Đề thi HSG cấp huyện môn Toán 9 năm học 2016 - 2017 | Phòng GD&ĐT huyện Phú Lương

UBND HUYỆN PHÚ LƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm).
1
3x2
2x
− 3
= 2
a) Giải phương trình: x − 1 x − 1 x + x + 1

b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
Bài 2 (1,0 điểm).
A=

x2
y2
z2
+
+
x + y y + z z + x biết x, y, z > 0 ,

Tìm GTNN của
Bài 3 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình sau:

xy + yz + zx = 1 .

x − 2 x −1 + x + 2 x −1 = 2

b) Giải hệ phương trình sau:
 x 2 + y 2 + x + y = 18
 2 2
2
2
 x y + x y + xy + xy = 72
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không
trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng
·
AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của IAM
cắt
nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
a Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
b Chứng minh HF ⊥ BI .
c Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi ∆AMB đạt giá trị
lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?
Bài 5 (1.0 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:

(2

x

+ 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) − 5 y = 11879

.

---------------HẾT----------------Họ và tên thí sinh: .............................................

Số báo danh: ........................


HNG DN CHM MễN TON LP 9
NM HC 2016 - 2017
Bi 1 (2,0 im)
a) K: x 1 .
1
3x 2
2x
x 2 + x + 1 3x 2
2 x( x 1)
3
= 2

3
=
3
x 1 x 1 x + x + 1
x 1
x 1
x3 1
x 2 + x + 1 3x 2 = 2 x 2 2 x 4 x 2 3x 1 = 0
(*)
x = 1

x = 1

4
Gii phng trỡnh (*) ta c:

Kt hp vi K ta co

x=

1
4 l nghim ca phng trỡnh.

b)
Ta co n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 4n2
= ( n2 + 2)2 ( 2n)
= ( n2 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)
Vỡ n l s t nhiờn nờn n2 + 2n+ 2 > 1 nờn n2 2n + 2 = 1 n = 1
Bi 2 (1,0 im)
x2
y2
z2
x+y+z
+
+

x+y y+z z+x
2
. Theo bõt ng thc Cauchy :
x+y
y+z
z+x
x+y+z

xy ;
yz ;
zx nờn

2
2
2
2
1
1
x=y=z=
3.
min A = 2

xy + yz + zx 1
=
2
2

Bi 3 (2,0 im)
a) Điều kiện x 1
Đa phơng trình về dạng:
x 1 1 +

x 1 +1 = 2

Trờng hợp 1:

x 1 1 + x 1 +1 = 2

(Do

x 1 + 1 > 0)

x 1 1 0 x 2 . Khi đó phơng trình (*) trở thành:

2 x 1 = 2 x = 2 (thỏa mãn)

Trờng hợp 2:

( *)

x 1 1 < 0 1 x < 2 .


Khi đó phơng trình (*) trở thành: x 1 + 1 + x 1 + 1 = 2 2 = 2 (luôn
đúng)
Kết hợp cả 2 trờng hợp ta đợc 1 x 2 là nghiệm của phơng
trình.
b)
1
2
x
+
x
=
a
,
a

4
2
2

( x + x) + ( y + y) = 18
2
y 2 + y = b, b 1
2
( x + x)( y + y ) = 72 . t
4 ta c
H
a + b = 18
a = 6, b = 12


ab = 72
a = 12, b = 6
TH 1.

x 2 + x = 6
a = 6
x = 2, x = 3
2


b = 12 y + y = 12 y = 3, y = 4

x = 3, x = 4

y = 2, y = 3
TH 2. i vai tro ca a v b ta c
. Vy tp nghim ca h l:
S = { (2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); ( 4; 3)}
Bi 4 (4,0 im)

I
F
M
H

E
K

A

O

B

0
ã
a) Ta co M, E nm trờn na ng tron ng kinh AB nờn FMK = 90 v
ã
FEK
= 900 .

Vy 4 im F, E, K, M cung nm trờn ng tron ng kinh FK
b) Ta co HAK cõn tai A nờn AH = AK (1)

K l trc tõm ca AFB nờn ta co FK AB suy ra FK // AH (2)
ã
ã
ã
ã
= ãAFK m FAH
= FAK
Do o FAH
(gt) cho nờn ãAFK = FAK
Suy ra AK = KF, kt hp vi (1) ta c AH = KF (3)


Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK. Mà AK ⊥ IB suy ra
HF ⊥ IB
c) Chu vi của ∆AMB = C∆AMB = MA + MB + AB lớn nhất khi chỉ khi MA + MB
lớn nhất (vì AB không đổi).
a + b)
Áp dụng bất đẳng thức (

( MA + MB )

2

2

≤ 2 ( a2 + b2 )

dấu "=" xảy ra ⇔ a = b , ta có

≤ 2( MA2 + MB 2 ) = 2 AB 2

Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi
MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.
Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì C∆AMB đạt giá trị lớn nhất. Khi đó
C∆AMB = MA + MB + AB = AB 2 + AB = (1 + 2) AB = 2 R(1 + 2)
Bài 5 (1,0 điểm)

A = ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 )

Đặt
x
tiếp nên 2 . A chia hết cho 5.

x
, ta có 2 . A là tích của 5 số tự nhiên liên

x
Nhưng 2 không chia hết cho 5, do đó A chia hết cho 5.

2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) − 5 y
(
y
≥
1
Nếu
, ta có
chia hết cho 5 mà 11879
không chia hết cho 5 nên y ≥ 1 không thỏa mãn, suy ra y = 0.
2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) − 5 y = 11879
(

Khi đó , ta có
⇔ ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) − 1 = 11879
⇔ ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) = 11880

⇔ ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3 ) ( 2 x + 4 ) = 9.10.11.12 ⇔ x = 3
Vậy x = 3; y = 0 là hai giá trị cần tìm.

.