Chủ đề QUAN HỆ SONG SONG GIỮA ĐƯỞNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

CHỦ ĐỀ: QUAN HỆ SONG SONG GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
Thời lượng :03 tiết
I – XÁC ĐỊNH VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT CỦA CHỦ ĐỀ:
Ở chương trình THCS các em đã biết quan hệ song song giữa hai đường thẳng. Ở chương trình toán THPT các em được
làm quen thêm với một đối tượng cơ bản khác của hình học không gian đó là mặt phẳng. Chuyên đề nhằm giúp các em hiểu rõ
mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đặc biệt là quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Giúp các em được rèn luyện về trí tưởng tượng trong không gian thông qua các hình ảnh, mô hình cụ thể như hình chóp, hình
lăng trụ, hình hộp, ...Giúp các em biết đọc, biết vẽ hình biểu diễn của hình không gian, chuyển từ tư duy trực quan sang tư duy
trìu tượng, tạo tiền đề giúp các em học tốt chương quan hệ vuông góc và giải quyết tốt các bài toán có liên quan trong chương
trình lớp 12 và thi TN-ĐH.
II – MỤC TIÊU CHỦ ĐỀ
1/ Về kiến thức:
+ Biết được khái niệm và điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Biết (không chứng minh) định lý: “Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P)
thì cắt theo giao tuyến song song với a”
2/ Về kĩ năng:
+ Xác định được vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
+ Biết cách vẽ một đường thẳng song song với một mặt phẳng. Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
+ Biết dựa vào các định lý trên xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trng một số trường hợp đơn giản.
3/ Về thái độ
+ Tự tin đưa ra các ý kiến cá nhân khi thực hiện các nhiệm vụ ở lớp, ở nhà.
+ Chủ động trao đổi, thảo luận với các HS khác và với GV.
+ Hợp tác chặt chẽ với các bạn khi thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu, làm bài… ở nhà.
4/ Năng lực cần hướng tới:
-Năng lực tính toán:
+ Sử dụng được ngôn ngữ Toán học
+ Sử dụng được công cụ Toán học
Năng lực tư duy:
+ Tư duy logic
1

+Tư duy sáng tạo
+ Khả năng suy diễn,lập luận Toán học
+ Phát triển trí tưởng tượng không gian,trực giác Toán học
Năng lực giải quyết vấn đề:
+ Sử dụng kiến thức Toán để học tập bộ môn khác
Năng lực tự học:
+ Biết cách học độc lập với phương pháp thích hợp
+ Biết cách làm việc có kế hoạch,cẩn thận,chính xác
+ Có thói quen tìm hiểu,khám phá
III – NỘI DUNG CHỦ ĐỀ:
1 – Nội dung 1: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
2 – Nội dung 2: Tính chất
IV – BẢNG MÔ TẢ CÁC CẤP ĐỘ TƯ DUY:
Nội
dung
Nhận biết
Thông hiểu
kiến
thức
Nhận biết được vị trí
Hiểu rõ vị trí tương đối
tương đối của đường
của một đường thẳng và
I
thẳng và mặt phẳng
một mặt phẳng trong
Vị trí
không gian.
tương VD1.1:

VD1.2: d không song
đối của Chỉ ra đường thẳng và song với ( α ) thì d cắt ( α )
đường mặt phẳng song song
đúng hay sai?
thẳng và trong lớp học.
mặt
phẳng

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

Xác định được vị trí tương đối của
đường thẳng và mặt phẳng đã cho
VD1.3: Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’, chỉ ra trên hình
vẽ các đường thẳng:
a) song song với mặt phẳng
(A’B’C’D’).
b) Cắt mp(BCC’B’).
2


c) Nằm trong (thuộc) mp(ABCD).
II – Tính Phát biểu được định lí Viết được ND của Định lí Vận dụng được Định lí 1 vào chứng minh đường thẳng song song
chất
1 (Dấu hiệu nhận biết
1 dưới dạng kí hiệu toán
với mặt phẳng
đường thẳng song song học

với mặt phẳng)

Phát biểu được định lí
2 (Về giao tuyến của
hai mặt phẳng)

Ví dụ 2.1:
Cho tứ diện ABCD. Gọi
M, N, P lần lượt là
trung điểm của AB, AC,
AD. Các đường thẳng
MN, NP, PM có song
song với mp(BCD)
không?

