Đề thi tuyển sinh lớp 10 các năm - Phòng Khảo thí và Kiểm định chất lượng giáo dục - Sở Giáo dục và Đào tạo Kiên Giang Toanchuyen_deda

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KIÊN GIANG
----ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2011-2012
----MÔN THI: TOÁN (chuyên)

(Đề thi có 01 trang)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 23/6/2011
Câu 1. (1,5 điểm)
⎛ 2 x

Cho biểu thức A = ⎜⎜

⎝ x +3

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A =

+

x
x −3

−

3x + 3 ⎞ ⎛ 2 x − 2 ⎞

− 1⎟⎟ (với x ≥ 0, x ≠ 9)
⎟:⎜
x − 9 ⎟⎠ ⎜⎝ x − 3
⎠

−1
3

Câu 2. (1,5 điểm)
Cho hàm số y = x2 (P) và y = (m + 3)x – m + 3 (d)
a) Vẽ đồ thị hàm số (P)
b) Chứng tỏ (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Câu 3. (1,5 điểm)
⎧ 2
⎪5 x −
⎪
Giải hệ phương trình: ⎨
⎪3x 2 +
⎪⎩

10 y
=1
y2 +1
20 y
= 11
y2 +1

Câu 4. (1,5 điểm)
Cho phương trình : x 2 + 2mx + 1 = 0 (1). Tìm m để X = x12 ( x12 − 2012) + x22 ( x22 − 2012)
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó ( x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của (1))

Câu 5. (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; trên nửa đường tròn lấy điểm C (cung
BC nhỏ hơn cung AB), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB tại D. Kẻ CH
vuông góc với AB (H ∈ AB), kẻ BK vuông góc với CD (K ∈ CD); CH cắt BK tại E.
a) Chứng minh: CB là phân giác của góc DCE
b) Chứng minh: BK + BD < EC
c) Chứng minh: BH. AD = AH. BD
Câu 6. (1 điểm)
⎛

1⎞

⎛

1 ⎞

⎟ > 31 , với a, b > 0
Chứng minh rằng: 21.⎜⎜ a + ⎟⎟ + 3.⎜⎜ b +
b⎠
a ⎟⎠
⎝
⎝

-------- HẾT-------(Thí sinh được sử dụng máy tính theo quy chế hiện hành)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: ………………………………………...Số báo danh: …………………


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KIÊN GIANG

-----

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2011-2012
-----

HƯỚNG DẪN CHẤM THI - ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN (chuyên)
(gồm có 03 trang)

Câu

Biểu
điểm

Nội dung

Câu 1 (1,5 điểm)
1 điểm
a) với x ≥ 0, x ≠ 9, ta có:
⎛ 2 x

A = ⎜⎜

⎝ x +3

=
=
=
0,5 điểm

2 x
−3

(

(

+

x −3

)

−

):

x +1

x−9
−3

(

3x + 3 ⎞ ⎛ 2 x − 2 ⎞
− 1⎟⎟
⎟:⎜
x − 9 ⎟⎠ ⎜⎝ x − 3
⎠

)

x + 3 − ( 3 x + 3) 2 x − 2 − x + 3
:
x−9
x −3

x −3 + x

x +1

0,25
0,5

x −3

0,25

x +3

b) Tìm x để A =
A=

x

−1
⇔
3

−1
3

−3
−1
=
3
x +3
x -3⇔ x =6

⇒ -9 = ⇔ x = 36 (thỏa điều kiện xác định)

0,25

Vậy x = 36 thì A =

0,25

−1
3

Câu 2 (1,5 điểm)
0,75 điểm
a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 (P)
Bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y
x
-2
-1
0
1

y
4
1
0
1

2
2

0,25

Đồ thị

0,5


0,75 điểm

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
x2 = (m + 3)x – m + 3 ⇔ x2 - (m + 3)x + m – 3 = 0 (1)
Δ = m2 + 2m + 21 = (m + 1)2 + 20 > 0 , với mọi m
⇒ phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
Nên (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Câu 3. 1,5 điểm
1,5 điểm
⎧ 2 10 y
⎪5 x − y 2 + 1 = 1
⎪
Giải hệ phương trình: ⎨
⎪3x 2 + 20 y = 11

