Bài giảng môn toán cao cấp 2

Mục lục
1

Lý thuyết giới hạn

1

1.1 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

1.1.1

Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1
1.2.2

Khái niệm hàm số một biến . . . . . . . . . . .

15

Một số khái niệm liên quan đến hàm số một biến 18

1.3 Giới hạn của hàm số một biến.

. . . . . . . . . . . . .

22

. . . . . . . . . . . .

22

1.3.2

Một số tính chất của giới hạn hàm số . . . . . .

27

1.3.3

Các phép toán về giới hạn . . . . . . . . . . . .

27

1.3.4

Một số tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . .

28

1.3.5

Vô cùng bé, vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . .

30

1.4 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.1

2

1

Các định nghĩa giới hạn

Hàm số liên tục

37

2.1 Khái niệm về hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 Các phép toán về hàm số liên tục . . . . . . . . . . . .

39

2.3 Tính liên tục của hàm số trên 1 đoạn . . . . . . . . . .

40

2.4 Liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

i


2.5 Tính liên tục của các hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . .

45

2.6 Điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.7 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3 Đạo hàm và vi phân hàm số một biến
3.1 Đạo hàm của hàm số một biến . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Một số khái niệm về đạo hàm . . . . . . . . . .

53

3.1.2

Ý nghĩa hình của đạo hàm . . . . . . . . . . . .

57

3.1.3

Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . .

58

3.1.4

Đạo hàm hàm hợp

. . . . . . . . . . . . . . .

60

3.1.5

Đạo hàm hàm ngược

. . . . . . . . . . . . . .

61

3.1.6

Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp . . . . . . . .

62

3.1.7

Đạo hàm cấp cao của hàm số . . . . . . . . . .

63

Vi phân của hàm số một biến

. . . . . . . . . . . . .

64

3.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.2.2

Mối liên hệ giữa đạo hàm và vi phân . . . . . .

65

3.2.3

Ứng dụng của phép tính vi phân vào tính gần
đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Một số ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . .

67

3.3.1

Một số định lý giá trị trung bình . . . . . . . .

3.3.2

Quy tắc De L’Hospital để tìm giới hạn của hàm
số

67

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . .

74

3.4 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.3.3

4

50

3.1.1

3.2.4
3.3

50

Nguyên hàm và tích phân bất định
4.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

80
80


4.1.1

Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . .

80

4.1.2

Bảng tích phân các hàm số thường gặp . . . .

82

4.1.3

Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.2 Một số phương pháp tính tích phân bất định . . . . . .

84

4.3

4.2.1

Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . .

84

4.2.2

Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . .

85

Một số dạng tích phân bất định

. . . . . . . . . . . .

87

4.3.1

Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ . . . . .

87

4.3.2

Tích phân các hàm số lượng giác . . . . . . . .

89

4.3.3

Tích phân hàm số vô tỷ . . . . . . . . . . . . .

91

4.4 Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5 Tích phân xác định của hàm một biến số
5.1 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94
94

5.1.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.1.2

Tính chất của tích phân xác định . . . . . . . .

98

5.1.3

Công thức Newton-Leibnit . . . . . . . . . . . .

99

5.2 Một số phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . 100
5.2.1

Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2.2

Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . 102

5.3 Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 104
5.3.1

Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . 104

5.3.2

Tính độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.3

Tính thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . 108

5.3.4

Tính diện tích diện tích xung quanh của vật
thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.1

Tích phân suy rộng với cận vô cùng . . . . . . 110
iii


5.4.2

Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . 115

5.5 Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Tài liệu tham khảo

124

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

iv


Chương 1

Lý thuyết giới hạn
1.1. Dãy số
1.2. Hàm số một biến

1.3. Giới hạn của hàm số một biến

1.1
1.1.1

Dãy số
Tập hợp

a. Khái niệm
+ Khái niệm tập hợp và phần tử không thể định nghĩa bằng các
khái niệm đã biết, ta chỉ có thể mô tả.
+ Ta nói tập tất cả các đối tượng xác định nào đó hợp lại tạo
thành 1 tập hợp, mỗi đối tượng là 1 phần tử của tập hợp. Kí hiệu tập
hợp bằng các chữ cái in hoa: A, B, C, ..., X, Y, Z và các phần tử của
tập hợp kí hiệu a, b, c, ... x, y, z.
+ Phần tử a thuộc tập A, viết a ∈ A.
+ Phần tử b không thuộc tập A, viết b ∈
/ A.
b. Các phương pháp mô tả tập hợp

1


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

i) Liệt kê ra các phần tử của tập hợp.
ii) Chỉ ra tính chất mà chỉ những phần tử thuộc tập mới có
c. Tập rỗng: Tập rỗng là tập không có phần tử nào, kí hiệu ∅.
d. Sự bằng nhau của 2 tập hợp
+ Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mỗi phần tử x ∈ A thì

x ∈ B, kí hiệu A ⊂ B hoặc B ⊃ A (hình 1.1).

