ĐỀ TOÁN HSG THPT TỈNH ĐĂK LĂK NĂM 2016

A1A 2...A10
Bài 1. (4 điểm) Trong mặt phẳng cho thập giác đều

B1B2B3
và tam giác đều

Ci
đường thẳng d thay đổi trong mặt phẳng. Gọi

. Một
Dj

Ai
là hình chiếu của các điểm

trên d và

Bj

là
uuuuu
r
A i Ci

hình chiếu của các điểm

trên d. Biết đường thẳng d thay đổi sao cho tổng của 10 vectơ
uuuuu
r
B jD j
bằng 2017 lần tổng của 3 vectơ

. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố
định và xác định vị trí điểm đó.
Đáp án:
Lời giải
A1A 2...A10

Điểm
B1B2B3

Gọi A, B là tâm của thập giác đều
và tam giác đều
.
Gọi uC,
chiếu
A,
uuuD
ur là hình
uuu
uuuur của u
uurB trên d.
A1C1 + ... + A10C10 = 10AC
Có uuuuur
uuuuur uuur
B1D1 + ... + B3D3 = 3BD
Có
uuuuur
uuuuuuur
uuuuu
r
uuuuur

uuur 3.2017 uuur
A1C1 + ... + A10C10 = 2017(B1D1 + ... + B3D3 ) ⇔ AC =
BD
10
Do đó:

2đ
1đ

1đ

uuur 3.2017 uuur
AO =
BO
10

Gọi O là giao của AB với d ta có
nên O cố định.
Vậy đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định O có vị trí được xác định bởi
đẳng thức trên.

Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình:
x + 3 x3 − x 2 + 3 x3 − x = 3 x 2 + x +

1 3 2 1 3
1
+ x + + x+
3
3
3

Đáp án:
Lời giải

Điểm


x3 > x 2 + x +

Nếu

1
3

thì


1
2
x > 3 x + x +
3

 3 3
1
2
 x − x > 3 x + ⇒ VT > VP
3

3 3
2 1

 x −x >3 x +
3


x3 > x 2 + x +

Tương tự nếu

Vậy pt

1
3

1đ

thì VT < VP

1
⇔ x3 = x 2 + x +
3

2đ

⇔ 4 x3 = ( x + 1)3 ⇔ 3 4 x = x + 1 ⇔ x =

3

1
4 −1

x+ y+ z =3

Bài 3. (4 điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

x3 + 2 y 3
y3 + 2z3
z3 + 2x3
+
+
≥3
x( y + 2 z ) y ( z + 2 x ) z ( x + 2 y )
Đáp án:
Lời giải
x + 2 y3
3y2
x3 + y 3 + y 3 ≥ 3 xy 2 ⇒
≥
x( y + 2 z ) y + 2 z

Điểm

3

Có:
x3 + 2 y 3 y + 2 z
3y2
y + 2z
3y2 y + 2z

⇒
+
≥
+
≥2
.
= 2y
x( y + 2 z )
3
y + 2z
3
y + 2z
3
Vậy ta có:
 x3 + 2 y 3 y + 2 z
+
≥ 2y

x
(
y
+
2
z
)
3

 y 3 + 2 z 3 z + 2 x
+
≥ 2 z ⇒ VT + x + y + z ≥ 2( x + y + z )


3
 y ( z + 2 x)
 z 3 + 2 x3 x + 2 y

+
≥ 2x
3
 z ( x + 2 y )

1đ
1đ

1đ


VT ≥ x + y + z ≥ 3

Do đó:
f :Z → Z

Bài 4. (3 điểm) Tìm tất cả hàm

thỏa mãn:

f (2 x + 3 y ) ≥ f ( x + y ) + x + 2 y; ∀x, y ∈ Z

Đáp án:
Lời giải
f (2 x + 3 y ) ≥ f ( x + y ) + x + 2 y; ∀x, y ∈ Z

Điểm

a, b ∈ Z

Với mọi
 x = 3b − a

f (a ) ≥ f (b) + a − b ⇒ f (a ) − a ≥ f (b) − b
 y = a − 2b
Thay
được
 x = 3a − b

f (b) ≥ f (a ) + b − a ⇒ f (b) − b ≥ f (a ) − a
 y = b − 2a
Thay
được
f (a ) − a = f (b) − b; ∀a, b ∈ Z
Do đó:
f ( x) − x = C
Vậy
f ( x) = x + C
C∈Z
Thử lại: mọi hàm dạng
với
thỏa đề ra.

1đ

1đ
1đ

Bài 5. (4 điểm)
( x, y , z , t )

Tìm tất cả các bộ số tự nhiên

thỏa mãn:

2 x + 2 y + 2 z = 32t+1

Đáp án:
Lời giải
x

y

z

2 +2 +2 =3
2t+1

Vì

3

lẻ nên
x
2 , 2 y , 2z

Điểm

2 t+1

1đ
x

y

2 ,2 ,2

z

đều lẻ hoặc có đúng một số lẻ.
( x, y, z, t ) = (0, 0, 0, 0)
Nếu
đều lẻ thì ta thu được bộ
thỏa đề ra.
x
y
z
2 ,2 ,2
2z
Nếu trong 3 số
có đúng một số lẻ, chẳng hạn
lẻ thì

1đ

1đ

 x ≥ 1; y ≥ 1
 x
y
2t +1
−1
 2 + 2 = 3

Nếu x, y đều lớn hơn 1 thì
(vô lý)

1đ
2 x + 2 y M4

nhưng

32t +1 − 1 = 3.9t − 1

chia 4 dư 2

2 x = 32t+1 − 3M3

Nếu trong hai số x, y có số bằng 1, chẳng hạn y =1 thì
lý)
( x, y, z, t ) = (0, 0, 0, 0)
Vậy có duy nhất bộ số
thỏa đề ra.

(vô

Bài 6. (3 điểm)
8
Trong một hình vuông có độ dài cạnh là
, đặt 10 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm
nào thẳng hàng. Chứng ming rằng có thể chọn ra 3 điểm trong 10 điểm đó tạo thành các đỉnh của
một tam giác có diện tích không quá 1.
Đáp án:
Lời giải
Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ có diện tích bằng 2.
Nếu mỗi hình vuông nhỏ chỉ chứa không quá 2 điểm thì ta đặt được không
quá 8 điểm.
Vậy phải có một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 3 điểm.
Chọn 3 điểm đó thì ta được tam giác có diện tích không quá nửa hình vuông
nhỏ (đpcm)

Điểm
1đ
1đ
1đ