Chương I. §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Tiết 08
Lớp

12A1

1

1


KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 1: Nêu công thức tính thể tích khối chóp có
diện tích đáy B và chiều cao h?

V = 1 B.h
3

h

B

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn
thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’
khác S. Nêu công thức tính : VS.A'B'C '

V
V
SA
'
SB
'

SC
'
S.A'B'C ' =
S.ABC
.
.
V
SA SB SC
S.ABC

=?

S
C’

* Trong trường hợp A’ trùng với A. Tính

A’
V
S.A'B'C ' = ?
V
S.ABC VS.A'B'C '
=1. SB '. SC ' = SB '. SC ' A
V
SB SC SB SC
S.ABC

B’
C
B

2


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BÀI TOÁN 1:

Cho chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam
giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc với đáy, biết rằng
SA = 2a ; AB = a ; BC = b . Gọi M là điểm trên cạnh SB sao
1
= B.h
cho 2SM=MB và N là trung điểm của cạnh SC
3
a: Tính thể tích khối chóp S.ABC.
SA' SB ' SC '
=
.
.
b: Tính thể tích của khối chóp N.ABC
SA SB SC
c: Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai
khối đa diện. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối đa
diện đó?

Kiến thức
cần nắm

V
VS . A' B 'C '

VS . ABC

3


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BÀI TOÁN 1: Cho chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B.
Cạnh SA vuông góc với đáy, biết rằng SA = 2a ; AB = a ; BC = b . Gọi M là

điểm trên cạnh SB sao cho 2SM=MB và N là trung điểm của cạnh SC

a: Tính VS . ABC = ?

S

LỜI GIẢI
Kiến thức
cần nắm

1
V = B.h
3
VS . A ' B 'C ' SA' SB' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

Ta có:

VS . ABC

1
= S ∆ABC .SA
3

2a



1 1
= . a.b.2a
3 2

1 2
= a b( đvtt )
3

M

N



A

C
a

B

b

4


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BÀI TOÁN 1: Cho chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B.
Cạnh SA vuông góc với đáy, biết rằng SA = 2a ; AB = a ; BC = b . Gọi M là
điểm trên cạnh SB sao cho 2SM=MB và N là trung điểm của cạnh SC
b: Tính thể tích của khối chóp N.ABC
S

LỜI GIẢI

Trong mp(SAC) kẻ NH song song với SA
Kiến thức
cần nắm

1
V = B.h
3
VS . A ' B 'C ' SA' SB' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

SA ⊥ ( ABC )
Do 
⇒ NH ⊥ ( ABC )
 NH // SA

Mặt khác NH là đường trung bình trong
tam giác SAC nên NH=a
Vậy

VN . ABC

1
= S∆ABC .NH
3

1 1
= . a.b.a
3 2

2a

M



N


A

H

a

B

C
b

1 2
= a b( đvtt )
6
5


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BÀI TOÁN 1: Cho chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B.
Cạnh SA vuông góc với đáy, biết rằng SA = 2a ; AB = a ; BC = b . Gọi M là
điểm trên cạnh SB sao cho 2SM=MB và N là trung điểm của cạnh SC
V
S
c. Tính S . AMN = ?
VANMCB
LỜI GIẢI
Kiến thức
cần nắm

1
V = B.h
3

VS . A' B 'C ' SA' SB ' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

Ta có: VS . AMN = 1. SM .SN
VS . ABC
SB.SC

1
⇒ VS . AMN = VS . ABC
6

M

1 1 1
= . =
3 2 6

1 1
1
= . a 2b = a 2b
6 3
18

Mặt khác

VS . ABC = VS . AMN + VAMNCB

M
A

2a
M

⇒ VAMNCB = VS . ABC − VS . AMN
1
1
5
= a 2b − a 2b = a 2b
3
18
18
VS . AMN 1
=
Vậy:
VAMNCB 5

N

S

N

N

A a

b

C

B
C

A

6

B


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

BÀI TOÁN 2:
Kiến thức
cần nắm

V =

1
B.h
3

Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M là điểm trên
cạnh SB sao cho 2SM=MB và N là trung điểm của cạnh
SC. Mặt phẳng (ANM) Chia khối chóp thành hai khối đa
diện. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối đa diện đó?

VS . A ' B 'C ' SA' SB' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

7


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BÀI TOÁN 2:
Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho
2SM=MB và N là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (ANM) Chia khối chóp
thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối đa diện đó?
S
LỜI GIẢI
Kiến thức
cần nắm

V =

1
B.h
3

Ta có:

VS . AMN

SM SN
= 1.
.
VS . ABC
SB SC

⇒ VS . AMN

1
= VS . ABC
6

1 1 1
= . =
3 2 6

M

VS . ABC = VS . AMN + VAMNCB

M A

N
M

⇒ V ANMCB = VS . ABC − VS . AMN A
Vậy:

N

1
= .V
6

Mặt khác

VS . A ' B 'C ' SA' SB' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

S

1
5
=V − V = V
6
6
VS . AMN 1
=
VAMNCB 5

N
C

A

C

B
B

8


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
HOẠT ĐỘNG NHÓM
CH 1

NHÓM
1

CH 3

NHÓM 4

NHÓM 3

CH 4

P·O M =α,O M =R (0 α≤ π ,R> 0).
3

α

α

NHÓM

2

CH 2
9

9


CH1:

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng 60o.Thể tích của khối chóp SABC bằng

3 3
a
A.
24

CH 2: :

CH 3:

3 3
a
C.
4

3 2
a
D.