VD2.2: Cho hai hbh ABCD và ABEF không cùng nằm trong một
mặt phẳng.
a) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hbh ABCD và ABEF. Chứng
minh đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và
(BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là các trọng tâm của các tam giác ABD và
ABE. Chứng minh đường thẳng MN //(CEF).

Viết được ND của ĐL2
dưới dạng kí hiệu toán
học

Vận dụng được ĐL2 vào Vận dụng được ĐL2 vào giải bài toán
giải bài toán tìm giao
tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi một

tuyến của hai mặt phẳng mặt phẳng đi qua một điểm và song song
với hai đường thẳng cho trước
VD 2.3: Cho hình chóp VD 2.4: Cho tứ diện ABCD. Lấy M là
S.ABCD có đáy là hình điểm thuộc miền trong của tam giác
thoi.
ABC. Gọi ( α ) là mặt phẳng qua M và
a) Chứng minh AB
song song với các đường thẳng AB và
song song với mp(SCD) CD. Xác định thiết diện tạo bởi ( α ) và
b) Gọi M là trung điểm
tứ diện ABCD. Thiết diện đó là hình
của SC, xác định giao
gì?
tuyến của hai mặt
phẳng (BAM) và
(SCD).
3


Phát biểu được hệ quả
của định lí 2

Viết được ND hệ quả của
ĐL2 dưới dạng kí hiệu
toán học

Vận dụng được hệ quả Định lí 2 vào chứng minh đường thẳng song
song với mặt phẳng
VD 2.5: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm
trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).

HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và
(ACD).

Phát biểu được định lí
3

Viết được ND của ĐL3
dưới dạng kí hiệu toán
học

Chứng minh được định lí 3

V-CÂU HỎI – BÀI TẬP
Ví dụ 1.1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, chỉ ra trên hình vẽ các đường thẳng:
a) song song với mặt phẳng (A’B’C’D’).
b) Cắt mp(BCC’B’).
c) Nằm trong (thuộc) mp(ABCD).
Ví dụ 2.1:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với
mp(BCD) không?
Ví dụ 2.3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi.
a) Chứng minh AB song song với mp(SCD)
b) Gọi M là trung điểm của SC, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (BAM) và (SCD).
Ví dụ 2.4:
4


Cho tứ diện ABCD. Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi là ( α ) mặt phẳng qua M và song song với các đường
thẳng AB và CD. Xác định thiết diện tạo bởi ( α ) và tứ diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì?

VD 2.5: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG //
(ACD).
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).
HĐ1: Luyện tập chứng minh đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 1 (tr 63):
Cho hai hbh ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hbh ABCD và ABEF. Chứng minh đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và
(BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là các trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN //(CEF).

HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
GV hướng dẫn HS cách vẽ hình.
H1. Nêu cách chứng minh đt song song mp ?

Đ1.
OO′ // DF ⇒ OO′ // (ADF)
OO′ // CE ⇒ OO′ // (BCE)
IM IN 1
=
= ⇒ MN // DE
ID IE 3

⇒ MN // (CEF)
HĐ2: Chứng minh hai đường thẳng song song, tìm thiết diện của hình chóp
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
5

Bài 2 (tr 63):
Đ1.
a) giao tuyến của ( α ) với các mặt là các cạnh của tứ giác
MNPQ
A
MN // PQ // AC
MQ // NP // BD
M
Q
⇒ MNPQ là hbh.
B
N
C

D
P

b)Thiết diện cần tìm là hình bình hành MNPQ

Bài 2 (tr 63):
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (P) là mp
qua M, song song với AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện.
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi (P) là hình gì ?
-H/d : Áp dụng định lí 2 để giải bài toán.
-Gọi 1 học sinh vẽ hình và trình bày LG trên bảng.
-Gọi học sinh khác nhận xét.
-Chính xác hóa:
H1. Nêu tính chất của các giao tuyến ?

• Hướng dẫn HS cách xác định thiết diện.
Bài 3 (tr 63): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác
lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác đinh thiết
diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua O, song song với AB
và SC. Thiết diện đó là hình gì?
-H/d: +Nêu cách tìm giao tuyến của hình chóp cắt bởi một mặt
phẳng?
+AD ĐL2.
H2. Ta cần xác định giao tuyến của (P) với mặt nào trước ?