Hình 1.1:
+) Ta có bao hàm thức N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
+ Hai tập A và B được gọi là bằng nhau nếu phần tử của tập A
cũng là phần tử của tập B và ngược lại, kí hiệu A = B. Vậy
A = B ⇐⇒ A ⊂ B và B ⊂ A.
d. Các phép toán về tập hợp
i) Phép hợp
+ Hợp của 2 tập A và B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A hoặc
thuộc B, kí hiệu A ∪ B (hoặc A.B)( hình 1.2). Vậy
A ∪ B = {x x ∈ A hoặc x ∈ B}.

Hình 1.2:
ii) Phép giao
2


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

+ Giao của 2 tập A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A
vừa thuộc B, kí hiệu A ∩ B (hình 1.3). Vậy
A ∩ B = {x x ∈ A và x ∈ B}.
+ Nếu A ∩ B = ∅ thì ta nói A và B rời nhau.

Hình 1.3:
iii) Phép hiệu
+ Hiệu của 2 tập A và B là tập các phần tử thuộc A mà không thuộc
B, kí hiệu A

B (hình 1.4). Vậy ta có
A

+ Cho A ⊂ E. Tập E
A=E

B = {x x ∈ A và x ∈
/ B}.
A gọi là tập bù của A trong E, kí hiệu A. Vậy

A.

Hình 1.4:
Nhận xét 1. Ta có một số kết quả sau: A ⊂ E, A = A.
iv) Các tính chất của phép toán tập hợp
+ Tính chất giao hoán:
A∪B=B∪A
A ∩ B = B ∩ A.
3


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

+ Tính chất kết hợp:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
+ Tính chất phân phối:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
+ Công thức DeMorgan: với mọi tập A ⊂ E, B ⊂ E ta có

A ∪ B = A ∩ B và A ∩ B = A ∪ B.
e. Tích Đề-các của các tập hợp
+ Tích Đề-các của 2 tập A và B là tập tất cả các cặp (a, b) có thứ
tự, a trước b sau trong đó a ∈ A, b ∈ B, kí hiệu A × B. Vậy
A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B}.
+ Khi A = B ta kí hiệu A × A = A2 .
+ Tổng quát, tích Đề-các của n tập hợp là tập
X1 × X2 × ... × Xn = {(xi , ..., xn ) xi ∈ Xi (i = 1, ..., n)}.
+ Khi X1 = · · · = Xn = X ta có
Xn = X × X × ... × X = {(xi , ..., xn ) xi ∈ X (i = 1, ..., n)}.
n

lần

Chú ý 1. Nói chung A × B ̸= B × A.

4


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

1.1.2

Tập hợp số thực

a. Số hữu tỷ
Ta đã biết tập các số tự nhiên
N = {0, 1, 2, ..., n, ...}.
Để mở rộng lớp nghiệm cho phương trình x + n = 0, n ∈ N ta đưa
thêm vào tập các số nguyên Z

Z = {0, ±1, ±2, ...}.
Để mở rộng lớp nghiệm cho phương trình mx + n = 0, m, n ∈ Z
ta đưa vào tập các số hữu tỷ Q
p
Q = { p, q ∈ Z, q ̸= 0 và p, q chỉ có ước là ± 1}.
q
Ví dụ 1. Các số hữu tỷ
1
;
5

1
;
3

1
, ...
8

b. Số vô tỷ
Ta thấy tập các số hữu tỷ còn quá hẹp, chẳng hạn ta xét nghiệm
√
dương của phương trình x2 − 3 = 0. Ta có x = 3 là một nghiệm và
√
ta có thể chứng minh được 3 không phải là số vô tỷ. Do đó, ta cần
xây dựng tập số chứa những số không phải là số hữu tỷ.
p
Một số không biểu diễn được dưới dạng (p, q ∈ Z) gọi là số vô
q
tỷ. Tập các số vô tỷ là Q.

Ví dụ 2.