12

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với (ABC),
đáy ABC là tam giác đều cạnh a , góc giữa (SBC) và (ABC)
bằng60o.Khi đó thể tích của khối chóp SABC bằng:
3 3 B. a3 3 C.a3 6 D.a3 6
a
A.
4
8
8
4
..

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
AC, lấy điểm P thuộc AD sao cho AP = 2 PD.Khi đó tỉ số thể
V
tích AMNP bằng A. 1 B. 1 C. 1
D. 3
V

CH4:

3 3
a
B.
12

ABCD

12

3

6

8

Cho hình chóp S.ABC, điểm M thuộc đoạn SB sao cho
2MS=3MB, điểm N thuộc đoạn SC sao cho 3SN=4NC, khi đó tỉ
V
số S. AMN
bằng: A. 28
B. 4 C. 35
D. 12
V
S. ABC

15

5

12

35

10


CH1:

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng 60o.Thể tích của khối chóp SABC bằng

3 3
a
A.
24

3 3
a
B.
12

3 3
a
C.
4

3 2
a
D.
12

Lời giải: Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
suy ra SO ⊥ (ABC)
OH = 1AH = 1a 3= a 3
3
3 2
6

VSOH ⇒ SO= OH.tan600= a 3 3= a
2
6

.. S

3 3
1
3
a
1
a
2
V= S
.SO = a
=
3 ABC
3 4 2 24

2a

C

A

3
⇒ A. a 3
24

a

O

H
B
11


CH 2: :

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với (ABC),
đáy ABC là tam giác đều cạnh a , góc giữa (SBC) và (ABC)
bằng60o.Khi đó thể tích của khối chóp SABC bằng:
3 6
33
3 3
3 6
a
a
a
a
D
.
A.
B.
C.
4
4
8

8

Lời giải: M là trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên
S
AM ⊥ BC ⇒ SM ⊥ BC
⇒ (SBC, ABC) = (SMA) = 60O

V = 1B.h= 1S
.SA
3
3 ABC
VSAM ⇒ SA = AMtan60o= 3a
2
33
1
33a
Vậy V = 1S
a
2
.SA = a
=

Ta có

3 ABC

3

42

8

60o

A

a

B

C
M

3
⇒ C.a 6
8
12


CH 3:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
AC, lấy điểm P thuộc AD sao cho AP = 2 PD.Khi đó tỉ số thể
1
tích V AMNP bằng A. 12
C. 1
B. 1
D. 3
6
V

ABCD

3

8

A

Lời giải
Ta có
V
AMNP = AM AN AP = 1.1.2= 1
V
AB AC AD 2 2 3 6
ABCD
⇒ C. 1
6

M
N

P
D

B

C

13

CH4:

Cho hình chóp S.ABC, điểm M thuộc đoạn SB sao cho
2MS=3MB,
điểm N thuộc đoạn SC sao cho 3SN=4NC, khi đó tỉ
V
35
D. 12
số VS. AMN bằng: A. 28 B. 4 C. 12
35
15

S. ABC

5

S

Lời giải
Ta có
V
S.AMN = SA SM SN =1.3.4= 12
V
SA SB SC
5 7 35
S.ABC
⇒ D. 12
35

N
M

C

A

B

14


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Củng cố
Qua bài học học sinh cần nắm vững công thức tính thể tích khối chóp,
tỷ số thể tích của khối chóp tam giác.
V =

1
B.h
3

VS , A'B 'C '
VS . ABC

=

SA'.SB '.SC '

SA.SB.SC

BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M, N, P là điểm trên cạnh SA, SB và
SC sao cho mSM=SA, nSN=SB và kSP=SC (với m,n,k là số thực lớn hơn 1).
Mặt phẳng (ANM) Chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích
giữa hai khối đa diện đó?

 Về nhà làm lại các bài tập đã
giải và làm tiếp bài tập 5;6
SGK và 1,2,3 SBT

15


16


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BÀI TOÁN 3:
Kiến thức
cần nắm

V =

1
B.h
3

Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M, N, P là điểm

trên cạnh SA, SB và SC sao cho mSM=SA, nSN=SB và
kSP=SC (với m,n,k là những số thực lớn hơn 1). Mặt phẳng
(ANM) Chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể
tích giữa hai khối đa diện đó?

VS . A ' B 'C ' SA' SB' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

17


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BÀI TOÁN 3:
Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M, N, P là điểm trên cạnh SA, SB và SC sao
cho mSM=SA, nSN=SB và kSP=SC ( với m,n,k là số thực lớn hơn 1). Mặt phẳng
(ANM) Chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối đa diện
đó?
LỜI GIẢI
Kiến thức
cần nắm

V =

1
B.h
3

VS . A ' B 'C ' SA' SB' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

Ta có:

VS .MNP SM SN SP 1 1 1
1
=
. .
= . . =
VS . ABC
SA SB SC m n k m.n.k

⇒ VS .MNP =

S

1
1
VS . ABC =
.V
m.n.k
m.n.k

N

Mặt khác

VS . ABC = VS .MNP + VAMNPCB

⇒ VAMNPCB = VS . ABC − VS .MNP
1
m.n.k − 1
=V −
V=
.V
m.n.k
m.n.k
1
Vậy: VS .MNP =
VAMNPCB m.n.k − 1

P
M
A

C

B

18


TIẾT 8: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Củng cố
Qua bài học học sinh cần nắm vững công thức tính thể
tích khối chóp, tỷ số thể tích của khối chóp tam giác.
1
V = B.h
3

VS , A'B 'C '
VS . ABC

SA'.SB '.SC '
=
SA.SB.SC

 Về nhà làm lại các bài tập đã giải
và làm tiếp bài tập 5;6
SGK và 1,2,3 SBT
19


20