Bài 3 (tr 63):
Đ2.
• (P)∩(ABCD) = MN
(P) // AB ⇒ MN // AB
• (P)∩(SBC) = MQ
6


(P) // SC ⇒ MQ // SC
• (P)∩(SAB) = PQ
(P) // AB ⇒ PQ // AB
⇒ MN // PQ ⇒ MNPQ là hình thang.
VI – TIẾN TRÌNH DẠY H ỌC:
1. Mục tiêu của chủ đề:
* Về kiến thức:
+ Biết được khái niệm và điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Biết (không chứng minh) định lý: “Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P)
thì cắt theo giao tuyến song song với a”
* Về kĩ năng:
+ Xác định được vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

+ Biết cách vẽ một đường thẳng song song với một mặt phẳng. Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
+ Biết dựa vào các định lý trên xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trng một số trường hợp đơn giản.
* Về thái độ
+ Tự tin đưa ra các ý kiến cá nhân khi thực hiện các nhiệm vụ ở lớp, ở nhà.
+ Chủ động trao đổi, thảo luận với các HS khác và với GV.
+ Hợp tác chặt chẽ với các bạn khi thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu, làm bài… ở nhà.
* Năng lực cần hướng tới:
- Năng lực tính toán:
+ Sử dụng được ngôn ngữ Toán học
+ Sử dụng được công cụ Toán học
- Năng lực tư duy:
+ Tư duy logic
+Tư duy sáng tạo
+ Khả năng suy diễn,lập luận Toán học
+ Phát triển trí tưởng tượng không gian, trực giác Toán học.
- Năng lực giải quyết vấn đề:
7


+ Sử dụng kiến thức Toán để học tập bộ môn khác
- Năng lực tự học:
+ Biết cách học độc lập với phương pháp thích hợp
+ Biết cách làm việc có kế hoạch, cẩn thận, chính xác
+ Có thói quen tìm hiểu, khám phá.
2. Hình thức, phương pháp kỹ thuật dạy học cho chủ đề:
- Sử dụng hình thức dạy học trên lớp.
- Phương pháp gợi mở vấn đáp.
- Phương pháp thảo luận nhóm.
3. Chuẩn bị của GV và HS, tổ chức lớp:
- Chuẩn bị của GV, HS: mô hình hình không gian, đồ dùng trực quan.

- Tổ chức lớp:
Lớp
Sĩ số
Ngày dạy
3. Các hoạt động dạy học:
Nội dung 1.
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG

Hoạt động 1: khởi động và hình thành kiến thức mới
B1: Chuyển giao nhiệm vụ
?1. em hãy nêu các vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b trong trường hợp chúng cùng thuộc mặt phẳng và cho biết
số giao điểm của hai đường thẳng đó trong mỗi trường hợp?
Quan sát hình ảnh sau
d

d
d

α

α

α

8


H1

H2

H3

?2. Em hãy cho biết số giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng đã cho trong 3 hình trên
B2. Học sinh thực hiện nhiệm vụ: thảo luận 2 phút
B3: Báo cáo kết quả: học sinh đưa ra ý kiến của mình về vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt phẳng.
B4: Giáo viên đánh giá kết quả chốt kiến thức.
H1: d và ( α ) không có điểm chung. Ta nói d và ( α ) song song
H2: d và ( α ) có 1 điểm chung M. Ta nói d và ( α ) cắt nhau tại M
H3: d và ( α ) có 2 điểm chung trở lên. Ta nói d và ( α ) nằm trong
Hoạt động: hoạt động vận dụng.
B1: chuyển giao nhiệm vụ
Yêu cầu học sinh lấy ví dụ trong thực tế về đường song song với mặt, đường thẳng cắt mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt
phẳng trong thực tế?
B2: học sinh suy nghĩ:
B3: học sinh phát biểu ý kiến:
B4: giáo viên nhận xét các ví dụ
Nội dung 2.
II. TÍNH CHẤT
Hoạt động 1: khởi động và hình thành kiến thức mới.
Hình thành định lý 1
B1: Chuyển giao nhiệm vụ:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC,AD.
?1 quan sát các đường thẳng MN,NP,PM có song song với mp(BCD) không.
?2 các em chi biết đường MN,NP,PM có song song với đường thẳng nào nằm trong mp(BCD).