√
2 = 1, 414213562...;

π = 3, 141592....

Để dễ phân biệt giữa số hữu tỷ và số vô tỷ người ta đưa ra khái
1 1
niệm số thập phân, chẳng hạn ta xét các số hữu tỷ , . Ta viết các
8 3
5


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

số đó dưới dạng số thập phân
1
= 0, 125;
8

1
= 0, 3333333....
3

1
Ta nói số hữu tỷ biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn, còn số
8
1
hữu tỷ biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn, tuần hoàn.

3
c. Số thực.
Tập các số hữu tỷ và các số vô tỷ gọi là tập số thực, kí hiệu R. Vậy
R = Q ∪ Q.
Người ta chứng minh được rằng bất kỳ 1 số hữu tỷ nào cũng có thể
biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Với số vô tỷ thì không như thế, người ta cũng chứng minh được rằng
bất kỳ số vô tỷ nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân vô
hạn không tuần hoàn.
Chú ý 2. Ta có bao hàm thức
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Tập số thực có rất nhiều tính chất quan trọng trong lý thuyết tập
hơp, trong lý thuyết về hàm số một biến số thực. Tuy nhiên ở đây ta
chỉ đưa ra một số tính chất cơ bản nhất. Ngoài ra còn có nhiều tính
chất quan trọng khác, bạn đọc có thể tham khảo trong giáo trình.
+ Tập R là tập được sắp thứ tự toàn phần
+ Tập R là tập có tính đầy
+ Tập R là tập có tính trù mật

1.1.3

Dãy số thực

i) Khái niệm
6


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

Cho ánh xạ f : N∗ −→ R xác định bởi un = f (n) (n = 1, 2, ...).

Khi đó, các số u1 , u2 , ..., un , ... được gọi là dãy số và kí hiệu {un }. Các
số u1 , u2 , ..., un , ... gọi là các số hạng của dãy và un = f (n) gọi là số
hạng tổng quát của dãy số.
Ví dụ 3. a) {xn }; x1 = 1, x2 = 1, ..., xn = 1, ...
b) {xn }; x1 = −1, x2 = 1, ..., xn = (−1)n , ...
+ Dãy số {un } gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho un ≤ M,
∀ n ∈ N∗ .
+ Dãy số {un } gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho un ≥ M,
∀ n ∈ N∗ .
+ Dãy số {un } gọi là bị chặn nếu nó bừa bị chặn trên, vừa bị chặn
dưới, tức là tồn tại M > 0 sao cho
|un | ≤ M, ∀n ∈ N∗ .
+ Dãy số {un } gọi là đơn điệu tăng (tăng thực sự) nếu un ≤ un+1 ,
∀ n ∈ N∗ (nếu un < un+1 , n ∈ N∗ )
+ Dãy số {un } gọi là đơn điệu giảm (giảm thực sự) nếu un ≥ un+1 ,
∀n ∈ N∗ , (nếu un > un+1 , n ∈ N∗ )
n+1
Ví dụ 4. 1) Dãy số {
} là 1 dãy số bị chặn.
n
n
2) Dãy số {n(−1) } là 1 dãy số không bị chặn.
ii) Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.1. Số thực a gọi là giới hạn của dãy số {un }n khi
n → +∞ nếu với mọi ϵ > 0 tồn tại n0 = n0 (ϵ) sao cho với n ≥ n0 ta
có
|un − a| < ϵ,
kí hiệu lim un = a, hoặc un → a khi n → +∞. Ta cũng nói rằng dãy
n→∞

số hội tụ.
7


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

+ Một dãy số không hội tụ gọi là dãy số phân kỳ.
Ví dụ 5. Chứng tỏ rằng
n−2
= 1.
n→∞
n
lim

Hướng dẫn. Xét biểu thức sau với ∀ϵ > 0 cho trước
|un − 1| = |

2
n−2
− 1| = < ϵ.
n
n

2
2
Biểu thức thoả mãn khi n > . Vậy nếu ta chọn n0 = [ ] + 1 thì với
ϵ
ϵ
mọi n ≥ n0 ta có
|un − 1| < ϵ

n−2
= 1.
n→∞
n

hay lim

Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng
n2 + 1
lim
= 1.
n→∞ n2 + 2
Hướng dẫn. Thật vậy ta có
1
n2 +2

< ϵ khi và chỉ khi n2 >

với mọi n > n0 ta có

n2 +1
n2 +2

1
ϵ

n2 +1
n2 +2

−1 =

1
n2 +2 .