⎪⎩
y2 +1
10 y
Đặt a = x 2 và b = 2
(a ≥ 0), ta có hệ phương trình:
y +1
⎧a = 1
⇔⎨
⎩b = 4
⎧ x2 = 1
⎪
⇔ ⎨ 10 y
⇔
=
4
2
⎪ y +1
⎩

0,25
0,25
0,25

⎧5a − b = 1
⎨
⎩3a + 2b = 11

⎧ x = ±1
⎪
⎪⎡

1
⎨⎢ y =
2
⎪⎢
⎪⎩ ⎣ y = 2

0,5
0,25
0,5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(1; 2); (1;

1
1
) ; (-1; 2); (-1; )
2
2

0,25

Câu 4. 1,5 điểm
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt là m > 1
X = [(x1+ x2)2 – 2x1.x2]2 – 2 (x1.x2)2 – 2012 [(x1+ x2)2 – 2x1.x2]
x1+ x2 = -2m; x1.x2 = 1
X = (4m2 – 2)2 – 2 – 2012(4m2 – 2)
= (4m2 – 2)2– 2012(4m2 – 2) – 2
= [(4m2 – 2) – 1006] 2 – 1012038 ≥ – 1012038
Giá trị lớn nhất của X là – 1012038 khi:
(4m2 – 2) – 1006 = 0 ⇔ m = ± 6 7 (thỏa điều kiện)

Câu 5. 3,5 điểm
Hình vẽ

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


1 điểm

1,25 điểm

1,25 điểm

a) Chứng minh: CB là phân giác của góc DCE
Ta có: ∠BCE = ∠BAC (cùng phụ với góc ABC)
∠BCD = ∠BAC (cùng bằng nửa cung BC)
⇒
∠BCE =∠BCD
⇒
CB là phân giác của góc DCE
b) Chứng minh: BK + BD < EC
Chứng minh được: ΔvBCH = ΔvBCK (ch – gn)
⇒ BH = BK
⇒ BK + BD = BH + BD = HD
Chứng minh được: ΔvCDH = ΔvCEK (cgv – gn)

⇒ DH = EK
Mà EK < EC ⇒ DH < EC
⇒ BK + BD < EC
c) Chứng minh: BH. AD = AH. BD
Xét ΔHCD có:
CB là phân giác của HCD (cmt) ⇒

CH BH
=
(1)
CD BD

Lại có: CB ⊥ CA ⇒ CA là phân giác ngoài của góc C của ΔHCD
⇒

CH AH
(2)
=
CD AD

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

BH AH
=
BD AD

Từ (1) và (2) suy ra :

0,25

⇒ BH. AD = AH. BD
Câu 6. 1 điểm
Chứng minh rằng:

0,25

⎛
⎛
1⎞
1 ⎞
⎟⎟ + 3.⎜⎜ b +
⎟ > 31 , với a, b > 0
21.⎜⎜ a +
b⎠
a ⎟⎠
⎝
⎝

⎛
⎛
1⎞
1 ⎞
⎟ = 21a + 21/b + 3b + 3/a
Ta có 21.⎜⎜ a + ⎟⎟ + 3.⎜⎜ b +
b⎠
a ⎟⎠
⎝
⎝

21 a + 3/a ≥ 2

ADBĐT Côsi, ta được:

21/b + 3b ≥ 2
⎛

1⎞

⎛

3
= 2 63 = 6 7
a
3
21b. = 2 63 = 6 7
b

21a.

0,25
0,25

1 ⎞

⎟ ≥ 12 7 .
⇒ 21.⎜⎜ a + ⎟⎟ + 3.⎜⎜ b +
b⎠
a ⎟⎠
⎝
⎝
⎛

1⎞

⎛

0,25
1 ⎞

⎟ > 31
Mà 12 7 > 31 Nên 21.⎜⎜ a + ⎟⎟ + 3.⎜⎜ b +
b⎠
a ⎟⎠
⎝
⎝

Học sinh giải cách khác đúng vẫn được điểm tối đa.

0,25