A

M

P
N

B

D
9

C


B2: học sinh suy nghĩ: ( học sinh vẽ hình và trao đổi ý kiến trong nhóm)
B3: đại diện nhóm phát biểu ý kiến:
MN song song với mp(BCD), NP song song mp(BCD),PM song song mp(BCD)
B4: giáo viên nhận xét các ý kiến của học sinh, chốt kiến thức.
Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( α ) và d song song với đường thẳng d` nằm trong ( α ) thì d song
song với ( α )
Hoạt động 2: củng cố định lý 1.
B1.Chuyển giao nhiệm vụ:
Cho hai hbh ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hbh ABCD và ABEF. Chứng minh đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và
(BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là các trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN //(CEF).
B2. Hoc sinh thực hiện nhiệm vụ.
S
B3. Học sinh trình bày ý kiến.
B4. Giáo viên nhận xét chốt kiến thức.
Hình thành định lý 2:
B1: nghiên cứu định lý 2
B2: phát biểu tóm tắt định lý 2 bằng kí hiệu

B3. Giáo viên chốt kiến thức.
M
Hoạt động củng có định lý 2.
B1. Chuyển giao nhiệm vụ các nhóm
A
D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi.
a) Vẽ hình và chứng minh AB song song với mp(SCD)
b) Gọi M là trung điểm của SC, xác định giao tuyến của hai
mặt phẳng (BAM) và (SCD).
B
B2: các nhóm thực hiện nhiệm vụ
C
B3. Đại diện nhóm trình bày lời giải
B4. Các nhóm nhận xét, giáo viên chốt kiến thức ( nếu có), yêu cầu học sinh nêu hệ quả định lý 2.
Hệ quả: (SGK – 62 HH11)
A'
D'
10


Hoạt động hình thành định lý 3
B1.Chuyển giao nhiệm vụ
B'
Cho hình hộp ABCD.A`B`C`D`.
?1 Vẽ hình và xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB` và CD`
A
?2 Mặt phẳng AA`B`B và đường thẳng CD` có song song với nhau hay không?
B2. Học sinh quan sát hình vẽ
B

B3. Phát biểu ý kiến
B4.HS nhận xét câu trả lời của bạn, giáo viên củng cố đưa ra định lý 3.
Định lí 3: Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b

C'

D

C

Hoạt động 3:Hoạt động luyện tập
Cho học sinh áp dụng kiến thức vừa tìm được để giải một số bài toán cụ thể:
1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM =

1
1
AE, BN = BD. Chứng minh MN // (CDFE).
3
3

2.Cho

hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).
c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G1G2 // (SBC).
3.Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).

4.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′. Chứng minh B, M′, A′ thẳng hàng và BM′ = M′A′
= A′N.
c) Chứng minh GA = 3GA′.
Hoạt động 4: Hoạt động vận dụng
5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA.
11


a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
HD:
c) MN // BC
6.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
7.Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên
đoạn IJ và song song với AB và CD.
a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD).
b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P).
8.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C′ là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng
(P) di động luôn đi qua C′M và song song với BC.
a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA.
HD:a) Đường thẳng qua C′ và song song với BC.
b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA.
c) Hai nửa đường thẳng.

Hoạt động 5: Hoạt động tìm tòi,mở rộng:
µ = 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao
9.Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B
cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA
lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a).
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.
HD:

b) SMNPQ =

x (4a − 3 x )
2a
. SMNPQ đạt lớn nhất khi x =
4
3

12


ˆ = 60 0 , AB = a .Gọi O là trung điểm của BC . Lấy điểm S ở ngoài
10. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông tại A , B
mặt phẳng (α) sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB , mặt phẳng (β) qua M song song với SB và OA ,
cắt BC ,SC , SA lần lượt tại N , P , Q . Đặt x = BM ( 0 < x < a ) .
a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
b. Tính diện tích của hình thang theo a và x . Tính x để diện tích này lớn nhất .
11. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý
trên AO với AM = x . mặt phẳng (α) qua M song song với SA và BD cắt SO , SB , AB tại N, P , Q .
a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất

12. Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD . Giả sử AB ⊥ CD , mặt phẳng (α) qua
M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của (α) với ( ICD ) và (JAB) .
b. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (α) Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật .
c. Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM =

1
IJ .
3

5. Củng cố. Rút kinh nghiệm chủ đề:
...........................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................

13