Với ϵ > 0 cho trước
[√
]
1
− 2. Vì thế nếu lấy n0 =
ϵ − 2 thì
n2 +1
2
n→∞ n +2

− 1 < ϵ. Do đó lim

= 1. ([x] là phần

nguyên của x).
+ Theo định nghĩa trên số n0 phụ thuộc ϵ hay n0 = n0 (ϵ). Ta cũng
thấy, sự hội tụ của dãy không phụ thuộc 1 số hữu hạn các số hạng
đầu của nó, vì khi đó ta chỉ cần chọn n0 lớn hơn chỉ số lớn nhất của
số hạng đó.
Định nghĩa 1.2. Dãy {un } được gọi là:
+ Dần đến vô cùng nếu với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý tồn tại
số n0 sao cho
|un | > M, ∀n ≥ n0 ,
8

Chương 1. Lý thuyết giới hạn

ta viết lim un = ∞.
n→∞

+ Dần đến +∞ cùng nếu với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý tồn
tại số n0 sao cho
un > M, ∀n ≥ n0 ,
ta viết lim un = +∞.
n→∞

+ Dần đến −∞ nếu với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý tồn tại số
n0 sao cho
un < −M, ∀n ≥ n0 ,
ta viết lim an = −∞.
n→∞

n(n + 1)
= ∞.
n→+∞
2n + 1
Hướng dẫn. Với M > 0 xét biểu thức
Ví dụ 7. Chứng tỏ rằng lim (−1)n

|

n(n + 1)
n(n + 1) n
|>
= > M ⇐⇒ n > 2M.

2n + 1
2(n + 1)
2

Chọn n0 = [2M ] + 1. Khi đó, với n ≤ n0 ta có |
lim (−1)n

n→∞

n(n + 1)
| > M hay
2n + 1

n(n + 1)
= ∞.
2n + 1

iii) Dãy con
Định nghĩa 1.3. Cho dãy số thực {un }n và dãy các số nguyên {nk }k
sao ch n1 < n2 < ... < nk < ... Dãy số un1 , un2 , ..., unk , ... được gọi là
dãy con của dãy {un }n .
Định nghĩa 1.4. Cho dãy số thực {un }n . Số thực a gọi là giới hạn
riêng của dãy số {un }nếu có một dãy con {unk }k của dãy {un }n hội
tụ đến a, tức là lim unk = a.
k→∞

Định lý 1.1. Dãy số {un }n có giới hạn a khi và chỉ khi mọi dãy con
của nó giới hạn a.
9

Chương 1. Lý thuyết giới hạn

iv) Một số tính chất của dãy hội tụ
Tính Chất 1. Nếu dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Hệ quả 1.2. Nếu lim un = a thì lim |un | = |a|.
n→∞

n→∞

Tính Chất 2. Mọi dãy hội tụ đều là dãy bị chặn.
v) Một số phép toán về giới hạn của dãy số.
Định lý 1.3. Nếu lim un = a và lim vn = b thì
n→∞

n→∞

i) lim (un + vn ) = lim un + lim vn = a + b;
n→∞

n→∞

n→∞

ii) lim (un − vn ) = lim un − lim vn = a − b;
n→∞

n→∞

n→∞

iii) lim un vn = lim un . lim vn = a.b;
n→∞
n→∞
n→∞
lim
u
n
a
un
n→∞
= lim
= ( nếu lim vn ̸= 0).
iv) lim
n→∞ lim vn
n→∞ vn
n→∞
b
n→∞

Chứng minh. i) Do lim un = a và lim vn = b, khi đó với ϵ > 0. Khi
n→∞

n→∞

đó
∃n0

∀n > n0

∃n1

∀n > n1

ϵ
|un − a| < ,
2
ϵ
|vn − b| < .
2

Đặt N = max{n0 , n1 }. Với mọi n > N ta có
|(un + vn ) − (a + b)| ≤ |un − a| + |vn − b| <

ϵ ϵ
+ = ϵ.
2 2

Theo định nghĩa, lim (un + vn ) = a + b.
n→∞

ii) được chứng minh hoàn toàn tương tự.
iii) Để có thể sử dụng giả thiết hội tụ của {un } , {vn } ta viết:
un vn − ab = un vn − un b + un b − ab = un (vn − b) + (un − a)b.

