD)
b) Lấy một điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của
SB, G là trọng tâm tam giác SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh I ở trên đường thẳng CD và
IC = 2ID
JA
.
JD
KA
c) Tìm giao điểm K của (OMG) với SA. Tính tỉ số
.
KS

b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD. Tính tỉ số

Bài 6: Cho I, J lần lượt là hai điểm bên trong tam giác ABC và ABD của tứ diện ABCD.
M là một điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm của IJ và mặt phẳng (ABM).
Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N.
Tìm các giao điểm sau:
a) BC  (DMN)
b) AC  (DMN) c) MN  (ACD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy một điểm O, tìm giao điểm của
AM với các mặt phẳng (SBC), (SCD).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Trên cạnh SC lấy một
điểm E
a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB ,CD và EF đồng quy.
Bài 10: Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M ,trong 2 tam giác BCD và ACD
lần lượt lấy 2 điểm N,K.Tìm các giao tuyến sau:
a) CD  (ABK)
b) MK  (BCD)
c) CD  (MNK)
d) AD  (MNK).
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và SC
a) Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD)
Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng.

25