NHỊ THỨC NIU-TƠN

NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn
VD1.Tìm hệ số của x
10
trong khai triển nhị thức
( )
2
n
x+
, biết rằng
( )
0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ... 1 2048
n
n n n n n
n n n n n
C C C C C
− − −
− + − + + − =
VD2. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển biểu thức
( ) ( )
5 10
2
1 2 1 3P x x x x= − + +
VD3. Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
7
4

1
n
x
x
 
+
 ÷
 
, biết rằng
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −
VD4. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của biểu thức
( )
8
2
1 1P x x
 
= + −
 
VD5. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn
7
3

4
1
, 0P x x
x
 
= + >
 ÷
 
VD6. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Niu-tơn
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
, biết rằng
( )
1
4 3
7 3
n n
n n
C C n
+

+ +
− = +
VD7. Với n là số nguyên dương, gọi
3 3n
a
−
là hệ số của
3 3n
x
−
trong khai triển thành đa thức của
( )
( )
2
1 2
n
n
x x+ +
. Tìm n để
3 3
26
n
a n
−
=
.
VD8. Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2 2 3 3
2 2 2 ... 2 243
n n

n n n n n
C C C C C+ + + + + =
VD9. Cho khai triển nhị thức
1
1 1 1
0 1
3 3
2 2 2
1
1
1
3 3
2
2 2 2 2 2 ...
2 2 2
n
n n
x x
x x x
n n
n n
x x
x
n n
n n
C C
C C
−
− − −
− −

−
−
− −
−
   
   
+ = + + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
   
 
+ +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
1. Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ tư bằng 20n.
2. Tìm n và x.
VD10. Cho đa thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20
1 2 1 3 1 ... 20 1P x x x x x= + + + + + + + +
Tìm hệ số của số hạng chứa x

15
trong khai triển thành đa thức của P(x).
VD11. Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức
( )
2
1
n
x +
bằng 1024. Hãy tìm hệ số của
số hạng chứa x
12
trong khai triển trên.
VD12. Gọi a
1
, a
2
, …, a
11
là hệ số trong khai triển sau:
( ) ( )
10
11 10 9
1 2 10 11
1 2 ...x x x a x a x a x a+ + = + + + + +
Tìm hệ số a
5
.
VD13. Khai triển đa thức
( ) ( )
12

1 2P x x= +
thành dạng
( )
2 12
0 1 2 12
...P x a a x a x a x= + + + +
Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a
0
, a
1
, a
2
, …, a
12
.
VD14. Xét khai triển
( )
9
2 9
0 1 2 9
3 2 ...x a a x a x a x+ = + + + +
Tìm
{ }
0 1 2 9
max , , ,...,a a a a
VD15. Cho khai triển:
( )
0 1
1 2 ...
n

n
n
x a a x a x+ = + + +
, trong đó
n
∗
∈ ¥
và các hệ số
0 1
, ,...,
n
a a a
thỏa
mãn hệ thức
1
0
... 4096
2 2
n
n
a
a
a + + + =
. Tìm số lớn nhất trong các số
0 1
, ,...,
n
a a a
.
VD16. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn:

( )
18
5
1
2 0x x
x
 
+ >
 ÷
 
.
II. Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp bằng sử dụng nhị thức Niu-tơn
VD1. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
2 3
0 1 2
2 1 2 1 2 1
...
2 3 2
n
n
n n n n
C C C C
− − −
+ + + +
VD2. Tìm số nguyên dương n sao cho
( )
1 2 2 3 3 3 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 ... 2 1 2 2005
n n

n n n n n
C C C C n C
+ + + + +
− + − + + + =
VD3.Cho n là số nguyên dương, chứng minh
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
...
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−
+ + + + =
+
VD4. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
1.
1
1 3
1 1 1 2 1
1 ...
2 3 1 1
n
n
n n n

C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
2.
( )
( )
0 2 1 3 2 1
1
1 1 1
2 2 2 ... 2 1 1
2 3 1 1
n
n
n n
n n n n
C C C C
n n
+
−
 
− + + + = + −
 
+ +
VD5.
1. Tính tích phân
( )
1

2
0
1
n
I x x dx= −
∫
2. Chứng minh rằng
( )
0 1 2 3
1
1 1 1 1 1
...
2 4 6 8 2 2 2 2
n
n
n n n n n
C C C C C
n n
−
− + − + + =
+ +
VD6.
1. Tính tích phân
( )
1
2 3
0
1
n
I x x dx= +

∫
2. Chứng minh rằng
1
0 1 2
1 1 1 1 2 1
...
3 6 9 3 3 3 3
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
VD7. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
1.
( )
1 2 3 1 1
2 3 ... 1 .2
n n n
n n n n n
C C C n C nC n
− −
+ + + + − + =
2.
( ) ( )
2 3 2
2.1. 3.2. ... 1 . 1 .2

n n
n n n
C C n nC n n
−
+ + + − = −
3.
( ) ( )
2 3 4 1
2 3 ... 1 2 2 1
n n
n n n n
C C C n C n
−
+ + + + − = − +
VD8. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:
0 2 4 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2 2
... ...
n n
n n n n n n n
C C C C C C C
−
+ + + + = + + +
VD9.
1. Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
10 10
(1 x) (x 1)+ +
.

2. Từ đó suy ra giá trị của tổng
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1 10
10 10 10
...S C C C= + + +
VD10.
1. Rút gọn tổng
0 10 1 9 2 8 9 1 10 0
10 20 10 20 10 20 10 20 10 20
C C C C C C ... C C C CS = + + + + +
2. Rút gọn tổng
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 1 2006 2007
2007 2007 2007 2007
C C ... C CS = + + + +