10


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

Do dãy {un } hội tụ nên bị chặn, vì thế tốn tại M > 0 sao cho |un | ≤ M
với mọi n. Khi đó:
|un bn − ab| ≤ |un (vn − b)| + |(un − a)b|
≤ M |vn − b| + |b||un − a|.

(1.1)

Cho ϵ > 0. Vì lim un = a, lim vn = b, cho nên tồn tại N sao cho với
n∞

n∞

mọi n > N ta có:
|vn − b| <

ϵ
ϵ
, |un − a| <
.
M + |b|
M + |b|

Từ đó, nhờ bất đẳng thức (1.1), ta có:
|un vn − ab| < M

ϵ
ϵ
+ |b| +
=ϵ
M + |b|

M + |b|

với mọi n > N . Vì vậy, dãy un vn hội tụ và
lim un vn = lim un . lim vn = a.b

n→∞

n→∞

(1.2)

n→∞

iv) Trước hết ta chứng minh rằng
1
1
=
( nếu lim vn = b ̸= 0).
n→∞ vn
n→∞
lim vn

(1.3)

lim

n→∞

Do lim vn = b ̸= 0. Lấy ϵ =
n→∞

tại N sao cho |vn − b| <

|b|
2

|b|
2

> 0, theo định nghĩa của giới hạn tồn

với n > N . Từ đó

1
|b| − |vn | ≤ |b − vn | < |b|,
2
tức là |bn | > 12 |b| với n > N . Tiếp tục, ta sử dụng giả thiết lim vn = b
n→∞

′

nên với mỗi δ > 0, tồn tại N để |b − vn | < δ với mọi n > N ′ . Nếu
M = max(N, N ′ ) thì
1
|b − vn | < δ và |vn | > |b| với n > M.
2
11


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

Vậy:
1
1
2δ
− < 2.
vn b
b
Với mỗi ϵ > 0 cho trước, ta chọn δ = 12 ϵb2 và ta sẽ có:
|b − vn | < ϵ nếu n > M.
1
n→∞ vn

Điều đó chứng tỏ rằng lim

1
lim vn .

=

n→∞

Áp dụng (1.2) và (1.3) ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.4. lim (Cun ) = C lim un ,
n→∞

n→∞

C ∈ R.

vi) Các tiêu chuẩn hội tụ
Định nghĩa 1.5. Dãy số thực {un } được gọi là dãy cơ bản hay dãy
Cauchy nếu với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại N (phụ thuộc ϵ) sao cho
với mọi n, m > N ta có |un − um | < ϵ.
Từ định nghĩa ta suy ra:
- Mọi dãy cơ bản là dãy bị chặn.
- Nếu dãy cơ bản {un } có một dãy con {unk } hội tụ đến giới hạn a
thì chính dãy {un } cũng hội tụ đến a.
Định lý 1.5. (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy số
{un } có giới hạn hữu hạn là với mọi ϵ > 0 đủ bé tồn tại N sao cho
nếu n, m > N thì |un − um | < ϵ.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử dãy un hội tụ đến giới hạn a. Khi
đó
∀ϵ > 0 ∃N

n, m > N

|un − a| <

ϵ
ϵ
và |um − a| < .
2
2

Vì thế với mọi n, m > N ta có
|un − um | ≤ |un − a| + |a − um | <
12

ϵ ϵ

+ = ϵ.
2 2


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

Điều kiện đủ. Ngược lại giả thử {un } là dãy cơ bản. Khi đó theo trên
{un } là dãy bị chặn và do đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass dãy
{un } có một dãy con hội tụ đến một giới hạn a nào đó. Theo tính chất
của dãy cơ bản, chính dãy {un } cũng hội tụ đến a.
Định lý 1.6. Cho 3 dãy số {xn }, {yn }, {zn }. Nếu
i) xn ≤ yn ≤ zn , n ∈ N∗ ,
ii) lim xn = lim zn = L
n→∞

n→∞

thì dãy số {yn } hội tụ và lim yn = L.
n→∞

Chứng minh. Giả sử rằng lim xn = lim zn = L. Cho ϵ > 0; thế thì
n→∞

n→∞

tồn tại số N sao cho |xn − L| < ϵ và |zn − L| < ϵ với n > N , tức là
−ϵ < xn − L và zn − L < ϵ với n > N.
Mặt khác ta lại có
xn − L ≤ yn − L ≤ zn − L,
do đó

−ϵ < yn − L < ϵ,
hay
|yn − L| < ϵ với n > N,
nghĩa là lim yn = L.
n→∞

vii) Tiêu chuẩn về giới hạn của dãy đơn điệu
Định lý 1.7. 1) Nếu dãy {un } là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên
thì nó hội tụ và lim un = sup un .
n→∞

n

2) Nếu dãy {un } là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì nó hội
tụ và lim un = inf un .
n→∞

n

13


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

Chứng minh. 1) Vì dãy {un } bị chặn trên, nên nó có cận trên đúng.
Đặt a = sup un . Ta có un ≤ a, ∀n ∈ N∗ .
n

Cho trước ϵ > 0, vì a − ϵ < a, không là cận trên của {un } vì thế
tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho a − ϵ < un0 ≤ a.

Mặt khác vì {un } là dãy tăng nên với mọi n > n0 ; un0 ≤ un , do đó
a − ϵ < un0 ≤ un ≤ a < a + ϵ, từ đó |un − a| < ϵ, ∀n ≥ n0 .
Vậy lim un = a = sup un .
n→∞

n

2) Nếu dãy {un } giảm thì dãy {−un } tăng. Theo phần 1) lim (−un ) =
n→∞

sup(−un ) = − inf un .
n

n

Từ đó lim un = inf un .
n→∞

n

Ví dụ 8. Ta chứng minh được kết quả sau
1
lim (1 + )n = e.
n→∞
n
(
)n
Xét dãy {un } = 1 + n1 .
a) Dãy un tăng. Theo công thức nhị thứ Niutơn ta có:
(

)n
1
1 n(n − 1) 1
un = 1 +
=1+n +
. 2+
n
n
1.2
n
n(n − 1)(n − 2) 1
n(n − 1)...(n − n + 1) 1
+
. 3 + ··· +
. n,
1.2.3
n
1.2...n
n
(
)
(
)(
)
1
1
1
1
2
un = 1 + 1 +

1−
+
1−
1−
+
2!
n
3!
n
n
(
)(
) (
)
1
1
2
n−1
... +
1−
1−
... 1 −
.
(1.4)
n!
n
n
n
Từ đó

(
)
(
)(
)
1
1
1
1
2
un+1 = 1 + 1 +
1−
+
1−
1−
2!
n+1
3!
n+1
n+1
(
)(
) (
)
1
1
2
n−1
+
1−

1−
... 1 −
n!
n+1
n+1
n+1
(
)(
) (
)
1
1
2
n
+
1−
1−
... 1 −
.
(n + 1)!
n+1
n+1
n+1
14


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

Ta thấy ngay rằng các số hạng trong un đều nhỏ hơn hoặc bằng các số
hạng tương ứng trong un+1 ; ngoài ra trong un không có số hạng cuối

cùng của un+1 :
(
)(
) (
)
1
1
2
n
1−
1−
... 1 −
.
(n + 1)!
n+1
n+1
n+1
Do đó un+1 > un , nghĩa là dãy {un+1 } tăng.
b) Dãy un bị chặn trên. Theo (1.4) ta có
1
1
1
1
1
1
+ + ··· +
< 2 + + 2 + · · · + n−1
2! 3!
n!
2 2

2
1
1
1
< 2 + + 2 + · · · + n + · · · = 3.
2 2
2

un < 1 + 1 +

Vậy {un } bị chặn trên.

(
)n
Theo định lý 1.7, dãy này hội tụ. Ta đặt e = lim 1 + n1 .
n→∞

Người ta chứng minh được e là một số vô tỷ và tính được e =
2, 718282828459015...

1.2

Hàm số một biến

1.2.1

Khái niệm hàm số một biến

a. Định nghĩa. Một ánh xạ f : D ⊂ R −→ R được gọi là hàm số
biến số thực, kí hiệu y = f (x). Tập D được gọi là miền xác định của

f, x ∈ D gọi là biến số độc lập và y ∈ R gọi là giá trị hàm số tại x.
+ Tập R(f ) = {y ∈ R y = f (x), x ∈ D} gọi là miền giá trị của f ;
+ Tập G(f ) = {(x, f (x))|x ∈ D} gọi là đồ thị của f.
Chú ý 3. Hàm số không phụ thuộc kí hiệu của đối số mà chỉ phụ
thuộc quy luật f để xác định giá trị hàm số.
Ví dụ 9. Hàm số y = x3 + 3x2 − 1, x ∈ R.
15


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

Ví dụ 10. Hàm số cho dưới dạng nhiều biểu thức trong những khoảng




xex nếu x < 0



y = 1 nếu x = 0





−xcosx nếu x > 0

khác nhau

Chú ý 4. Có rất nhiều phương pháp cho hàm số: Phương pháp cho
dưới dạng bảng số, dưới dạng hàm số hiện, hàm ẩn, dạng tham số,...
Ví dụ 11. Xét các hàm số
shx =

ex − e−x
;
2

ex − e−x
thx = x
;
e + e−x

chx =

ex + e−x
2

cthx = ex + e−x ex − e−x

tương ứng gọi là hàm số sinhyperbol, coshyperbol, tanhyperbol và
cotghyperbol.
b. Một số dáng điệu của hàm số
Cho hàm số f (x) xác định trên D và (a, b) ⊂ D.
i) Hàm số đơn điệu
+ Hàm số f (x) gọi là đơn điệu tăng (đồng biến) trên (a, b) nếu với
x1 , x2 ∈ (a, b)
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
+ Hàm số f (x) gọi là đơn điệu giảm (nghịch biến) trên (a, b) nếu với

x1 , x2 ∈ (a, b)
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
+ Hàm số f (x) gọi là đơn điệu không giảm trên (a, b) nếu với x1 , x2 ∈
(a, b)
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).
16


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

+ Hàm số f (x) gọi là đơn điệu không tăng trên (a, b) nếu với x1 , x2 ∈
(a, b)
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Các hàm đơn điệu tăng, giảm, không tăng và không giảm trên (a, b)
gọi chung là hàm đơn điệu trên (a, b).
+ Nếu D được chia thành những tập con mà trên đó f (x) là hàm
đơn điệu thì ta nói f (x) đơn điệu từng khúc trên D.
ii) Hàm số lẻ, hàm số chẵn
Cho D là miền đối xứng qua điểm O.
+ Nếu



x ∈ D ⇒ −x ∈ D

f (−x) = f (x)

thì f (x) gọi là hàm số chẵn.
+ Nếu



x ∈ D ⇒ −x ∈ D

f (−x) = −f (x)

thì f (x) gọi là hàm số lẻ.
Ví dụ 12. Hàm số f (x) =
f (x) =

cosx + 1
là hàm số chẵn, còn hàm số
x2 − |x| + 1

x − sinx
là hàm số lẻ.
xtgx

iii) Hàm số tuần hoàn
Nếu tồn tại số T ̸= 0 sao cho f (x + T ) = f (x), với mọi x ∈ D thì
f (x) gọi là hàm số tuần hoàn trên D. Số T > 0 nhỏ nhất thoả mãn hệ
thức trên gọi là chu kỳ của hàm số f (x).
Ví dụ 13. Hàm số y = cos2x + 2sin3x là hàm số tuần hoàn chu kỳ
T = 2π.

17


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

iv) Hàm số bị chặn
+ Hàm số f (x) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho f (x) ≤ M,
∀x ∈ D.
+ Hàm số f (x) gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho f (x) ≥ m,
∀x ∈ D.
+ Hàm số f (x) gọi là bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho |f (x)| ≤
M, ∀x ∈ D.

1.2.2

Một số khái niệm liên quan đến hàm số một
biến

a. Hàm số hợp
Cho X, Y, T ⊂ R. Giả sử hàm số f : X −→ Y và g : Y −→ T. Khi
đó, hàm số h : X −→ T xác định bởi h(x) = g(f (x)), x ∈ X được gọi
là hàm số hợp của g và f, kí hiệu h = (g ◦ f ). Vậy
h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)), x ∈ X.
Ví dụ 14. Xét hàm số f : R −→ R xác định bởi f (x) = x2 + 1, x ∈ R
và hàm số g : R −→ R được xác định bởi g(x) = 2y + 1, y ∈ R. Khi
đó, ta có
g(f (x)) = 2f (x) + 1 = 2(x2 + 1) + 1 = 2x2 + 3, x ∈ R.
Nhận xét 2. Nói chung g ◦ f ̸= f ◦ g.
b. Hàm số ngược
Cho hàm số f : X −→ Y xác định bởi y = f (x), x ∈ X. Nếu tồn
tại 1 hàm số g : Y −→ X sao cho
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x
18

Chương 1. Lý thuyết giới hạn

thì g(y) gọi là hàm số ngựơc của hàm số f (x), kí hiệu g(y) = f −1 (y),
y ∈ Y.
Nhận xét 3. Hàm số f : X −→ Y là có hàm số ngược khi và chỉ khi
f là một song ánh đi từ X vào Y.
Ta thấy miền xác định của hàm số ngược là miền giá trị của hàm
số ban đầu và ngược lại. Ta có
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y).
Vì hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu đối số nên nếu dùng x là kí
hiệu đối số, y là kí hiệu hàm số thì hàm số ngược của hàm số y = f (x)
là hàm số y = f −1 (x).
Nếu ta dựng đồ thị của hai hàm số ngược nhau trên mặt phẳng
với cùng một hệ tọa độ vuông góc bằng cách đặt miền xác định của
cả hai hàm số trên trục hoành và miến giá trị trên trục tung, thì đồ
thị của chúng đối x nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Ví dụ 15. Xét hàm số f : R+ −→ R+ xác định bởi f (x) = x2 ,
x ∈ R + . Ta thấy, với y ∈ R+ phương trình x2 = y luôn có nghiệm
√
duy nhất x = y. Do đó f là song ánh nên nó có hàm ngược là
√
x = f −1 (y) = y. Nếu ta kí hiệu x là biến số, y là hàm số thì ta có
√
hàm số ngược của hàm số y = x2 là hàm số y = x.
Ví dụ 16. Hàm y = ex và y = lnx là 2 hàm ngược của nhau, vì
elnx = ln(ex ) = x
chúng có đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
c. Một số hàm lượng giác ngược. Trong phần này ta đưa ra một số
hàm số lượng giác ngược. Các hàm số này được dùng phổ biến trong
số các hàm số ngược.

19


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

i) Hàm số y=arcsinx
π π
π π
Hàm số y = sinx, x ∈ [− , ] là một song ánh từ tập [− , ] lên
2 2
2 2
tập [−1, 1] nên nó có hàm số ngược x = arcsiny.
Qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của y = sinx là
hàm y = arcsinx. Ta thấy
arcsin(sinx) = sin(arcsinx) = x.
π π
Vậy hàm y = arcsinx có miền xác định [−1, 1] và miền giá trị [− , ].
2 2
Ta nhận thấy
arcsin(−x) = −arcsinx.
ii) Hàm số y=arccosx
Hàm số y = cosx, x ∈ [0, π] là một song ánh từ tập [0, π] lên tập
[−1, 1] nên nó có hàm số ngược x = arccosy.
Qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của y = cosx là
hàm y = arccosx. Ta thấy
arccos(cosx) = cos(arccosx) = x.
Vậy hàm y = arccosx có miền xác định [−1, 1] và miền giá trị [0, π].
Ta nhận thấy:
+) arccos(−x) = π − arccosx
π

+) Từ điều kiện sinx = cos( − x) suy ra
2
π
arcsinx + arccosx = .
2
iii) Hàm số y=arctanx
π π
π π
Hàm số y = tanx, x ∈ (− , ) là một song ánh từ tập (− , )
2 2
2 2
lên tập (−∞, +∞) nên nó có hàm số ngược x = arctany.

20


Chương 1. Lý thuyết giới hạn

Qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của y = tanx là
hàm y = arctanx. Ta thấy
arctan(tanx) = tan(arctanx) = x.
Vậy hàm y = arctanx có miền xác định (−∞, ∞) và miền giá trị
π π
(− , ).
2 2
Ta nhận thấy:
arctan(−x) = −arctanx
iv) Hàm số y=cotx
Hàm số y = cotx, x ∈ (0, π) là một song ánh từ tập (0, π) lên tập
(−∞, ∞) nên nó có hàm ngược x = arccoty.

Qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của y = cotx là
hàm y = arccotx. Ta thấy
arccot(cotx) = cot(arccotx) = x.
Vậy hàm y = arccotx có miền xác định (−∞, ∞) và miền giá trị (0, π).
Ta nhận thấy:
+) arccot(−x) = π − arccotx
π
+) Từ điều kiện tanx = cot( − x) suy ra
2
π
arctanx + arccotx = .
2
d. Hàm số sơ cấp
+ Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản: hàm số luỹ
thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, các hàm số lượng giác và các hàm
số lượng giác ngựơc.
+ Hàm số sơ cấp là các hàm số được lập từ các hàm sơ cấp cơ bản
bởi các phép toán tính tổng, hiệu, tích, thương và phép lấy hàm hợp
các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng.
21